Дзета-функции монодромии и диаграммы Ньютона

Моему папе, Геннадию Гусеву.

Диссертация посвящена вычислению дзета-функций монодромий некоторых аналитических и алгебраических функций и их деформаций в терминах многогранников Ньютона. Задача вычисления топологических инвариантов алгебраических многообразий или ростков аналитических пространств в терминах многогранников Ньютона определяющих их уравнений была поставлена В. И. Арнольдом в начале 70-ых годов. Она была мотивирована тем фактом, что для уравнений общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона дискретные инварианты множества решений одинаковы и зависят только от многогранников. .

Первый общий результат в этом направлении был получен А. Кушни-ренко. Он был развит в работах А. Хованского, Д. Бернштейна и других. Кроме того, А. Хованский предложил наиболее эффективный подход к решению таких задач с использованием торических разрешений, связанных с многогранниками Ньютона. Первая формула для дзета-функции монодромии ростка аналитической функции в терминах его диаграммы Ньютона была получена А. Варченко в 1976 г. Она была обобщена в нескольких направлениях. М. Ока получил ее аналог для некоторых полных пересечений. С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелле-Эрнандес определили дзета-функцию монодромии ростка мероморфной функции и получили формулу, выражающую эту дзета-функцию в терминах диаграмм Ньютона ростков числителя и знаменателя.

Известны также некоторые «глобальные» аналоги перечисленных результатов. Так, для многочлена Лорана на комплексном торе получена формула, выражающая его дзета-функцию на бесконечности в терминах его многогранника Ньютона (А. Либгобер, С. Спербер, 1995).

Ю.Матсуи и К. Такеучи обобщили этот результат, получив формулу для дзета-функции на бесконечности многочлена на некоторых полных пересечениях.

С. М. Гусейн-Заде и Д. Сирсма предложили «принцип локализации». Он связывает дзета-функцию деформации сечения одномерного расслоения с дзета-функциями ростков деформации в различных точках многообразия (2007). Эта связь выражается в терминах интегрирования по эйлеровой характеристике, которое было введено О. Виро в 1988 году. Принцип локализации оказывается удобным языком для получения некоторых новых результатов в этом направлении.

Структура диссертации.

Во второй главе вводятся основные понятия, рассматриваемые в работе, кратко излагаются классические методы, связанные с подсчетом эйлеровых характеристик и дзета-функций, приводятся некоторые формулы для инвариантов, полученные ранее.

В первом параграфе содержатся определения дзета-функций моно-дромий в различных постановках, которые далее рассматриваются в работе. Приведено понятие интегрирования по эйлеровой характеристике и рассмотрены некоторые технические утверждения, в частности, аналоги формулы Фубини и теоремы о замене переменной в интеграле. Сформулированы теоремы, лежащие в основе техники вычисления дзета-функций. Первой из них является формула А’Кампо (1975), выражающая дзета-функцию ростка функции через его разрешение. Также сформулировано обобщение формулы А’Кампо в терминах интеграла по эйлеровой характеристике для модификации особенности, которая является изоморфизмом вне множества нулей. Приводится «принцип локализации» С. М. Гусейн-Заде и Д. Сирсмы.

Во втором параграфе изложен метод подсчета инвариантов алгебраических и аналитических множеств, разработанный А. Хованским в 1977, 1978 годах. Для многообразия общего положения, заданного в комплексном торе, строится подходящая торическая компактификация, в которой замыкание многообразия неособо и трансверсально орбитам компак-тификации. Соответственно, для ростка невырожденного полного пересечения строится торическая модификация, разрешающая особенности ростка.

В третьем параграфе приводятся основные теоремы, полученные ранее, для вычисления эйлеровых характеристик и дзета-функций в терминах многогранников и диаграмм Ньютона определяющих уравнений. Это формула Бернштейна-Кушниренко-Хованского для эйлеровой характеристики невырожденного полного пересечения в торе, формула Варчен-ко для дзета-функции ростка функции в комплексном аффинном пространстве, обобщения формулы Варченко, полученные М. Ока с одной стороны-и С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелле-Эрнандесом с другой. В конце приводится формула для дзета-функции на бесконечности многочлена на невырожденном полном пересечении в аффинном пространстве, полученная А. Либгобером и С. Спербером и обобщенная Ю. Матсуи и К. Такеучи.

