Теория пересечений в пространствах мероморфных функций на комплексных кривых

0.1 Разветвленные накрытия сферы Отправной то’п<�ой описываемых нами исследований послужила задачаклассификации разветвленных накрытий двумерной сферы. Пусть С, Y— две связные ориентированные двумерные компактные поверхности. Непрерывноеотображение f: С —* Y^ соху а^няющее ориентацию, называется разветпвле. нным накрытием, если• в образе имеется конечное нодмножество точек {ti,…, tc}, такое, что над дополнением к этому множеству отображение / являетсянакрытием-• в некоторой окрестности каждой из точек ti можно ввести комплексную координату и в некоторой окрестности каждого из еепрообразов можно ввести комплексную координату х таким образом, что отображение принимает координатный вид f{x) = х''при некотором натуральном к. Ниже мы будем говорить в первую очередь о ргишетвленных накрытиях С ([)еры и считать, что поверхность Y гомеомор ([)на S^.Если отображение f: С —* S^ является рггзветвленным накрытием, то в окрестности любой точки поверхности С можно ввести комплексную координату .X таким образом, что в подходящей комплексной координате в окрестности образа этой точки отобрансение записываетсяв виде /(х) = х'^. Чисто к для каждой точки из С определено однозначно. Мы будем называть его порядком, или кратностью, точкиотносительно отображения /. Порядок точки равен числу близких кней npoo6p-i3OB точки, близкой к ее образу. Порядок равен 1 в том итолько в том случае, если ограничение отображения / на некоторуюокрестность точки является гомеомор (1^измом. Точка, порядок которой больше 1, называется критической точгсой отображения /. Образкрити^1еской точки мы будем называть крг1тическим значением, илит. очкой ветвления, отображения /. Как число критических точек, таки число К1) ит11'1еских значений разветвленного накрытия конечно. Наддополнением к множеству точек ветвления отображение / является неразветвленным накрытием. Сумма порядков прообразов любой точки при ралветвленном накрытии одинакова. Это общее значение называется степвушю разветвленного накрытия. У некритического значения разветвленного накрыG Введениетин степени п имеется 7i геометрически ралли'1ных прообргхловчислогеометрически различных прообразов точки ветвления меньше, чем п. Набор порядков прообразов любой точки определяет разбиение числап. Род накрывающей кривой, степень накрытия и порядки критических точек связаны менсду собой фор) мулой Римана-Гур)вина, котораяявляется следствием с{)()рмулы Эйлера для рода. Из опредачения непосредственно вытекает, что поверхности определения Ci, C-i двух изомор<})ных разветвленных накрытий обязательногомеомор (1^ны, а степени нак1) ытий совпадают. Точки ветвления разветвленного накрытия играют очень существенную роль в классификапии накрытий: у изоморс})ных накх) ытий множества крити^1еских значений совпадают. Более того, у изомор<1л1ыхнакрытий совнадают разбиения их степени над соответственными точками образа. Разумеется, интерес представляет только конечное чисторазбиений степени над точками ветвления. Мы будем называть этотконечный набор разбиений типом вствлепил. Следующая задача быланоставлена Л. Гурвицем в [-i9]: Сколько существует классов изоморфизма разиетвленных накрытий с предписанными гттами ветвления над предписанными точкамиветвления'^Число классов изомор (1)изма разветвленных накрытий с дагн1ыми типами ветвления называется числом Гурвица, отвечающим этим тинамветвления. Приведенная 4) ормулировка задачи требует уточнения. На самомделе, нас будет интересовать не число классов изоморфизма накрытий, а число таких классов, взятых с весом, обратно пропорционгхльным порядку группы автоморфизмов накрытия. (Определение изоморфизманакрытий превр.'гщается в онределение автоморфизма в случае, еслифункпии /ь/2 совпадают. Например, у двукратного накрытия всегдаесть автомор<})изм порядка два: он меняет местами листы накрытия.)O.I Разветвленные накрытия 7Однако, как правило, у накрытий нет нетривиальных автоморфипмов, так что модифицированная ({формулировка, но сун1-еству, совпадает сисходной. За столетие, прошедшее с момента ноявления работ Гурвица, математики не рал обраш, ались к поставленной им задаче, хотя до недавнеговремени проявленное ими внимание нельзя было считать особенно нристальным. Однако последнее десятилетие привело к взрывному ростуинтереса к разветвленным накрытиям. У этого интереса было три независимых