Контактно-автодуальная геометрия некоторых классов почти контактных метрических многообразий

Актуальность работы. Настоящая работа, с одной стороны, посвящена 5-мерным многообразиям, снабженным почти контактной метрической структурой. Теория же структур, указанного типа, занимает видное место в ряду дифференциально-геометрических структур, изучаемых на данный момент, в силу приложений к современной математической физике (например, к классической механике, к теории геометрического квантования и др.), а также в силу богатства геометрического содержания самой этой теории и ее связей с другими разделами современной геометрии (например, с теорией гиперповерхностей римановых многообразий). Более полувека не иссякает интерес ученых и просто исследователей к теории многообразий, наделенных почти контактными (метрическими) структурами, которые являются естественным обобщением контактных (метрических) структур. В самом деле, основополагающими для данной теории явились работы С. Чженя [26], Дж. Грея [29], В. Бутби, X. Вана [23] и С. Сасаки [43], появившиеся в 50-ые годы XX векавпоследствии, исследования в этом направлении были представлены многочисленными и разнообразными (в методах, подходах и результатах) работами, которые объединяет лишь то, что изучению преимущественно подвергались исключительно некоторые классы почти контактных метрических и контактных многообразий, несмотря, например, на практически необозримую классификацию первых (обзор исследований изложен, например, в [б], [10]). Так, наиболее изученными, а также интересными (с точки зрения дальнейшего повествования) являются такие подклассы почти контактных метрических многообразий, как квази-сасакиевы, косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу.

Класс квази-сасакиевых (диавьЗазаИап) многообразий был введен в рассмотрение Д. Блэром [20], а, впоследствии, изучался с различных точек зрения многими авторами (например, [49], [48], [34], [50], [28], [14]). Так, к примеру, Блэр [20] установил, что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, что вектор? является вектором Киллинга и что с точностью до гомотетии квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является сасакиевым (БазаЫап) или косимплектическим (созутр1е^1с) — он же нашел условия, при которых квази-сасакиево многообразие является прямым произведением сасакиева и келерова многообразий. В свою очередь, Канемаки [34], изучая квази-сасакиевы многообразия, также доказал некоторые достаточные условия по поводу того, когда квази-сасакиево многообразие имеет указанное строение локально. Позже наиболее полное описание упомянутого вопроса было дано Кириченко В. Ф. и Рустановым А. Р. [14] в терминах дополнительных свойств симметрии тензора римановой кривизны квази-сасакиевых многообразийони же выделили несколько интересных классов квази-сасакиевых многообразий и изучили их, используя полную группу структурных уравнений квази-сасакиевых многообразий, полученную в той же работе. Подробно был исследован так называемый класс СЯ квази-сасакиевых многообразий, исчерпывающее описание локального строения которых также дали Кириченко В. Ф. и Рустанов А. Р., приведя к тому же полные классификации квази-сасакиевых многообразий класса СИ постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий данного класса, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2г + 1)-плоскостей, что существенно обобщило известные результаты Танно [48], касающиеся классификации са-сакиевых пространственных форм, а также углубило результаты Огиуэ [39] и Исихары [32], касающиеся почти контактных метрических многообразий, в частности многообразий Сасаки, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2 г + 1)-плоскостей.

Рассмотрение класса квази-сасакиевых многообразий в настоящей работе обусловлено тем, что он включает в себя два наиболее изученных класса почти контактных метрических многообразий — класса косимплектических и класса сасакиевых многообразий, которые в эрмитовой геометрии являются контактными аналогами келеровых многообразий. При этом, известно [10], что косимплектические и сасакиевы структуры, характеризующиеся для любых гладких векторных полей X и Y тождествами Ух (Ф)У = 0 и Ух (Ф)У = (X, Y)^ — t)(Y)X (где V — риманова связность метрики д = (•, •), а Ф — структурный эндоморфизм), соответственно, являются «граничными» подклассами квази-сасакиевых структур. В действительности последнее объясняется совершенно естественным образом, так как для косимплектических структур rang г) = 1 (т.е. dr] = 0), а для сасакиевых — rang rj = 2п 4- 1 (т.е. г] А (dr))n ф 0), где т — контактная форма на соответствующем многообразии М2п+1. Отметим еще, что квази-сасакиевы структуры, отличные от сасакиевых и косимплектических, называют собственными (их можно считать «серединным» или «центральным» подклассом квази-сасакиевых структурк сожалению, в настоящее время они недостаточно изучены).

