Топологические методы в теории неподвижных точек и совпадений

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.

Диссертация посвящена теории неподвижных точек и совпадений отображений топологических пространств. В работе исследуются вопросы, связанные с тремя аспектами этой теории: существованием неподвижных точек и совпадений, их минимизации, а также их аппроксимации.

В первой главе диссертации развита теория введенного ранее автором индекса эквивариантности отображений когомологических сфер, перестановочных с действиями конечной группы.

G-когомологической n-мерной сферой называется топологическое пространство, когомологии которого с коэффициентами в группе G совпадают с когомологпями стандартной n-мерной сферы.

Пусть X — Zfc-когомологическая ii-сфера, п Т: X X — гомеоморфизм, задающий действие группы Z& на X, то есть Tk = idx¦ Напомним, что действие Т группы Zfc называется свободным, если Tq (x) ф х, х € X, q — 1,2,., ft — 1. Действие Т полусвободно, если оно свободно вне множества F = {х € X | Т (х) = х} неподвижных точек.

Впервые гомологическими методами задача вычисления степени эк-вивариантного отображения в описанных условиях изучалась при G = Ъи простом к в семинаре П. А. Смита (P.A.Smith) [24], результаты которого получили название теории Смита. Вся теория была распространена затем на случаи любого к > 2 и полусвободного действия группы Zfc Я. А. Израилевичем в [13] и развита в работах Я. А. Израилевича и Э. М. Мухамадиева [15] и Я. А. Израилевича [13].

Один из основных результатов теории Смита утверждает, что множество F, F С X НеПОДВИЖНЫХ ТОЧеК Полусвободного ДеЙСТВИЯ ГруППЫ Zfc на Zjt-когомологической n-сфере также является Zfc-когомологической сферой размерности m,—l.

В теории Смита вводятся так называемые индексы Смита, и степень degf эквивариантного отображения F: X —> X вычисляется (по модулю к) через эти индексы и степень сужения отображения / на подмножество F неподвижных точек заданного действия группы Zk.

Задачи, связанные с вычислением степени эквивариантных отображений относительно неполусвободных действий группы Zfc, а также перестановочных с действиями двух различных конечных циклических групп, не укладываются в теорию Смита.

Для решения подобных задач в работах Ю. Г. Борисовича и Я.А.Из-раилевича [6], Я. А. Израилевнча [16], а также Ю. Г. Борисовича, Я.А.Из-раилевича и Т. Н. Щелоковой (Фоменко) [7] был привлечен так называемый метод спектральной последовательности Бореля. С помощью метода спектральных последовательностей Ю. Г. Борисовичем, Я.А.Израи-левичем и Т. Н. Щелоковой (Фоменко) были получены аналоги основных теорем Смита, а также ряд более точных и тонких результатов [6, 16, 7]. Этот метод состоит в следующем.

Пусть Егк — универсальное, а В%к — классифицирующее пространства для группы ЪьИзвестно, что Е%к — 5°° - бесконечномерная сфера с каноническим свободным действием группы Ъъ, а В%к = Ь^ - бесконечномерная линза — пространство орбит указанного действия на З" 30.

При заданном действии группы Ък на X пространство орбит Х%к диагонального действия Ъь на X х Е расслаивается над В%к со слоем X при помощи отображения 7 Г, индуцированного проекцией на сомножитель 7Г: X х Е —> Е. Описанное расслоение 7г: Х2к —> В%к называется расслоением Бореля для пространства X по заданному действию группы Ък [46]. Аналогично определяется относительное расслоение Бореля со слоем-парой (X, А), где, А — подмножество, инвариантное относительно заданного действия группы ЪкВ случае, когда, А — й/?-когомологическая сфера, с помощью дифференциала когомологической спектральной последовательности расслоения Бореля в работе [6] Ю. Г. Борисовичем и Я. А. Израилевичем было введено понятие спектрального индекса действия Ъь на паре (X, А). Было доказано, что спектральный индекс является образующим элементом группы Ък, если действие этой группы свободно вне йд-когомологической сферы А.

Естественно возник вопрос, всегда ли такие инвариантные Е^-кого-мологические сферы существуют. Утвердительный ответ на этот вопрос был получен Т. Н. Щелоковой (Фоменко) в [42] для любых действий группы на Ъ-когомологической сфере, в случае к = ра, где р-простое число. А именно, было доказано, что множество всех стационарных (то есть неподвижных относительно итераций действия Т) точек действия Ък является й^-когомологической сферой.

На основе этого Т. Н. Щелоковой (Фоменко) в [39, 43] была получена формула для вычисления (по модулю к) степени эквивариантного отображения й-когомологической сферы с действием группы Ък в себя через степени сужений этого отображения на подмножества стационарных точек действий примарных циклических подгрупп группы и через соответствующие спектральные индексы.

Т.Н.Щелоковой (Фоменко) была также обнаружена и исследована связь спектральных индексов с индексами Смита [41, 43].

Однако, если отображение /: (X, А{) —> (У, А2) пар различных Z-когомологических сфер перестановочно с заданными на них действиями группы Zfc, формальные размерности инвариантных относительно этих действий Zfc-когомологических сфер Ai и Ао могут не совпадать, и степень сужения отображения / на, А в этом случае может быть не определена. Если dimAi > dim А?, то из соответствующей коммутативной диаграммы следует, что степень отображения /: X —* X равна нулю (¦modk). Если же наоборот, dimA < dim An, то вопрос о вычислении степени оставался открытым.

Следующим шагом было введение Т. Н. Щелоковой (Фоменко) понятия индекса эквивариантности отображения [40, 39, 43], который является обобщением спектрального индекса. Для заданного эквивариантного отображения F: X —> Y между двумя когомологическими сферами X, Y, возможно различных размерностей, он определяется при dimX < dimY как спектральный индекс вложения пространства X в цилиндр Cf отображения /. При dimX > dimY индекс эквивариантности также определен с помощью единственного возможно нетривиального дифференциала соответствующей спектральной последовательности расслоения Бореля со слоем-парой (С/, Х). Таким образом, понятие спектрального индекса было обобщено на класс любых эквивариантных отображений когомологических сфер. Индекс эквивариантности поэтому является обобщением как степени эквивариантного отображения, так и спектрального индекса.

Т.Н.Щелоковой (Фоменко) в [39, 43] было доказано свойство мультипликативности индексов эквивариантности по отношению к композиции эквивариан тных отображений. Это позволило, в частности, исследовать упоминавшуюся выше задачу вычисления степени эквивариантного отображения Z-когомологических сфер с действиями группы Ъг при любых соотношениях размерностей инвариантных ¿-^-когомологических сфер А, А2.

Тем не менее, некоторые вопросы оставались открытыми, например, вопросы о допустимых и недопустимых соотношениях формальных размерностей когомологических сфер, связанных эквивариантным отображением, и размерностей соответствующих естественных инвариантных подмножеств относительно заданных действий группы Ъ^.

В 'первой главе диссертации автором исследованы дополнительные алгебраические свойства индексов эквивариантности, найдены недопустимые соотношения размерностей Ж-когомологических сфер с действиями группы Ъ>к. связанных эквивариантным отображением, и формальных размерностей соответствующих подмножеств стационарных и неподвижных точек заданных действий. На основе этих результатов получены общие формулы для вычисления степени эквивариантного отббраже-ния когомологических сфер с действиями конечных и некоторых компактных групп. Полученные в первой главе результаты содержат, в частности, существенные обобщения результатов работ М. А. Красносельского [18], П. П. Забрейко [11,12], а также З. И. Баланова и С. Д. Бродского [3], где рассматривалась задача вычисления степени эквивариантных отображений евклидовых сфер одинаковых размерностей.

Результаты первой главы опубликованы в [94, 104], а также частично представлены в [26, 59].

Во второй главе рассматривается проблема минимизации множества неподвижных точек эквивариантного отображения полиэдра относительно действия конечной группы С.

Постановка этой задачи связана с известной теорией Нильсена, изложенной, например, в [72, 52]. Основная проблема теории Нильсена — это задача минимизации множества Пх/ = {х € А" | /(х) = х} неподвижных точек заданного отображения с помощью гомотопии отображения /. Эквивалентность (по Нильсену) двух изолированных неподвижных точек означает, что существует соединяющий их путь а, который гомотопен своему образу / • а при постоянных концах. Для каждого класса эквивалентности неподвижных точек определяется его гомологический индекс. По поводу определения индекса см., например, [52, Главы IV, V], а также [10, Глава 7, § 5[. Если гомологический индекс класса эквивалентности неподвижных точек Нильсена (ниже кнт) нетривиален, то этот кит называется существенным. Число N (f) существенных кнт называется числом Нильсена отображения /. Это число Аг (/) является гомотопическим инвариантом и дает нижнюю оценку на число неподвижных точек отображения / в его гомотопическом классе. Классический результат теории Нильсена следующий: для всякого непрерывного отображения / в себя компактного связного полиэдра X, не являющегося поверхностью и не имеющего локально разделяющих точек, существует отображение в себя /, гомотопное / и такое, что 7У (/) = ¡-}(^гж (/)). Теория Нильсена развивалась многими авторами, были разработаны ее относительные версии. Назовем здесь работы Б. Джианга (Boju Jiang) [71], К. Х. Ши (Shi Gen Hua) [86], Х. Ширмср (H.Schirmer) [82, 84, 83], К. Жао (X.Zhao) [93] и др.

Для случая эквивариантного отображения, когда минимизация проводится при помощи эквивариантных гомотопий, имеются существенные результаты в работах Д. Вилциньского (D.Wilczyrisky) [87], Э. Фаделла (E.Fadell) и П. Вонга (P.Wong) [57], П. Вонга (P.Wong) [89, 90, 91, 88], Т. Н. Фоменко и Дж. Жу (Zhu Jim) [30] и др. В работе [88] была доказана теорема минимизации числа неподвижных точек зквивариантного отображения /: Л' —> X G-пространства X в себя при следующих Стандартных Предположениях:

1) X — компактное гладкое G-многообразие;

2)для каждого изотропического типа (Н) (то есть класса сопряженности некоторой изотропической подгруппы Н) данного действия группы G множество Хн = {у Е Xh (y) = у, h G H} - связно, и dimXH > 3;

3)dimXH — dim (XH — Хн) > 2, где Хн := {х € XGx = Я}, Gx := {h е Gh{x) = х}.

При тех же Стандартных Предположениях результаты [88] несколько уточнены и обобщены на случай минимизации совпадений двух эквивариантных отображений в работах Дж. Гуо (J.Guo) и Ф. Хита (Ph.Heath) [67, 68].