источника: двумерная квантовая хромодинамика и связанные с ней струнные теории, изучение подгрупп симметрической группыи исследование топологии донолнений к дискриминантам в различных ([функциональных пространствах. Интересно, что во всех трех случаяхисследователи не знали о предшествующих работах Гурвица н переоти его численные результаты. Как будет показано в первой главе, задачу Гурвица можно нереформулих) овать в терминах нодгрупп симметрической группы и в тер. минахграфов, вложенных в накрываюшую поверхность. Соответственно, онадонускает как теоретико-групповые, так и чисто комбинаторные подходы к своему решению. Именно теоретико-групповыми методами действовал Гурвиц. Диссертацш! посвящена третьему пути, корни которого лежат в теории особенностей и алгебраической геометрирг. Этотпуть основывается на наблюдении В. И. Арнольда, corviaciio которомуподсчет классов изомор (1>изма р-1зветвленных накрытий можно заменить подсчетом степени отобрал’сения .Ляшко-Лойенги. Это отображение сопоставляет мероморфной функции на комплексной кривой наборее критических значений. Как правило, оно является накрытием и понятие степени для него корректно онределено. В настояш-ее время именно этот нуть выглядит наиболее нлодотворным. Он связан с изучением геометрии нространств модулей мероморфных функций, в первую очередь, с теорией пересечений на такихнростх) анствах. Полученные на этом пути результаты лежат на стыкетонологии, математической ({шзики, алгебраической геометрии, теорииримаповых поверхностей, комбинаторики и теории особенностей. Полученные результаты будут интересны снецигиистам в отих областях. Затем к этой же задаче обращался Г. Вейль [83], однако в целом онабыла забыта до работ Медных [63, 64, Cfj]. Возрождение интереса кзадаче Гурвица связано с задачей вычисления коэффициентов связи всимметрической грунне (см., нанример [41]), с работами, но струннойтеории и двумерной квантов1) й хромодинамике ([36]), и с изучением доцолнения к дискриминанту в цространствах версальных дсг{)ормацийцростых особенностей ([58, 60, 3]). Численные результаты Гурвицабыли нри этом цереоткрыты (см. [10, 27, 2] и восстановление доказательства Гурвица в [77]). Подход, основанный на теории особенностей, окалгшся новым и чрезвычайно плодотворным, и в настоя1цей работемы описываем развитие именно этого подхода.0.2.2 Работы Ляшко, Лойенги, АрнольдаЗадача, которой независимо заним. члись Лягако и Лойенга [60, 58], нетождественна задаче ГУрвица. Эта задача состоит в изучении тоно. тогии дополнения к дискриминанту в нространстве версальных деформаций нростых особенностей. Ыы отсылаем читателя за всеми необходин^>IMИ определениями к [4]. В нространствах версальных де (}:)ормацийможно рассматривать различные дискриминанты, и нас интересует тотиз них, который состоит из функций с кратными критическими значениями. На связь этой задачи для особенности серии, А с задачей Гурвица для общих многочленов нервым обратил внимание Арнольд [2]- он0.2 Исторический обпор 9же раснространил технику отобралсения Лящко-Лойенги на общие тригонометрические многочлены (т.е. рациональные отображения с двумянолюсами произвольных порядков). В главе- 4 настоящей работы нриведено также описание связи зада^ 1и класси (}шкации общих тригонометрических многочленов с одним полюсом первого порядка с геометриейдополнения к диск1) иминанту в пространстве версальной деформациипростых особенностей серии D. Фактичес-ки, в работе Арнольда содержится — в частном случаедвух полюсов — и идея продолжения отображения Ляшко-Лойенги намероморфные функции на вырожденных кривых. Эта линия была вдальнейшем продолжена в [25]. Сочетание этой идеи с идеей представления пх) остранс-тв меромор (11ных (})ункций в виде конусов над пространствами модулей кривых лежит в основе результатов главы 4 настояш, ей работы. Обозначим ч (-реп Тд-.