Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях

Теория нормальных поверхностей Хакена играет важную роль в топологии трехмерных многообразий. С одной стороны, она лежит в основе таких знаменитых алгоритмов, как алгоритмы распознавания тривиального узла [12], расщелляемости зацепления в трехмерной сфере [8], распознавания многообразия Хакена [10]. С другой стороны, нормальные поверхности допускают удобное числовое описание, что выделяет их среди множества всех поверхностей в многообразиях.

Вначале мы дадим основное определение 2-нормальной поверхности, впервые сформулированное в [6]. Напомним, что двумерный полиэдр Р называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами, (см. рис. 1). Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра Р. Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра Р, причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками. Специальный полиэдр Р С М называется специальным спайном трехмерного многообразия М, если либо дМ ф 0 и многообразие МР гомеоморфно дМ х (0,1], либо дМ = 0 и многообразие МР гомеоморфно открытому шару.

Хорошо известно, что каждый специальный спайн Р многообразия М порождает его разбиение £р на ручки следующим образом. Нужно заменить каждую вершину полиэдра Р на ручку индекса 0 (шар), каждое ребро — на ручку индекса 1 (балку), каждую 2-компоненту — на ручку индекса 2 (плитку). При этом объединение этих ручек должно либо совпадать с многообразием М, либо (если М замкнуто) получаться из него удалением шара (который в данном случае можно рассматривать как ручку индекса 3). Компоненты связности пересечения шаров с балками называются островами, шаров с плитками — мостами.

Определение. Пусть к — натуральное число. Замкнутая поверхность F с М называется к-нормалъной по отношению к разбиению £р, если:

Рис. 1: Допустимые окрестности точек простого полиэдра.

Рис. 2: Элементарные диски в шаре разбиения £р: а) треугольный, Ь) четырехугольный, с) октагон.

1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 х I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D2 х{х, х2, ¦ ¦ ¦, осп}, где xi < Х2 < ¦ ¦ ¦ < хп — набор внутренних точек отрезка /;

2) пересечение поверхности F с каждой балкой I х ?>2 состоит из полосок вида Ixl, где I — дуга в D2 с концами на 3D2 (диск D2 можно отождествить с островом {0} х D2);

3) концы каждой дуги I принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами;

4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными);

5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем к дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост.

В диссертации мы будем рассматривать только 2-нормальные поверхности. Край каждого шара разбиения £я содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск в шаре разбиения £р будем называть треугольным диском, четырехугольным диском или октагоном, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех, четырех или восьми дуг (см. рис. 2). Легко видеть, что любая 2-нормальная поверхность содержит только указанные элементарные диски. Следуя Хакену, 1-нормальные поверхности называются просто нормальными. Отметим, что класс 2-нормальных поверхностей содержит в себе класс нормальных. Нормальные поверхности характеризуются тем, что они содержат только треугольные и четырехугольные диски, тогда как 2-нормальные поверхности могут содержать и октагоны.

Основной результат теории нормальных поверхностей Хакена заключается в том, что множество всех нормальных поверхностей обладает алгоритмически конструируемым конечным базисом. Опишем это более подробно. Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения (р относятся к одному типу, если существует инвариантная на островах и мостах изотопия шара, переводящая один диск в другой. Отметим, что для любого шара разбиения £р существует ровно 7 тииов содержащихся в нем элементарных дисков — 3 четырехугольных и 4 треугольных.

Обозначим через Ei, ., Еп элементарные диски, представляющие без повторений все типы во всех шарах разбиения £р. Нормальная поверхность F может пересекать шары по нескольким параллельным копиям каждого диска ЕЧисло этих копий обозначим через хг. Итак, каждой нормальной поверхности F сопоставляется вектор x (F) = (х', х2,. хп) с целыми неотрицательными координатами. При этом нормальные поверхности F1} F2 эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга инвариантной на шарах, балках и плитках разбиения изотопией) тогда и только тогда, когда x (Fi) = ^(i^) — Разумеется, далеко не каждый вектор х = (х1, х2,., хп) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью. Опишем множество тех векторов, которые реализуются нормальными поверхностями.

Рассмотрим балку I х D2 разбиения £р и в острове {0} х ?>2 выберем простую дугу {0} х I, соединяющую два моста. Подсчитаем общее количество копий дуги {0} х I в пересечении нормальной поверхности F с рассматриваемым островом. Это число представляется в виде линейной комбинации координат вектора z (F) с коэффициентами 0 и 1. Точно так же найдем число копий дуги {1} х / в пересечении поверхности F с островом {1} х D2. Ключевой момент: так как пересечение поверхности F с балкой I х D2 состоит из полосок вида Ixl, то полученные числа должны быть равны. Таким образом, мы имеем линейное однородное уравнение. Поскольку плитки примыкают к балке I х D2 по 3 прямоугольникам, то в острове {0} х D2 можно провести 3 различных дуги, каждой из которых отвечает одно уравнение. Выписав эти уравнения для всех балок разбиения £р и всех дуг в них, мы приходим к системе §-(£р) линейных однородных уравнений с целыми коэффициентами. Очевидно, что координаты вектора x (F) составляют решение этой системы. С другой стороны, далеко не каждое целое неотрицательное решение системы 8(£р) реализуется нормальной поверхностью. Для этого необходимо, чтобы для любых положительных координат хг, х> диски Ei, Ej были совместными, т. е. чтобы отвечающие им типы имели непересекающихся представителей. Такие вектора будем называть допустимыми.

