AG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях кинематического типа

Одним из важнейших разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформации поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Под деформацией поверхности F понимают семейство /Ft} преобразований поверхности F в поверхность Ft, зависящее некоторым образом от параметра t, t е (~t0> to), h > 0, так, что F0 = F. Как правило, рассматривают деформации, сохраняющее некоторые наперед заданные свойства поверхности F.

К настоящему времени достаточно полно изучены изометрические деформации поверхностей, называемые изгибаниями, сохраняющие длины дуг всех кривых, лежащих на поверхности. Вопросы изгибаний поверхностей нашли отражение в работах А. Д. Александрова [1], A.B. Погорелова [19], Н. В. Ефимова [8], В. Т. Фоменко [23], С. Б. Климентова [13] и других авторов. Одним из основных результатов теории изгибания поверхностей является теорема A.B. Погорелова об однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей, а также теорема о существовании изгибаний поверхностей положительной полной кривизны с краем [19].

Наряду с теорией изгибаний поверхностей в настоящее время значительный интерес представляют исследования более общих форм деформаций поверхностей: деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности, ареальных деформаций, конформных, геодезических и других.

Более подробно остановимся на результатах из теории ареальных деформаций и деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности.

Ареальные деформации поверхности, то есть деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности (коротко, А — деформации), рассматривались М. С. Синюковым [20], JI.JI. Бескоровайной [3], и другими. Основные уравнения бесконечно малых, А — деформаций первого порядка в тензорной форме впервые были получены М. С. Синюковым [20]. Им же было указано на возможность применения для бесконечно малых, А — деформаций теории обобщенных аналитических функций и на возможность приложения этих деформаций в теории оболочек. Впоследствии, JI.JI. Бескоровайной было доказано [2], что бесконечно малая, А — деформация первого порядка односвязной поверхности S ненулевой гауссовой кривизны К описывает безмоментное напряженное состояние равновесия оболочки со срединной поверхностью S при наличии внешней нагрузки, в выборе которой имеется две степени свободы и наоборот. Там же установлено, что поверхность положительной полной кривизны с краем допускает бесконечно малые, А — деформации с произволом в две действительные функции. В работе [4] изучены вопросы продолжения бесконечно малых, А — деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны К >к0 > 0, ко = const, с краем в аналитические.

Вопросы деформаций поверхностей с сохранением поточечно гауссова, или, как иногда говорят, сферического образа (коротко G — преобразования) изучались в работах В. Ф. Кагана [12], Ю. А. Аминова [2], В. Т. Фоменко [25] и других. Наиболее распространенными преобразованиями, сохраняющими гауссов образ поверхности, являются преобразования гомотетии. К числу G — преобразований относится также переход от данной поверхности к параллельной ей поверхности [12] (ч.1, § 33). В работе [27].

2 3 показано, что двумерная сфера S в Е допускает G — преобразования с произволом в одну действительную функцию двух переменных. Отметим, что соответствие Петерсона двух поверхностей F и F*, рассматриваемое в.

30], (с.280−285), является О — преобразованием поверхности Р в поверхность Р*.

Проблема изучения преобразований двумерных поверхностей в Е которые одновременно являются и, А — преобразованиями и С — преобразованиями (коротко АО — преобразования) возникает при рассмотрении проблемы Минковского, где решается вопрос о существовании и единственности в Е3 замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной как функцией внешней нормали, заданной на единичной сфере. В такой постановке единственность решения проблемы Минковского означает отсутствие АО — преобразований овалоида, отличных от параллельного переноса.

Известно [9], что односвязный кусок поверхности положительной гауссовой кривизны допускает АС — деформации (как бесконечно малые, так и непрерывные).

Бесконечно малые АО — деформации поверхности положительной гауссовой кривизны исследовались в работах В. Т. Фоменко. Так, в работе.

26], им установлена связь между бесконечно малыми изгибаниями односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны К >к0> 0, ко = 2 const^ в Е и бесконечно малыми АО — деформациями этой же поверхности, а именно, доказано, что всякое изгибающее поле двумерной поверхности 2 положительной гауссовой кривизны в Е при бесконечно малых изгибаниях поверхности порождает некоторое поле смещений бесконечно малых АО — деформаций этой же поверхности. Справедливо и обратное утверждение. Отсюда следует, что замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны в силу ее жесткости относительно бесконечно малых изгибаний допускает только бесконечно малые АО — деформации, совпадающие с параллельным переносом. В работе [26] доказано так же, что всякая пара поверхностей Ех и /72 положительной гауссовой кривизны, допускающих АО — преобразования друг на друга, порождает бесконечно малую АО — деформацию их срединной поверхности Р. Имеет место и обратное утверждение: всякая бесконечно малая АО — деформация срединной поверхности Р порождает пару поверхностей ^ и Р2, которые допускают АО — преобразования одной поверхности на другую. Отсюда еле.

