Вполне геодезические подмногообразия в плюккеровой модели вещественных грассманианов

Настоящая работа посвящена изучению геометрии вещественных грас-% смановых многообразий п, образованных ориентированными р-мерными плоскостями n-мерного евклидова пространства Rn. Ряд фундаментальных результатов в области внутренней геометрии грассманианов содержится в классических работах [29, 1, 2, 3, 8]. В частности, доказана единственность с точностью до множителя 5'0(гг)-инвариантных метрик на многообразиях СрП (кроме (р, п,) = (2,4)) [29], получены дифференциальные уравнения геодезических в некоторой специальной системе координат и оценки кривизн вещественных, комплексных и кватернионных грассмановых многообразий [1, 2, 3]. В цикле работ [9, 33, 23, 24, 30, 35, 3G] проведено исследование? геометрии грассманианов Gpn методом их плюккерова вложении во внешнюю алгебру A (R"), точнее, в пространство р-векторов Ap (R"). Для специального вида поливекторов данного пространства определено их каноническое разложение в сумму простых р-векторов [23]. На основании этого разложения построена теория стационарных углов между ориентированными р-плоскостям и в евклидовом пространстве и исследованы глобальные свойства внутренней метрики грассманианов G+n, в частности, получены явные формулы для геодезических и кривизн Римана [23, 35]. Некоторые результаты, связанные с внешним строением грассманианов, могут быть отнесены к теории калибровок [2G, 22, 13].

Известно, что все полные компактные римановы симметрические пространства могут быть вполне геодезически вложены в многообразия G*n для достаточно больших р и п ([27]). Ранее полная классификация двумерных^ также полных и максимальных по включению вполне геодезических подмногообразий грассманианов была проведена для грассмановых многообразий С2П |27, 4, 5]. При этом применялся стандартный метод Картана для исследования однородных симметрических пространств. Вполне геодезические подмногообразия нулевой кривизны в произвольных грассма-нианах G*n классифицированы при помощи плюккерова вложения в [35]. Каждая вполне геодезическая двумерная поверхность нулевой кривизны является плоским тором и может быть представлена как замыкание полной геодезической многообразия Грассмана.

Целью данной диссертационной работы является дальнейшее развитие и применение метода плюккерова вложения для исследования как самих вещественных грассманианов, так и многомерных комплексных проективных пространств, естественно вкладывающихся в грассманианы бивекторов ?+" [10, 131 В первой части работы в процессе изучения необходимого технического аппарата, построена модель алгебры Ли группы 50(4) в пространстве бивекторов А2(М4) (теорема 1.3).

Во второй главе изучаются связи между комплексной структурой многообразий CP*" 1 и их римановой геометрией при помощи вполне геодезического вложения данных многообразий в грассманианы G^2k [13]. Для произвольной двумерной площадки сг в касательном пространстве к многообразию СРк~1 получена инвариантная геометрическая интерпретация угла ф? [0- |] и формуле для стационарной кривизны К&bdquo- = + |cosф (формула 2.10), а также доказана унитарная совместимость любых двух площадок, а и, а с равными секционными кривизнами Ка — К&bdquo- (теорема 2.3). Кроме того, получен результат, относящийся к внешней геометрии плкжкерова вложения. Доказано, что множество раздела для произвольной точки многообразия СPk~l является гранью некоторой калибровки грас-сманиана G^k (теорема 2.5).