х число наборов перестановок тинов A’l,…, А'^в группе S/v, норонсдающих транзитивную подгрунну птой грунны. Функции ц и Ф являются соответственно функцией Мебиуса и функцией фон Штернекп. Докадательство теоремы Медных основано на классической формуле Бернсайда. Как уже отмечалась, приведенная здесь 4) ормула неотражает геометрии зада’Ш и ее удается довести до явного числовогоответа лишь п незначительном числе нростых случаев, (один из которых рассмотрен в [57]).0.2.4 Подход Гульдена и ДжексонаКанадские специалисты, но комбинаторике Я. Гульден и Д. Джексонполу’шли целый ряд значительных результатов, но неречислению разветвленных накрытий сферы [27, 28, 29, 30, 31, 41, 42], Подход Гульдена и Джексона к задаче Гурвица базируется на анализе рекуррентныхсоотношений для чис (У1 Гу1) вица и на нрименснии комбинаторной техники обраш, енш[ Лагранжа. Указанные комбинаторные соотношениякомпактнее всего записываются в виде уравнений в частных производных на нроизводяшие ([зункции для чисел Гурвица. Приведем одно изтаких уравнений. Анализ этих вариантов для случая перестановки тг, отвергающей вырожденному критическому значению, и транспозиции CTC-I, отвечак) ш-ейпоследнему невырожденному критическому значению, и дает нужныерекуррентные соотношения. В некоторых случ^шх (например, для случ-1я накрывающей поверхности рода 0) уравнение в частных производных удается заменить ([)ункциональным уравнением и воспользоватьсятеоремой обращения Лагранжа. Именно так выглядит в [27] доказательство ({эормулы Гурвица (1).0.3 Структура работыв первой главе мы онисываем свтгзь задачи Гу1) вица с геометрией пространств модулей MepoMoptJiHbix (1)ункций па комплексных кривых, определяем основные понятия и приводим ([формулировки г-1авных теорем. Во второй главе обсуждается отображение Ляшко-.Яойенги и его свойства. TpeTbJt глава, излагающая результаты [55, 53], nocBitmeHa класси4) икации, с точностью до изомор (}^изма, многочленов с произвольнымветвлением над конечными точками. Па языке перестановок это означает, что мы перечисляем наборы перестановок (TTI,-•-JTTC), где перестановка 7Г1 циклическая и произведение TTI. .. тгс является тождественной перестановкой. В этой главе описана стратификация пространствамногочленов в соответствии с типами ветвления, приведено доказательство теоремы Ляншо-Лойенги для случаи общих многочленов и ее обобщение на случай произвольных стратов. В четвертой главе изучается геометрия пространств меромор ({5ных (}1ункций на к^)ивых рода (j с единственным вых) ожденным К1) итическимзначением. Изложение следуе-т [15, 1G, 53]. В ней построены нонолнения таких пространств, имеющие вид тотгиьных пространств конусовнад комнакти (1)ицированными нространствами модулей комплексных12 Введениекривых с отмеченными топками. Затем показывается, что отображение Ляшко-Лойенги на пространстве мероморфных функций нродолжаетсл на пополненное пространство, причем продолженное отображение является Mop (J5H3MOM конусов. Это утверждение используется длявыражения степени отображения ЛЛ в терминах теории пересеченияна пространстве модулей кривых с отмеченными точками. Полученнаяформула обобща (!т перечислительный результат Гурвица для накрытийсферы сферой на накрывающие кривые старших родов.Пят.'ш глава посвящена исследованию теории нересечений на пространствах Гурвина с точки зрения глобальной теории особенностей. Она основана на работах [56], [48]. Основным пространством в этойглаве служит один из частных случаев построенных в нредыдущеи главекомпактифицированных пространств мероморфных ({зункций, а именно, пространство функций, не имеющих ветвления над бесконечностью. Любое нространство Гурвица вкладывается в нространство такого видаи образует в нем страт естественной страти (}жкации г|)ункциональног ()пространства, но типам особенностей. Классы когомологий таких стратов порождают некоторое подкольцо кольца когомологий компактифицированного пространства Гурвица, причем знание структуры птогоподкольца позволило бы выгаслить и '1исла Гурвица. Для исследованияэтой структуры мы применяем методы глобальной теории особенностей (теории Тома-Казаряна). Мы выводим важные соотношения наклассы стратов в кольце когомологий и вычислительные следствия изптих соотнощсний.0.4 БлагодарностиМне трудно нереоценить вклад в эту работу моих соавторов по статьям, посвященным развс! твленным накрытиям ccjiepbi: Д. Звонкина, В. В. Горюнова, М. Э. Кггзаряна, Т. Экед-1ла, М. 3. Шапиро, Л. Вайнштейна. Больщое влияние на работу оказали идеи, з-итоженные в рабоT.'ix Б. И. Арнольда.^{Трезвычайно} полезными были беседы с Д. Загиром, Л. К. Звонкиным, А. Кулещовым, JVI. Натанзоном, А. Г. Хованскими многими другими. В процессе работы над этой тематикой я пользов<1лся гостеприимством университетов городов Ливерпуля, Стокгольмаи Ренна, а также института математики общества Макса Планка вБонне, и я им очень благодарен. Мои исследования были ноддержаныгрантами РФФИ 01-()l-0flG6(), NWO-RFBR. 047.008.005, INTAS-00−259.

