Теоремы типа Хелли для трансверсалей семейств множеств и их приложения

Одной из классических тем комбинаторной и выпуклой геометрии являются исследования по проблеме существования ш-мерной плоскости, пересекающей все множества некоторого семейства выпуклых множеств в Еп. Эта плоскость называется т-трансверсалъю семейства. Знаменитая теорема Хелли (Е. Helly) [1] дает критерий существования О-трансверсали, т. е. общей точки семейства выпуклых множеств. В общем виде задача о нахождении условий существования m-трансверсали впервые была сформулирована в работе P. Vincensini [2], где поставлена следующая задача.

Vincensini’s Problem. Существует ли для 0 < ш < п такое число г = r (n, m), что для любого (достаточно большого) семейства V выпуклых множеств в М", если любые г его членов имеют m-трансверсаль, то и все семейство V имеет т-трансверсаль.

В той же статье приведен ошибочный результат, что г (2,1) < 6. Л. А. Сантало (L.A. Santalo) [3] (см. также [4], с. 23) показал, что без дополнительных предположений г (п, ш) = оо при п > 2. Позже Хадвигер и Дебруннер (Н. Hadwiger, Н. Debrunner) [4] показали, что r (n, m) — оо даже для семейств попарно непересекающихся выпуклых множеств в Кп. В дальнейшем этой тематике было посвящено много работ, относящихся, в основном, к случаям m = п — 1, т = 1, а также п = 2. Имеющиеся здесь результаты частично отражены в следующих книгах [4, 5, 6, 7, 8]. В литературе существует много примеров, показывающих, что условия, гарантирующие существование m-трансверсали, являются весьма ограничительными даже в случае п = 2 (см., например, [4, 5, 6, 7, 8]).

Центральный результат работы — это теорема 1.2.2 [9, 10, 11, 12]. Условия этой теоремы — комбинаторно-геометрические, однако ее утверждение имеет отношение и к топологии. В частности, ее следствиями являются с одной стороны теорема Хелли, а с другой стороны — теорема о покрытии сферы Борсука — Люстерника — Шнирельмана, а значит, и эквивалентная ей теорема об антиподах Борсука — Улама (К. Borsuk, S. Ulam) [13, 14].

В дальнейшем, при ссылках на некоторые классические результаты, во введении будут цитироваться не оригинальные работы, а обзоры [5, 6]. Основная цель настоящей работы — изучение различных трансверсалей семейств множеств.

В главе I (§ 1 — § 7) приводятся различные теоремы о трансверсалях и вводится обобщенная выпуклость.

В § 1 доказывается важная топологическая лемма [10, 12], являющаяся основной в доказательстве теоремы 1.2.2 и приводятся ее непосредственные следствия.

Лемма 1.1.1. Если si,., sm — сечения вещественного или комплексного канонического расслоения ¦у™т+1 над вещественным или комплексным многообразием Грассмана Gт0 существует такое (n — m+l)-мерное подпространство L (вещественное или комплексное), что .si (L) = ••• = sm{L).

Доказательство этой леммы основано на применении характеристических классов Штифеля — Уитни и Чжэня (лемма верна и для кватернион-ных грассмановых многообразий, о грассмановых многообразиях и характеристических классах см. в [15]). Позже эта лемма (в 1990 г.) независимо и другим способом была также доказана R.T. Zivaljevic и S.T. Vrecica в [16], которые использовывали работу Е. Fadell и S. Husseini [17].

Приведем теперь пример непосредственного приложения леммы. Обозначим через Кп — множество всех непустых компактных выпуклых множеств в Кп с топологией, индуцированной метрикой Хаусдорфа. Вектор-нозначным функционалом будем называть такое полунепрерывное снизу многозначное отображение р: Kn Мп (Сп), что p (V)? Кп и лежит в аффинной оболочке aff V множества V (см., например, [18, 19]). Например, таковы отображения, ставящие в соответствие выпуклому компакту множество центров его вписанных или описанных шаров в банаховой метрике, барицентр, точку Штейнера, центр минимального эллипсоида и т. д.

Следующая теорема [12] легко вытекает из предыдущей леммы и является усилением известной теоремы о центре тяжести сечения выпуклого тела (см., например, [20], с. 229).

Теорема 1.1.2. Если х — внутренняя точка выпуклого п-мерного компакта V С Rn (Сп), то для любого набора векторнозначных функци / оналов (pi,., рт): Кп т —У IRn т (соответственно Сп m) существует такая (п — т)-мерная плоскость 7 г Э х, что pi (V П 7г) = ¦ • • = pm (V П 7г) = х.

Аналогичные результаты были получены для проекции на подпространство и для семейства выпуклых множеств [12].

В § 2 формулируется и доказывается основная теорема 1.2.2 о транс-версалях [9, 10, 11, 12]. Заметим, что вопрос о связи между строением грассмановых многообразий G^ и существованием общих трансверсалей был поставлен в книге [5], с. 61, и основной результат § 2 это, по-видимому, первый результат на эту тему. Позже близкие теоремы о трансверсалях, используя топологические соображения получили J.E.Goodman, R. Pollack, R. Wenger (см. [21, 22]).

Множество V С Rn (Cn) назовем к-квазивыпуклым, если его образ при любом линейном (аффинном) отображении /: Мп (Сп) —> Ш. к (Cfc) — выпукл или, что эквивалентно, если его ортогональная проекция L (V) на любое fc-мерное подпространство L (вещественное или комплексное) — выпуклое множество.