Во второй главе диссертации получена теорема минимизации множества неподвижных точек отображения, эквивариантного относительно действия конечной группы, при более слабых размерностных предположениях, чем условия Стандартных Предположений. Для ее решения построены эквивариантные аналоги конструкций, предложенных в работах Б. Джианга (B.Jiang) [71], К. Жао (X.Zhao) [93], К. Х. Ши (Shi Gen Hua) [86], Х. Ширмер (H.Schirmer) [82]. Используются также некоторые эквивариантные построения работ Д. Вилциньского (D.Wilczynsky) [87] и П. Вонга (P.Wong) [90]. Эквивариантные гомотопии, приводящие данное отображение /: X —> X к отображению /' с наименьшим числом неподвижных точек, представлены в явном виде.

В результате получена теорема минимизации множества неподвижных точек эквивариантного отображения компактного полиэдра X в себя относительно действия конечной группы G в условиях, когда dimX > 2, при некоторых дополнительных условиях на заданное действие группы G.

Результаты второй главы опубликованы в [95, 96], а также частично представлены в [60, 27].

Третья глава диссертации посвящена решению задачи о частичной минимизации множества совпадений двух отображений многообразий в положительной коразмерности, то есть в случае, когда размерность прообраза больше, чем размерность образа.

Эта задача также восходит к теории Нильсена. В процессе развития теория Нильсена была обобщена на случай минимизации прообразов подпространства, а также корней отображения (как прообразов заданной точки) в работах Р. Добренько (R.Dobrenko) и З. Кухарского (Z.Kucharski) [56], Р. Ф. Брауна (R.F.Brovvn) и Х. Ширмер (H.Schirmer) [53], Р. Брукса (R.Brooks) и П. Вонга (P.Wong) [51], а также О. Д. Фролкиной [32, 33, 62, 34].

Если заданы два отображения f, g: X—*Y, то возникает задача минимизации множества совпадений Coin (f, g) = {х € Х/(ж) = д (х)}, эквивалентная задаче минимизации прообраза диагонали Ду при действии отображения f х д. Таким образом, теорию Нильсена совпадений можно представлять себе как частный случай теории Нильсена прообразов. Однако теория Нильсена совпадений пары отображений f, g: X—*Y имеет самостоятельный интерес, и ей посвящено достаточно много работ. По аналогии с теорией Нильсена неподвижных точек, здесь вводится понятие нильсен-эквивалентных точек совпадения. Две изолированные точки совпадения х, х2 Е Coin (f, g) С X отображений f, g: X —> Y, при dimX = dimY, называются Нильсен-эквивалентными, если существует путь а, соединяющий их и такой, что пути / • а и д ¦ а гомотопны друг другу (с постоянными концами). В случае, когда участвующие пространства X, Y являются замкнутыми ориентированными многообразиями одинаковых размерностей, вводится гомологический индекс класса эквивалентности точек совпадения, являющийся обобщением индекса класса Нильсена неподвижных точек. Классы Нильсена совпадений с ненулевыми индексами называются существенными, а их (конечное) число N (f, g) — числом Нильсена совпадений данной пары отображений (.f, g). Хороший обзор, соответствующие комментарии и ссылки по теории совпадений можно найти в обзорной статье С. А. Богатого, Д.Л.Гон-салвеса и Х. Цишанга [4].

Наличие двух различных пространств в теории совпадений порождает разнообразие рассматриваемых задач, в частности, случаев равных и различных размерностей пространств. Что касается случая одинаковых размерностей, то теория совпадений Нильсена и ее относительные и эк-вивариантные версии содержатся в работах С. А. Богатого, Д. Л. Гонсалвеса и Х. Цишанга [4], П. Вонга (P.Wong) [92], Д. Л. Гонсалвеса (D.L.Gongalves) и П. Вонга (P.Wong) [64], Р. Добренько (R.Dobreriko) и Й. Йезерского (J.Je-zierski) [55], Дж. Гуо (J.Guo) и Ф. Хита (Ph.Heath) [67, 68], Й. Йезерского (J.Jezierski) [70], Ч. Г. Янга (Chan Gyu Jang) и С. Ли (Sik Lee) [54] и др.

В случае различных размерностей пространств проблема построения аналога теории Нильсена совпадений пары отображений не укладывается в предыдущую схему и представляет собой отдельную, более сложную задачу. В этом случае множество совпадений может иметь положительную размерность. Как удалить или минимизировать совпадения в этой ситуации? В литературе имеются различные подходы к этой проблеме.

Один из них представляет собой отыскание когомологических препятствий к продолжению данной пары отображений (/, д) с /с-мерного остоваХ на его fc+1-мерный остов без совпадений (работа Д. Л. Гонсалвеса (D.L.Gongalves) и П. Вонга (P.Wong) [63], а также работа Д. Л. Гонсалвеса (D.L.Gongalves), Й. Йезерского (J.Jezierski) и П. Вонга (P.Wong) [65]).

Другой подход представляет попытку ввести инварианты типа числа Нильсена, используя теории бордизмов. В работе П. Савельева (P.Saveliev) [80] проблема минимизации рассматривается по отношению к группе сингулярных бордизмов множества совпадений Coin (f, g). В работах У. Ко-шорке (U.Koschorke) [76, 77, 75, 74, 78] вводятся аналоги чисел Нильсена как элементы сингулярных (стабильных или нестабильных) оснащенных групп бордизмов пространств X или E (f, g), где E (f, g) есть расслоение типа Гуревича над X со слоем над точкой х? X, состоящим из путей, соединяющих точки f (x), g (x). Множество совпадений Coin (j, g) и его связные компоненты рассматриваются как сингулярные подмногообразия в X или в E (f, g) для гладких отображений f, g. В работах У. Кошорке получены теоремы существования гомотопий, приводящих к минимизации множества совпадений пары отображений, в основном в ситуациях, когда 1) т < п — 2- 2) N = S1- 3) М, N — сферы (при некоторых дополнительных условиях).

В третьей главе диссертации задача минимизации совпадений рассматривается в следующей постановке.

Пусть заданы два непрерывных отображения /, g: Мп+т —> N" между гладкими многообразиями указанных размерностей, и т > 0, п > 2. Как уже говорилось выше, число т называется тюлоэюителъпой коразмерностью задачи. Пусть (непустое) пересечение (/ х д)(М) П Адг образа многообразия М при действии отображения / х д с диагональю Ддг := {(у, у) у € ЛГ} с И2 состоит из конечного числа точек, и все множество Сот (/, д), состоящее из прообразов точек диагонали (а значит, ¡-г каждый из этих прообразов) является замкнутым гладким т-подмного-образием в М. В такой ситуации вполне естественно рассмотреть вопрос о минимизации множества совпадений по отношению к этим прообразам и/или их связным компонентам.

По аналогии с эквивалентностью Нильсена точек совпадения в случае отображений пространств одинаковых размерностей, в третьей главе диссертации введено более специальное понятие «(/, ^О-связанности» прообразов двух различных точек (или их связных компонент) при действии отображения / х д, не являющееся, вообще говоря, эквивалентностью. Два таких связных гладких т-подмногообразия, А и. В называются (Л д)-с вязанными, если они бордантны в М, связывающий их бордизм переводится отображением / х д в некоторый путь в N х АТ, гомотопный пути, лежащему на диагонали, и сужение отображения / х д на малую окрестность этого бордизма обладает некоторыми специальными свойствами (см. Определения 1−4 главы 3).

В третьей главе построен алгоритм частичной минимизации множества таких ттг-подмногообразий совпадений. А именно, найдены достаточные условия для «склейки» таких (/, (?)-связапиых т-подмногообразий совпадений, а также для перемещения или для удаления одного из них посредством специальных локальных гомотопий отображений /, д. Гомо-тошш строятся в явном виде.

Получены новые результаты, не являющиеся следствиями из результатов У. Кошорке, и позволяющие частично. минимизировать число прообразов диагональных точек при действии отображения (/ х д). Результаты третьей главы опубликованы в [102, 97] и частично представлены в [29, 61].

В четвертой главе изложен открытый автором на основе ряда геометрических наблюдений общий итерационный принцип, позволяющий по известному неотрицательному функционалу </? на метрическом пространстве X построить процесс поиска, то есть последовательного приближения к нуль-подпространству этого функционала, с оценкой расстояния до него на каждом шаге аппроксимации, руководствуясь на каждом шаге лишь значением функционала в данной точке.

В качестве приложений этого общего принципа получены новые методы решения таких задач, как поиск и аппроксимация прообраза замкнутого подпространства при заданном отображении метрических пространств, а также поиск и аппроксимация множества общих неподвижных точек, множества совпадений, множества общих корней любого конечного набора отображений метрических пространств. При этом рассматриваются как однозначные, так и многозначные неотрицательные функционалы и соответственно, однозначные и многозначные отображения.

Поставленная задача и полученные результаты удобно формулируются в терминах дискретных динамических систем. Под дискретной динамической системой с фазовым пространством X и полугруппой сдвигов (2>о, +) понимают произвольное действие этой полугруппы на X, то есть задание на X отображения С? = С?1: X —> X, представляющего 1 6 и называемого генератором. Его итерации {С" п}п=о, 1,., где (3° := и задают очевидным образом представление указанной полугруппы. Такая динамическая система называется каскадом1 на X. Для каскадов, у которых генератор С? вообще говоря многозначен, в диссертации используется термин мулътикаскад.

Таким образом, рассматривается задача построения по заданному (однозначному или многозначному) неотрицательному функционалу на метрическом пространстве X мультикаскада, предельное множество которого совпадает с нуль-подпространством этого функционала. Для ее решения автором введено понятие так называемых поисковых функционалов.

Пусть заданы числа а, /3,0 < ?3 < а. Однозначный неотрицательный функционал </?: X —> Я называется (си, /3)-поисковым на X (по отношению к своему нуль-подпространству ХИ ((р) ¦.= {х € X <�р (х) = 0}), если для каждого х € X существует точка х'? Х, р (х.х') < такая, что.

Многозначный неотрицательный функционал Ф: X «Р (Ш+), действующий в совокупность непустых подмножеств множества неотрицательных вещественных чисел, называется (а, (3)-поисковым, если таковым является однозначный функционал Ф*, Ф*(ж) := гп/ {7}.

Для многозначного функционала Ф имеется два понятия нуль-под.

1 Удачный термин каскад предложен Д. В. Аносовым. пространства: обычное ЛГ//(Ф) := {х е Х|0 6 Ф (ж)} и расширенное Ш1+(Ф) := {х Е ХФ*(х) = 0}.

Предложены две версии общего принципа каскадного поиска, соответствующие использованию однозначных или многозначных поисковых функционалов.

Принцип каскадного поиска позволяет, при некоторых дополнительных условиях, при помощи (а, /^-поискового функционала Ф (однозначного или многозначного) построить на пространстве X мультикаскад, сходящийся к МИ (Ф) или к КИ+(Ф), и расстояние от любой точки х? А" до предельного множества этого мультикаскада оценивается сверху чнс.

