Гомоморфизмы АН-плоскостей и изотопии тернаров

Диссертация посвящена разработке теории, 4Я-плоскостей — одного из классов инцидентностных структур.

Под инцидентностной структурой [1] понимают тройку.

где PCL = 0, alqPxL.

Элементы множества Р принято называть точками, а элементы множества L — прямыми. Отношение I называют отношением инцидентности.

В настоящее время наиболее изученными классами инцидентностных структур являются проективные и аффинные плоскости, по теории которых имеется обширная литература, в том числе ряд монографий: [14, 36, 46, 58, 63].

Один из новых методов алгебраических описаний инцидентностных структур был предложен в [8, 9, 29, 30]. В этих работах продолжена разработка теории проективных плоскостей с точки зрения алгебраических систем. Такой подход позволил совершенно по иному подойти к известным проблемам теории проективных плоскостей и получить результаты, связывающие алгебраическую теорию таких плоскостей с геометрией, комбинаторикой и теорией чисел. В них решен ряд алгебраических задач и получены результаты о свойствах свободных и близких к ним объектов и гомоморфизмах.

Инцидентностная структура Л = <�Р, ЬI, Н> называется аффинной плоскостью, если на множестве L задано некоторое отношение эквивалентности II, называемое параллельностью и при этом, справедливы следующие аксиомы:

А1. Для любых двух различных точек р и q существует единственная прямая L такая, чтоplL и qlL.

А2. Для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая L такая, что р IL и LIIМ.

A3. Если для прямых L и М не существует точки, инцидентной одновременно обеим этим прямым, то L \М.

А4. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

Наиболее содержательная теория как проективных, так и аффинных плоскостей была развита после их координатизации тернарными кольцами (тернарами), которая была предложена М. Холлом [12, 13, 63].

Тернарным кольцом называется тернарная алгебра 7≅, тернарная операция t которой удовлетворяет условию:

71. {Ча, Ь, с<=Т)(3х) t (a, b, x)=c.

Тернарное кольцо < Тt, О, 1 >, где множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1, называется тернарным кольцом с нулем 0 и единицей 1 (0¹), если выполняются следующие условия:

72. (Va, b, c&T) t (0,b, c)=c = t (a, 0, c),.

73. (Va, b&T) t (a, l,0)=a&t (l, b,0) = b.

Следует отметить, что существуют различные обобщения понятий нуля и единицы тернарного кольца, так называемые левые, правые нули и единицы тернарных колец (см. например [7, 25, 68]). Тернарные кольца, у которых О — нуль, а 1 — единица будут обозначаться TR.

На множестве Т произвольного тернарного кольца TR определяются бинарные операции «+», «ф», «-» условиями.

Va, beT) a+b = t (l, a, b), (Va, 6eJ) a® b = t (a, l, b), (Va, b<=T) a-b=t (a, b, 0).

Алгебраическая система A (T) = < T- +,©,-, 0, 1 > называется алгеброй, ассоциированной с тернарным кольцом TR.

Если выполняется условие:

Va, 6, ceJ) t (a, b, c)=a¦ b + c, то тернарное кольцо TR называется линейным тернарным кольцом (в [42] и [45] приводятся примеры плоскостей, которые невозможно описать линейными тернарами). Для линейных тернарных колец операции «+» и «ф» совпадают ([28], предложение 6).

Введем обозначения: t (x, a, b)=t (x, c, d) x= tl (a, b-c, d), t (a, x, y)-b & t (c, x, y)=d)<=>(x= tmS (a, b-c, d)&y= trS{a, b-c, d)).

Тогда условиями, определяющими тернарное кольцо Холла (в обозначении НТК), являются следующие две аксиомы:

TR1. Qfa, b, c, deT)(3bc) а*с <=$ х= tl (a, b-c, d);

TR2. (уа, Ь, с, de Т) (3!(jc, j>)) а* с (х= tmS (a, b c, d)&y= trS (a, bс, d)).