Очевидно, что если множество п-квазивыпукло, то оно — выпукло. Также ясно, что если множество выпукло, то оно и Аг-квазивыпукло для всех к. Но обратное неверно. Например, если V — граница выпуклого множества в R", то ясно, что V — (п — 1)-квазивыпукло. Или, если, в качестве более общего примера, взять множество Nk (F), которое является объединением fc-мерных граней ограниченного выпуклого многогранника F (к-мерный остов F). Другой пример невыпуклого, но квазивыпуклого множества дает так называемое «ожерелье Антуана» (см. [23]). Это множество даже является вполне несвязным, но 1-квазивыпуклым. В литературе 1-квазивыпуклые множества также называются выпукло-связными (см. [5], с. 38).

Будем говорить, что семейство множеств Р имеет свойство Щ или, Р G Щ если любые < к множеств семейства Р имеют непустое пересечение и свойством П (?? П), если пересечение всего семейства непусто.

Сформулируем основной результат параграфа. Пусть {Pi}i п — ш + 2 для всех г, 1 < г < т..

Теорема 1.2.2. Если Pi € П"ш+2 для всех i, 1 < г < ш, то семейство Р Р{ имеет (m — 1)-трансверсаль..

Ясно, что при m = 1 теорема 1.2.2 в точности совпадает с теоремой.

Хелли. В § 2 приведен и другой вариант этой теоремы и получены также обобщения этой теоремы на случай флагов (определение флага см. в [24])..

Для формулировки обобщения теорем 1.2.2, 1.2.3 на случай флагов аналогично возьмем набор семейств {Pi}i< n — 1, m1 < т2 < • • ¦ < Шк j, 1 < j < к и семейства Ргдля всех г, г G Ij, состоят из (n — rij)-квазивыпуклых множеств, где j nj = Ylmi~1 и n = (^ь.

Теорема 1.2.4. Еслж для любого 1 < j < к и любого % G Ij семейство Pi G Пп"л.+1, то существует такой флаг F G F (n, IRn) fF (n. С'" 'J, что для любого j плоскость 7ij является rij-трансверсалью семейства Pj =.

Ui=i Uie/, ^ l.

В § 3 показано, как из теоремы 1.2.2 выводится теорема 1.3.1, следствиями которой являются теорема Борсука — Люстерника — Шнирель-мана (при & = 2ит = 0) и теорема о покрытии S. Stahl [25] (при к = 21 и m = 0)..

Множество V С Кп назовем односторонним, если V содержится в открытом полупространстве с граничной гиперплоскостью, проходящей через 0, и всесторонним в противном случае. Назовем т-мерной подсфе-рой пересечение (ш + 1)-мерного подпространства со сферой..

Теорема 1.3.1 [9, 10, 12]. Если каждая т-мернал подсфера пересекает не менее к множеств семейства Р = {Vi}, l m — 1, состоящего из замкнутых (открытых) множеств, которые лежат на сфере Sn~1, то одно из множеств семейства Р содержит всестороннее множество из m + 2 точек..

Показано, что при то = n теорема 1.2.2 и теорема Борсука — Люстерника — Шнирельмана эквивалентны..

В § 4 понятие трансверсали обобщается так, что это обощение включает, как частный случай семейство поверхностей, задаваемых множествами нулей произвольных функций, и доказываются некоторые несложные результаты об этих трансверсалях, необходимые ниже, а также иллюстрируются и мотивируются вводимые понятия. Нижеследующие определения даны в [12, 26, 27]..

Пусть V — множество, F — поле, L — линейное iV-мерное пространство, состоящее из F-значных функций на V, L* — сопряженное к L пространство. Отображение vi: V L*, определенное для всех / G L, х G V, формулой (t'i (x), f) = f (x) назовем отображением Веронезе для L..

В § 4 будем полагать, что F = Ш или С, V = Rn (соответственно С"). Пусть в L содержится функция е, тождественно равная 1, и пусть L таково, что для всех компактных (замкнутых) V С Rn множество co (vl (V)) компактно (соответственно замкнуто). (Ясно, что если в L все функции непрерывны, то последнее верно). Для / G L и X С L положим.

H (f) = {xeV: f (x) = 0}, Н (Х) = р| H (f) = f] я (Я, fex feiin х и P (f) = {x G: f (x) > 0}, P{f) = f{x) > 0} для L = R..

Если / — линейная функция на R", то P (f), P (f) и H (f) — открытое и замкнутое полупространства и гиперплоскость, соответственно. Таким образом, множества Р (/), P (f) и H (f) — это аналоги открытого и замкнутого полупространства и гиперплоскости..

Обозначим через con V коническую оболочку множества V, через со V — выпуклую оболочку множества V, через V -— замыкание V..

Будем говорить, что функция / G L разделяет множество V С Шп (соответственно С"), если О G со/(V), и, что функция / G L разделяет множества Vi, Vo, в Кп, если Vi C P (f) и У2 C P{—f) — Множества Vi, V? в этом случае назовем L-отделимыми..

Подпространство Lo С L назовем (ш, Ь)-трансверсалъю семейства Р, если / разделяет множество V для всех / G Lo? V G Р и dim L0 = N — m — 1..

Семейство множеств Р в IR. n (Сп) назовем L-неразделимым, если у него есть (0, Ь)-трансверсаль. В противном случае, Р назовем Ь-разделимым. Семейство множеств Р в Шп назовем вполне L-разделимым, если для всех подсемейств Р' С Р множества (Jyep/ ^ и UveFF' ^ — L-отделимы..

