Об индуктивных размерностных инвариантах

Вопрос о взаимоотношениях между основными размерност-ными инвариантами dim, irtd, Jn. ol является одним из основных вопросов теории размерности. Еще П. С. Урысоном было установлено совпадение всех трех размерностей для метрических компактов. Для неметризуемых бикомпактов X выполняются лишь неравенства dim. X ^ indX 4 ln. o (X и построен длинный ряд примеров / Лунц [4 J, Локуциевский L^J^ Вопенка[18 ], Мардешич[ 17 J, Пасынков[ 5 ]- [ 7 Лифа-нов[ 8 ], Филиппов [ 12 ]-[ 13 J, Федорчук[ 9 ]-[ 10 ], Бобков [2 ]и др. / бикомпактов с несовпадающими размерностями cLim. и Lnci, inol и Jncl, и с различными дополнительными свойствами. В частности Мардешич[17 ]построил змеевидный бикомпакт М с ulc/M-2. Напомним, что бесконечный бикомпакт называется змеевидным, если в любое его открытое покрытие можно вписать открытое цепное покрытие, то есть такое покрытие }) = (Ui Ji = f «что ^ лЪ¡-j Ф-0 тогда и только тогда, когда / c-j / ~ i • К3-®-1 нетрудно заметить, змеевидность бикомпакта X «во-первых, гарантирует его связность и одномерность в смысле лебеговой размерности dim и, во-вторых, означает, что с комбинаторной точки зрения среди всех одномерных бикомпактов он устроен максимально простым образом, а именно: для любого своего открытого покрытия CJ он обладает СJ — отображением на отрезок, то есть в топологическом смысле отличается от отрезка сколь угодно мало. В[17 ]Мардешич выразил надежду на существование змеевидных бикомпактов со сколь угодно большой индуктивной размерностью Lad. Основная теорема главы I из § 4 отвечает на предположения Мардешича утвердительно.

Теорема I.4.I. Для любого П — 2, Ъ,. существует сепа-рабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт О- > ^) с ?-IT-d- ^ О З^п.) ~ ^ ДЛЯ любой rL. / точки осе (J.) ^ nJ .

Отметим, что впервые змеевидный бикомпакт /Y с 1-ой аксиомой счетности и с игс1 X — 2 был построен Л. Ю. Бобковым [2 ]. Однако и в примере Бобкова, и в примере Мардешича размерность сао/ равнялась 2 не во всех точках соответствующих бикомпактов. Отметим также, что метод построения бикомпактов (J ,) является развитием и специализацией методов вполне замкнутых отображений В. В. Федорчука /[ 9],[ 10 ] и др. /. Напомним, что непрерывнее отображение называется вполне замкнутым, если для любой точки у-^У и любого покрытия cj = 1j? = / прообраза ^ у точки открытыми в X множествами множество является окрестностью точки^. Всякое вполне замкнутое отображение, очевидно, замкнуто и имеет место, используемое в главе 2.

Предложение / Федорчук (II ]/. Пусть fX вполне замкнутое отображение нормального пространства X на паракомпактное пространство У. Тогда dim. X — /^Q-Oc [cLL m. f, cLcm. У].

Бикомпакты из теоремы 1.4.I связаны вполне замкнутыми отображениями Jf^ ¦ (I, Г^)? П~ Z, Ъ}.

Взятие предела возникающей обратной последовательности позволяет получить следующее утверждение.

Теорема 2.4.1. Существует сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт /V, у которого всякое замкнутое подмножество либо нульмерно, либо не имеет индуктивной размерности 'Сп.с1. Более того, всякое бесконечное связное замкнутое подмножество бикомпакта Л^ гомеоморфно бикомпакту X^.

Из теоремы 1.4.1 в § 4 главы I легко получается Следствие 3.4.1. Существуют сепарабельные с 1-ой аксиомой счетности змеевидные бикомпакты^со0 и^со с 1пс!, спс/Х^^.

Заканчивая обзор первой главы, отметим, что во всех перечисленных результатах доказательства змеевидности опираются на достаточные условия, рассмотренные в § I, Параграф 2 этой главы является базисом индукции для теоремы 1.4.1. Параграф 3 — служит лучшему пониманию общей конструкции § 4.

Глава 2 посвящена построению однородных бикомпактов с несовпадающими размерностями. Напомним, что топологическое пространство X называется однородным, если оно обладает следующим свойством: для любой упорядоченной пары точек пространства Л существует такой гомеоморфизм / •• X -* X, что /х = у .

Метод развитый в § 4 главы I и примененный в § I главы 2 позволяет усилить результат В. В. Федорчука [ 10 ] о существовании однородного бикомпакта Ф с <к и с. А именно, имеет место следующая теорема из § 3 главы 2.

Теорема 1.3.2. Для любого 2,5,. существует одномерный в смысле cLim. топологически однородный сепа-рабельный с 1-ой аксиомой счетности бикомпакт ((^^ ^ Z ^ j.

С са ?((S^zD^n.

Бикомпакты ((«S1J ^ Т ^), П — 2,3,. из сформулированной теоремы связаны вполне замкнутыми отображениями тг» «-) —>((S 1 т ^ ft. = 2,3,.

Взятие предела возникающей обратной последовательности позволяет полущить следующее утверждение из § 3 главы 2.

Теорема 2.3.2. Существует сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности однородный бикомпакт Я*^,, не имеющий индуктивной размерности Lrcci * ditn. Я^ - 1.

Кроме того для перечисленных выше примеров бикомпактов имеют место равенства.

Г lnc/(I Vru)= crLadiCS^^Arb, а <Т Lrtcl ^ cjQ = G’in-of ~.

Напомним, что индуктивная размерность (У in с/ была определена Б.А.Пасынковым[ 5 ] следующим образом. Тогда и только тогда (Г irtd X = -{, когда Пусть класс пространств, удовлетворяющих неравенству (ТLh.d X < iL, П^О, уже определен. Положим б" ¿-notX^fl, если X можно представить в виде счетной суммы замкнутых множеств Fl fi-ijZj. так, чтобы для любой точки ос и любого замкнутого, множества? непустые пересечения л < F^ и Ь л f. можно отделить в F^ перегородкой С размерности (Усп-с/ С <. Всегда б" Lrtcl X ^ с/г с/ X.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по общей топологии в Московском университете. Они опубликова ны в работах (14″ ]-(I 5 J.

Автор признателен Б. А. Пасынкову за внимание к работе.