Принции каскадного поиска имеет целый ряд приложений и содержит в качестве частных случаев несколько известных теорем о неподвижных точках и совпадениях отображений. Например, из принципа каскадного поиска вытекают известный принцип Банаха сжимающих отображений [17, стр.70], а также несколько теорем А. В. Арутюнова [1] о существовании и аппроксимации совпадений двух отображений, одно из которых накрывающее, а другое липшицево.

Следует подчеркнуть, что идея принципа каскадного поиска появилась у автора благодаря знакомству на семинаре факультета ВМК МГУ под руководством академиков РАН В. А. Ильина и Е. И. Моисеева с замечательной работой А. В. Арутюнова [1]. Внимательное изучение этой работы, в том числе идеи доказательства изложенных в ней результатов послужило толчком для разработки общего принципа каскадного поиска и его приложений.

В четвертой главе в качестве новых приложений принципа каскадного поиска получены теоремы о приближении к прообразу замкнутого подпространства при действии отображения метрических пространств, с оценкой на каждом шаге расстояния до этого прообраза. В более общей формулировке — теоремы о приближении к общему прообразу замкнутого подпространства при действии конечного набора отображений, а также к подмножеству общих корней конечного набора отображении, соответствующих их общему значению. Получены также теоремы о приближении к множеству точек совпадения произвольного конечного набора отображений метрических пространств, а также теоремы о приближении к подмножеству общих неподвижных точек конечного набора отображений метрического пространства в себя.

Кроме этого, в § 4 четвертой главы предложен вариант каскадного поиска по графику отображения, дающий более тонкие результаты по поиску прообраза подпространства, множества совпадений и множества общих корней конечного набора многозначных отображений.

Определения и терминологию теории многозначных отображений можно найти в книге [5].

Результаты четвертой главы опубликованы в [101, 103, 99] и частично представлены в [106. 105].

В пятой главе решена проблема устойчивости принципа каскадного поиска. Рассмотрены две постановки задачи об устойчивости: слабая и сильная устойчивость.

Под слабой устойчивостью каскадного поиска мы понимаем устойчивость подмножества у (х) предельных точек поискового мультикаскада, 7(гс) — {? | р (х. ?) < где — соответствующий (а, (5)-поисковый функционал.

Найдены достаточные условия для устойчивости подмножества 7(2-) по отношению к малому изменению начальной точки х, а также по отношению к малому изменению самого мультикаскада (точнее, определяющего его поискового функционала <р).

Необходимо отметить, что постановка задачи о слабой устойчивости и идеи доказательства устойчивости в такой постановке представляют собой аналог и одновременно существенное обобщение рассмотренной в работе А. В. Арутюнова [2] задачи об устойчивости совпадений двух отображений и в значительной степени обязаны своим происхождением именно этой работе А. В. Арутюнова.

Под сильной устойчивостью каскадного поиска мы понимаем устойчивость множества 7 (ж) всех предельных точек поискового мультикаскада, достижимых из данной начальной точки х по траекториям соответствующего мультикаскада. Подмножество 7(0-) очевидно содержится в множестве 7(.т), но они не обязаны совпадать (см. Пример 1 главы 5).

Как и в случае слабой устойчивости, найдены достаточные условия для силыюй устойчивости каскадного поиска по отношению к малому изменению начальной точки, а также достаточные условия для сильной устойчивости по отношению кмалому изменению самого поискового мультикаскада (то есть определяющего его поискового функционала).

Результаты пятой главы опубликованы в [98, 100], а также частично представлены в [31, 107].

Нумерация всех утверждений, приводимых ниже в § 2 данного Введения, совпадает с их нумерацией (внутри соответствующих глав) в основном тексте диссертации.

§ 2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ПО ГЛАВАМ.

В первой главе диссертации изучаются свойства индексов экви-вариантнооти отображений когомологических сфер.

Пусть X, У — Z/l-когомологические сферы. Рассмотрим когомологическую спектральную последовательность относительного расслоения Бо-реля со слоем-парой (С/, Х)(См. определение выше, в § 1). Поскольку цилиндр Cf отображения /: X —> У ретрагируется на У, будем обозначать когомологии пары (С/. X) через Н*(У, Х), опуская для краткости указание на отображение и группу коэффициентов.

Пусть размерности й/с-когомологических сфер X, У равны соответственно т и п. При различных соотношениях размерностей тип рассматриваются следующие цепочки отображений когомологий (с коэффициентами ъ Ък).

1)при т < п.

Ф (У, Х) := ф?-т: Н" {У) ЛЯ «(У, X) ^ Е°2^ -и вгт’т+1 ^ Нт+1(УХ) Н’п (Х);

2) при т > п.

Ф (У, Х) := Фт-п+2: Н'"(Х) Н^У, Х) Е°2'т+г ^ Е0т¹² ЕГп+2'п Нп (У, Х) ЛЯ"(У) — ф (у.х) ¦¦= Г ¦¦ Нп{У) — Нп (Х),.

3) при т — п т,.

У, Х) где ее, j — гомоморфизмы точной последовательности пары (Су. X), 7: Е? ч = Нр (Вк] Я9(У, X) 9* Я"(У, X).

— канонический изоморфизм на группу коэффициентов, т — выбор представителя подфактор-группы Е**, д > 2, в группе Е**, о!* - дифференциал спектр альной последовательности расслоения Бореля со слоем-парой.

Индексом эквивариантности отображения /: X —"¦ Y Z/c-Koro-мологических сфер X, Y размерностей т, п соответственно называется элемент J{J) группы Zfc, определяемый из следующих равенств: а) Ф (у:Х)(иП) = J (f) ' и7П-> если гп< п, б) Ф{ух)(и">) = J (f) ¦ ип, если т > п.

Гомоморфизмы 011Ределены выше, ип, ит — ориентации когомологических сфер У, X соответственно.

Пусть три Zfc-когомологических сферы А, X, Y с действиями группы Zk, имеющие размерности г, т, п соответственно, связаны эквивари-антными (относительно заданных действий группы Z/,.) отображениями aMX^Y.

Доказано (Теорема 1 первой главы), что ядра и коядра гомоморфизмов Ф (/), Ф (50) Ф (# • /): определяющих индексы эквивариантности отображений f, g, g-f и их гомоморфизмы, индуцированные отображениями точных последовательностей пар (С/, А), (Cg, X), (Cgf, A) и соответствующими дифференциалами когомологических спектральных последовательностей расслоений Бореля, образуют шестичленные точные последовательности. Кроме того, при соотношениях размерностей г < п < т, т<�г<�п, яп<�т<�г все гомоморфизмы Ф (/), Ф (#), Ф (<7 • /) (и соответствующие индексы эквивариантности) тривиальны.

Пусть теперь группа Z/. действует на Z-когомологических сферах Xi, X2, и Sij, S2j — соответствующие множества стационарных точек (то есть точек с нетривиальными группами изотропии) действий на Х, Х2 подгруппы Ък} группы Zfe, где kj = ру' - степень простого числа — из примарного разложения к = к ¦. ¦ к{. Тогда, как было ранее доказано Т. Н. Щелоковой (Фоменко) в [42], 6'ц, S2j — Ъщ-когомологические сферы (j = 1,., /). Пусть формальные размерности когомологических сфер Xi, Х-2, Si, S2 равны соответственно m, a, r, q (при этом всегда — 1 < г < т, — 1 < q < п). Пусть f: Xi Х2 — эквивариантнос отображение.

В этих условиях в первой главе доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4. В описанной ситуации из всех возможных соотношений размерностей г, q, т, п (с учетом неравенств: г < m, q < п их всего 6) индексы эквивариантности J (f) и J{fs^) одновременно равны нулю (в группе Ъьз), если размерности r, q, m, n находятся в одном из следующих трех соотношений: 1) г < q < п < m, 2) q < г < т, < n, 3) q < г < п < т. Таким образом, индекс эквивариантности J (f) (относительно действий подгруппы может быть отличен от нуля (в Ъщ) лишь при соотношениях размерностей г < д < т < п, г < т < д < га, д < п < г < т, и его петривиальность полностью определяется нетривиальностью индекса JU’s, j)¦ П.

Далее рассматриваются эквивариантные отображения относительно действий двух различных конечных циклических групп. Пусть X, Укогомологические ¿—сферы размерностей т и п соответственно для Ь, равного и Ж/, где к = ¿-д, I > 1, д > 1. Пусть на X действует группа на У — группа Ъ. Пусть <р: Ъ^ —> - фиксированный гомоморфизм, переводящий единицу Ъъ в единицу Ж-, и отображение^: X —" У — <�р-эквивариантно, то есть /-Т — <�р (Т) • /. В этой ситуации определен индекс эквивариантностп J^(f) относительно действий в обоих пространствах группы, а также, при некоторых условиях, и индекс эквивариант-ности .// (/) отображения /: X —" У, относительно соответствующих действий группы Щ, где X — пространство орбит по действию подгруппы Кепр = / - соответствующее сужение отображения /. Получена формула взаимосвязи этих индексов (Лемма 4 первой главы), обобщающая соответствующий результат работы Ю. Г. Борисовича и Я. А. Израилевича [6], и некоторые полезные следствия из нее (Следствие 1 и Теорема 5 первой главы).

В работе З. И. Баланова и С. Д. Бродского [3] были продолжены исследования М. А. Красносельского и П. П. Забрейко [18, 11, 12] по вычислению степени эквивариантного отображения и получено утверждение (оно сформулировано как Теорема 8 в первой главе диссертации) о равенстве (соответственно о сравнимости по модулю к) степеней (7-эквивариантных отображений евклидовой сферы, гомотопных на множестве всех стационарных точек заданного действия группы С, если С — компактная не вполне несвязная группа (соответственно, если Сконечная группа порядка |С?| = к).

В цервой главе диссертации решается аналогичная задача для экви-вариантных отображений Ъ-когомологических сфер. Следующая теорема представляет собой основное утверждение о степени отображения, эквивариантного относительно действий конечной группы.

ТЕОРЕМА 9. Пусть Х — Ъ-когомологические п-сферы (п > 0) с действиями конечной группы (3, при которых каждый элемент д € С действует гомеоморфизмом степени 1. Пусть |(?| = к, к = кк-2 •. ¦ Ы — каноническое примарное разложение числа к. Выберем для каждого сомножителя ^ — - степени простого числа — из канонического примарного разложения порядка к — по одной силовской подгруппе О^, а в ней — циклическую подгруппу Ъц максимального порядка ку Пусть .Рц С Х, Ру С Х2 — множества стационарных точек действии выбранных подгрупп, и 7д: 1<17- —": —> Х2 — соответствующие вложения. Тогда имеет место следующая формула для вычета по модулю к целочисленной степени жвивариантного отображения degf}-k =.

1 <з<1.

Г-1 kj.