Если Pj — пространство полиномиальных функций степени < d на ]Rn (Сп), то dimP? = (n?d)5 множество H (f) — это алгебраическая гиперповерхность, а при d = 1 — гиперплоскость. Классическое определение отображения Веронезе дается для пространства L = (см. [28]). Если Sn — пространство вещественных функций на R" с базисом /0 = 1, f? = Xi, 1 < г < n, fn+i — xi + ' ' • + то множество H (f) — это сфера или гиперплоскость, а А—мерные подпространства L С S (En) называются (п — к — V)-мерными обобщенными сферами (см. [29])..

Следующие факты показывают [12, 26, 27], что понятие (т, Ь)~транс-версали есть обобщение понятия т-трансверсали, ¿—неразделимость является обобщением свойства семейства иметь общую точку, и указывают связь между существованием трансверсали и отделимостью множеств:.

1) Множества Уг, Уч ¿-/-отделимы тогда и только тогда, когда множества ьь{У) и Р1ДГ1-отделимы-.

2) Если семейство множеств Р обладает свойством П, то оно ¿—неразделимо-.

3) Семейство Р замкнутых выпуклых множеств в Кп или в Сп имеет (ш, Р1п)-трансверсаль тогда и только тогда, когда у семейства Р существует ш-трансверсаль-.

4) Семейство множеств Р в Мп (Сп) имеет (ш, ¿-)-трансверсаль тогда и только тогда, когда семейство ^¿-(Р) = {^¿-(У): V? Р} имеет (ш, Р^-1)-трансверсаль или, что эквивалентно, когда семейство со Ь?/(Р) = {со Vь (У): V? Р} имеет ш-трансверсаль-.

В § 5 доказаны теоремы о существовании обобщенных трансверсалей и далее в нем пространства функций Ь такие лее, что и в § 4..

Будем говорить, что семейство множеств Р имеет свойство Щ (Ь) (Р? Щ (Р)), если все подсемейства Р из < к множеств Р-неразделимы..

Множество V С М. п (Сп) назовем (к, Ь)-квазивыпуклым, если для всех /ь ., Д? Ь множество (Л (У),., /к (У)) С К* (С*) выпукло..

Легко видеть, что (к, Р")-квазивыпуклость совпадает с Ь-квазивыпук-лостью, а множество V С Мп (Сп) — (к, Р)-квазивыпукло тогда и только тогда, когда множество ^¿-(У) — А—квазивыпукло..

Также показано, что семейство из т компактных множеств в Мп имеет (ш, Ь)-трансверсаль тогда и только тогда, когда оно не вполне Ь-разделимо (это утверждение является обобщением результата из [21])..

Главным результатом этого параграфа является следующая.

Теорема 1.5.1 [12, 26, 27]. Пусть Р¿-, 1 < % < ш < N — 1, такие семейства замкнутых множеств Мп (Сп), что каждое Рг или содержит компакт, или конечно, и Р-? Пл^-т+1(Р) Для всех i. Тогда семейство Р = Р{ имеет (ш — 1, V)-трансверсаль жесли, кроме того, семейства Р{ состоят из (И — т, Ь)-квазивыпуклых множеств, то У Р) Н (тг) ф 0 для всех У? Р..

В приложениях иногда полезны теоремы о трансверсалях, определяемых семействами функций, не образующими линейного пространства..

Рассмотрим множество X и такую функцию = /(а, х): Кп+1 х X —>• М, аЕ ж е X, что для некоторого фиксированного т 6 Ъ+ и всех { е К, имеем, а, ж) = Ь2т+1/{а, х), а е ШГ+1, х? X..

В частности, имеем, /(а, х) = — /(—а, х). Таким образом семейство функций {f (a, x)}, а? Мп+1, параметризовано множеством параметров Мп+1..

Если Ь — линейное вещественное Х-мерное пространство функций на Мп, то можно считать, что Ь является множеством параметров множество X = Мп, а отображение / = /(а, х): Ь х Мп —К, а Е Ь, х? Мп задается равенством / = Да, х) = а (х) — {и1(х), а}.

Подобно предыдущему, будем говорить, что функция / разделяет подмножество У С X при данном а0, если /'(ао? ^2) < 0 для некоторых х1, х2? V. Функция / разделяет Ух, У2 С X, если существует такой параметр ао, что /(ао, х) < 0 для всех х € У и /(ао, ж) > 0 для всех ж 6 Если такого параметра ао не существует, будем говорить, что множества 1'1, Т72 являются /-неразделимыми. Очевидно, что если Ух П У2 Ф то они — /-неразделимы..

Положим Л>(У) = {а? Кп+1: /(а, х) > 0, х Е V С X} С Мп+1. Множество У С X назовем f-компактным, если множество Kf (V) — открытое. Если X — топологическое пространство, а / — непрерывное отображение, то легко видеть, что любой компакт У С X является /компактом..

Теорема 1.5.6 [12]. Пусть Р,., Рп семейства /-компактных подмножеств X и во всех Рглюбые два множества /-неразделимы, то существует такой параметр а0 6 Кп+1, что / = /(а0,ж) разделяет все множества семейства Р — и" =1 Р{..

Следствие 1.5.7. Если в Мп даны гп (п + 1) — 1 семейств выпуклых компактов и все семейства имеют свойство П2, то найдутся т гиперплоскостей, объединение которых пересекает все множества всех семейств..

