Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий

С появлением статей Дж. Грея [1, 2], Бузби и Вана [3], посвященных контактным структурам на многообразиях, началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2п + - мерном многообразии М контактная структура задается 1-формой г), такой, что tj a {jdv^j* = т) л dx, а. л dx ^ 0, п то есть rgr| = dimM в каждой точке многообразия М. Многообразие М, снабженное контактной структурой, называется контактным многообразием. Понятия почти контактных структур и почти контактных метрических многообразий введены Дж. Греем [2] в 1959 году.

Обзор многочисленных исследований по почти контактным метрическим и контактным структурам приведен в [4] - [7]. Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Необходимо отметить, что нормальные почти контактные метрические структуры играют фундаментальную роль в контактной геометрии и являются контактным аналогом эрмитовых структур в эрмитовой геометрии. Достаточно сказать, что частными случаями нормальных структур являются са-сакиевы, то есть нормальные контактные метрические структуры, а также ко-симплектические структуры, изучению которых посвящено огромное количество работ. Нормальными являются также квази-сасакиевы структуры, являющиеся связующим звеном между сасакиевыми и косимплектическими структурами [8]. Отметим также интересную взаимосвязь между контактной геометрией нормальных структур и эрмитовой геометрией. Согласно классической теореме Накаямы [9] почти контактная метрическая структура нормальна тогда и только тогда, когда ее линейное расширение [10] является эрмитовой структурой.

Данная работа посвящена изучению интересного подкласса нормальных структур, а именно, подкласса нормальных почти контактных метрических 3 структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, в дальнейшем называемых локально конформно ква-зи-сасакиевыми структурами.

Выделим цели диссертационного исследования.

1. Получить структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной Gструктуры.

2. Получить тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких многообразий.

3. Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Фголоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

4. Выделить и изучить основные свойства локально конформно квази-сасакиевых структур. Получить полную классификацию локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур на многообразиях, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики. Кроме этого, они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов по близкой тематике, например в Московском педагогическом государственном университете, в Казанском государственном университете.

Основные результаты докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.Ф.), на международной конференции «Геометрия в Одессе — 2004. Дифференциальная геометрия и ее применения» (г. Одесса), на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (г. Казань).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27]-[30].

В предлагаемой работе получен ряд результатов, среди которых отметим следующие:

1. Получены структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых структурвычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, скалярная кривизна на пространстве присоединенной Gструктуры в терминах структурных тензоров.

2. Найдены ключевые тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий, с их помощью выделено два класса локально конформно квази-сасакиевых многообразий, оказавшихся содержательными с геометрической точки зрения.

3. Получено описание локально конформно квази-сасакиевых многообразий каждого из изученных классов.

4. Получен критерий точечного постоянства Фголоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

5. Получено описание локально конформно квази-сасакиевых многообразий с интегрируемой структурой, локально-симметричных, получена полная классификация локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

Результаты данной работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана при рассмотрении структурных уравнений, записанных в специализированном репере. Исследование геометрических свойств локально конформно квази-сасакиева многообразия проводится не на самом многообразии, а на пространстве некоторой Gструктуры, естественным образом присоединенном к многообразию. Там, где необходимо, используется метод инвариантного исчисления Кошуля.

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

1. Gray J.W. Some global properties of conlact structures. Ann. Math. 1959. 69. № 2. P.421−450.

2. Gray J.W. A theory of pseudogroups with^plications to contact structures. Thesis. Stanford Univ. 1957. Technical Report ONR.

3. Boothby W., Wang H.C. On contact manifolds. Ann. Math. 1958. 68. № 3. P.721−734.

4. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Москва. Ml 11 У. 2003.

5. Евтушик JI.E., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Итоги Науки и техники. Проблемы геометрии. М. ВИНИТИ. Т.9. 1979.

6. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги Науки. Алгебра, топология, геометрия. 1969. М. С. 127−187.

7. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги Науки. Алгебра, топология, геометрия. 1974. М. T. l 1.

8. Blair D.E. The theory of Quasi-Sasakian structures. J. Diff. Geom. 1. 1967. P.331−345.

9. Sasaki S. On differentiablemanifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. I. //Tohoku Math. J. (2). 1960. V.12. № 3. P.459−476.

10. Кириченко В. Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной гео-метрии//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1983. 48. 4. С.711−734.

11. Morimoto A. On normal almost contact structure. //J. Math. Soc. Japan. 1963. V.15. № 4. P.420−436.

12. Tanno S. Sasakian manifolds with constant Фholomorphic sectional curvature.// Tohoku Math. J. 1969. 21. P.501−507.

13. Blair D.E. Contact manifolds in Riemamian geometry. Lecture Notes Math. 509. 1976. P. l-146.

14. Oubina J.A. New classes ofalmost contact metric structures. Publ. Mat. 32. 1985. №.3−4. P.187−193.

15. Gray A., Hervella L. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. //Ann. Math. Rira ed Appl. 1980. V.123. P.35−58.

16. Бишоп P., Криттенден P. Дж. Геометрия многообразий. M.: «Мир». 1967. 21.1shihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form// Kodai Math. J.1976. 2. P.171−186.

17. Кириченко В. Ф., Рустанов A.P. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий. Матем. сб. 193. 2002. № 8. С.71−100.

18. Kobayashi S. Principal fibre bundle wih the 1-dimentional toroidal group. Tohoku Math. J. 8. 1956. P.29−45.

19. Чжень Шэн-Шэнь. Комплексные многообразия. М.: ИЛ, 1961.

20. Кириченко В. Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу. Докл. РАН. 380. 2001. № 5. С.585−587.

21. Kenmotsu К. A class of almost contact Riemannian manifolds. Tohoku Math. J. (24). 1972. P.93−103.Работы автора по теме диссертации.

22. Левковец В. А., Кириченко В. Ф. О геометрии Lмногообразий. //Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в 0дессе-2004. Дифференциальная геометрия и ее применения». Одесса. 2004. С.35−37.

23. Левковец В. А. Структурные уравнения IcQSструктур и их приложение.// Московский педагогический государственный университет, деп. в ВИНИТИ РАН, 10.11.2004 № 1753-В2004. 19 с.