Общая идея исследований, использующих координатизацию проективных и аффинных плоскостей, состоит в том, что в них выявляются и затем анализируются связи между теми или иными свойствами этих плоскостей и алгебраическими свойствами тернаров. В частности, такие связи изучаются при наличии в плоскости тех или иных коллинеаций, конфигурационных свойств, гомоморфизмов, топологий [1, 10, 31, 61, 68]. Большое внимание уделяется также и исследованию зависимостей между тернарными кольцами, координатизирующими изоморфные плоскости [7, 11, 20, 51, 55, 56, 57, 64].

Следует также отметить, что в настоящее время теория тернаров представляет собой вполне самостоятельную область современной алгебры (см. например [46]), развитие которой имеет большое значение в связи с теорией инцидентностных структур.

Наряду с проективными и аффинными плоскостями большое место в теории инцидентностных структур, занимают их различные обобщения, связанные в основном с полным или частичным отказом от аксиомы А1 [1,3, 14, 25, 47, 48, 49, 50].

Начало этих обобщений было положено в работах Ельмслева [43, 44], а затем продолжено В. Клингенбергом в работах [47, 48, 49, 50] о «плоскостях со смежными элементами». В дальнейшем, в работе [54] Г. Люнебург называет эти инцидентностные структуры ельмслевовыми плоскостями.

Ельмслевовы плоскости (//-плоскости и ^//-плоскости) возникают при отказе от требования единственности прямой, инцидентной двум точкам, и единственности точки пересечения двух прямых. Неоднозначно соединимые точки таких инцидентностных структур называются смежными.

Известно, что любую проективную (аффинную) плоскость можно расширить до неоднозначной //-плоскости (/1//-плоскости). Интересно также отметить, что далеко не все факты, известные для однозначных плоскостей, верны для ельмслевовых. Например, в статье [39] доказано, что не всякую ^//-плоскость можно дополнить до //-плоскости и поэтому теории произвольных аффинных и проективных ельмслевовых плоскостей имеют независимый характер.

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных ельмслевовым плоскостям [1, 14, 33].

С момента появления таких инцидентностных структур ставится задача о их координатизации. Так, в работе [50], Клингенберг связывает с каждой прямой проективной ельмслевовой плоскости (//-плоскости) некоторую аффинную ельмслевову плоскость (^//-плоскость). Далее предполагая, что в этой плоскости справедлива малая аффинная теорема Дезарга и аффинная теорема Паппа-Паскаля (используя гильбертово исчисление отрезков [2], § 24), он описывает алгебраически такие плоскости с помощью коммутативного //-кольца (гл. 2, § 1). В работе [47] допускается выполнимость в аффинной ельмслевовой плоскости, связанной с некоторой прямой проективной ельмслевовой плоскости, малой и большой теоремы Дезарга и доказывается, что в этом случае такие плоскости можно координатизировать //-кольцом, не обязательно коммутативным. Люнебург в работе [54] координатизирует аффинные ельмслевовы плоскости трансляций. Далее в работе [38] Дрейк описывает координатизацию так называемых «радиальных ельмслевовых плоскостей», с помощью //-модулей. Наконец в 1967 году В. К. Цыганова в работе [15] координатизирует произвольные ^//-плоскости с помощью //-тернара (в дальнейшем J/Z-тернар), а в 1973 году, используя аналогичный подход, Е. П. Емельченков [6] координатизирует произвольные //-плоскости. Построенная им алгебраическая система была названа ///-тернаром.

Использование ^//-тернаров и ///-тернаров дает возможность алгебраического исследования произвольных ельмслевовых плоскостей.

Несмотря на наличие, достаточно большого количества, работ посвященных ельмслевовым плоскостям, имеется ряд нерешенных задач, относящихся к их теории [1].