Заметим, что прямо из теоремы 1.2.2 существование ш гиперплоскостей, объединение которых пересекает все множества семейства Р, следует только при меньшем числе семейств = тп..

В конце параграфа приводится одна простая теорема о трансверса-лях [30], в доказательстве которой используется теорема Лере (Л. Ьегау) о нерве ([31], см. также [5], с. 55)..

В § 6 приводятся обобщения теорем Хадвигера — Дебруннера о транс-версали. Условия существования трансверсали в § 6 являются обобщением условий в теореме о трансверсалях Хадвигера — Дебруннера (см. [4] стр. 66, а также см. [5] стр. 64). Будем полагать, что все семейства множеств, которые рассматриваются в § 6 состоят из выпуклых компактов в К" ..

Семейство множеств Р в Rn назовем равномерно ограниченным, если диаметры всех множеств семейства имеют верхнюю грань..

Будем говорить, что семейство Р в ]Rn неограничено в направлении у € 5П-1, если существует такая последовательность векторов х j? U (Р) = I J V, je N, что lim \хА = оо и lim = у. р 3-+со оо \Xj\.

Семейство множеств Р в R" назовем /-неограниченным (или Р Е В¡-), 1 < I < п, если существуют I линейно независимых векторов у, у2, ¦ ¦ - yi Е Sв направлении которых Р неограничено. Легко видеть, что Р 6 В эквивалентно неограниченности U (Р) и Р Е Bi эквивалентно тому, что рецессивный конус conU (P) имеет размерность > I (см. главу 2 § 1). Если на семейство множеств не наложено никаких условий типа ограниченности или неограниченности, то будем считать, что семейство является 0-неограниченным..

Теперь приведем обобщение теоремы Хадвигера — Дебруннера..

Теорема 1.6.3 [26, 30. 32]. Пусть дан набор неотрицательных целых чисел (Ii,., lm) l = Y^T-i и так°й набор {Рг-}, 1 < i < m < п, равномерно ограниченных и /¿—неограниченных семейств множеств в что Рг > n — m—2 + li. Если для всех г и для любого такого Qi С Р — ij-!!-1 Pi, что Qif]Pj = lj при i ф j и Qi Р) Рг| = Ii + n — k + 2 существует l-трансверсаль, то существует (m — 1 + l)-трансверсаль у семейства Р..

Теорема Хадвигера — Дебруннера получается из теоремы 1.6.3 при m = 1 и I = 1, при то = 1 и I = 0 из теоремы 1.6.6 получается теорема Хелли, а при 1 = 0 — теорема 1.2.2..

Рассмотрим ш точек {xi, x2,., xm} в общем положении в С IRn+/ и m попарно ортогональных подпространств и ортогональных lRn подпространств L, ?2 • • •? Lm размерности соответственно. Пусть Pi, 1 < i < то, — семейство всех одноточечных подмножеств плоскости Xi + Li, тогда семейства Pi, 1 < i < m, удовлетворяют условиям теоремы 1.6.2 и очевидно, что размерность трансверсали m — 1+l нельзя уменьшить..

В § 6 таклсе приводится обобщение другого результата ХадвигераДебруннера о трансверсали (см. [4], с. 59, [5], с. 48)..

Для семейства множеств Р точечной к-трансверсалъю называется такое множество U, U < к, что U П V ф 0 для всех V Е Р (см., например, [4, 5] или [33]). Положим Р Е П (т, к), если любые < т множеств из Р имеют точечную к-трансверсаль, и Р Е П (&-), если семейство Р имеет точечную fc-трансверсаль. Обозначим t (P) = inf к, где Р Е П (к)..

Хадвигеру и Дебруннеру принадлежат следующие определения [4, 5]. Семейство Q множеств обладает (р, д)-свойством (Q Е ПР)<7), если из каждых р множеств семейства найдутся g с непустым пересечением. Пусть.

М (р, gР) = sup t (Q)..

Qcp, Q6np,?.

Для семейства всех выпуклых компактов Р в Кп, положим М (р, дР) = М (р, дп). Хадвигер и Дебруннер [4, 5] доказали, что если п n + 1 < q < р < -(q — 1), то М (р, qn) = р — q + 1. п — 1.

Недавно, Н. Алон и Д. Клейтман (N. Alon, D.J. Kleitman) [34] показали, что если n + 1 < g < р, то М (р, дп) < оо для всех р, q, n Е N..

Следующий результат является обобщением результатов ХадвигераДебруннера и Алона — Клейтмана при I = 0 на случай т-трансверсалей..

Теорема 1.6.4 [26, 30, 32]. Если Р такое равномерно ограниченное и I-неограниченное семейство выпуклых компактов в что среди каждых (р — 1)(/ + 1) + 1 множеств семейства найдутся 1(р — 1) + q, имеющих I-трансверсаль, n — I + 1 < q < р, то существует такое семейство {7Г параллельных 1-мерных плоскостей, что V Q |Ji6/ тгг ф 0 для всех V Е Р и |/|<�М (р, gп-1)..

Условие, что среди каждых (р — 1)(/ + 1) + 1 множеств семейства найдутся 1(р — 1) + д, имеющих 1-трансверсаль, нельзя заменить на более слабое условие, что среди каждых (р — 1)(/ + 1) множеств семейства найдутся 1{р — 1) + g — 1, имеющих ¿—трансверсаль..

В некоторых случаях теорему 1.6.4, используя результаты из [153], можно уточнить..