1. Е. Arbarello, М. Cornalba, P. A. Griffiths, and J. Harris, Geometry of Algebraic Curves, Springer (1984).

2. В. И. Арнольд, Топологическая классификация тригонометрических многочленов и комбинаторика графов с равным числом вершин и ребер, Функц. анал. прил., 30, No. 1, 1−17 (1996).

3. В. И. Арнольд, Критические точки функций и классификация каустик, УМН, 29, No. 3, 243−244 (1974).

4. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, т. 1, М., Наука (1982).

5. I. Berstein, A. L. Edmonds, On the classification of generic branched coverings of surfaces, Illinois J. Math., 28, No. 1, 64−82 (1984).

6. D. Bouya, A. K. Zvonkin, Topological classification of complex polynomials: New experimental results, http://dept-infо.labri.u-bordeaux.fr/~zvonkin.

7. A. Clebsch, Zur Theorie der Riemann’schen Fliichen, Math. Arm., 6, 216−230 (1873).

8. M. Crescimanno, W. Taylor, Large N phases of chiral QCD2, Nuclear Phys. B, 437, no. 1, 3−24 (1995).

9. P. Deligne, D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus. Inst. Hautes Etudes Sci. Puhl. Matli., No. 36, (1969) 75 109.

10. I. Dolgaehev, D. Ortland, Point sets in projective spaces and theta functions, Asterisque, no. 165, Soc. Math. France, Paris (1988).

11. B. A. Dubrovin, Geometry of 2D Topological Field Theories, in: Lecture Notes in Math., 1620, Springer, Berlin, 120−348 (1996).

12. A. L. Edmmonds, L. S. Kulkarni, R. E. Strong, Realizability of branched covers of surfaces, Trans. Arner. Math. Soc., 282, 773−790 (1984).