Основное содержание данной диссертации изложено в трех главах. В ней предложен оригинальный подход к координатизации Л//-плоскостей и проведено исследование отображений ^//-плоскостей сохраняющих отношения инцидентности и параллельности. Кроме этого, в диссертации, решена задача описания алгебраической связи между ^//-тернарами, координатизи-рующими изоморфные ^//-плоскости.

В первой главе показана возможность координатизации произвольных ^//-плоскостей с помощью введенных в ней обобщенных тернарных колец Холла со смежностью.

Координатизация ^//-плоскостей впервые была проведена В. К. Цыгановой в статье [15]. Приведем определение Н-тернара, данное в этой статье, с сохранением терминологии и обозначений.

— тернар ([15], определение 4) — это множество М{0,1, а), содержащее нулевой и единичный элементы, в котором определены операции тройное отношение (a-b-с) и частичное тройное отношение (aoboc), обладающие следующими четырнадцатью свойствами:

Свойство 1: для любых а, Ъ, с из М,.

1) аОа,.

2) если aOb, то bOa,.

3) если aOb, ЬОс, то аОс.

Свойство 2: и-0-v=0-x-v=v.

Свойство 3: и'1−0=1-и-0 = и.

Свойство 4: уравнение 4: и — х — z = с однозначно разрешимо относительно z.

Свойство 5: уравнение щ • х • v, = и2 • х • v2 тогда и только тогда однозначно разрешимо относительно х, если и, 0 и2.

Свойство 6. Система.

Г u-xx-v—cx L u-x2v=c2 при jc, 0×2 однозначно определяет пару и, v. При xi О х2 система неразрешима. При jc, 9jc2, с, О сг имеем ме N. Свойство 7. Система.

Гу= u-x-v lx= то у о d где m&N, всегда однозначно определяет пару х, у.

Свойство 8: прихлОх2, ухОу2 одна и только одна из систем разрешима относительно и, v соответственно т, d и имеет, по крайней мере, два решенияпри этом v, О v2, d{ О d2. Свойство 9: система.

Гтоу, о d—xx Ут о уго d=x2 а) при у} 8 у2, хг О х2 однозначно определяет пару т, d, где те N. б) при jc, 0 .х% система не имеет решения.

Свойство 10. если, а и Ъ таковы, что Г, а = тх о Ъ о dx {а=т2о bo d2, то diOd2w имеется, по крайней мере, еще одна пара аь Ьу такая, что.

Свойство 11. уравнение, а = т о b о z однозначно разрешимо относи.

Свойство 12. 0 о у о d= d.

Свойство 13. еслиу=м-х-v, пьn2, n3eN, у, = (1 •пх-и)-{ •п2х)-(1 -n3-v), то существует п eN такое, что ух—-п-у. тельно z.

Свойство 14. еслих= moyo d, nx, n2, riie. N, x, = (lщ-т)о (1 • п2-у)о{- n3-d), то существует п eN такое, что х, = 1 ¦ пх.

В перечисленных свойствах символом О обозначается отношение смежности, заданное на множестве М, символ 0 означает его отрицание, а через N обозначено множество элементов, смежных с 0 (делители нуля вместе с нулем, определение 3, [15]).

Из анализа этого определения, видно несоответствие описания //-тернара современной символике и терминологии. Не совсем ясна связь между понятиями //-тернара и классического тернарного кольца Холла. Некоторые из свойств достаточно громоздки или нуждаются в уточнении (например, свойство 8). Также существенным недостатком является отсутствие условий (1.2.10) — (1.2.12) (см. гл. 1, стр. 26), которые необходимы для построения АН-плоскости над произвольным Л//-тернаром.

В отличие от [15], в данной диссертации применяется другой подход к координатизации ^//-плоскостей с помощью АН-тернаров. Он отчетливо указывает на глубокую аналогию ^//-тернаров и тернарных колец Холла.