Теорема 1.6.5. Существует такая функция 4>(q, n — I), что если Р такое равномерно ограниченное и I-не ограниченное семейство выпуклых компактов в IRn, что среди каждых (р — l)(l + 1) + 1 множеств семейства найдутся 1{р — 1) + д, имеющих I-трансверсаль, n — l +1 < д < р < (?)(q, n — l) и и нет совпадающих проекций множеств из Р на любую (n — I)-мерную плоскость, то можно так удалить р — д множеств из Р, что семейство, которое осталось, будет иметь 1-трансверсаль..

В § 7 приводятся обобщения классических теорем Грюнбаума и Шни-рельмана — Сантало (см. [5], с. 62 — 63) о трансверсали..

Теорема 1.7.1 [26]. Пусть Я = семейство в Е&trade- (Сп) различных параллельных (п — т)-мерных плоскостей и М" (СП) = а№ []г (:1 ттг, а Р = такое семейство выпуклых компактов, что V" — С ттг для всех г е /..

Тогда, если для всех подсемейств С Р, < (п — т)(т + 1) + 1 существует т-трансверсаль, то она существует у всего семейства Р..

Теорема Грюнбаума и Шнирельмана — Сантало (см. [5], с. 63) следует из теоремы 1.7.1 при тп = 1 и га = п — 1, соответственно. Эта теорема является некоторым ответом на вопрос из [6], с. 414, об обобщении теоремы Грюнбаума — Шнирельмана — Сантало при 1 < т < п — 1..

Следующий результат получается прямо из теоремы 1.2.2..

Теорема 1.7.2. Пусть Д = {-тт?}г-€/ такое семейство в Е&trade- (С") различных параллельных (п — т)-мерных плоскостей, что М’г (С") = а! Т ттг и Р^ = ¦ 1 < ^ < к < п — т, такие семейства выпуклых компактов, что С для всех I? I и1 < ] <к..

Тогда, если для любого подсемейства С Р3, С} < (п — т)(га + 1) — к + 2 и всех -/, 1 < -/ < к, существует т-трансверсаль, то существует (к—1)-мернаяплоскость П в пространстве, Ьо) такая, что для любого V}.,-, г Е I и ], 1 < j < к существует такое / 6 П, что /' (х)? У31. х 6 Ь^..

Легко видеть, что П У/еп §-г / — — 1)-мерная плоскость для всех %. Поэтому, если к > п — т — теорема тривиальна. Также легко видеть, что 7гг' П У/ел §-Г / — алгебраическая (к + т — 1)-мернал поверхность в Мп..

В конце параграфа приводится аналоги этих результатов для обобщенных трансверсалей..

1. Helly Е. Uber Mengen konvexer Korper mit gemeinschaftlichen Punkten //Jber Deutsch. Math. Verein. 1923. Bd 32. S. 175 — 176..

2. Vincensini P. Figures convexes et varietes lineaires de l’espace a n dimensions //Bull. Sci Math. 1935. V. 59. P. 163 174..

3. Santalo L.A. Un teorema sobre conjuntos de paralelepipedos de aristas paralelas//Publ. Inst. Mat. Univ. Nac. Litoral 1940. V. 2., 1942. 49 60- V. 3, P. 202 — 210..

4. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия на плоскости. М.: Наука, 1965..

5. Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. М.: Мир, 1968..

6. Eckhoff J. Helly, Radon, and Caratheodory type theorems //Handbook of Convex Geometry, ed. by P.M. Gruber and J.M. Wills. Amsterdam: North-Holland, 1993..

7. Goodman J.E. and Pollack R., Wenger R. Geometric transversal theory //New trends in discrete and computational geometry. Berlin: Springer, 1994..

8. Wenger R. Helly-type theorems and geometric transversals// Handbook of Discrete and Сотр. Geometry, Amsterdam, North-Holland, 1997..

9. Дольников В. Л. О трансверсалях семейств выпуклых множеств // Исс. по теории функций многих вещ. пер. Яросл., 1981. С. 30 36..

10. Дольников В. Л. Обобщенные трансверсали семейств множеств в Кп и связи между теоремами Хелли и Борсука //Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, т. С. 777 780..

11. Дольников В. Л. Обобщенные трансверсали //IX Всес. конф. по геометрии. Кишинев, 1987..

12. Дольников В. Л. Обобщенные трансверсали семейств множеств в Мп и связи между теоремами Хелли и Борсука //Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 2. С. 111 132..

13. Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: ГИТТЛ, 1930..

14. Borsuk К. Drei Satze uber die n-dimensional e euklidische Sphare // Fund. Math. 1933. Bd. 20. S. 177 190..

15. Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979..

16. Zivaljevic R.T. and Vrecica S.T. An extension of the ham sandvich theorem //Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. P. 183 186..

17. Fadell E. and Husseini S. An ideal-valued cogomological index theory with applications to Borsuk Ulam and Bourgain — Yang theorems// Ergodic Theory&Dynamical Systems 1988. V. 8. P. 73 — 85..

18. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985..

19. Michael Е. Continuous selections, I//Ann. Math. 1956. V. 63, № 2. P. 361 382..

20. Алексеев В. М., Галеев Э. М, Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984..

21. Goodman J.E. and Pollack R. Hadviger’s transversal theorem in higher dimensions //J. Amer. Math. Soc. 1988. У. 1. P. 301 309..

22. Pollack R. and Wenger R. Necessary and sufficient conditions for hyperplane transversals //Combinatorica. 1990. V. 10, № 3. P. 307 -311..

23. Александров П. С.

Введение

в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977..

24. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969..