Итак, вектор х = (ж1, ж2,., хп) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью тогда и только тогда, когда его координаты составляют допустимое решение системы S (?p). Поэтому множество N всех поверхностей в компактном трехмерном многообразии, нормальных по отношению к заданному разбиению многообразия на ручки, относительно операции сложения образует частичный коммутативный моноид (здесь под моноидом мы понимаем аддитивную полугруппу с нулевым элементом). Целое неотрицательное решение системы 8(£р) называется фундаментальным, если его нельзя представить в виде суммы двух нетривиальных целых неотрицательных решений. Поверхности Fx,., Fk в М, отвечающие допустимым фундаментальным решениям системы Sназываются фундаментальными. Они составляют минимальный набор образующих моноида N. Таким образом, моноид N нормальных поверхностей состоит из линейных комбинаций Yli=г фундаментальных поверхностей с целыми неотрицательными коэффициентами.

Здесь стоит отметить два существенных упрощения метода Хакена [4], [20] за счет более простого вида уравнений и резкого уменьшения числа неизвестных системы. Однако, не смотря на важность, структура моноида нормальных поверхностей оставалась практически не исследованной. В явном виде фундаментальные поверхности найдены только в нескольких самых простых случаях. Кроме того, совершенно не изучена операция сложения. Поскольку каждая нормальная поверхность допускает несколько различных разложений в сумму фундаментальных поверхностей, важное значение приобретают как описание канонического разложения, так и алгоритм его нахождения.

Существенное развитие теории нормальных поверхностей произошло при построении алгоритма распознавания сферы S3. В 1992 году X. Ру-бинштайн анонсировал существование такого алгоритма, а в 1994 году А. Томпсон [19] (см. также [6]) полностью реализовала его идеи. Как оказалось, метод Хакена не работает в этом случае. В основе алгоритма лежит понятие почти нормальной поверхности.

Определение. Замкнутая поверхность F С М называется почти нормальной поверхностью с октагоном по отношению к разбиению £р, если она является 2-нормальной и содержит ровно один октагон.

Определение. Замкнутая поверхность F с М называется почти нормальной поверхностью с трубкой по отношению к разбиению если она получается из некоторой нормальной поверхности заменой двух дисков в плитке на незаузленную трубку (кольцо) с тем же краем.

Эти поверхности, по-видимому, сыграют важную роль для (пока не построенного) алгоритма вычисления рода Хегора (см. [18]). Отметим, что неисследованные вопросы теории нормальных поверхностей остаются открытыми и в теории почти нормальных поверхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

1. Кассой Э., Блейлер С. Теория автоморфизмов поверхностей по Нильсену и Терстону. // Издательство ФАЗИС. 1998. 112 с.

2. Матвеев С. В. Один способ задания 3-многообразий. // Вестник Московского университета. 1975. 3. С. 11−20.

3. Матвеев С. В. Трехмерные многообразия, сконструированные на замкнутых цепочках. // Издательство Челябинского политехнического института. Сборник научных трудов. 1980. № 252. С. 79−82.

4. Матвеев С. В. Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных многообразий. // Украинский математический журнал. 1989. Т. 41. № 9. С. 1234−1239.

5. Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. // Издательство Московского университета. 1991. 300 с.

6. Матвеев С. В. Алгоритм распознавания трехмерной сферы (по А. Томпсон). // Математический сборник. 1995. Т. 186. № 5. С. 6984.

7. Овчинников М. А. Представление гомеотопий тора простыми полиэдрами с краем. // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 4. С. 533−539.

8. Шуберт X. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые. // Математика: сборник переводов. 1966. Т. 10. № 4. С. 45−78.

9. Anisov S. Towards Lower Bounds for Complexity of 3-Manifolds: a Program. // Preprint. http://arxiv.org/abs/math.GT/103 169.

10. Матвеев С. В., Фоминых Е. А. Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях. // Доклады Аакадемии Наук. 2002. Т. 384. № 6. С. 727−730.66.

11. Фоминых Е. А. Полное описание нормальных поверхностей для бесконечных серий трехмерных многообразий. // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. № 6. С. 1372−1387.

12. Фоминых Е. А. Суммирование нормальных поверхностей и уравновешенные специальные спайны. // Вестник челябинского университета, серия «Математика. Механика. Информатика». 2002. № 1(6). С. 25−29.

13. Fominykh Е.А. On normal surfaces in 3-manifolds. // Тезисы докладов международной конференции 'Топология и динамика — Рохлинский мемориал", посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина. Санкт-Петербург: Институт математики. 1999. С. 31.