Первый параграф главы является вводным. В нем приводятся основные свойства ^//-плоскостей, на которые опирается дальнейшее изложение.

Во втором параграфе вводятся понятия обобщенного тернарного кольца Холла {GTR, определение 1.2.1) и обобщенного тернарного кольца Холла со смежностью {GHTR, определение 1.2.2). Далее устанавливаются простейшие свойства этих колец, а затем в теореме 1.2.4 перечисляются свойства алгебры А (Т), ассоциированной с произвольным тернарным кольцом GHTR. Из материала, приведенного в данной работе, очевидно, вытекает, что — фактически, тернарные кольца GHTR, входящие в состав ////-тернаров, представляют собой как бы «основную часть» произвольных ^//-тернаров, так как их изучение в ряде случаев позволяет получать важные геометрические факты (см. например теоремы 2.1.2 и 2.1.6), справедливые для произвольных АН-плоскостей.

В третьем параграфе приводятся условия, определяющие понятия обобщенного частичного тернарного кольца (GTR0, определение 1.3.1) и обобщенного частичного тернарного кольца со смежностью (GHTR0, определение 1.3.2). Здесь же доказываются основные свойства таких тернарных колец.

Понятие частичного тернарного кольца фактически неявным образом используется и при координатизации однозначных проективных и аффинных плоскостей, но не требует отдельного введения из-за своего тривиального характера. Очевидна аналогия между GHTR и GHTR0, но теория GHTR0 не вытекает из теории GHTR и требует самостоятельного рассмотрения. Этот параграф завершается теоремой 1.3.2, в которой выделены основные свойства алгебр ассоциированных с GHTR0.

Четвертый параграф главы посвящен рассмотрению АН-тернаров (определение 1.4.1), которые определяются на основе тернарных колец GHTR и GHTR0. Здесь описываются основные свойства уШ-тернаров и их применение при координатизации ^//-плоскостей. Доказано, что понятие ЛЯ-тернара, введенное в данной диссертации, позволяет координатизировать произвольную ^//-плоскость и что над всяким ЛЯ-тернаром можно построить некоторую ^//-плоскость. Далее в теоремах 1.4.5 и 1.4.6, доказывается, что всякий ^//-тернар (с точностью до изоморфизма) является /1Я-тернаром, индуцированным невырожденной тройкой точек некоторой ЛЯ-плоскости, а всякая .////-плоскость (с точностью до изоморфизма) является ЛЯ-плоскостью, индуцированной ЛЯ-тернаром, построенным над произвольной невырожденной тройкой точек этой плоскости. В заключение доказывается теорема 1.4.7, в которой устанавливается, что алгебраические условия однородности АН-тернара (определение 1.4.2) адекватны условию однородности Л//-плоскости, индуцированной этим тернаром.

Структуризация ЛЯ-тернаров, введенная в первой главе диссертации, позволяет более рельефно представить их строение и дает возможность производить изучение свойств ЛЯ-тернаров, а, следовательно, и ЛЯ-плоскостей как бы «по частям». Кроме этого, построение ЛЯ-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец GHTR и GHTR0 дает возможность упростить раз.

11 работку теории как самих уШ-тернаров, так и тесно связанных с ними АН-плоскостей. С другой стороны, тернарные кольца GHTR и GHTR0 сами по себе представляют определенный алгебраический интерес, связанный, прежде всего, с теорией Л//-плоскостей.

На основе такого подхода в статье [28] в классе GHTR выделены тернарные кольца, над которыми можно построить ^//-плоскость. Эти кольца названы в ней тернарными кольцами Ельмслева (в обозначении ETR). Затем в статье [26] установлены необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять кольцо с делителями нуля для того, чтобы над ним можно было построить линейное ETR. Тернарные кольца, введенные в [26], называются /^-кольцами.