25. Stahl S. Reductions of n-fold covers //Proc. Amer. Math. Soc. 1978. V. 2, № 2. P. 422 424..

26. Дольников В. Л. Теоремы типа Хелли и их применения // Математика в Ярославском университете. Сборник обзорных статей. К 20-летию математического факультета. Изд. Яр. ун. Ярославль, 1996. 51−69..

27. Дольников В. Л. Обобщенные трансверсали и обобщенная выпуклость // Вопр. теор. групп и гом. алг., Ярославль, 1998. 15−36..

28. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972..

29. Берже М. Геометрия. Т. 2. М.: Мир, 1984..

30. Дольников В. Л. Некоторые обобщения теоремы Хадвигера о трансверсали //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль, 1992. С. 162 164..

31. Leray J. Sur la forme des espases topologiques et sur les points fixes des representations// J. Math. Pures Appl., 1945, V. 24, P. 95 167. лит., 1961..

32. Dol’nikov V.L. Helly type theorem. International Conference «Convex and Discrete Geometry». Poland, Bydgoszcz, June 27 July 2, 1994, Abstracts..

33. Эрдёш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике. М.: Мир, 1976..

34. Alon N. and Kleitman D.J. Piercing convex sets and Hadviger De-brunner (p, q)-problem //Bull. Amer. Math. Soc. 1992. V. 27, № 2. P. 252 — 256..

35. Рокафеллар P.Т. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973..

36. Deumlich R., Elster К. H. and Nehse R. Recent results on separation of convex sets//Math. Operationsforsch. Statist. Ser. Opt. 1978. V. 9. № 2. P. 273 — 296..

37. Breen M. Starshaped unions and nonempty intersections of convex sets in Rd //Proc. Amer. Math. Soc. 1990. V. 108. P. 817 820..

38. Rado R. Theorems on the intersection of convex sets of points // J. London. Math. Soc. 1952. V. 27. P. 320 328..

39. Watson D. Refinement of theorems of Kirchberger and Caratheodory //J. Austr. Math. Soc. 1973. V. 15. P. 190 192..

40. Дольников В. Л. О пересечении конических и выпуклых оболочек // Иссл. по теор. функ. многих вещ. пер. Яросл., 1988. С. 33 37..

41. Lay S.R. On separation by spherical surfaces //Amer. Math. Monthly. 1971. V. 78. P. 1112 1113..

42. Дольников В. Л. Об одном варианте теоремы Хелли // Геом. вопр. функций и множеств. Калинин, 1987. С. 44 51..

43. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971..

44. Дольников В. Л. О разбиении мер подпространством многочленов // Всес. конф. по теории функций. Днепропетровск 26 29 июня 1990 г., с. 44..

45. Дольников В.JI. Об одном обобщении теоремы о бутерброде //Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 2. С. 112 133..

46. Alon N. Some recent combinatorial applications of Borsuk-type theorems //J. London Math. Soc. 1988. V. 12. P. 11 12..

47. Крейн М. Г. А-проблема в абстрактном линейном пространстве / Ахиезер И. и Крейн М.// О некоторых проблемах теории моментов. Харьков: ГОНТИ. 1938..

48. Тихомиров В. М. Теория приближений //Анализ-2. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. напр. 1987. Т. 14. С. 103 270..

49. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические оценки и задачи комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1974..

50. Дольников В. Л. Замечание об отделимости множеств гиперплоскостью //Укр. мат. журн. 1987. Т. 39, № 6. С. 13 16..

51. Dol’nikov V.L. Jung’s type theorems and a separation of arbitrarys ub-sets by hyperplanes// Intern. Conf. «4-th Geometrical Festival», November 29 Decembre 2, 1999, Abstracts, Eotvos University Budapest, Hungary..

52. Пичугов С. А. Об отделимости множеств гиперплоскостью в Ьр // Analysis math. 1991. V. 17. P. 21 33..

53. Routledge N. A result in Hilbert space //Quart. J. Math. 1952. V. 3. P. 12 18..

54. Shiitte K. Minimale Durchmesser endlicher Punktmengen mit vorgeschriebenem Mindestabstand //Math. Ann. 1963. Bd 150. S. 91 98..

55. Blichfeldt H.F. The minimum value of quadratic forms and closed packing of spheres //Math. Ann. 1929. Bd 101. S. 605 608..

56. Фейеш Тот Л. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Физматгиз, 1958..

57. Rankin R.A. On packing of spheres in Hilbert space //Proc. Glasgow Math. Assoc. 1955. V. 2. P. 145 146..

58. Иванов В. И, Смирнов О. И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: Изд. ТулГу, 1995..

59. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т. 1. М.: Мир, 1990..

60. Дольников В. Л. О константе Юнга в /" //Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 4. С. 519 526..

61. Пичугов С. А. Константа Юнга пространства Lp // Мат. заметки. 1988. Т. 43, № 5. С. 604 614..

62. Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers // Arch. Math. 1955, Bd. 6, S. 413 416..

63. Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1965..

64. Дольников B.JI. Теоремы о трансверсалях //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль, 1990. С. 163 165..

65. Дольников B.JI. О флаговых поперечниках компактов//Межд. кон. по теории прибл. функций и вычисл. мат. Днепропетровск 26 29 мая 1993 г. С. 73..

66. Дольников B.JI. Об одном свойстве множеств решений систем уравнений //XIX Вс. алг. конф. Тез. сооб. Ч. 2. Львов, 1987. С. 84..