В третьей главе получены формулы для дзета-функции невырожденной деформации ростка функции и дзета-функции невырожденной деформации ростка полного пересечения. (Понятие дзета-функции мо-нодромии деформации было введено С. М. Гусейн-Заде и Д. Сирсмой для исследования монодромий семейств полиномиальных функций.) Эти формулы обобщают формулу Варченко, формулу Ока, и формулу, полученную Гусейн-Заде, Луенго и Мелле-Эрнандесом.

Пусть ¦ • ¦, ^ - ростки голоморфных функций на Сп+1 = Сст х в начале координат. Они задают деформацию.

Д^г) := г = 1,2,., к ростков функций := Д0 в точке 0 € .

Для произвольного множества I С {0,1,., п} обозначаем через К7, Г'(.Р{) множества {к | к* = 0, г? 1} С и Г (^) П Е7 соответственно (где координаты ко, к,., кп отвечают переменным сг, ?1,., гп соответственно, Г— диаграмма Ньютона ростка Fi). Множество 2/ С (К7)* состоит из примитивных целочисленных ковек-торов. Подмножество ZI++ С ZI состоит из ковекторов, все компоненты которых строго положительны. Если Г1^) ф 0, для каждого ковек-тора, а € определена грань Г/, а (^) С на которой достигает своего минимального значения.

Для каждого подмножества I е {0,1,., п}, содержащего число О, рассмотрим множество — {з? {1,2,., к} | Г7 (2^-) ф 0} и рациональную функцию С^!,^,.,.^^)' определенную следующим образом. Для I ф {0} положим:

П .г1-" ^/))), где I = 1 — 1, -Л—вектор вЕ’с единственной ненулевой координатой дк0 ко = 1, {Э1,32,—-, 3к (1)} = ОЪ (х1,х2,., хк) = где.

•]г — однородная часть степени I рассматриваемого ряда, однородный многочлен степени I от набора /-мерных тел понимается как соответствующая линейная комбинация их целочисленных смешанных объемов. Пусть = - *)> если Г<0}(^) = 0 при всех i = 1, 2,., к, и CFbF2,., Ffc,(0 = 1 в остальных случаях.

Теорема. Пусть система ростков функций Fi, F2,., Fk невырождена относительно своих диаграмм Ньютона r (Fi), ., Г (^). Тогда имеют место следующие формулы для дзета-функции деформации /¿-)(Т ростка множества {/i = /2 =. = Д = 0}, рассмотренного в (С*)п и С" соответственно:

С/ЫсДО = П CFi. il,.

I: 0eic{0,l,., n}.

Рассмотрим набор ростков функций F0, Fi,., Fk на (Сп+1,0) вида F0(a, z) = /0(z) — a, F{{a, z) = /?(z), г = 1,2,., к, где {/?} — невырожденная система ростков функций на (Сп, 0). Приведенная теорема дает формулу для дзета-функции С/окСО = C/i,.

Следствие. Формула М. Ока для дзета-функции ростка функции на невырожденном полном пересечении останется верной, если отказаться о. т условия «удобства» («convenience»).

Изучение дзета-функций полиномиальных деформаций тесно связано со следующим вопросом. Пусть коэффициенты многочлена Pz. it) = Ро{ъ)Ьк +. + рк{ъ) есть многочлены Лорана от п комплексных переменных (21, г2,., гп) = ъ. Пространство параметров (С*)п, где С* = С 0, разбивается на страты, соответствующие различным степеням с^ Рг < к многочлена Рх и различным комбинациям совпадения его корней. Для многочлена общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона 60,61,., 6к коэффициентов Ро, Р1,., Рк эйлеровы характеристики этих стратов фиксированы. Возникает задача вычисления этих эйлеровых характеристик в терминах многогранников Ньютона. В главе 4 получены формулы, выражающие их в терминах многогранников 6{ для случаев к — 2,3.

При к = 2 множество (С*)" параметров разбивается на 5 стратов — К: = 2, корни многочлена Рх различныЬ: deg (Pz) — 2, корни совпадаютМ: <1её (Рг) = 1- N1 = 0- О: Р2 = 0.