Во второй главе рассматриваются отображения АН-плоскостей, сохраняющие отношения инцидентности и параллельности. Такие отображения принято называть АН-морфизмами. ^//-морфизмы также привлекали внимание большого круга математиков, однако их изучение либо относилось к некоторым частным классам таких плоскостей [37, 41, 53], либо на сами АН-морфизмы накладывались дополнительные условия, такие как регулярность [66] или сохранение смежности точек [40, 65]. В диссертации изучение АН-морфизмов проводится координатным методом с помощью АН-тернаров. Оказалось, что привлечение /Ш-тернаров позволяет получать новые важные результаты, описывающие условия невырожденности, сюръективности и сохранения смежности, а также результаты, которые усиливают ранее известные.

Первый параграф второй главы посвящен изучению /Ш-морфизмов ^//-плоскостей (определение 2.1.1) и индуцированных ими Л/7-морфизмов GHTR (определение 2.1.5). Основное внимание уделяется рассмотрению невырожденных Л//-морфизмов (определения 2.1.2, 2.1.4).

Важным фактом, установленным в этом параграфе, является предложение 2.1.3, согласно которому невырожденный ^//-морфизм ip, переводящий.

GHTR Тв GHTR Т*, переводит любую пару несмежных элементов из7~в пару также несмежных элементов из Т*. На этом свойстве основано доказательство теоремы 2.1.2, в которой установлено, что всякий невырожденный АН-морфизм ^//-плоскости П~1 в ^//-плоскость *НГ любую пару несмежных точек и всякую пару несмежных прямых ^//-плоскости И переводит, соответственно, в пару несмежных точек и пару несмежных прямых ЛЯ-плоскости.

Эта теорема является усилением основного результата п. 1 статьи [66].

Далее анализируются условия, при которых невырожденный АН-мор-физм сохраняет отношение смежности точек. Основной результат этого исследования вытекает из теоремы 2.1.7 (следствие 2.1.8). В нем доказано, что невырожденный /1/7-морфизм f: H-^l C сохраняет отношения смежности точек и смежности прямых тогда и только тогда, когда для произвольной пары ^//-тернаров Н и Н соответствующих при f, индуцированный этим отображением Л/7-морфизм (р: Н-*НТ является невырожденным.

Во втором параграфе этой главы рассматриваются так называемые отношения улучшенной смежности ~т (определение 2.2.3), примерами которых являются отношения конгруэнции (определение 2.2.1), индуцированные АН-морфизмами произвольных GHTR и ^//-тернаров.

Основными результатами этого параграфа являются теоремы 2.2.5, 2.2.6 и 2.2.7:

1) Множество отношений улучшенной смежности произвольного АН-тернара Нлинейно упорядочено по включению;

2) Пусть Н и Нг — некоторые ^//-тернары. Тогда если при ЛЯ-морфиз-ме ip: Н-+Н', (р (Н) = Н* и Н* - некоторый АН-тернар, то Н* однозначно определяется полным прообразом любого своего элемента;

3) Пусть ц) и (р2 — А /7-морфизмы АН-тернара Н, <�Р (Н) —Н1 и ср2(Н)=Н2. Тогда если Нх и Н2 — некоторые АН-тернары, то существует такой АН-ыор-физм (р, что (р (Н^=Н2 или (f{H2)=Hl.

Результаты третьего параграфа в основном опираются на результаты двух предыдущих. В нем рассматриваются сюръективные Л/7-морфизмы АН-плоскостей, которые называются АН-эпиморфизмами (определение 2.3.1). Здесь устанавливается справедливость следующих свойств:

1) Всякий ^//-эпиморфизм f: ^//-плоскости на ^//-плоскость.

НГ является невырожденным ^//-морфизмом (теорема 2.3.1);

2) Невырожденный ^//-морфизм f:

3) Невырожденный уШ-морфизм f.