Л""' дует, что пара изометричных поверхностей ^ и ^ порождает пару поверхностей I') и находящихся в АО — соответствии, и обратно.

Так как замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны не допускает АО — преобразований, отличных от параллельного переноса, то представляет большой интерес рассмотрение таких преобразований для поверхностей с краем.

Если на поверхность ^ наложить внешнюю связь и отыскивать АО — деформации поверхности Р, совместимые с этой связью, то вопрос о существовании таких АО — деформаций остается открытым. Внешние связи, налагаемые на поверхность ^ при ее АО — деформации могут быть весьма разнообразны: склеивание поверхностей [28], втулочные связи на краю поверхности F [24], защемление поверхности вдоль края [31], условия точечного типа [35] и другие. В настоящее время изучены АО — деформации односвязных поверхностей положительной гауссовой кривизны при задании поведения некоторых геометрических характеристик края поверхности при ее АО — деформации (стационарность линейного элемента вдоль края, стационарность второй квадратичной формы поверхности вдоль края, стационарность кривизны края, средней кривизны поверхности вдоль края и др.) [9], [10].

В то же время недостаточно изученными в теории АО — деформаций поверхностей являются внешние связи вида = о,, где К — линейный аддитивный оператор, заданный на некотором множестве Т точек поверхности Т7, сг — заданная на Т функция, сг0 = 0. Такие внешние связи были введены И. Н. Векуа в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и названы им внешними связями кинематического типа. Особый интерес представляет рассмотрение корректных и квазикорректных с р степенями свободы внешних связей кинематического типа, рассмотренных ранее в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [22] и характеризующихся тем свойством, что поверхность, подчиненная этим связям, допускает деформации, порождаемые одним или конечным числом р >1 параметров. В связи с этим возникает проблема отыскания внешних связей кинематического типа, которые могут быть описаны в терминах корректности и квазикорректности. Этим обусловлена актуальность данного исследования.

В предлагаемой диссертации изучаются АО — деформации одно-связных поверхностей положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве при внешних связях кинематического типа.

Целью настоящей работы является выделение класса корректных и квазикорректных связей кинематического типа в отношении АО — деформаций поверхностей (бесконечно малых, непрерывных, аналитических по параметру) и описание поведения поверхностей в отношении АО — деформаций при этих связях.

Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

— Установлено, что внешняя связь обобщенного закрепления односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны вдоль края относительно заданной плоскости совместно с условием точечного типа, а также условие защемления края поверхности являются корректными внешними связями в отношении АО-деформаций поверхности (бесконечно малых и непрерывных).

— Найдены условия жесткости и однозначной определенности в 8 — окрестности односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с краем в отношении бесконечно малых и непрерывных АО-деформаций поверхности при указанных выше внешних связях.

— Установлено, что внешняя связь обобщенного скольжения описывается в терминах квазикорректности для бесконечно малых и непрерывных АО — деформаций рассматриваемой поверхности.

— Указаны условия, при которых бесконечно малая АО — деформация односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны, подчиненная условию обобщенного закрепления вдоль края, может быть продолжена в аналитическую АО — деформацию при внешней связи обобщенного закрепления края относительно заданной плоскости.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии в «целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [31] - [37] и докладывались на итоговых научных конференциях ТГПИ (1997;2000), международной конференции «Ломоносов-2000» (Москва, апрель, 2000 г.), на семинаре кафедры геометрии Ростовского государственного университета (руководитель проф. С.Б. Климентов) (май, 2000 г.), на шестой международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства» (Таганрог, июнь, 2000 г.), на международном школе-семинаре по геометрии и анализу памяти И. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь, 2000 г.).

Работа получила поддержку РФФИ, проект № 99−01−814, а также вошла в научно-техническую программу Министерства образования России «Университеты России — фундаментальные исследования», проект 1686, 1998;1999.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 названий.

1. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. -М. — Л.: ОГИЗ- 1948.

2. Аминов Ю. А. О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве // Укр. геометр, сб. 1980. -№ 23.-с. 3−16.

3. Бескоровайная Л. Л. Про нисюнченно мал! деформаци поверхонь, яю вщповщають одному типов! безмоментно! напружено! ривноваги навантажено! оболонки // 36. «Друга наукова конференц! я молодих математиюв Украши». Кшв: Наукова Думка. — 1966. — с. 39−42.

4. Бескоровайная Л. Л., Дерманец Н. В. О продолжении бесконечно малых ареальных деформаций поверхностей // Сб. «Восьмая Всесоюзная научная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии». Тезисы докладов. — Одесса. — 1984, — с. 20.

5. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.: ОНТИ НКТП СССР, гл. ред. общетехнической литературы и номографии — 1935.

6. Векуа H.H. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука -1988.

7. Гахов В. Д. Краевые задачи. М.: Наука — 1977.

8. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей // УМН. 1948. — т. 3, вып.2. — с. 47−158.

9. Забеглов A.B. AG преобразование поверхностей положительной полной кривизны с заданным изменением первой и второй квадратичных форм поверхности вдоль края // Тезисы докладов конференции по геометрии «в целом» — Черкассы, ЧИТИ — 1999. — с. 68−69.

10. Исанов Т. Г. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны // Сиб. мат. ж. 1979. — 20, № 6. — с. 1261−1268.

11. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. М.: ОГИЗ — 1948. — т. 1−2.

12. Климентов С. Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибания поверхностей положительной кривизны // Укр. геометр, сб. 1986. — № 29. — с.56−82.

13. Колегаева Е. М., Фоменко В. Т. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей в аналитические изгибания при внешних связях // Мат. заметки. 1989. — т. 45, № 2. — с. 30−39.

14. Кон-Фоссен С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М.: Физматиз — 1959.

15. Ладыженская O.A., Уральцева И. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука — 1964.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М., изд. иностранной лит. — 1957.

17. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, изд. «Наука» — 1977, — с. 224−235.

18. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. -М.: Наука-1969.

19. Синюков Н. С. О развитии современной дифференциальной геометрии в Одесском государственном университете им. И. И. Мечникова за последние годы // Изв. вузов. Математика 1986. — № 1. — с. 69−74.

20. Фоменко В. Т. Распределение нежестких втулочных связей для выпуклой поверхности // Доклады академии наук СССР 1966. — т. 166, № 6-с. 1300−1303.

21. Фоменко В. Т. Непрерывные изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Мат. сб. 1979. — 110, № 4 — с. 493−504.

22. Фоменко В. Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем // Мат. сб. 1964. — 63, № 3. -с. 409−425.

23. Фоменко В. Т. О бесконечно малых G деформациях поверхностей в римановом пространстве //Сб. науч. работ «Деформации поверхностей с заданными рекуррентными соотношениями». — Таганрог, изд. ТГПИ -1995.-с. 6−19.

24. Фоменко В. Т. Некоторые свойства AG преобразований поверхностей // Сб. науч. трудов шестой международной конференции «Математические модели физ. процессов и их свойства» — Таганрог, изд. ТГПИ -2000. — с. 3−5.

25. Фоменко В. Т. Общая формула решений уравнений Петерсона-Кодацци на гиперсфере // Укр. геометр, сб. 1989. — № 32 — с. 124−126.

26. Фоменко Л. П. О жесткости одного класса склеенных кусочно-выпуклых поверхностей // Сб. науч. работ по межвузовской науч. программе «Университеты России фундаментальные исследования» — Таганрог, изд. ТГПИ — 1999. — 4.2. — с.50−57.

27. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия. -М., гос. изд. физ-мат. лит. 1963. — с. 280−285.

28. Бабенко О. Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Сб. науч. работ преподавателей и аспирантов матем. кафедр ТГПИ — Таганрог, изд. ТГПИ — 1999. — с.20−39.

29. Бабенко О. Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости // Сб. науч. трудов преподавателей и аспирантов ТГПИТаганрог, изд. ТГПИ — 2000. — с. 216−226.

30. Бабенко О. Н. Непрерывные AG преобразования выпуклых поверхностей с краевым условием // материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов». -М.- изд. Московского университета. — 2000. — вып. 4. — с. 318−319.