67. Дольников В. Л. О теореме типа Хелли для множеств, определяемых системами уравнений //Мат. заметки. 1989. Т. 46, № 5. С. 3 16..

68. Дольников В. Л., Игонин С. А. Теоремы типа Хелли Галлаи// Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5, № 4, С. 1209 -1226..

69. Dol’nikov V.L. Helly-Gallai type theorem for solutions of systems of equations//Intern. Conf. «Intuitive Geometry», June 5 9, 2000, Abstracts, Balatonfoldvar, Janos Bolyai Mathematical Society, Hungary..

70. Lovasz L. Flats in matroids and geometric graphs // «Proc. 6th British Combin. Conf.», ed. P. J. Cameron. Academic Press, New York, 1977. P. 45 86..

71. Дольников В. Л. О теореме Хелли для матроидов //Тезисы VIII Все-союз. конф. «Пробл. теор. киберн.» Горький, 1988..

72. Deza М. and Frankl P. A Helly type theorem for hypersurfaces //J. of Combin. Theory. Ser. A. 1987. V. 45. P. 27 30..

73. Bollobas B. On generalized graphs //Acta Math. Sci. Hung. 1965. V. 16. P. 447 452..

74. Erdos P. and Gallai T. On minimal number of vertices representing the edges of a graph// Mag. Tud. Ac. Mat. kut. 1961. V. 6. P. 89 96..

75. Berge C. Graphs and Hypergraphs, Amsterdam: North Holland, 1973..

76. Maehara H. Helly type theorems for spheres//Discrete& Сотр. Geom. 1989. V. 4. P. 279 285..

77. Вершик A. M., Малозёмов B.H., Певный А. Б. Наилучшая кусочно-линейная аппроксимация // Сиб. мат. жур. 1975. Т. 16. № 5. С. 925 938..

78. Дольников В. Л. Замечание о кусочно-полиномиальной аппроксима ции //Всесоюз. конф. по геом. и анализу, Новосибирск, 1989..

79. Дольников В.JI. Замечание о кусочно-полиномиальной аппроксимации //Исс. по теор. фун. мн. вещ. пер. Ярое., 1990. С. 67 70..

80. Beynon W.M. Combinatorial aspects of piecewise linear functions// J. London Math. Soc. 1974. V.7. P. 719 727..

81. Дольников В. Л. Об одном критерии кусочной полиномиальности функции //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль, 1991. С. 143 145..

82. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973..

83. Дольников В. Л. Об одном комбинаторном неравенстве // VII Всес. конф. «Пробл. теор. киберн.», Иркутск, 1985..

84. Дольников В. Л. Об одном комбинаторном неравенстве//Сиб. мат. жур. 1988. Т. 29. № 3. С. 53 58..

85. Дольников В. Л. О комбинаторном неравенстве //Тезисы XI Все-союз. конф. «Пробл. теор. киберн. Волгоград, 1990..

86. Lovasz L. Knezer’s conjecture, chromatic number and topology //J. Combin. Theory. 1978. V. 25, № 3. P. 319 324..

87. Knezer M. Aufgabe 360 //Jber Deut. Math. Verein. 1955. Bd 58, № 2..

88. Barany I. A short proof of Knezer’s conjecture// J. Combin. Theory. 1978. V. 25, №. P. 325 326..

89. Turan P. Egy grafelemety szelsoertek feladatrol. //Mat. Fiz. Lapok. 1941, 436 452..

90. Erdos P. On sets of distances of n points// Amer. Math. Monthly. 1946. V. 53. P. 248 250..

91. Kahn J. and Kalai G. A countreaxmple to Borsuk’s conjecture// Bull, of Amer. Math. Soc. 1993. V. 29. N 1. P. 60 62..

92. Erdos P. Some unsolved problems// Michigan Math. J. 1957. V. 4. P. 291 300..

93. Дольников В. Л. Об одном свойстве графа диаметров в Д3 // Все-союз. конф. по комб. геом. Батуми. 1985..

94. Дольников В. Л. Об одном свойстве графа диаметров в Ж3 // Качеств. и приближ. методы иссл. опер, уравнений. Ярославль, 1986. С. 47 50..

95. Dol’nikov V.L. Some Properties of Graphs of Diameters // Discrete^ Computational Geometry. 2000. V. 24. P. 293 299..

96. Dol’nikov V.L. On some properties of graphs of diameters. Intern. Conf. «Convex and Discrete Geometry». Poland, Bydgoszcz, August 28 September 2, 1998, Abstracts..

97. Дольников В. Л. Об одной задаче окрашивания //Сиб. мат. журн.1972. Т. 13, № 6. С. 1272 1281. 99. Дольников B.JI. О разбиении семейств выпуклых тел //Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12, № 3. С. 664 — 667..

98. Barany I. A Generalization of Carathedory’s Theorem, Discr. Math. 1982. V. 40. P. 141 152..

99. Черн С. С. Геометрия характеристических классов//УМН. 1973. Т. 28, № 3. С. 121 160..

100. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982..

101. Caratheodory С. Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen // Math. Ann. 1907. Bd. 64. S. 193 217..

102. Ван-дер-Варден. Алгебра. M.: Мир, 1976..

103. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Т. 1. М.: Изд. Ин. лит., 1954..

104. Болтянский В. Г., Солтан П. С. Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств. Кишинев: Штиинца, 1978..

105. Grunbaum В. Common transversals for families of sets// J. London Math. Soc. 1960. V. 35. P. 408 416..

106. Klee V. On certain intersection properties of convex sets// Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 272 275..