UJbji)]t • Jfah, ¦ J Li kj где k = k • ko. ki — произведение всех порядков максимальных циклических подгрупп в силовских р3-подгруппах группы G;

Если силовские pj-подгруппы Gj — циклические порядков Gj — kj, то к = к. [ ]~х означает обращение элемента в кольце Zq. ?

В случае цикличности всех силовских подгрупп конечной группы G Теорема 9 дает существенное усиление второй части теоремы [3] (для конечной группы G) даже в случае евклидовых сфер.

Следующая теорема дает существенное усиление (даже для случая евклидовых сфер) утверждения первой части результата З. И. Балаиова и С. Д. Бродского, то есть для случая действий компактной не вполне несвязной группы G.

ТЕОРЕМА 10. Пусть на Ъ-когомологических п-сферах X, Y действует (гомеоморфизмами степени 1) компактная не вполне несвязная топологическая группа G it {Gk — %k}k>2 — выделенная совокупность конечных циклических подгрупп группы G. Пусть F = U F^, где F[z fc>2 объединение мнооюеств стационарных точек действий всех силовских подгрупп группы Gk, k > 2. Пусть эквивариантные отображения f, g: X —> Y эквивариантно гомотопны на множестве F. Тогда их степени degf, degg совпадают в Ъ.

Во второй главе диссертации решается задача минимизации множества неподвижных точек эквивариантного отображения компактного полиэдра с действием конечной группы G при более слабых размерност-ных условиях, чем условия Стандартных Предположений, сформулированные в начале Введения, и при некоторых дополнительных условиях на заданное действие группы G.

В работе Б. Джианга (Boju Jiang) [71] доказана следующая теорема (определение числа Нильсена дано выше в § 1.).

ТЕОРЕМА 1. Пусть X — колтактный связный полиэдр без локально раз деля, юи^их точек. Предполо’лсим, что X не является двумерным многообразием (с грании, ей или без нее). Тогда для каждого отображения f: X —" X число Нильсена N (f) является точной нио/сней оценкой на число неподвижных точек, то есть в гомотопическом классе отображения / существует отображение f такое, что #Fix (f) = N (f). ?

Основной результат второй главы (Теорема 5 ниже) представляет собой, с одной стороны, обобщение Теоремы 1 на эквивариантный случай относительно действия конечной группы G, а с другой стороны, является обобщением результата работы П. Вонга (P.Wong) [88], при более слабых размерностных предположениях. В ней вычислены наименьшее число неподвижных точек и наименьшее число неподвижных орбит в G-эквивариантном гомотопическом классе заданного эквивариантно-го отображения компактного полиэдра при некоторых дополнительных условиях.

Прежде чем сформулировать эту теорему, приведем кратко все нужные определения и обозначения. (Более подробно формулировки условий, понятий и описания всех обозначений, используемых в теореме 5, см. в тексте второй главы диссертации (Определения 1−8 и 13−20).).

Локально разделяющая точка полиэдра X — это точка х G X, у которой существует такая окрестность U = U (x), что U х — несвязное множество. Группа Вейля подгруппы Я группы G — это факторгруппа WH = NH/H, где NH = {g G G gHg~l = H} - нормализатор подгруппы H в G. Группа изотропии или стационарная подгруппа точки х Е X (при действии группы G) — это группа Gx = {g? G gx = х}. Изотропический тип пространства X — это класс сопряженности (Я) подгруппы Я группы G, для которой существует точка х G X такая, что Я — G хБудем говорить, что (Я) < (К) для двух изотропических типов (Я) и (К), если группа Я сопряжена некоторой подгруппе группы К. Под допустимым упорядочением изотропических типов мы будем понимать такое их упорядочение, при котором из (Яг-) < (Яу) следует: j < г, то есть в допустимом упорядочении изотропический тип большей подгруппы появляется раньше.

Для изотропической подгруппы Я, путь s в Хн, концы которого принадлежат Хн, назовем правильно H-возвращаемым, если он гомотопен некоторому пути s': I —> X (гомотопия относительно концов) такому, что s'(t) G Хн для всех t, t G I, причем h s'(I) П h’s'(I) — 0 для всех h, h' G WH, h ~r h', если концы пути s не принадлежат одной и той же И’Я-орбите, или s'(I) П hs'{I) = s (l), если s (l) = hs (0) .

Будем говорить, что С-пространство X обладает Контролируемыми Орбитными Типами Путей (ниже: КОТП-условие), если для любого изотропического типа (H) все пути в Хн с концами в Хц являются правильно Я-возврагцаемыми.

Будем говорить, что С-пространство X удовлетворяет G-эквивариан-тным условиям Докианга ({G — J)-условия ниже), если для всякого его изотропического типа (H) выполнены следующие 4 условия:

1)в Хн существует 1-мерный симплекс а1, являющийся гранью не менее чем трех двумерных симплексов, также принадлежащих Хн', 2Замыкания звезд симплексов WЯ-орбиты симплекса а1 не пересекаются друг с другом- 3) каждую точку х G Хн можно соединить путем с некоторым симплексом да1, g G WH-, 4) в Хн нет локально разделяющих точек.

Пусть (Я) — изотропический тип данного действия группы G на X. Выберем допустимое упорядочение (Я) = (Hт) < (Ят-l) < •¦• < на множестве изотропичсских типов S? — {(Hk) | (H) < {Hk)}- Предполагается, что действие группы G таково, что для всех г, 1 < ?' < т, множества Х^Нг' непусты, и при i < j всегда с Возникает возрастающая фильтрация G-и i ib ар и ант н ых подпространств: Х С. С Хт = XW, где X™ = GXH, X{ = {х G XW | (Gx) = (Hj), j < г}- г = 1,2,., т. Обозначим Xf' := Xj П XHi для каждого j, 1 < j < i.

Будем говорить, что неподвижная точка yo G Хнк слабо связана с изо-тропическим типом i), Hk С H^-i, если имеется путь р: I —> Л", соединяющий у0 с точкой yi, ух G BdxHk (X¹) — (граница в X?.Ik), и р гомотопен ¡-р. Причем гомотопия С между путями р и fp может быть выбрана сохраняющей начало пути у0 = р (0) = /р (0) и либо сохраняющей его конец 2/1 = р (1), если yi G Fix (f), либо удовлетворяющей условию: Ct (vi) = C (yut) G Bd нк{Х^), t G I, если уг Fix (f). к.

При г < j, и Hj с Hi, будем называть кнт 7 отображения / ну. XHj —" ХН} слабо общим (или слабо связанным) с Хцг, если он содержит неподвижную точку х G Xj-jj, слабо связанную с X#?.

Введем также следующие обозначения.

G| - порядок (конечной) группы G. [G: Н] - число классов смежности в группе G по подгруппе Н. Для любой подгруппы изотропии Я (при действии группы G обозначим.

Ng{Ih) '¦= WH • ?}{1УЯ-орбиты существенных кнт в Хн, не содержащие существенных кнт из Хк ни для какой подгруппы изотропии К, Н С. К, и не являющиеся слабо связанными ни с какими Хк, Н С К} = ${ существенные кнт в Хн, не содержащие никаких кнт из Хк и не являющиеся слабо связанными с Хк, Я С К};

А/(Я) {а | а — существенный кнт отображения /я в Хн, не содержащий существенных кнт отображения ¡-к из Хк ни для какого.

К, НС К}.

Р/(Н) := {К | К э Я, За € Л/}(Я), а слабо связан с Хк}.

Для К, IV € Р/(Я), будем говорить, что К <¡-н IV, если выполнены два условия: ъ) К С И-7-и)3а Е Л/} (Я), — такой кнт в Хн, что, а слабо связан с Ху через Хк, то есть путь, соединяющий, а с Хц/, проходит через Хк.

Обозначим М/(Н) — множество максимальных элементов Р/(Я) относительно частичного порядка </н.

Для К, ТУ € М$(Н) будем говорить, что ^ И7, если | А" | < |И/Г|.

Для АГ € Mf (H) обозначим Од (К) := Щсс | а € Л/}(Я), а слабо связан с Хк, но не является слабо связанным ни с каким другим Ху, IV? М/(Я), IV У К}.

И наконец, обозначим та{:= тт{^{Пх1ь^) к /}•.

Теперь приведем основной результат второй главы.

ТЕОРЕМА 5. Пусть О-пространство X есть компактный связный полиэдр без локально разделяющих точек, допускающий конечную триангуляцию с симплициальным действием конечной, группы С, для которого выполнены КОТП-условие и (б — «/)-условие. Пусть (Я) — изо-тропический тип данного О-действия на X, и /: X —> X — некоторое С-жвивариантное отображение. Тогда существует такое й-эквивариантнос отображение д, которое С-гомотопно отображению / и имеет следующие свойства:

1) №Нд{н))) =^с (/(я)) = Ек, нск ¦ [С: МК] + ЩЩ ' 1¹ ' Iе: '>

2) С-орбиты кнт отображения д ш Х^} — Т, к, нск (ШШУГК) + Ъь^мм ек{Ь)!^К). где = / |ХШ) — Х^ —X^ - сужение отображения / на Х^н ?

В третьей главе рассматривается проблема минимизации множества совпадений нары непрерывных отображений гладких многообразий в положительной коразмерности, то есть в случае, когда пространство-образ имеет меньшую размерность, чем пространство-прообраз.

Пусть /, д: Мп+т —> Мп — непрерывные отображения, М, -/Vгладкие компактные замкнутые ориентированные многообразия указанных размерностей, и т > 0, п > 2. Пусть непустое пересечение (/ х д)(М) П Ддг образа многообразия М при действии отображения / х д с диагональю Д&bdquo- := {(у, у) у 6 N} С № состоит из конечного числа точек, и все множество совпадений Со1п (/, д) = {ж? М/(х) — д (х)}, состоящее из прообразов точек диагонали (а значит, и каждый из этих прообразов) является замкнутым гладким т-подмногообразием в М.

Рассматривается проблема минимизации совпадений отображений /, д по отношению к таким прообразам (или их компонентам). Вводится понятие (/,^{-связанности} т-мерных подмногообразий в М, каждое из которых переводится отображением / х д: X —> У2 в точку, и хотя бы одно из которых содержится в множестве совпадений Согп (/, д). Приведем необходимые определения.

Будем говорить, что отображение многообразий пропускается через функцию Морса, если это отображение представляется в виде композиции функции Морса и некоторого непрерывного отображения.

Пусть теперь, А и В — гладкие замкнутые т-подмногообразия в М. где, А С С = Со1п (/, д). Будем говорить, что подмногообразие, А (/,<?)-связано с подмногообразием В, если выполнены следующие 3 условия:

1)Д бордантно В в М, и существует окрестность II — и (ТУ) связывающего их бордизма Т V такая, что II ПС = А.