Теорема. Для многочленов Лорана общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона 8i, г = 0,1,2, имеем:

Х (К) =(—1)" п! [8% + 25″ + <5″) + С%(8*, 82) + (&-(80,8Х)+.

Х (Ь) =(-1Г-1п! [25? + С%{6о, 5.) + 52) + 8г) + ?1, й)], Х (М) =(-1)" -1п! № + (?№ 0,81)}, Х (Ю =(-1)"п! [<�ДО"А) + О^(30,5и62)], где 8, = и ½(<50-Ь<^2)) 5 (•) обозначает выпуклую оболочку, Н—сумма Минковского.

Для приведенного многочлена степени два Рх (?) = ?2 +Р1(г) ¿-+р2(2)> используя метод торических компактификаций, можно доказать индукцией по п еще одну формулу для эйлеровой характеристики страта Ь:

Х (Ь) = (-г)" -1&trade-! [(25,)" - <22(2<�М1) +.

Две формулы для страта оказываются различными. Это приводит к следующим комбинаторно-геометрическим следствиям.

Предложение. Пусть выпуклые тела 5о, ¿-г, ?12 С Еп связаны соотношением £о = {¿-" х и в2). Тогда.

Дп (50) 5Ь б’г) = 0, где Яп (х0,х1,х2) = (2П — 2) х% + 0^{хг, 2×2) ~ О²×0,хх) — Я%{х<>, 2×2) — однородный многочлен степени п. «Прямое» геометрическое доказательство этих соотношений нам не известно.

Пример. Для выпуклых фигур 5о, ?1, ¿-г на плоскости, связанных соотношением 5о = и в2), имеется тождество:

50 — йХ^о — = 0.

При к = 3 множество (С*)" параметров разбивается на 8 стратов. Кроме 5-ти стратов К, Ь, М, ./V, О появляется еще 3 — Н: = 3, корни многочлена Рг различныI: = 3, два корня из трех совпа даютЛ: deg (Pz) = 3, все три корня совпадают.

Рассмотрим вложения М" с Кп+1 С Кп+2, где первое пространство снабжено координатами к = (кг, к2. ¦, кп), второе — дополнительной координатой к1, а третье — еще одной координатой ка. Обозначим через 'щ,'иа точки в Мп+2 с единственной ненулевой координатой кг = 1 и единственной ненулевой координатой ка — 1 соответственно. Обозначим Д = ((¿-о + Зг>4) и + 2г^) и (52 + г>4) и ¿-з), Д 1,2,3 — {(^ + 2уг) и (62 + уг) и 53>, = и (¿-г- + (3 — г) г/4)>.

Теорема. Для многочленов Лорана общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона <5″, г = 0,1,2,3, имеем:

Х (Я) =(-1)пп! [(п + 1)(п + 2) д2+2(Эо, 2>1, (c)2, Эз)+ + {п + 1)(ДП+1 + <2?+1(й>, Лш)).

— 2 5% - 6″ - <�Э%(60,53) — ДОь ?2, ¿-з) — ДО о, ?1, ?2, ¿-з)], =(-1)п~1п! [2(п + 1)(п + 2) дГ2(^о, 2>з)+ (п + 1)(дп+1 + дГ1№, А12з)).

— З^о — - ¿-з) — 2ДО1, ?2, (Уз) — 2<�да0,¿-2, «Уз)], х (7) =(-1)» п! [(п + 1)(п + 2) д2+2(5?о, (c)1, ®2, Эз) ~ <2%(¿-ъ ?2, з).

— ДОоААЛ)], х (К) =(—1)п~1го! [(п + ШГ^о, Аш) — - ДОо, ¿-з)+ ДОо, ?1,?2) + 6г)],.

Х (Ь) =(—1)" п! [(п + Аш) — 2?0″ - ДОоЛЬ.

— ДОо, ?1) + ДОо, ?1, ?2) + ДОо, ?1, ?2, ¿-з)], Х (М) =(—1)пп! [д^(<50, ?1) + ДО0, 61,62)], Х (ЛГ) =(-1)" -^! [<�Э5(50, ?1, ¿-г) + ДОо, 51,52,5з)], х (0) =(-1)ппС%(б0,6и62,53).