107. Levi F.W. Eine Erganzung zum Helly’shen Satze//Arch. Math. 1953. Bd. 4. S. 222 224..

108. Kirchberger P. Uber Tschebyschefsche Annaherugsmethoden // Math. An. 1903. Bd. 57. S. 509 540..

109. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979..

110. Horn A. Some generalization of Helly’s theorem on convex sets// Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55. P. 923 929..

111. Steinhaus H. Sur la division des ensembles de l’espace par les plans et des ensembles plans par les cercles//Fund. Math. 1945. V. 33. P. 245 263..

112. Neumann B.H. On an invariant of plane regions and mass distributions //Fund. Math. 1945. V. 20. P. 576 582..

113. Rado R. A theorem on general measure //J. London. Math. Soc. 1947. V. 22. P. 291 300..

114. Макеев B.B. Задача Кнастера и почти сферические сечения// Мат. сборник. 1989. Т. 180, № 3. С. 424 431..

115. Макеев B.B. Теорема о делении объема выпуклого тела плоскостями // Межвуз. сб. науч. труд.: Иссл. по теории римановых многообразий и их погружений. 1986. Ленинград. С. 41 44..

116. Alon N. and West D. Borsuk Ulam theorem and bisection necklaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 98. № 4. P. 623 — 628..

117. Akiyama J. and Alon N. Disjoint simplices and geometric hypergraphs // Susako. seminar. 1985. V. 12. P. 60..

118. Hobby C.R. and Rice J. A moment problem in Li-approximation // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. V. 16. P. 665 670..

119. Vincensini P. Sur une extension d’un theoreme de M.J. Radon sur les ensembles de corps convexes//Bull. Soc. Math. France. 1939. V. 67. P. 115 119..

120. Klee V. The critical set of convex body// Amer. J. Math. 1953. V. 75. P. 178 188..

121. Minkowski H. Allgemeine Lehrzatze uber konvexe Polyeder //Ges. Ab. 1911. Bd. 2. Berlin. S. 103 121..

122. Красносельский М. Г. Об одном критерии звездности// Мат. сб. 1946. Т. 19. С. 309 310..

123. Дольников В. Л. Об отделимости множеств в евклидовом пространстве // Тезисы Всесоюз. конф. по комб. геом., Батуми, 1985..

124. Дольников В. Л. Замечание об отделимости множеств гиперплоскостью // Сб. «Иссл. по теор. функ. многих вещ. пер.» Изд. Яросл. унив., 1986. С. 41 48..

125. Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977..

126. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. М.: Мир, 1980..

127. Jung Н. Uber die kleinste Kugel, die eine raumliche Figur einschliesst// J. Reine Angew. Math. 1901. Bd. 123. S. 241 257..

128. Гаркави А. Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах//Математический анализ. Итоги науки и техники ВИНИТИ. 1969. Т. 14. С. 75 132..

129. Radon J. Mengen konvexer Korper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten/Math. Ann. 1921. Bd. 83. S. 113 115..

130. Bohnenblust H. Convex regions and projections in Minkowski spaces// Ann of Math. 1938. V. 39. № 2. P. 301 308..

131. Leicht wei? K. Zwei Extremalprobleme der Minkowski-Geometrie / / Math. Z. 1955. Bd. 62. S. 37 49..

132. Райзер Г. Дж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966..

133. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд. иностр. лит., 1948..

134. Дольников В. Л. О константе Юнга в /" //Тезисы Всесоюз. конф. по комб. геом., Батуми, 1985..

135. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974..

136. Krein М., Milman D. On extreme points of regularly convex sets // Studia Math. 1940. V. 39. P. 133 138..

137. Колмогоров A.H., Тихомиров В. М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональном пространстве/ Успехи мат. наук. 1959. Т.14. № 2. С. 3 86..

138. Bang Th. A solution of the «plank problem» //Proc. Amer. Math. Soc. 1951. V. 2. P. 990 993..

139. Ball K. Markov chains, Riesz transforms and Lipschitz maps// Geometric and Functional Analysis. 1992. V. 2. № 2. P. 341 344..

140. Motzkin T.S. A proof of Hilbert’s Nullstellensatz//Math. Z. 1955. V. 63. P. 341 344..

141. Айгнер M. Комбинаторная теория. M.: Мир, 1982..

142. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968..

143. Duchet P. Hypergraphs // Handbook of Combinatorics, eds. R. Graham, M. Grotshel and L. Lovasz. Elsevier Science, Amsterdam, 1995..

144. Грэхем P. Начала теории Рамсея. M.: Мир, 1984 96с..

145. Menger К. Untersuchungen iiber allgemeine Metrik // Math. Ann. 1928. 100. S. 75 163..

146. Ope О. Теория графов. M.: Наука, 1968. мат. журн. 1972. Т. 13, № 6. С. 1272 127..

147. Дольников В. Л. Одна теорема о покрытиях на римановых многообразиях //Успехи мат. наук. 1975. Т. 185, № 5. С. 205 206..

148. Дольников В. Л. Одна теорема о покрытии //Иссл. по теории функций многих вещ. пер. Ярославль, 1978. С. 111 128..

149. Гусман М. Дифференцирование интегралов в R". М.: Мир, 1978..

150. Дольников В. Л. Обобщенные трансверсали семейств множеств в К" и связи между теоремами Хелли и Борсука //Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 4. С. 777 780..

151. Tuza Zs. Minimum number of elements representing a set system of given rank// Journ. of Comb. Thiory, 1989, Series A 52, P. 84 89..