2)Сужения / 9 |и' гомотопны (относительно А), и гомотопия Ф (х, в) пропускается через некоторую функцию Морса ц> на IV (причем, А = <^-1(0), В = -1(1)), и Сот (Ф (-, 51), Ф (-, «2)) = А для каждого ф в2,0 < * < 1, 1=1,2.

3)Нормальное расслоение И7) в М тривиально, на некоторой трубчатой окрестности ¿-(И7) С и задана структура прямого произведения, и сужения / ццг)>9 согласованы с данной структурой прямого произведения над семейством сепаратрис функции Морса </? (то есть слои над прообразами одной точки отображаются одинаково).

Доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Пусть ¡-, д: Мп+т —> дг" - непрерывные отображения между гладкими компактными замкнутыми ориентированными многообразиями указанных размерностей, где т > 0, п > 2. Пусть, А С С = Сот (/, д) и В — гладкие замкнутые ориентированиые тподмногообразия в М, и, А является (/д)-связанным с В.

Тогда существуют гомотопии, постоянные вне малой окрестности 11 бордизма между, А и В, которые соединяют пару отображений (/, д) с парой /, д: М—> М, причем Сот{/, д) = (СЛ)и5Л.

В частности. Теорема 1 верна, если предположить, что В с С, и гомотопии в условии (/,^{-связанности} подмногообразий Ли В являются постоянными на, А и В (это следствие сформулировано в третьей главе как Теорема 2).

Таким образом, Теоремы 1,2 позволяют, прп описанных условиях, перемещать прообраз, А точки диагонали Д С N х N при отображении Р хд в подмногообразие В, с которым оно (/, д)-связано. При этом В изначально не обязан быть прообразом диагональной точки при действии отображения / х д.

Далее рассматривается случай, когда замкнутое связное т-подмногообразие А, А С С = Сот (/, д), бордантно нулю. Предположил!, что У С М — соответствующий нуль-бордизм, В = {6} е XV А, и II = - окрестность IV, причем и ОС = А. В этих условиях мы будем говорить, что подмногообразие, А (/, д)-связано с точкой В = {6}, если выполнены следующие два условия, аналогичные условиям (/, д)-связанности двух 7 Л-1 год м н ого обр аз и й:

1.Сужения / ш, д \у гомотопны (относительно А), и гомотопия Ф (.Т, 5) пропускается через некоторую функцию Морса <р> на У/ (причем, А — <�р~1(0), В — ^-1(1)), иСот (Ф (-, 51), Ф (-, 52)) = Л для каждого 51 ф з2)0 < 8А < 1, 1=1,2.

2.Нормальное расслоение и (Ш) в М тривиально, на некоторой трубчатой окрестности ¿-(И7) С и задана структура прямого произведения, и сужения / д Ь (и/) согласованы с данной структурой прямого произведения над семейством сепаратрис функции Морса ср (то есть слои над прообразами одной точки отображаются одинаково).

Итак, пусть нуль-бордантное '/п-нодмногообразие, А (/, д)-связано с некоторой точкой 6 € IV А. В этих условиях с использованием результатов П. Савельева (Р.ЭауеНеу) [81] получается, что при 7 г,"+"1(5'п¹) = О существуют гомотопии (постоянные вне и (ИО), соединяющие пару исходных отображений (/, д) с некоторой парой (/, д), для которой Сот (/, д) — Со1п (/, д) А, то есть совпадения на, А можно в этой ситуации убрать (Теорема 4 третьей главы).

Известно (См., например, [25, стр.311]), что условие 7гт+"1(5п-1) = О, наложенное в Теореме 4 третьей главы, выполняется лишь для избранных пар размерностей (п + т, п), таких как: (п + 4, га) при п > 7, (п + 5, п) при п > 8, (п + 12, га) при п > 15. Везде в этих случаях выполнено неравенство 0 < т < п — 2, поэтому для случая гладких отображений утверждение Теоремы 4 третьей главы представляет собой частный случай теоремы У. Кошорке [76, Теорема 1.10], которая дает аналогичный результат при более слабых условиях для компоненты линейной связности, А множества С = Сот (/, д), при 0 < т < п — 2. Следует отметить при этом, что доказательство, представленное в [76], отлично от приведенного выше и не является конструктивным.

Однако Теоремы 1,2 третьей главы диссертации не являются частными случаями (даже для гладких отображений) результатов У. Кошорке, так как не содержит условия т <п — 2.

Более того, в рассматриваемых условиях оказалось возможным освободиться от указанных выше размерностных ограничений для удаления бордантного нулю то-подмногообразия совпадений, образ которого при действии отображения / х д есть диагональная точка в ТУ х N. А именно, в третьей главе диссертации доказано также следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 5. Пусть, А С Сот (/, д) — замкнутое гладкое т-мно-гообразие, бордантное нулю, с соответствующим нуль-бордизмом IVВ = {6} е IV, А — фиксированная точка. Пусть, А (/, д)-связано с В. Тогда существуют гомотопные /, д отображения для которых Со%п{], д) = Сот (/, д) АП.

Отметим, что отношение (/,^{-связанности} между двумя 772-ПОДМНО-гообразиями А, В, а Согп (/, д), описанное в Определении 4, не является, вообще говоря, эквивалентностью, так как не транзитивно. Поэтому приведенные в третьей главе результаты представляют алгоритм частичной минимизации множества совпадений. Тем не менее, в ряде случаев такой алгоритм полезен (см. замечания 1,2 и Рис.1(а, Ь) в конце третьей главы).

Таким образом, в описанной ситуации множество совпадений пары отображений гладких многообразий в положительной коразмерности может быть (частично) минимизировано, при помощи специальных локальных гомотопий данных отображений /, д, без дополнительных размерностных ограничений.

Четвертая глава диссертации посвящена проблемам существования и аппроксимации неподвижных точек и совпадении отображений метрических пространств. Пусть (Х, р),(У, с1) — метрические пространства. Рассматривается задача построения на X алгоритма, позволяющего из любой точки х е X с помощью итерационного процесса (вообще говоря, неоднозначного) последовательно приблизиться к некоторой точке? = £(ж) € А, где, А С X — заданное замкнутое подпространство в X, причем единственность предельной точки не предполагается. Рассматриваются различные варианты задания подмножества А: нуль-подпространство некоторого функционалапрообраз замкнутого подпространства Я С У при отображении из X в Умножество совпадений набора из п (п > 1) отображений из X в Умножество общих неподвижных точек п (п > 1) отображений пространства X в себя. При этом рассматриваются как однозначные, так и многозначные функционалы и отображения.

В § 1 четвертой главы изучаются геометрические соображения, приводящие к решению поставленных задач в случае непрерывных отображений. Именно эти геометрические соображения послужили основой для разработки однозначной и многозначной версий общего принципа каскадного поиска, предлагаемых соответственно в § 2 и в § 3 четвертой главы. Отметим, что в отличие от ряда работ, связанных с задачей об общей неподвижной точке (см., например, [66, 44, 69, 73]), в соответствующих теоремах четвертой главы на рассматриваемые отображения не накладываются никаких условий коммутируемости или условий, близких к ним.

Приведем необходимые определения.

Пусть /: X —> У — отображение (однозначное или многозначное), и Graph (f) С X х У — его график. Для всякого непустого подмножества Л С У, будем говорить, что график Graph (f) А-замкнут, если он содержит все свои предельные точки (х, у)? А’хУ такие, что у? А. Будем говорить, что Graph ((p) является А-полным, если всякая фундаментальная последовательность {жп, 2/"}п=о, 1,. С Graph (f) такая, что d (yn, A) —> О, я—оо сходится к паре (?, ij) <Е Graph (f), где rj е /(?) П А.

Пусть <р: X К — неотрицательный функционал на метрическом пространстве (Х, р), и 0 < /3 < а. Будем говорить, что функционал <р является (о, ?3) — по исковым на X, если для каждого х G X существует точка х' € X такая, что р (х.х') < ср (х') <? • р (х).

ТЕОРЕМА 9. (Принцип каскадного поиска: однозначная версия) Пусть {Х, р) — метрическое пространство, <р: X —> R — неотрицательный функционал с нуль-подпространством Nil (ip) = А С X. Предположим, что-либо Graph (ip) является 0-полным, либо X — полно, и Graph (ip) 0-замкнут. Пусть функционал (р является (а, 0)-поисковым на X с некоторыми коэффициентами а, ?3,0 < /3 < а. Тогда мультикаскад на X с генератором С. где.

0(х) := {*' € Хр (х, х') < <,(*') <? • ф)}, а, а имеет предельное множество, А — МИ ((р) ф и для любого хо Е X существует предельная точка? б А, для которой р (х0,?) < .?

В качестве приложений Теоремы 9 получены теоремы существования и аппроксимации общих прообразов замкнутого подпространства, совпадений, общих неподвижных точек, общих корней для любого конечного набора отображений метрических пространств, более широкого класса, чем непрерывные (теоремы 10−14 четвертой главы). В частности, получено обобщение хорошо известного принципа Банаха неподвижной точки (см., например, книгу [17, стр.70].), не гарантирующее единственности неподвижной точки, но применимое к более широкому классу отображений, чем сжимающие (Теорема 15 четвертой главы). Приведем следующее обобщающее утверждение. ТЕОРЕМА 17. Пусть заданы отображения: X У, / — х х. х /": X —> Уп, Н-замкнутое подпространство вУ, и выполнены следующие условия:

0) хотя бы одно из отображений /х,., /га переводит фундаментальные последовательности в фундаментальныезэ) вгарЩ) — Ап (Н)-полон, где Д"(Я) := {{у, у) еУ х У|у е Я}- 0Ц) функционал ?)(/(&¦), Дп (Я)) является (а, (3)-поисковым на X с коэффициентами а, (3, 0 < (3 < а.

Тогда мулътикаскад с генератором й, где С? (ж) := {х' € Хр (х, х') < ДП (Я))? < I, а а имеет предельное множество, А = Р (/1-./п, Я) /-1(Л"(Я)) ф 0, и для любой точки Хо € X существует такая соответствующая ей предельная точка? е А, что р (х0, ?) < р (/(х°^" (н)) .?

Следует отметить, что Теорема 17 остается верной, если заменить условия 0) и (?]) на следующие условия:

3) хотя бы одно из отображений /ь.,/п переводит фундаментальные последовательности в фундаментальные и его график Я-полон- (?7) график 6'гир/г (/) является Дп (Я)-замкнутым.

Кроме того, применение Теоремы 17 к случаю, когда Н = {с}, с еУ, дает решение проблемы поиска общих корней отображении /а,.,/, со значением с (Следствие 1 главы 4).

Далее предлагается многозначная версия принципа каскадного поиска и решаются аналогичные задачи для многозначных функционалов и отображений. Приведем еще несколько необходимых определений.

Пусть <р: X —> Р (Ш) — неотрицательный многозначный функционал, Р (К) — совокупность всех непустых подмножеств в множестве вещественных чисел К. Здесь и везде ниже (р*(х) обозначает т/ {7}.