В 1971 году Кенмоцу [35] ввел в рассмотрение новый класс почти контактных метрических структур, характеризуемых для любых гладких векторных полей X и Y тождеством Ух (Ф)У = (ФАГ, У)£ — rj (Y)<&X, формально похожим на определяющее тождество сасакиевых структур, но фактически характеризующим структуры (в определенном смысле) противоположные са-сакиевым. Впоследствии, такие почти контактные метрические структуры были названы структурами Кенмоцу. В указанной работе Кенмоцу изучил замечательные свойства введенных им структур и привел их примеры. Позднее Синха и Шриваштава [45], [46] изучали многообразия Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, а Кобаяши М. [36] определил свойства контактных нормальных подмногообразий и контактных родовых нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу. Исчерпывающее описание многообразий, наделенных структурой Кенмоцу, дал в своей работе Кириченко В. Ф. [9]- он не только исследовал локальное строение указанных многообразий, тем самым приведя их изящный пример (используя теорию локально конформных преобразований), но и получил полную классификацию данных многообразий точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, указав случай глобального постоянства этой кривизны на рассматриваемых многообразиях.

Наконец, с другой стороны, настоящая работа посвящена изучению обобщения такого понятия, как автодуальность, определенного, в принципе, на 4-мерных ориентированных римановых многообразиях, наделенных рядом особенностей, связанных в основном с оператором Ходжа. Отметим [1], что, с точки зрения римановой геометрии, размерность 4 — первая (в сравнении с размерностями 2 и 3), в которой тензор кривизны, являющийся тензором валентности четыре, не определяется пи скалярной кривизной (как прип = 2), ни тензором Риччи (как при п < 3). К тому же, группа 50(4, М) является единственной неполупростой группой ¿->0(п, М) (при п > 3), что приводит нас к важнейшей особенности 4-мерного ориентированного риманова многообразия М, заключающейся в специфическом строении структурной группы главного расслоения ориентированных ортонормированных реперов над таким многообразием — группы Ли 50(4, К) = (811(2) х ??/(1))/Ъ2 (с точностью до соответствующего изоморфизма) [5]. Индуцированное действие этой группы на расслоении кососимметричных 2-форм над многообразием М разлагает С°°(М)-модуль А2(М) дифференциальных 2-форм на этом многообразии в прямую сумму двух 3-мерных подмодулей: А2(М) = А +(М) ®А~(М) -подмодулей автодуальных 2-форм и антиавтодуальных 2-форм, соответственно (здесь размерность модулей сечений понимается как размерность слоев соответствующих расслоений). На этой основе, с помощью тензора Вейля конформной кривизны, рассматриваемого как симметричный автоморфизм модуля Л2(М), как известно, и строится теория конформно полуплоских многообразий [4], называемая автодуальной геометрией [2], [3].