4) Всякий ^//-эпиморфизм /^//-плоскости *Н на ^//-плоскость 'Hf сохраняет смежность и несмежность как точек, так и прямых (теорема 2.3.4);

5) Пусть fi. ^H-^^Hi (J = 1,2) ^//-эпиморфизмы ^//-плоскости ГН на АНплоскости *Hi и «Н2. Тогда, если хотя бы для одной пары точек, рх e'/i, и pz е *Н2, их полные прообразы совпадают, то плоскости и 'Н2 изоморфны (теорема 2.3.5);

6) Пусть / и f2 — ^//-эпиморфизмы АН-плоскости <Н на ^//-плоскости *Н, и *H2. Тогда существует, по крайней мере, один ^//-эпиморфизм fy: 'Hf^'Hj (i, j е {1, 2}, / * j) (теорема 2.3.6);

7) Пусть f: <7Yi><7Y2 ^//-эпиморфизм ^//-плоскости *Н, на АН-плоскость.

7 Тогда существует биективное, изотонное отображение ц> отношений конгруэнтности г плоскости 'Hi, для которых г/стс~, на отношения конгруэнтности плоскости (Н2 (теорема 2.3.7);

8) Всякая конечная собственная ^//-плоскость является Л (//-плоскостыо уровня п ([37], определение 17) для некоторого натурального п>2 (следствие 2.3.8);

9) ^//-плоскость уровня п (Artmann, [32]) имеет ровно п Л//-зпиморф-ных образов (теорема 2.3.8);

10) Пусть f. 'Н-^'Н' АН-эпиморфизм ^//-плоскости СИ на ^//-плоскость.

Н Тогда если (Н — однородная ^//-плоскость, то и ^//-плоскость Н' однородна (теорема 2.3.9);

11) Если две собственные однородные ^//-плоскости имеют один и тот же канонический гомоморфный образ, то эти плоскости изоморфны, или ни одна из них не является ^(//-эпиморфным образом другой (теорема 2.3.10).

Таким образом, результаты второй главы диссертации проясняют взаимосвязи между произвольными ^//-эпиморфными образами одной ^//-плоскости и дают важную информацию о их строении. Они показывают, что АН-плоскости можно классифицировать по наличию ^//-эпиморфных образов и указывают на место в этой классификации однородных ^//-плоскостей.

— плоскости с улучшенной смежностью изучались в работе [32]. Однако, в ней, (см. [32], определение 8), утверждение, доказанное в следствии 2.3.6, принимается за исходный пункт, а в диссертации это утверждение является одним из ее заключительных результатов. Кроме этого, определение улучшенной смежности, данное в статье [32], фактически означает дополнительное требование того, чтобы ^//-морфизм сохранял смежность точек.

В третьей главе диссертации изучаются алгебраические связи, возникающие между АН-тернарами, координатизирующими изоморфные АН-плоскости. Решение подобных задач в различных классах инцидентностных структур привлекало постоянное внимание многих известных математиков. Эти задачи возникли, благодаря вышедшей в 1962 году монографии М. Холла [13]. Следует отметить, что наиболее выдающийся вклад в их решение, в случае однозначных проективных плоскостей, внесли JI.A. Скорняков ([11], [12]), Г. Е. Мартин ([55], [56], [57]), Ф. В. Стивенсон [64]. Среди работ недавнего времени, посвященных данной проблеме, следует также отметить [7].

В связи с появлением алгебр, координатизирующих произвольные АН и РЯ-плоскости ([6], [15]), эта задача стала актуальной и для класса ельмсле-вовых плоскостей, что и было отмечено в обзоре [1] Б. И. Аргуновым и Е. П. Емельченковым.

Пусть АН-тстщ> Нпостроен над репером R (p0, pl3р2) АН-плоскости <Н, а АН-тернар Н' - над репером R '(Ро, р[, Р2) АЯ-плоскости «Я'.