7буГ (х).

График Сгарк ((р) многозначного функционала </? называется 0-замкнутым (слабо О-замкнутым), если для каждого его предельного элемента вида (4,0), 4 ^ N11(4?) (4 € Л^+(у?)). График йгарк^) называется 0-полным (слабо 0-полным), если всякая фундаментальная последовательность {{хт, <�рт)}т=91. С СгарМр), где ц>т —> 0, сходится к паре ш—>оо.

4,0), где? е ЛГВД.

ТЕОРЕМА 18.(Принцип каскадного поиска: многозначная версия). Пусть (Х, р) — метрическое пространство, ц>: X —> Р (К) — неотрицательный (а, ¡-3)-поисковый функционал наХ, где 0 < (5 < а, и выполнено одно из следующих условий.

I) СгарН{ф) является 0-полным, или X полно и график Сгарк^) является О-замкнутым;

Н)график Сгарк ((р) слабо 0-полон, или X полно и график СгарН (ф) слабо 0-замкнут. Тогда мультикаскад на X с генератором С?,.

С (х) := {х/ е Хр (х, х') < ф') < ^ ¦ ф)}, имеет предельное множество, А ф 0, где, А = ЫИ ((р) в случае (I), А = АГг7+(у>) в случае (II), и для любой точки х Е X существует такая соответствующая ей предельная точка 4 € Л, что р (хо, 4) < ^-р* • ^ Пусть^: X —> С (У) — многозначное отображение, С (У) — совокупность непустых замкнутых подмножеств пространства У. Пространп ство У" рассматривается с метрикой Б, где В{у, г) := ^{уг, г^), у = 1 ух,., у&bdquo-), 2 = е У". Напомним, что график Сгарк (Р) отображения ^ называется полным, если всякая фундгшеп пшьпая последовательность его элементов сходится к некоторому элементу, принадлежащему графику СгарН (Р). График Сгар1г{Е) называется замкнутым, если пределы всех сходящихся последовательностей его элементов содержатся в нем.

Будем говорить, что многозначное отображение Р: Л' —" У секвенциально полунепрерывно сверху в точке если для всякой сходящейся последовательности {хк}к=о, 1, — Ит хк = любая последовательность к—>оо.

Ук}к=0.1,., где ук е F (жfc), обладает свойством, что Ит д (ук, Р (?)) = 0. к—*оо.

Многозначное отображение Р секвенциально полунепрерывно сверху на X, если оно имеет это свойство в любой точке X.

Многозначная версия принципа каскадного поиска даст целый ряд следствий, решающих задачи, сформулированные выше, для случая многозначных отображений (Теоремы 19−22, а также Теоремы 25 и 26 в § 3 четвертой главы).

В частности, из Теоремы 20 при п — 2 получается существенное обобщение результата А. В. Арутюнова [1, Теорема 3].

Пусть .,: X —> С (У) — многозначные отображения, Р = Рг х. х Рп: X —> С (Уп), Н — замкнутое подпространство в У. Полным (расширенным) общим прообразом подпространства Н при действии набора отображений Р1-., Рп будем называть множество Р{Р1,. Рп. Н) := х? Х|(П ^?(.т-))ПЯ ф 0} (соответственно множество Р+(Р1,., Рп, Н) := х е ХЬ" (Р{х), Ап (Н)) = 0}).

Следующая Теорема обобщает и комбинирует утверждения Теорем 19−22 четвертой главы.

ТЕОРЕМА 24. Щсть Р1,., Рп: X -> С (У) — многозначные секвенциально полунепрерывные сверху отображения, Г = Р х. х Рп: X —> С (Уп), Н — замкнутое подпространство в У. Пусть многозначный функционал Ф (ж) := {ф = Э{у, Ап (Н)) | у € Р (х)} является (а,{3)-поисковым на X, где 0 < [3 < а. Пусть также выполнено одно из следующих условий: 3) Х полно;

JJ)X полно, и по крайней мере одно из отображений 1 < г < п, переводит сходящиеся последовательности в компактные множества- 33.1) Н компактно, и по крайней мере один из графиков Огарк{Р)}., Сгарк{Рп) является Н-полным.

Тогда мультикаскад на X с генератором С,.

7(а0 := {а-'? Хр (х, х') < Ф^Ф^с') <? • Ф (:г)}, имеет предельное лтожество, А ф где, А = ., Рп, Н) в случае.

3), и, А = ., Рп, Н) в случаях, 1,1) и, 1.1,1). Кроме того, для всякой точки х? X существует такая соответствующая ей предельная точка е € А, что р (х0,?) <, ?

Отметим, что в случае Н = {с}, с € У, из Теоремы 24 вытекает важное утверждение (Следствие 2 главы 4), которое решает проблему поиска общих корней набора из п многозначных отображении Рг,., Рп.

В § 4 главы 4 предлагается более тонкий вариант каскадного поиска прообраза подпространства, а именно, каскадный поиск по у рафику отображения, где и в условии теоремы, и в оценочном неравенстве участвует, вместе с точкой х? X, также некоторая точка у из образа Р (х). При этом рассматриваются отображения, не являющиеся, вообще говоря, секвенциально полунепрерывными сверху.

ТЕОРЕМА 21. Пусть Р: X С (У) — многозначное отображение, и СгарН (Р) Н-полон, где Н с У — замкнутое подпространство в У. Пусть 7 > 0,0 < /3 < а, и для каждого х? X, и каждого у? существуют точки х'? X и у'? Р (х'), для которых р (х, х') <, ^{у, у') < 1 ¦ д,(у, Н), и а{у', Н) <? • (1(у, Н). Тогда определен мультика-скад на графике Сгар1г (Р) отображенияР с генератором С?- где д ((х, у)) := {(о-',?/') € СгарЦРМх,^) <^, с1(у, у<) < 7 • с1(у', Н) < ~ ¦с1(у, Н), (х, у)? Сгар1ъ (Р). Этот мулътикаскад имеет непустое предельное множество, А С Огарк (Р), проекция которого на X совпадает с полным прообразом подпространства Н при действии отображения Р. Причем для любой точки (хо, уо) € СгарИ (Р) имеется такая соответствующая ей предельная точка (?, г () = о, глО,*7(-Бо, 2/о)) € А, что р (х0,?) <, < ?

Теорема 27 дает ряд следствий для поиска общих прообразов, совпадений, общих неподвижных точек и общих корней конечных наборов многозначных отображений.

Приведем следующее обобщающее утверждение. ТЕОРЕМА 30. Пусть ., Рп: Х С (У), Р = ^ х. х Рп: А С (Уп), Н С У — замкнутое подпространство в У. Пусть Сгарк (Р) Ап (Н)-замкнут, и хотя бы один из графиков Сгар1г (Рг), 1 = 1,., п, Н-полон. Пусть существуют такие числа > 0,0 < /3 < а. что для каждого х 6 X, и каждого у € Р (х) существуют точки х'? X и у' G F (x'), для которых р{Х} х>) < ^ < 7. An (H)h.

11 d (y', An (H)) < ^ • d (y, An (H)). Тогда определен мультикаскад на графике Graph (F) отображения F с генератором Q, где G ((x, y)) := {(ж', у') <= Graph (F)p (x, x') < ^?u, d (yiy') < 7 ¦ %,#), d (y', H) < ^ ¦ d (y, H)}, (х, у) G Graph (F). Этот мультикаскад имеет непустое предельное множество, А С Graph (F), проекция которого на X равна P (Fi, Fn] Н). Причем для любой точки (ха, у0)? Graph (F) имеется такая соответствующая ей предельная точка (?, /7) = = (^0,y0), v (x0,y0)) е Л что < d (y0,v) <

Теорема 30 при Н = Y дает решение задачи о поиске совпадений п отображений (Теорема 28 четвертой главы). Кроме того, при Н = {с}, с G Y из нее получается утверждение о каскадном поиске общих корней заданных п отображений, соответствующих значению с (Следствие 3 четвертой главы).

Доказано (Утверждение 4 главы 4), что Теорема 28, в случае п = 2, содержит существенное усиление результата А. В. Арутюнова [1, Теорема 2]. Приводится пример (Пример 5 главы 4) двух многозначных отображений, не удовлетворяющих условиям [1, Теорема 2], но удовлетворяющих условиям Теоремы 28 выше.

В пятой главе решены вопросы устойчивости метода каскадного поиска по отношению к малому изменению начальной точки, а также к малым возмущениям исходных многозначных функционалов или отображений, при помощи которых построен поисковый мультикаскад. Рассматриваются две постановки задами об устойчивости каскадного поиска.

Первая из них (назовем ее слабой устойчивостью) является развитием, с точки зрения метода каскадного поиска, задачи об устойчивости точек совпадения накрывающего и липшицева отображений, рассмотренных А. В. Арутюновым в [2, Лемма 1 и Теорема 2]. А именно, рассматривается вопрос о секвенциальной полунепрерывности сверху (многозначного) отображения 7, ставящего с соответствие каждой точке х е X подмножество 7(ж) предельных точек (а, /?)-гюискового мультикаскада, удовлетворяющих оценочному неравенству р (х,?) < ^jf}.

Получено следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполнены условия принципа каскадного поиска (Теорема 18 главы 4) для многозначного поискового функционала ц). Предположим, кроме того, что однозначный функционал <р* непрерывен на X, и выполнено по крайней мере одно из условий:

A)пределъное мнооюество Ац, поискового мультикаскада компактно;

B)всякий замкнутый шар в X компактен.

Тогда отображение: X —" С (А) является секвенциально полунепрерывным сверху.П.

Применение этого результата к каскадному поиску множества совпадений, общих корней, общих неподвижных точек, а также общего прообраза замкнутого подпространства Н при действии конечного набора отображений дает соответствующие результаты о слабой устойчивости (Теоремы 2−4 главы 5).

Кроме того, доказано (Утверждение 1 и Замечание 2 главы 5), что теорема 4 при п = 2 и X — У дает обобщение результата А. В. Арутюнова [2, Лемма 1].

Напомним, что отображение Р: X —> С (У) называется полунепрерывным снизу в точке жо? X, если для любого открытого множества V С У, V П Р (х0) ф 0, существует окрестность [7 = и (ж0) С X такая, что для любого х' € и, V ПР (ж') ф 0. В случае метрических пространств для полунспрерывности снизу отображения ^ в точке х необходимо и достаточно, чтобы ДЛЯ любой последовательности {хп}п=1,2,., Хп с X, ^ СС" и любого у? Р (х) нашлась бы последовательность {уп}п=1,2,., Уп € -Р (жп) такая, что уп —* у.(См. соответствующие формулировки в книге [5, Определение 1.2.17 и Теоремы 1.2.19, 1.2.20, стр.28−29].