Конформно полуплоские, т. е. автодуальные либо антиавтодуальные, (4-мерные) многообразия играют достаточно значимую роль в современной науке в силу связи их геометрии с геометрией эйнштейновых многообразий (с которой, в свою очередь, связаны имена выдающихся геометров) [4[ и с твисторной геометрией [42] (имеющей непосредственное приложение в теории гравитации и в теории полей Янга-Миллса). Так, например, известная теорема Пенроуза-Атьи-Хитчина-Сингера [18] утверждает, что каноническая почти комплексная структура пространства твисторов 4-мерного ориентированного риманова многообразия интегрируема тогда и только тогда, когда это многообразие конформно полуплоско. Хитчин [30] доказал, что если к тому же указанное многообразие — компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то оно изометрично § 4 либо СР2 со стандартными метриками. Кроме того, Хитчин [31] доказал, что 4-мерное ориентированное компактное риманово многообразие имеет келерово пространство твисторов тогда и только тогда, когда это многообразие конформно эквивалентно § 4 либо СР2 с их стандартными конформными структурами. Чен [25], Бургиньон [24] и Дердзински [27] получили классификацию компактных автодуальных келеровых многообразий (интересно, что Чен, Бургиньон и Дердзински получили указанный результат независимо друг от друга, используя совершенно разные методы), а Ито [33] - классификацию автодуальных многообразий Келера-Эйнштейна и исчерпывающую характеристику компактных автодуальных келеровых многообразий. Недавние исследования Арсенье-вой O.E. и Кириченко В. Ф. существенно обобщили и дополнили результаты Хитчина, Бургиньона, Дердзински, Чена, Ито, а также Коды [38]. А именно, Арсеньева O.E. [2] получила полную классификацию автодуальных обобщенных келеровых многообразий (как классического, так и неисключительных келеровых многообразий гиперболического типа) постоянной скалярной кривизны, а также доказала, что обобщенное келерово многообразие антиавто-дуально тогда и только тогда, когда его скалярная кривизна равна нулю. Совместная же работа [3] Арсеньевой O.E. и Кириченко В. Ф. содержит ряд красивых и неожиданных результатов, касающихся геометрии конформно полуплоских эрмитовых поверхностей (т.е. 4-мерных почти эрмитовых многообразий со знакоопределенной метрикой и интегрируемой почти комплексной структурой) как классического, так и гиперболического типа (обобщенных эрмитовых поверхностей) — там же приведена полная классификация компактных автодуальных эрмитовых ЛХ-поверхностей, являющихся обобщенными многообразиями Хопфа, решающая проблему Чепа в этом классе эрмитовых многообразий.

Таким образом, приведенный обзор исследований как некоторых классов почти контактных метрических многообразий, так и конформно полуплоских многообразий, ни в коей мере не претендующий на полноту, показывает насколько эти проблемы занимали и занимают умы геометров, продолжающих их активное изучение. Однако, до настоящего времени не были подняты вопросы, связанные с возможностью обобщения на 5-мерный случай понятий автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, играющих фундаментальную роль в 4-мерной римановой геометрии. В частности, не рассматривалась возможность обобщения понятий автодуальных и антиавтодуальных многообразий на случай 5-мерных римановых многообразий, снабженных почти контактной структурой (согласованной с метрикой) — также не высказывалась идея рассмотрения теории, основанной на замене тензора Вейля на тензор Римапа-Кристоффеля в рамках автодуальной геометрии, обобщенной на 5-мерный случай. К сказанному хочется добавить еще и то, что выдающийся ученый A.JI. Бессе (во введении книги [1] под его редакцией) заметил: «Когда инерция мышления подталкивает меня перейти к исследованиям в размерности 5, мой внутренний голос протестует. Я склонен с ним согласиться».

В настоящей же работе подробно исследуются указанные проблемыа именно, в данной работе известная конструкция конформно полуплоских (4-мерных) многообразий распространяется на 5-мерные римановы многообразия, снабженные почти контактной метрической структурой, а следовательно, и 4-мерным гиперраспределением. На этой основе, с помощью тензора Вейля, вводится в рассмотрение контактный аналог конформно полу плоских многообразий. Построенная таким образом конструкция оказалась богатой геометрическим содержанием, что было продемонстрировано на примере квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий, а также на примере многообразий Кенмоцу. Более того, разработанный в работе формализм для тензора Вейля был применен к тензору Римана-Кристоффеля, что позволило получить ряд интересных результатов, касающихся указанных многообразий.

Цель диссертационной работы заключается в построении теории контактно-конформно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий, называемой в дальнейшем контактно-автодуальной геометрией, и в изучении контактно-автодуальной геометрии некоторых классов 5-мерных почти контактных метрических многообразий. При этом, основными задачами исследования являются следующие:

1) Обобщение концепции автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, а также определение внутренним образом понятий контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий.