В пятой главе получены некоторые «глобальные» аналоги формул для дзета-функций. Это формулы для дзета-функций в нуле и на бесконечности однопараметрической полиномиальной деформации полного пересечения в комплексном торе. В частности, из этих формул выведена формула для дзета-функции в нуле многочлена на полном пересечении, которую можно считать аналогом формулы Либгобера-Спербера.

В первом параграфе получен следующий результат. Пусть ¿-Ъ, • • ¦, ^ — набор функций на С", заданных как многочлены от п комплексных переменных г = (г, г2,., гп). Для произвольного множества I С {1,2,., тг} обозначим через, А множество Д* П М7, где Аг = А{(Р) — многогранник Ньютона многочлена Если Д[ ф 0, для каждого ковектора, а е. Ъ1 определена грань Д[, а С Д[, на которой а|д/ достигает своего минимального значения.

Пусть индексное множество I содержит число п. Обозначим через ZI+ С ZI (2/ С 2/) подмножество ковекторов, а =. + ап йкп, последняя компонента которых положительна: ап > 0 (последняя компонента которых, отрицательна: ап < 0). Координаты &2,., кп пространства К" здесь отвечают переменным г, г^-,., гп соответственно. Рассмотрим рациональные функции Сд^^дДО" Сд~д2.дк (0> определенные следующим образом. Обозначим: Е{1) — {3 е {1,2,., к} | 2<�у ^ 0}. Для I ф {п} имеем:

Й.Л,.д." = п .А>" <�".

П (1— .4"о где I = |/| - 1, {з,]2, ¦ ¦ ¦ ,]к{1)} = Введем обозначения:

СЙд2,., д,(г) = СЙЙ.= - *). если А*{п} = 0 ПРИ всех < =.

1,2,., к, и сЦда,.^^) = = 1 в остальных случаях.

Теорема. Для многочленов Р, ,., ^ общего положения дзета-функции в нуле (на бесконечности) деформации /г, (-2¹″, • • •, 271−1) := ^(?1,22,., г&bdquo-) пространства {Д = Д =. = Д = 0} С С" -1, где Л = /¿-, о, вычисляются по следующим формулам:

Сгп|уп (с*)п = Сд^дг,'.^^)".

С*п|Д0 = П ^ДьДг.?Л*)'.

I: п6/С{1,2.п} п|уп (С)" ' —. П Сд’ьДа.аД^).

I: ПЕ/С{1,2.п} здесь У = {г е С" I ^(г) = =. = ^(г) = 0} — множество нулей).

Во втором параграфе получена формула для дзета-функции в нуле многочлена на полном пересечении. Рассмотрим набор многочленов Л^о, {., от переменных^1,22,., гп и множество V = {г е С" | = F2(z) =. =.

Рк (т) = 0}. Пусть Дí- = Д (Д) — многогранник Ньютона многочлена г = 0,1,., /с. Обозначим через £до множество ковекторов, а € 2/, для которых тт (а:|д/) > 0. Если Дд = 0, имеем: ZIAo = 0. Обозначим: о-Д1.п, а -.дй> где {З1,32,—-, 3т} = Р{1), тА1о (а) — тт (а|д/) — минимальное значение ковектора, а на множестве Д^ и Я1к{х0,хг,., хк) = [П£=1 — п1о ттк, = Ок (хь ¦ • •, хк) — д^иС^о, • • •, хк).

Теорема. Для многочленов /<�о,^,., общего положения.

С*ыЛ*) = П С1о-Д1.

С{1,2,., п}: 1ф<�Ь.

Благодарности.

Хочу выразить благодарность Анатолию Вадимовичу Егорову, своему первому школьному учителю, при котором зародился мой интерес к математикеБорису Михайловичу Давидовичу и Юрию Витальевичу Че-канову, благодаря которым я получил первое представление об основах и принципах наукимоему другу и однокласснику Евгению Горскому за энергию и энтузиазм, которыми он меня заражал. Я признателен Ас-кольду Георгиевичу Хованскому за интересные лекции и личные беседыа также своему деду, Владимиру Ильичу Бельтюкову, за моральную поддержку.

Особую благодарность хочу выразить Сабиру Меджидовичу Гусейн-Заде, моему научному руководителю, за постановку задач, поддержку, а главное — терпение. Спасибо!

Глава 2.

Торическая геометрия и алгебраические инварианты.

1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности дифференцируемых отображений., М.: Наука, 1984.