Далее рассматривается вопрос о том, при каких условиях малое возмущение многозначного поискового функционала, участвующего в Теореме 18 главы 4, или малые возмущения многозначных отображений, участвующих в Теоремах 24 и 30 и других главы 4, влекут малое (в некотором разумном смысле) изменение предельного множества соответствующего мультикаскада. Постановка этого вопроса, положительный ответ на который дается в Теоремах 5−7 главы 5, является естественным развитием задачи, поставленной и решенной А. В. Арутюновым для накрывающего и липшицева отображений в [2, Теорема 2].

Получен следующий результат.

ТЕОРЕМА 5. Пусть задан многозначный функционал: X —> Р (Я), и последовательность многозначных функционалов {<�рт}т=1:2,., срт: X —> Р (Н), такая, что одновременно для всех функционалов <рт, т > 1, выполнены либо условия Теоремы 18(1), либо условия Теорем, ы 18(11) главы 4, с коэффициентами ат,(3т, 0 < (Зт < (3 < а < агп. Обозначим Ат := АГт = МИ (срт) в случае условий Теоремы 18(1) главы 4, и АП1 Ач>т = в случае условий Теоремы 18(11) главы.

4 для всех т = 0,1,. и предположим, что Л0 ф 0. Пусть также (<�рт)Лх) —Е X. Тогда для каждого € Ло существут—<>оо ет последовательность {?т}го=1,2,.,? Ат, такая, что —>• и т—*оо.

Фактически в Теореме 5 доказана полунепрерывность снизу отображения т, т (ф) = Ар, на пространстве функционалов, удовлетворяющих Теореме 18 главы 4, с заданной в нем топологией поточечной сходимости однозначных функционалов, равных их инфимумам. В Теореме 5 доказано даже несколько больше, так как для функционала (р0 условия Теоремы 18 главы 4 не предполагаются выполненными.

Применение Теоремы 5 к задачам каскадного поиска множества совпадений, общего прообраза замкнутого подпространства, множества общих корней или множества общих неподвижных точек конечного набора многозначных отображений дает соответствующие результаты об их устойчивости (Теоремы 6,7 главы 5).

Доказано (Утверждение 2 главы 5 и замечания после него), что в частном случае, при п = 2 и Н = У, Теорема 7 главы 5 дает обобщение результата А. В. Арутюнова [2, Теорема 2].

Вторая постановка задачи об устойчивости (назовем ее сильной устойчивостью) и ее решение изложены в § 2 главы 5. Эта постановка является более стандартной. А именно, рассматривается вопрос об устойчивости подмножества 7(х) предельных точек поискового мультикаскада, достижимых из данной начальной точки х по его траекториям. Исследуется устойчивость этого множества как по отношению к малому изменению начальной точки, так и по отношению к малому возмущению соответствующего поискового функционала или порождающих его отображений. Сильная устойчивость принципа каскадного поиска относительно малого изменения начальной точки характеризуется свойством секвенциальной полунепрерывности сверху отображения 7, сопоставляющего каждой точке х Е X подмножество у (х). В пятой главе найдены достаточные условия для секвенциальной полунепрерывности сверху отображения 7.

Приведем необходимые определения.

Пусть на метрическом пространстве (Х, р) задан (о-,/3)-поисковый мультикаскад К (р (то есть определенный многозначным (а, /3)-поисковым функционалом <р согласно Теореме 18 четвертой главы). Траекторией мультикаскада К^ с генератором (7: X —" Р (Х), выходящей из точки, т0, будем называть всякую последовательность {жд^А^од.г,., где хк+ Е С{хк), то есть р (хк, хк+{) < (р*(хк+1) < %<�р*{хк). Введем обозначение: р^(х0, ад) := р (хо, хх) + Пусть Л > 0 и х0 Е X. Назовем точку, гд С X Х-связанной с тонкой ж0 (относительно мультикаскада Кр), если для любой его траектории Т = {^1г}т=од,. с начальной точкой х®- = х, найдется такая траектория То = {ж™}т=о, 1. выходящая из точки Жд = хц, и такой номер пг0 = т0(Т0, Тх), что для любого т., тп > то, Р<�р (х™>хТ) — ^ ' Р (х0,^1). Будем называть точку хо? x правильной (относительно мультикаскада К1р), если для некоторого Л > 0 любая точка х? -X" Л-связана с х0. Назовем мультикаскад правильным, если все точки х € X являются правильными (относительно К^).

Следующий результат пятой главы дает достаточные условия для сильной устойчивости поискового мультикаскада К9 относительно малых изменений начальной точки.

ТЕОРЕМА 9. Если точка х0? X — правильная относительно заданного на X поискового мультикаскада то отображение 7^ - секвенциально полунепрерывно сверху в точке хо. Если мультикаскад К, Р правильный, то отображение 7^ - секвенциально полунепрерывно сверху на всем Х.О.

Будем говорить, что последовательность траекторий Т- = {ж™}т=1,2,.> г = 1,2,., мультикаскада К слабо р^-сходится к его траектории 2о = {•го1}т=1,2,.) если существуют такие возрастающие последовательности номеров {гк}к=1,2,.л {тк}к=1,2,.1 что р! р{х™к, х™к) <

Доказано следующее полезное свойство поискового мультикаскада, связанное с поведением его траекторий.

ТЕОРЕМА 10. Пусть задан поисковый мультикаскад К^. Пусть последовательность начальных точек {жг}г=1,2,. ^ X сходится к точке Хо Е X, а некоторая последовательность предельных точек {х?°}{=1}2,.,.

Е 7(^1), сходится к точке € А^. Пусть существует последовательность траекторий Т — {х" 1}гп=112>., 1 — 1,2,., данного мультикаскада, выходящих из хг и приводящих в ж?°, которая слабо р.—сходится к какой-нибудь траектории То, начинающейся из xq. Тогда G j (x0) .?

Далее рассматриваются свойства устойчивости поисковых мультика-скадов по отношению к возмущениям соответствующих поисковых функционалов. Является ли предел поисковых функционалов также поисковым функционалом? Как связаны отображения 7 для близких поисковых функционалов? Ответы на эти вопросы даны в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 11. Пусть в метрическом пространстве X всякий замкнутый шар компактен, и пусть заданы многозначный функционал (ро и последовательность (ап, (Зп)-поисковых (многозначных) функционалов {"¿->&bdquo-}п=1,2,.> 0 < < (3 < ot < ап, причем последовательность однознач7шх функционалов {ipn*}n-i, 2,. равномерно сходится на X к однозначному непрерывному функционалу ipoгде tpk*(x) = inf G.

X, k = 0,1,. Пусть для всех п > 1 и любого х G X выполнено неравенство: ipn*(x) < <�ро*(х). Тогда верны следующие утверждения:

1)функционал (fio является (а, ¡-3)-поисковым на X;

2)если графики всех функционалов ipn, п > 1, 0-полны, и <�ро*(х) G (ро (х), х Е X, то и график функционала (ро 0-полон;

3)если графики всех функционалов <рп слабо О-замкнуты, то и график функционала с/?о слабо 0-замкнут.

4)Если выполнены условия утверждения 2), или X — полно и выполнены условия утверждения 3), то на X определены соответствующие мультикаскады KVn с предельными множествами AVn, п = 0,1,2,. Тогда для любого xq G X, из любой последовательности предельных точек {a-^°}n=o, i,2,.- хG %п{хо), можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой предельной точке .Xq° G 7<�о0(а-о)-П.

На основе Теоремы 11 получен ряд утверждений о сильной устойчивости принципа каскадного поиска по отношению к малым возмущениям (многозначных) отображений, определяющих поисковые функционалы, в условиях теорем четвертой главы о поиске прообразов, совпадений, общих неподвижных точек, а также общих корней конечных наборов отображений.

Автор выражает глубокую благодарность заведующему кафедрой Общей математики факультета ВМК МГУ академику РАН Владимиру Александровичу Ильину и всем сотрудникам кафедры за доброжелательную творческую атмосферу и всестороннюю поддержку.

Автор благодарит всех руководителей и участников семинаров, на которых докладывались и обсуждались результаты данной работы.

1. Арутюнов A.B., «Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки». ДАН, 2007, том 416, е2, с.151−155.

2. Арутюнов A.B., «Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений». Математические Заметки, т.86, вып.2, август 2009, стр. 163−169.

3. Баланов З. И. Бродский С.Д., «Принцип сравнения Красносельского и продолжение эквивариантных отображений». Функц.анализ. Теория операторов: Сб.науч.трудов. Ульяновск. 1984.

4. Богатый С. А., Гонсалвес Д. Л., Цишанг X., «Теория совпадения: Проблема минимизации». Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 1999, т.225, с.52−86.

5. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В., «Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений». КомКнига, Москва, 2005.

6. Борисович Ю. Г., Израилевич Я. А., «Вычисление степени эквивари-антного отображения методом спектральных последовательностей». Труды Мат. ф-та ВГУ, Воронеж, 1973, вып. Х, с.1−12.

7. Борисович Ю. Г., Израилевич Я. А., Щелокова Т. Н., «К методу спектральной последовательности А. Бореля в теории эквивариантных отображений». Успехи Мат. наук, 1977, вып.№ 1(193).

8. Борисович Ю. Г., Фоменко Т. Н., «Гомологические методы в теории периодических и эквивариантных отображений». В сб.: Глобальный анализ и математическая физика, серии «Новое в глобальном анализе Воронеж, ВГУ, 1987, с.3−25.

9. Бредон Г., «Введение в теорию компактных групп преобразований». Пер. с англ., М., 1980.

10. А. Дольд, «Лекции по алгебраической топологии». М.: Мир, 1976.

11. Забрейко П. П., «К теории периодически векторных полей». Вестн. Яросл. Ун-та, Ярославль, 1973, вып.2.

12. Забрейко П. П., «К гомотопической теории периодических векторных полей». Геометрические методы в задачах алгебры и анализа. Сб.науч.трудов., Ярославль, 1980.

13. Израилевич Я. А., «Индекс полусвободного периодического отображения». Мат.Заметки. 1973. т.13,№ 1.

14. Израилевич Я. А., «О числе Лефшеца отображения, коммутирующего с периодическим». Тр.мат.ф-та ВГУ. Воронеж, 1973, вып.4.

15. Израилевич Я. А., Мухамадиев Э. М., «К теории периодических отображений сфер». Седьмая летняя мат.школа. ИМ АН УССР, Киев, 1970.

16. Израилевич Я. А., «О вычислении степени эквивариантного отображения методом спектральных последовательностей». Тр.мат.ф-та ВГУ. Воронеж, 1974, вып. 12.

17. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, «Элементы теории функций и функционального анализа Наука, Москва, 1972.

18. Красносельский М. А., «О вычислении вращения векторного поля на гс-мерной сфере». ДАН СССР. 1955. т. 101, № 3.