2) Изучение контактно-автодуальной геометрии квази-сасакиевых, косимплектических, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.

3) Определение естественным образом понятий контактно /^автодуальных, контактно /2-антиавтодуальных и контактно-полуплоских (т.е. контактно Я-автодуальных либо контактно Д-аптиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий, путем замены тензора С Вейля на тензор Я, Ри-мана-Кристоффеля в рамках разработанного формализма для тензора С.

4) Изучение контактно /¿—автодуальной геометрии квази-сасакиевых, ко-симплектических, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.

Б) Определение понятий псевдо-конформно-плоских и псевдоплоских почти контактных метрических многообразий, а также их изучение на примере квази-сасакиевых, косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

Научная новизна. Основные результаты настоящего диссертационного исследования являются новыми. Выделим важнейшие из них.

1) В первой главе введено обобщение автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, а также на пространстве присоединенной (^-структуры указанных многообразий подсчитаны их компоненты. Посредством последнего удалось внутренним образом определить понятия контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских почти контактных метрических многообразий. При этом, применяя построенную конструкцию к тензору Римана-Кристоффеля, естественным образом были определены понятия контактно /¿—автодуальных, контактно /?-антиавтодуальных и контактно-полуплоских почти контактных метрических многообразий.

2) Во второй главе изучена контактно-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. А именно, установлены аналитический критерий контактной автодуальности и признак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий. С помощью указанного критерия контактной автодуальности был получен ряд результатов, касающихся сасакиевых и косимплектических многообразий, важнейшими из которых являются полные классификации контактно-автодуальных сасакиевых и контактно-автодуальных косимплектических многообразий. Учитывая признак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие кон-тактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что 5-мерное сасакиево многообразие коитактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой е — 4. Кроме того, введя в рассмотрение псевдо-конформно-плоские многообразия, было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса СК псевдо-конформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плосков качестве очевидных следствий последнего факта, было получено, что 5-мерные косимплектические и саса-киевы многообразия псевдо-конформно-плоскрт тогда и только тогда, когда они конформно плоски.

3) В третьей главе изучена контактно Ä—автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. Именно, установлены аналитические критерии контактной Л-автодуальности и контактной R-антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий. С помощью критерия контактной Д-автодуальности квази-сасакиевых многообразий были получены полные классификации контактно Д-автодуальных сасакиевых и контактно Ä—автодуальных косимплектических многообразий. С учетом же критерия контактной Д-антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что контактно Ä—антиавтодуальных сасакиевых многообразий не существует. Далее, введя в рассмотрение псевдоплоские многообразия, был получен аналитический критерий псевдоплоскости квази-сасакиева многообразия, т. е. было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса СИ с нильпотентным характеристическим гомоморфизмом В (т.е. Б2 = 0) псевдоплоско тогда и только тогда, когда оно плоско. Также доказано, что 5-мерное сасакиево многообразие не может быть псевдоплоским.

4) В четвертой главе исследованы контактно-автодуальная и контактно Я-автодуальная геометрии многообразий Кенмоцу. Получена полная классификация контактно-автодуальных многообразий Кенмоцу и доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой е — —4. Установлен критерий конформной псевдо-плоскости многообразий Кенмоцу, утверждающий, что 5-мерное многообразие Кенмоцу псевдоконформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско. В заключение, было доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу не может быть ни контактно II-автодуальным, ни контактно Д-антиавтодуальньтм, а значит, не может быть и псевдоплоским многообразием.

Практическая и теоретическая значимости. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения контактно-автодуальной геометрии подходящих многообразий, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики, а также для чтения спецкурсов, для написания курсовых, дипломных и диссертационных работ в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциально-геометрическим структурам на многообразиях кафедры геометрии (рук. д. ф.-м. н., проф. Кириченко В.Ф.) Московского Педагогического Государственного Университета (Россия, Москва, апрель 2009 г.), на V общероссийской научной конференции «Актуальные вопросы науки и образования».