13. T. Ekedahl, S. K. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, On Hurwitz numbers and Hodge integrals, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 328, 1175−1180 (1999).

14. T. Ekedahl, S. K. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, Invent, math. 146, 297 327 (2001).

15. M. El Marraki, N. Hanusse, J. Zipperer, A. Zvonkin, Cacti, braids and complex polynomials Seminaire Lotharingien de Cornbinatoire, vol 37 (1997) http://cartan.u-strasbg.fr/~slc.

16. C. Faber, R. Pandharipande, Hodge integrlas and Grornov-Witten theory, Invent. Math., 139, 173−199 (2000), rnath. AG/9 810 173.

17. C. Faber, R. Pandharipande, Hodge integrals, partition matrices, and the Xg-conjecture, Ann. of Math. (2), 157, no. 1, 97−124 (2003).

18. C. Fantechi, R. Pandharipande, Stable maps and branch divisors, Com-positio Math., 130, no. 3, 345−364 (2002), math. AG/9 905 104.

19. M. Fried, R. Biggers, Moduli spaces of covers and the Hurwitz rnon-odromy group, J. Reine Angew. Math., 335, 87−121 (1982).

20. W. Fulton, Intersection Theory, 2nd edition, Springer (1998) Русский перевод первого издания: В. Фултон, Теория пересечений, М., Мир (1997)].

21. М. Ginsti, Classification des singularites isolees simples d’intersections completes, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 40, Part 1, 457−494 (1983).

22. В. В. Горюнов, Особенности проектирований полных пересечений, в: Современные проблемы математики, 22, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, М., 167—206 (1983).

23. V. Goryunov, Functions on space curves, J. London Math. Soc. (2), 61, 807−822 (2000).

24. V. Goryunov, S. K. Lando, On enumeration of mesomorphic functions on the line, in: The Arnoldfest, Fields Inst. Cornrnun., vol. 24, AMS, Providence, RI, 209−222 (1999).

25. I. P. Gonlden, D. M. Jackson, Transitive factorisation into transpositions, and holomorphic mappings on the sphere, Proc. AMS, vol. 125, No. 1, 51−60 (1997).

26. I. P. Goulden, D. M. Jackson, The combinatorial relationship between trees, cacti and certain connection coefficients for the symmetric group, Europ. J. Combinatorics, vol. 13 357−365 (1992).

27. I. P. Gonlden, D. M. Jackson, A proof of a conjecture for the number of ramified coverings of the sphere by the torus, J. Combin. Theory Ser. A, 88 246−258 (1999).

28. I. P. Gonlden, D. M. Jackson, A. Vainshtein, The number of ramified coverings of the sphere by the torus and surfaces of higher genera, Annals of Combin., 4, 27−46 (2000).

29. I. P. Goulden, D. M. Jackson, R. Vakil, The Gromov-lVitten potential of a point, Hurwitz numbers, and Hodge integrals, Proc. London Matli. Soc. (3), 83, 563−581 (2001).

30. A. Goupil, G. Schaelfer, Factoring n-cycles and counting maps of given genus, Enrop. J. Conibinat., 19, No. 7, 819−834 (1998).

31. T. Graber, R. Pandharipande, Localization of virtual classes, Invent. Math., 135, 487−518 (1999).

32. T. Graber, R. Vakil, Hodge integrals and Hurwitz numbers via virtual localization, Cornpositio Math., 135, no. 1, 25−36 (2003), math. AG /3 028.

33. Ф. Гриффите, Дж. Харршс, Принципы алгебраической геометрии, М., Мир (1982).

34. D. Gross, W. Taylor, Тгио-dimensional QCD is a string theory, Nuclear Phys В., 400, 181−210 (1993).

35. Дж. Харрие, Я. Моррисон, Модули кривых, М., Мир, Научный мир (2004).