В диссертации решение, указанной выше задачи, привязано к различным случаям взаимного расположения репера J[R) = (ЛРо)>Лрд, ЯР2)), являющегося образом реперис.1). Поэтому рассматриваемые в диссертации изоморфизмы^{Я-плоскостей} называются ре-перными изоморфизмами. Понятно, что решение этой задачи для различных, А Я-плоскостсй ведет к параллельному решению аналогичной задачи, описывающей алгебраические связи, возникающие между различными ЛЯ-тернарами одной ^Я-плоскости.

В первом параграфе главы вводятся понятия а)-изотопий ЛЯ-тернаров (определения 3.1.1— 3.1.10).

Затем в теоремах 3.1.1−3.1.10 установлено, что ЛЯ-тернар Н со (-изотопен (/ = 0,1,2,., 9) ЛЯ-тернару #' тогда и только тогда, когда существует изоморфизм/: такой, что соответственно: pa R (p0, Pi, Рг) при изоморфизме f. fKr, и репера RXp^p'^p'i).

Рис. 1.

0)ЛРо) = Ро, Лрд = Р, ЯРг) = Р’г;

2)Лро) = р’о, Лр2)= Р2, ЛХ)=Х'- 4) ЛУ) = У;

5)№=Х'ЪПЛГ)~ПГ AY) WY.

7)ЛУ) II Г;

8) Щу)~Пу>

9)j{X) =ХГ и /2д у) ф Пг.

Во втором параграфе решена анонсированная выше задача. Для ее решения введено понятие ^//-тернаров, связанных цепочкой &->изотопий (определение 3.2.1), и в теореме 3.2.1 доказано, что ^//-тернары Н и Н' координа-тизируют изоморфные ^//-плоскости в том и только в том случае, если их можно связать цепочкой не более чем из четырех <�х)-изотопий вида со0 — со9.

Далее в этом параграфе вводятся понятия еще двух w-изотопий: со10 и (х)п, после чего задачу, поставленную в начале этой главы, удается решить без применения цепочки оьизотопий. Ее решение приводится в теореме 3.2.4, согласно которой АН-тернары Н и Н' координатизируют изоморфные АН-плоскости (или одну ^//-плоскость) в том и только в том случае, если Ha>s Нг или На>иНг.

Кроме указанных в данном обзоре основных результатов, в диссертации доказан и ряд других промежуточных и вспомогательных утверждений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 68 наименований. Нумерация утверждений и формул соответствует главе, параграфу и порядковому номеру, например (2.2.5) означает пятая формула второго параграфа второй главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты: структуризация ЛЯ-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец Холла со смежностью (GHTR) и частичных тернарных колец со смежностью (GHTR0) — исследование ЛЯ-морфизмов ЛЯ-плоскостей методом тернарных колецописание алгебраических связей, возникающих между ЛЯ-тернарами, координатизирующими изоморфные ЛЯ-плоскостиалгебраический метод тернарных колец для исследования свойств аффинных ельмслевовых плоскостей.

Данная работа выполнена в 2008 году и основана на значительно переработанных и дополненных новыми результатами статьях [17,21,24]. При получении и обосновании геометрических результатов диссертации в основном используется координатизация ^/-плоскостей ЛЯ-тернарами.

Диссертация носит теоретический характер в области геометрии инцидентностных структур с приложениями в общей алгебре. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Предложенный в диссертации подход к координатизации ЛЯ-плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец GHTR и GHTR0 может быть реализован и для ельмслевовых проективных плоскостей относительно РНтернаров, введенных в [6], а а>изотопии, рассмотренные в данной диссертации, могут быть подвергнуты дальнейшему исследованию, как в алгебраическом, так и в ^ геометрическом направлениях.

Результаты, приведенные в диссертации, неоднократно докладывались на научных семинарах СГПИ им. К. Маркса, руководимых профессором Б. И. Аргуновымнаучном семинаре кафедры алгебры и геометрии СОГУмеждународной конференции «Системы компьютерной математики и их.