Россия, Москва, май 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Одессе — 2009» (Украина, Одесса, май 2009 г.), на международной научной конференции «Лаптевские чтения — 2009» (Россия, Москва-Тверь, август 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Астрахани — 2009» (Россия, Астрахань, сентябрь 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале [А1], рекомендованным ВАК РФ, 4 работы в виде тезисов докладов научных конференций [А2, АЗ, А4, А5] и 3 работы, депонированные в ВИНИТИ РАН [А6, А7, А8].

Структура и объем диссертации

Диссертационное исследование состоит из введения, 4 глав, включающих 17 параграфов, списка литературы и списка публикаций автора. Работа изложена на 94 страницах машинописного текста. В настоящей работе по мере необходимости использовался метод присоединенных^{-структур} в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля. Остановимся на рассмотрении краткого содержания диссертации.

1. Ж. Лееру, Л. Берар-Берэюери и др. Четырехмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе. 1978/79.— М.: Мир, 1985.— С. 334.

2. О. Е. Арееньева. Автодуальная геометрия келеровых многообразий // Математический сборник. — 1993. — Т. 184, № 8. — С. 137−148.

3. О. Е. Арееньева, В. Ф. Кириченко. Автодуальная геометрия эрмитовых поверхностей // Математический сборник.— 1998.— Т. 189, № 1.— С. 21−44.

4. А. Бессе. Многообразия Эйнштейна, Т.1−2. — М.: Мир, 1990. — С. 704.

5. Е. Б. Винберг. Курс алгебры, — М.: Факториал Пресс, 2002, — С. 544.

6. Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. — Т. 9. — С. 5−246.

7. В. Ф. Кириченко. О геометрии многообразий Кенмоцу // Доклады Российской Академии Наук. — 2001. Т. 380, № 5. — С. 585−587.

8. В. Ф. Кириченко. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: МПГУ, 2003.-С. 495.

9. В. Ф. Кириченко, О. Е. Арсенъева.

Введение

в современную геометрию.— Тверь: Тверской гос. университет, 1997.— С. 117.

10. В. Ф. Кириченко, И. П. Борисовский. Интегральные многообразия контактных распределений // Математический сборник. — 1998. — Т. 189, m 12. С. 119−134.

11. В. Ф. Кириченко. Методы обобщенной почти эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1986.— Т. 18, — С. 25−71.

12. В. Ф. Кириченко, А. Р. Рустанов. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. — 2002. — Т. 193, № 8. С. 71−100.

13. А. Лихнерович. Теория связностей в целом и группы голономии.— М.: Платон, 1997. С. 216.

14. П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ, — М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1953. — С. 635.

15. С. В. Умнова. О точечном постоянстве Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий Кенмоцу // МПГУ, М., Деп. в ВИНИТИ РАН 21.03.02. 2002. — № 514-В2002. — С. 16.

16. M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, I. M. Singer. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.— 1978.— Vol. 362, — Pp. 425−461.

17. R. L. Bishop, В. О’Neil Manifolds of negative curvature // Trans. Amer. Math. Soc.- 1969. Vol. 145. — Pp. 1−50.

18. D. E. Blair. The theory of Quasi-Sasakian structures // J. Differential Geometry. 1967. — Vol. 1. — Pp. 333−345.

19. D. E. Blair. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds. — Birkhauser, Boston, Basil: Progr. in Math., 2002. P. 304.

20. D. E. Blair. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 509. — Pp. 1−146.

21. W. Boothby, H. C. Wang. On contact manifolds // Ann. Math. — 1958.— Vol. 68, no. 3. Pp. 721−734.

22. J.-P. Bourguignon. Les varietes de dimension 4 a signature non nulle dont la courbure est harmonique sont d’Einstein // Invent. Math.— 1981.— Vol. 63. Pp. 263−286.

23. B. Y. Chen. Some topological obstructions to Bochner-Kaehler metrics and their applications // J. Differential Geometry. — 1978. — Vol. 13. — Pp. 547−558.