36. J. Harris, D. Mumford, On the Codaira dimension of the moduli space of curves, Invent. Math., 67, 23−88 (1982).

37. A. Hurwitz, Uber Riemann’sche Fliichen mit gegebenen Verzwei-gungspunkten, Math. Ann., 39, 1−61 (1891).

38. A. Hurwitz, Uber die Anzahl der Riemann’schen Flcichen mit gegebenen Verzweigungspunkten, Math. Ann., 55, 53−66 (1902).

39. D. M. Jackson, Some combinatorial problems associated with products of conjugacy classes of the symmetric group, J. Combinatorial Theory, 49, 363−369 (1988).

40. D. M. Jackson, Counting cycles in permutations by group characters, with an application to a topological problem, Trans. Axner. Math. Soc., 299, 785−801 (1987).

41. S. Keel, Intersection theory of moduli space of stable n-pointed curves of genus zero, Transaction of the American Mathematical Society, vol. 330 (1992), no 2, 545−574.

42. M. Э. Каларян, Мулыпиособеппостпи, кобордизмы и перечислитель-пая геометрия, УМЫ, 58, вып. 4, 665−724 (2003).

43. М. Е. Kazaryan, Morin maps and their characteristic classes, preprint (2002).

44. M. E. Kazaryan, Classifying spaces of singularities and Thom polynomials, in: New developments in singularity theory, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chern., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 117−134 (2001).

45. M. Э. Каларян, Относительная теория Морса одномерных слоений и циклические гомологии, Функ. Анал. и Прилож., 31 вып. 1, 20−31 (1997).

46. М. Э. Каларян, С. К. Ландо, К теории пересечений на пространствах Гурвица, Изв. РАН, сер. матем., по. 5, 82−113 (2004).

47. A. G. Khovansky, S. Zdravkovska, Branched covers of S2 and braid groups, J. of Knot Theory and its Ramifications, 5, No. 1, 55−75 (199G).

48. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Plxys., 147, 1−23 (1992).

49. M. Kontsevich, Enumeration of rational curves via torus action, in '" The Moduli Space of Curves", R. Dijkgraaf a.o. eds., Birkhauser, 335 308 (1995).

50. M. Kontsevich, Yu. I. Manin, Grornov-Witten classes, quantum coho-mology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys, 164 525−562 (1994).

51. С. К. Ландо, Разветвленные накрытия двумерной сферы и теория пересечений в пространствах мероморфных функций на алгебраических кривых, УМН, 57, вып. 3, 463−533 (2002).

52. S. К. Larulo, А. К. Zvonkin, Graphs on Surfaces and Their Applications, with an Appendix by D. Zagier, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 141, xv+455, Springer, Berlin (2004).

53. С. К. Ландо, Д. Звонким, О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта, Функц. анал. прил., No. 3, 178−188 (1999).

54. S. К. Lando, D. Zvonkine, Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions I, math. AG/303 218, 26 pp. (2003)'.

55. A.-M. Li, G. Zhao, Q. Zheng, The number of ramified coverings of a Riemann surface by Riemann surface, Comm. Math. Phys., 213, 685 696 (2000).

56. E. Looijenga, The complement of the bifurcation variety of a simple singularity, Inv. Math., vol. 23, 105−116 (1974).

57. J. Liiroth, Note uber Verziueigungsschnitte und Querschnitte in einer Riemann’sche Fldche, Math. Ann., 4, 181−184 (1871).

58. Yu. Manin, P. Zograf, Invertible cohomological field theories and Weil-Petersson volumes, Arm. Inst. Fourier (Grenoble), 50, no. 2, 519−5 352 000).

59. А. Д. Медных, Определение числа неособых накрытий компактной римановой поверхности, ДАН, 239, No. 2, 269−271 (1978).

60. Л. Д. Медных, Неэквивалентные накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления, Сиб. матем. журн., 25, 120−142 (1984).