В третьей и четвертой главах исследуется вопрос о применении метода плкжкерова вложения для дальнейшей классификации двумерных вполне геодезических подмногообразий в грассманианах. Для каждого касательного к многообразию G*n? Ap (Rn) вектора X существует специальный орто-нормированный базис пространства Rn, позволяющий представить вектор X в упомянутом выше каноническом (наиболее простом) виде. Для вполне геодезических двумерных поверхностей в грассманианах G^n ([33]) в каждой точке существует ортонормированная пара касательных к этой поверхности векторов, в канонических представлениях которых определенные части данных базисов совпадают. Но, как показано в настоящей диссертации (теорема 4.4), уже в наиболее простом случае после G^n, то есть в случае (7зб, это не так. Для преодоления данного препятствия был предложен новый подход (см. главу 3, теоремы 3.3 и 3.5) к построению канонического разложения касательного к грассманову многообразию G*n вектора, что дало возможность решить задачу для модельного случая G^g. Набор двумерных вполне геодезических подмногообразий положительной кривизны в данном грассмапиане исчерпывается сферами радиусов R = 1, /5 и проективными пространствами RР2 с кривизной К = | (теорема 4.4) (в метрике, индуцированной на многообразиях Gpn плюккеровым вложением, секционные кривизны меняются в пределах 0 < К < 2). Заметим, что в отличие от грассманианов возникает континуальное семейство попарно изометрически не совместимых вполне геодезических поверхностей. В грассманианах Gjп таких типов конечное число.

Предложенный подход и полученные результаты позволяют надеяться получить классификацию в грассманианах тривекторов.

1. Acad. USA 57, No. 3 (19G7), pp. 589−594.2 Y.-C.Wong. Sectional curvatures of Grasmann manifolds. Proc. Nat.

2. Части 1,11. Записки паучиЕ>1х семинаров ПОМИ, T.24G, 1997, стр. 84 107. |1{)| В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., Наука, 1977. 1С.

3. XI>KXJ-MK)JIJI (4) Д. Расслоенные пространства. Пер. с англ., М., 1970.

4. А.11.К ()ст|)икип, К).И.Мании. Линейная алгебра и геометрия. Изд.-во1. МГУ, 1980.

5. А.Н.Глу1иак ()и, Е.Козлов. Геодезические на гранях калибровок второй степени. Зап. иаучт>1х семинаров ПОМИ, 261(1999), стр. 55−65.

6. S. Boclinor Curvature in Hermitian metric. Bull. Am. Math. Soc, 52(1947), pp. 179 195.

7. Козлов C.E. Сгпацио71ариые значения секционной кривизны в грассмаиианах бивешпоров. Записки научных семинаров ПОМИ, т.261, 1999, стр. 102 118.

8. Г. Ф (у1,(«рер. Геомс7прическая теория меры. М., Наука, 1987.

9. М. Кобаяси, К.Номидзу. Основы диф (ререт1,иальной геометрии. Том 2.1. М., Наука, 1981.

10. D. Hoffman, R.Osserman. The geometry of the generalised Gauss map.

11. Mem. Am. Math. Soc, 28, No. 23G (1), 1980, pp. 1−105.

12. S.S.Chern. Minimal surfaces in a Euclidean space of N dimensions. Diff.

13. Comb. Topology, Morse Jubilee Volume. Princeton, 19C5, pp. 187−198.

14. Часть III. Записки научных семинаров ПОМП, т.246, 1997, стр. 108 129. |24| Козлов С Е. Геометрия вегцествеиых грассмаповых многообразий.

15. Часть VI. Записки научных семинаров ПОМИ, т.252, 1998, стр. 121 133.

16. Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 76, No.4 (1961), pp.334−366.|3()| СЕ. К ()-ыов. Ортогонально инвариантные римановы метрики на вет, сственных грассмаповых многообразиях. Мат.физ. Анализ. Геометрия. 4, N1−2(1997).

17. Мат. фи:?. Ан^шиз. Геометрия. 4, N 2(1997), стр. 309 333.|35| Козлов С Е. Геометрия вещсственых грассмановых многообразий.

18. Часть V. Записки научных семинаров ПОМИ, т.252, 1998, стр. 104 120. |ЗС. Козлов С Е. Геометрия вегцесгпвеных грассмановых многообразий.

19. Часть IV. Записки научных семинаров ПОМИ, т.252, 1998, стр. 78 103. |37| Козлов С Е. Изометрическая совместимость некоторых направлений в римановых симметрических пространствах. Записки научных семинаров ПОМИ, в печати.