2. Бернштейн Д. Н., Число корней системы уравнений, Функ. анал. и прил., 9: 3, с. 1−4, 1975.

3. Бернштейн Д. Н., Кушниренко А. Г., Хованский А. Г., Многогранники Ньютона, УМН, 31: 3, с. 201−202, 1976.

4. Буземан Г., Выпуклые поверхности, М.: Наука, 1964.

5. Варченко А. Н., Теоремы топологической эквисингулярности семейств алгебраических многообразий и семейств полиномиальных отображений, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36: 5, с. 957−1019, 1972.

6. Кушниренко А. Г., Многогранник Ньютона и числа Милнора, Функ. анал. и прил., 9: 1, с. 74−75, 1975.

7. Кушниренко А. Г., Многогранник Ньютона и число решений системы к уравнений с к неизвестными, УМН 30, с. 266−267, 1975.

8. Милнор Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей., М.: Мир, 1971.

9. Хиронака X., Разрешение особенностей алгебраических многообразий над полями характеристики нуль, Математика, 9: 6, с. 2−70, 1965; 10: 1, с. 3−89, 1966; 10: 2, с. 3−58, 1966.

10. Хованский А. Г., Многогранники Ньютона и торические многообразия, Функ. анал. и прил., 11: 4, с. 56−64, 1977.

11. Хованский А. Г., Многогранники Ньютона и род полных пересечений, Функ. анал. и прил., 12: 1, с. 51−61, 1978.

12. Эстеров А. И., Индексы 1-форм, индексы пересечения и многогранники Ньютона, Матем. сб., 197: 7, с. 137−160, 2006.

13. A’Campo N., La fonction zeta d’une monodromie, Comm. Math. Helv., 50, p. 233−248, 1975.

14. Gusein-Zade S. M., Luengo I., Melle-Hernandez A., Partial resolutions and the zeta-function of a singularity, Comment. Math. Helv., 72: 2, p. 244−256, 1997.

15. Gusein-Zade S. M., Luengo I., Melle-Hernandez A., Zeta-functions for germs of meromorphic functions and Newton diagrams, Funct. Anal. Appl., 1998.

16. Gusein-Zade S. M., Siersma D., Deformations of polynomials and their zeta-functions, Journal of Mathematical Sciences, 144: 1, p. 3782−3788, 2007.

17. Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat В., Toroidal embeddings I, Lecture Notes in Math., vol. 339, Springer-Verlag, 1973.

18. Le Dung Trang, Some remarks on relative monodromy, Real and complex singularities, Ed. by P. Holm, Nordhoff Publ., p. 397−403, 1977.

19. Libgober, A., Sperber, S., On the zeta function of monodromy of a polynomial map, Compositio Mathematica, 95: 3, p. 287−307, 1995.

20. Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi, Monodromy zeta-function at infinity, Newton polyhedra and constructible sheaves, arXiv: math. AG/0809.3149v3.

21. Oka M., Principal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularity, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA., 37, p. 11−32, 1990.

22. Oka M., Non-degenerate complete intersection singularity, Paris: Hermann, Actualites Mathematiques, 1997.

23. Siersma D., Tibar M., Deformations of polynomials, boundary singularities and monodromy, Mosc. Math. J., 3, no. 2, p. 661−679, 2003.

24. Thom R., Ensembles et morphisms stratifies, Bull. Amer. Math. Soc., 75, p. 240−284, 1969.

25. Varchenko A. N., Zeta function of monodromy and Newton’s diagram, Inv. Math. 37, p. 253−262, 1976.

26. Viro O. Y., Some integral calculus based on Euler characteristic, Lecture Notes in Math., vol. 1346, Springer-Verlag, p. 127−138, 1988. Работы автора по теме диссертации.

27. Г. Г. Гусев, Эйлерова характеристика многообразия бифуркаций для многочлена степени 2, УМН, 63: 2, с. 167−168, 2008.

28. G. G. Gusev, Monodromy zeta-functions of deformations and Newton diagrams, Rev. Mat. Complut., 22: 2, p. 447−454., 2009.

29. G. G. Gusev, Monodromy zeta-function of a polynomial on a complete intersection and Newton polyhedra, proceedings of the conference «Topology, Geometry, and Dynamics: Rokhlin Memorial», p. 43−44, 2010.