19. Красносельский М. А., Забрейко П. П., «Геометрические методы нелинейного анализа». М., 1975.

20. Ленг С., «Алгебра». Пер. с англ., М., 1968.

21. Милнор Дж., «Теория Морса». «Мир Москва, 1965 г.22. ] Понтрягин Л. С., «Непрерывные группы». Наука, Физматлит, Москва, 1973.

22. Спеньер Э., «Алгебраическая топология». Мир, Москва, 1971.

23. Смит П. А., «Прибавление „В“ к книге С. Лефшеца „Алгебраическая топология“». М., 1949.

24. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б., «Курс гомотопической топологии». Наука, Физматлит, Москва, 1989.

25. Фоменко Т. Н., «О действиях конечных групп и эквивариантных отображениях». Международная Конференция по топологии и ее приложениям. Тезисы докладов, Баку, «Мецниереба с. 317, 1987 г.

26. Фоменко Т. Н., «О наименьшем числе неподвижных точек эквива-риантного отображения». XX ВЗМШ, Тезисы докладов, Воронеж, ВГУ, 2000, с. 166−167.

27. Фоменко Т. Н., «К задаче об удалении совпадений в положительной коразмерности». Международная Конференция «Дифференциальные уравнения и топология посвященная 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина. Тезисы докладов, с. 485.

28. Фоменко Т. Н., «О проблеме локализации и минимизации совпадений пары отображений в положительной коразмерности». Тезисы докладов Международной Конференции «Александровские Чтения-2006 30 мая-02 июня 2006, Москва, МГУ, мех.-мат. ф-т, с. 61.

29. Фоменко Т. Н., Zhu Jun, «Инвариант типа Нильсена для эквивариантных отображений, сохраняющих орбитную структуру». В сб.: Топологические методы нелинейного анализа (посвященном 70-летию Ю.Г.Борисовича), Воронеж, ВГУ, 2000, с.125−131.

30. Фролкина О .Д., «Относительная задача прообраза». Математические заметки, т.80, вып.2, 2006, с.282−295.

31. Фролкина О. Д., «Оценка числа точек прообраза на дополнении». Вестник Московского Университета, Серия. I, 2006, No. l, с. 17−25.

32. Фролкина О .Д., «Обобщенная задача прообраза». Диссертация на соискание степени канд.ф.-м.наук. Москва, МГУ, мех.-мат. ф-т, 2006.

33. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л., «Гомотопическая топология». М., 1971.

34. Хилтон П., УаилиС., «Теория гомологий». М.: Мир, 1966.

35. Чернявский А. В., «Группы преобразований». Седьмая леиняя мат. школа, ИМ АН УССР, Киев, 1970.

36. Щелокова Т. Н., «Теория Флойда-Смита и эквивариантные отображения многообразий». В сб. работ асп. по теории функций и диф. уравнениям. ВГУ, Воронеж, 1974, с.52−60.

37. Щелокова Т. Н., «К задаче вычисления степени эквивариантного отображения». Сибирский Мат.Журн., том XIX, № 2, 1978, с.426−435.

38. Щелокова Т. Н., «К теории эквивариантных отображений когомологических сфер». Методы решения операторных уравнений. Сб.науч.трудов, Воронеж, 1978, с.155−158.

39. Щелокова Т. Н., «К теории периодических отображений». Труды НИИМ ВГУ, Воронеж, 1974, вын. ХУ, с.75−80.

40. Щелокова Т. Н., «О вычислении степени отображений, эквивариантных относительно действий группы Zfc». Труды НИИМ ВГУ, Воронеж, 1975, вып. XX, стр.51−56.

41. Щелокова Т. Н., «О некоторых топологических инвариантах эквивариантных отображений». Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Воронеж, 1977.

42. Abdelkrim Aliouche and Ahcene Djoudi, «Common fixed point theorems for mappings satisfying an implicit relation without decreasing assumption». Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, vol.36(1) (2007), 11−18.

43. Balanov Z., Kushkuley A., «Geometric methods in Degree Theory for Equivariant Maps». Lecture Notes in Math., 1632(1996), Springer.

44. Borel A., «Seminar on transformation groups». Ann. of Math. Studies, 1960, № 46.

45. Frolkina O., «Minimizing the number of Nielsen preimage classes». Geometry and Topology Monographs, 14(2008), pp.193−217.

46. Gongalves D., Wong P., «Obstruction theory and coincidences of maps between nilmanifolds». Arch.Math., 84(2005), pp.568−576.

47. Gonialves D.L., Wong P.N.-S., «Nilmanifolds are Jiang-type spaces for coincidence». Forum Math., 13(2001), pp.133−141.

48. Gongalves D., Jezierski J., Wong P., «Obstruction theory and coincidences in positive codimension». Preprint, 2002, Bates College.

49. Granas Andrjej, Dugundji James, «Fixed point theory». SpringerVerlag, New York, 2003.

50. Guo J., Heath Ph.R., «Coincidence theory on the complement». Topology and its Appl., 95(1999), pp.229−250.

51. Guo J., Heath Ph.R., «Equivariant coincidence Nielsen numbers». Topology Appl., 128(2003), No.2−3, pp.277−308.

52. Hussain N., Rhoades B.E., Jungck G., «Common Fixed Point and Invariant approximation Results for Gregus Type/-Contractions». Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol.28, Issue 9−10, September 2007, pp.1139−1151.

53. Jezierski J., «The Relative coincidence Nielsen miinber». Fund.Math., 149(1996), pp.1−18.

54. Jiang B, «On the least number of fixed points». American Journal of Mathematics, vol, 102(1980), No.4, pp.749−763.

55. Jiang B., «Lectures on Nielsen fixed point theory». Providence (R.L.): Amer.Math.Soc., 1983. (Contemp.Math.: V.14,Amer.Math.Soc., 1982.).

56. Kivoshi Ise’ki, «On Common Fixed Points Theorems of Mappings». Proc. Japan Acad., 50 (1974), pp.468−469.

57. Koschorke U., «Coincidence theory in arbitrary codimensions: the minimizing problem». OberWolfach Report (2004), Vol.1, Heft 4, pp.2342−2344.

58. U.Koschorke. Nonstabilized Nielsen coincidence invariants and Hopf-Ganea homomorphisms. Preprint, Siegen, 2005.

59. Koschorke U., «Coincidence free pairs of maps». Preprint, Siegen, 2006.

60. Liao S., «A theorem on periodic transformation of homology spheres». Ann. of Math. Studies, 1952, № 56.

61. Saveliev P., «Higher order Nielsen Numbers». Fixed Point Theory and its Applications, 2005:1(2005), pp.47−66.

62. Saveliev P., «Removing Coincidences of Maps Between Manifolds of Different Dimensions». Topological Methods in Nonlinear Analysis, 22(2003), 1, pp.105−114.

63. Schirmer H., «A relative Nielsen number». Pacific Journal of Mathtmatics, vol.122, No.2, 1986, pp.459−473.

64. Schirmer H., «On the location of fixed points on pairs of spaces». Topology and its Applications, 30(1988), pp.253−266.

65. Schirmer Helga, «Fixed point sets of deformations of pairs of spaces». Topology and its Appl., 23(1986), pp.193−205.

66. Schirmer Helga, «A Survey of Relative Nielsen Fixed Point Theory». Contemporary Mathematics, 152(1993), pp.291−309.

67. Shi Gen Hua (Shih Ken-Hua), «On the least number of fixed points and Nielsen Numbers». Acta Math. Sinica, vol, 16(1966), No.2, pp.223−232.

68. Wilczyn’ski Dariusz, «Fixed point free equivariant homotopy classes». Fundainenta Mathematicae, CXXIII (1984), pp.47−59.

69. Wong Peter, «Equivariant Nielsen Numbers». Pacific.J.Math., vol.159, No. l, 1993, pp. 153−175.

70. Wong Peter, «On the location of fixed points of G-deformations». Topology Appl., 39(1991), 159−165.

71. Wong Peter, «Equivariant Nielsen Fixed point theory for G-maps». Pacific.J.Math., 150(1991), pp.179−200.

72. Wong Peter, «Equivariant Nielsen fixed point theory and periodic points». Contemporary Mathematics, 152(1993), pp.341−350.

73. Wong P., «Homotopy theory in Nielsen coincidence theory». Proc. of Int.Conf.on homotopy theory and Nielsen fixed point theory. April 10, 2000, pp.69−77.

74. Zhao X., «A relative Nielsen number for the complement». Lect. Notes in Math., vol.1411, 1989, Springer Verlag, pp.189−199.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

75. Фоменко Т. Н., «Алгебраические свойства некоторых когомологических инвариантов эквивариантных отображений». Математические Заметки, том 50, вып.1, 1991, с.108−117.

76. Фоменко Т. Н., «О наименьшем числе неподвижных точек эквивари-антного отображения». Математические Заметки, том.69, No. l, 2001, с.100−112.

77. Fomenko T.N., «On the least number of fixed points of equivariant mappings». Маломерная топология и комбинаторная теория групп. Труды международной конференции в Челябинске в 1999 г., Институт Математики НАН Украины, Киев, 2000, с. 131−146.

78. Фоменко Т. Н., «К задаче минимизации совпадений пары отображений в положительной коразмерности». Математические Заметки, том 84, вып. З, с.440−451.

79. Фоменко Т. Н., «Устойчивость каскадного поиска». Известия РАН, 2010, № 5, с.171−190.

80. Фоменко Т. Н., «К задаче каскадного поиска множества совпадений набора многозначных отображений». Математические Заметки, т.86, вып.2, 2009, с.304−309.

81. Фоменко Т. Н., «Каскадный поиск: устойчивость достижимых предельных точек». Вестник МГУ, Ж 5, 2010, е.3−9.

82. Фоменко Т. Н., «О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств». Математические Заметки, том 86, №.1, Июль 2009, с. 110.

83. Fomenko T.N., «Nielsen type invariants and the location of coincidence sets in positive codimentions». Topology and its Appl., 155(2008), pp.2001;2008.

84. Fomenko T.N., «Cascade search principle and its applications to the coincidence problem of n one-valued or multi-valued mappings». Topology and its Applications, 157(2010), pp.760−773.

85. Фоменко Т. Н., «Алгебраические характеристики эквивариантных отображений». В сб.: Алгебраические вопросы анализа и топологии. Серия: «Новое в глобальном анализе Воронеж, 1990, с.152−158.

86. Фоменко Т. Н., «Принцип каскадного поиска и совпадения N отображений». Материалы Международной Конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию В. А. Садовничего, 30 марта-02 апреля 2009 года, МГУ, Москва, е.99.

87. Fomenko T.N., «The stability of Cascade Search Principle». 2010 International Conference on Topology and its Applications, June 26−30, Nafpaktos, Greece. Abstracts. Nafpaktos, 2010, p.99.125.