61. A. D. Mednykh, Branched coverings of Riernann surfaces whose branch orders coincide with the multiplicity, Comm. in Algebra, 18, 15 171 533 (1990).

62. А. Мигдал, ЖЭТФ, 69, 810 (1975).

63. D. Mumford, Towards an enumerative geometry on the moduli spaces of curves, in: Progress in Math., 36, Birkliiiaser, Boston MA, 271 328 (1983).

64. Y. Mycielski, Polynomials with preassigned values at their branching points, Arner. Math. Monthly, Vol. 77, 853−855 (1970).

65. S. M. Natanzon, Topology of 2-dimensional Coverings and Meromorphic Functions on Real and Complex Algebraic Curves, Selecta Mathematica formerly Sovietica, Vol. 12, No 3, 251−291 (1993).

66. S. M. Natanzon, Spaces of meromorphic functions on Riernann surfaces, Amer. Math. Soc. Transl. (2), Vol. 180, 175−180 (1997).

67. S. M. Natanzon, V. Turaev, A cornpactification of the Hurwitz space, Topology, 889−914 (1999).

68. A. Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers, Math. Res. Lett., 7, no. 4, 447−453 (2000).

69. A. Okonnkov, R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and Matrix models, /, math. AG/101 147.

70. А. Н. Протопопов, Гомеоморфизмы разветвленных накрытий двумерной сферы, ДАН, 290, No. 4, 792−795 (1986).

71. G. В. Shab. it, А. К. Zvonkin, Plane tires and algebraic numbers, AMS, Contemporary Mathematics, 178, 233−275 (1994).

72. B. Shapiro, M. Shapiro, A. Vainshtein, Ramified coverings of S2 with one degenerate branching point and enumeration of edge-oriented graphs, AMS Transl. 180, 219 -227 (1997).

73. V. Strelil, Minimal transitive products of transpositions the reconstruction of a proof by A. Hurwitz, Sem. Lothar. Combinat. 36, Art. S37c, pp. 12 (1996).

74. R. Thorn, L 'equivalence d’une fonction differentiable et d’un polynome, Topology, 3, 297−307 (1965).

75. R. Vakil, Genus 0 and 1 Hurwitz numbers: recursions, formulas, and graphic-theoretic interpretations, Trans. Amer. Nath. Soc., 353, 40 254 038 (2001).

76. Э. Б. Винберг, Линейные представления групп, М., Наука (1985).

77. В. Wajnrib, Orbits of Hurwitz action for coverings of the sphere with two special fibers, Indag. Mathem., N.S., 7 (4), 549−558 (1996).

78. H. Weyl, Uber das Hurruitzsche Problem der Bestimrnung der Anzahl Riemannischer Fldchen von gegeneber Verzweigungsart, Commentarii Mathematici Helvetici, 3, 103−113 (1931).

79. E. Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on rnodidi space, Surveys in Diff. Gcom. 1, 243−310 (1991).

80. С. Здравковска, Топологическая классифтшция полиномиальных отображений, УМН, 25, No. 4 179−180 (1970).

81. D. Zvonkine, Multiplicities of the Lyashko-Looijenga map on its strata, C. R. Acad. Sci, t. 324, serie I, p. 1349−1353 (1997).

82. D. Zvonkine, Transversal multiplicities of the Lyashko-Looijenga map, C. R. Acad. Sci, t. 325, serie I, 589−594 (1997).

83. D. Zvonkine, Counting ramified coverings and intersection theory on Hurwitz spaces II (Local structures of Hurwitz spaces and combinatorial results), preprint, math. AG/304 251 39 pp. (2003).

84. D. Zvonkine, An algebra of power series arising in the intersection theory on moduli spaces of curves and in the enumeration of ramified coverings of the sphere, rnatliAG/04 (2004).

85. D. Zvonkine, Enumeration ties revetements ramifies des surfaces de Rie-rnann, These, Universite Paris-Sud Orsay (2003).