24. S.-S. Chern. Pseudo-groupes continus infinis.— Strasbourg: Colloqe de Geometrie Differentielle, 1953. Pp. 119−136.

25. A. Derdzinski. Self-duality of Kahler manifolds and Einstein manifolds of dimensional four // Compos. Math. 1983, — Vol. 49. Pp. 405−433.

26. S. Goldberg. Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds // Pacific J. Math. 1968. — Vol. 27, no. 2. — Pp. 275−281.

27. J. W. Gray. Some global properties of contact structures // Ann. Math.— 1959. Vol. 69, no. 2. — Pp. 421−450.

28. N. J. Hitchin. On compact four dimensional Einstein manifolds //J. Differential Geometry. 1974. — Vol. 9. — Pp. 435−442.

29. N. J. Hitchin. Kahlerian twistor space // Proc. London. Math. Soc. — 1981. — Vol. 43. Pp. 133−150.

30. I. Ishihara. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space forms // Kodai Math. Semin. Repts.- 1979. Vol. 2. — Pp. 171−186.

31. M. Itoh. Self-duality of Kahler surfaces // Compos. Math. — 1984, — Vol. 51. Pp. 265−273.

32. Sh. Kanemaki. Quasi-Sasakian manifolds // Tdhoku Math. J. (2).— 1977.— Vol. 29. Pp. 227−233.

33. K. Kenmotsu. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tdhoku Math. J. 1972. — Vol. 24. — Pp. 93−103.

34. M. Kobayashi Submanifolds in Kenmotsu manifolds // Rev. Math. Univ. completense. Madrid. — 1991.— Vol. 4, no. 1.— Pp. 73−95.

35. S. Kobayashi Principal fibre bundles with 1-dimensional toroidal group // Tdhoku Math. J.- 1956. no. 1, — Pp. 29−45.

36. T. Koda. Self-dual and anti-self-dual Hermitian surfaces // Kodai Math. J. — 1987. Vol. 10. — Pp. 335−342.

37. K. Ogiue. On almost contact manifolds admitting axiom of planes and axioms of free mobility // Kodai Math. Semin. Repts. — 1964, — Vol. 16.— Pp. 223−232.

38. K. Ogiue. On fibering of almost contact manifolds // Kodai Math. Semin. Repts. 1965, — Vol. 17, no. 1. — Pp. 53−62.

39. M. Okumura. Cosymplectic hypersurfaces in Kahlerian manifold of constant holomorphic sectional curvature // Kodai Math. Semin. Repts. — 1965. — Vol. 17. Pp. 63−73.

40. R. Penrose. The twistor programme // Math. Phis. Repts. — 1977. — Vol. 12. Pp. 65−76.

41. S. Sasaki. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures // Tohoku Math. J. (2).— I960.— Vol. 12, no. 3. Pp. 459−476.

42. S. Sasaki. Almost contact manifolds // Lect. Notes I. Math. Inst. Tohoku Univ. — 1965. — Pp. 1−250.

43. B. B. Sinha, A. K. Srivastava. Curvatures on Kenmotsu manifolds // Indian J. Pure and Appl. Math. 1991. — Vol. 22, no. 1. — Pp. 23−28.

44. B. B. Sinha, A. K. Srivastava. Semi-invariant submanifolds of a Kenmotsu manifold with constant </?-holomorphic sectional curvature // Indian J. Pure and Appl. Math. — 1992. Vol. 23, no. 11. Pp. 783−789.

45. S. Tanno. The automorphism groups of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. — 1969. Vol. 21. — Pp. 21−38.

46. S. Tanno. Sasakian manifolds with constant (^-holomorphic sectional curvature // Tohoku Math. J. (2). 1969. — Vol. 21. — Pp. 501−507.

47. S. Tanno. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+l // J. Differential Geometry. 1971. — Vol. 5. — Pp. 317−324.

48. H. Yanamoto. Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds // Res. Rep. Nagaoka Tech. College.— 1969.— Vol. 5, no. 2.— Pp. 149−158.