Метод анализа иерархий в задачах многокритериального выбора

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования Финансовый университет при правительстве Российской Федерации Уфимский филиал КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Системный анализ в экономике»

Метод анализа иерархий в задачах многокритериального выбора Выполнила: Ахмедова Л.И.

Студентка 1 курса, группы № 11 ИП Преподаватель: Белолипцев И.И.

Уфа 2015

Метод анализа иерархий (МАИ) — математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании. Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки. Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Целью данной работы: произвести выбор секретаря из девушек, подавших резюме с использованием МАИ.

В работе решаются следующие задачи:

— поиск и выбор объектов для оценки,

— формулирование задачи выбора,

— расстановка оценок объектов по критериям и уровням иерархии,

— итоговое свертывание по нормированным оценкам и принятие решения о выборе проекта.

Пример:

Нужно произвести выбор секретаря из девушек, подавших резюме.

Собеседование прошли пять девушек: Ольга, Елена, Светлана, Галина, Жанна. После собеседования получились следующие описания девушек:

1. Ольга. Приятная внешность. Отличное знание английского языка. Хорошее поведение. Нет навыков работы на компьютере, посредственное общение по телефону.

2. Елена. Красивая, приятная внешность, хорошее умение общаться по телефону. Незнание английского языка, нет навыков работы на компьютере, делопроизводство знает весьма плохо.

3. Светлана. Очень хорошее знание делопроизводства, хорошие навыки работы на компьютере, достаточно хорошо общается по телефону, очень исполнительная. Не очень приятная внешность, посредственное знание английского языка.

4. Галина. Достаточно хорошо знает делопроизводство, неплохие навыки работы на компьютере, по телефону общается на высоком уровне, достаточно хорошее поведение. Плохое знание английского языка, неприятная внешность.

5. Жанна. Приятная внешность, очень хорошее поведение, неплохие навыки работы на компьютере, достаточно хорошее знание английского языка. По телефону общается плохо, не знает делопроизводство.

Отбор девушек происходит по пяти критериям:

1. Знание делопроизводства.

2. Внешний вид.

3. Знание английского языка.

4. Знание компьютера.

5. Умение разговаривать по телефону.

Для оценки используется следующая шкала относительной важности:

Таблица 1

Шкала относительной важности

Этап 1. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий

Рассмотрим элементы С₁, С₂, …, С_n некоторого зафиксированного уровня иерархи. Мы хотим определить веса ?₁, ?₂, …,?_n влияния этих элементов на некоторый элемент вышестоящего уровня. Основным инструментом оценки влияния является матрица чисел по шкале отношений 1, …, 9 (табл. 1), представляющих суждения о парных сравнениях. Для представления приоритетов в МАИ выбран собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению указанной матрицы А. Обозначим через число (бал), соответствующее значимости (предпочтения) элемента С_i по сравнению с элементом С_j данного уровня иерархии по влиянию С_i, С_j на фиксированный элемент вышестоящего уровня

. (5)

Матрица, А с содержательной точки зрения будет согласованной по оценкам при введении условия

. (6)

С математической точки зрения это условие наделяет матрицу, А свойством обратно-симметричной матрицы. На главой диагонали матрицы, А стоят 1.

Если оценки попарных сравнений известны точно, т. е. оценки основаны на экспериментальных измерениях, то

(7)

т.е. веса влияния элементов известны.

Например, если взвешиваются два предмета: С₁=305,2 и С₂=244,2, тогда отношение означает, что предмет С₁ в 1,25 раз тяжелее предмета С₂.

Для случая экспериментального измерения весов ?₁, ?₂, …,?_i,…, ?_n сравниваемых элементов на уровне иерархии согласованность считается полной, естественно, с точностью до погрешности измерительных приборов или расчетных методик. При экспертной оценке отношений (7) согласованность суждений и соответственно матрицы, А будет не полной. Значит нужно разработать некоторую числовую меру отклонения согласованности матрицы, А от идеальной (см. ниже формулу отношения согласованности (9).

Теперь рассмотрим подробнее содержательный смысл требования согласованности в МАИ.

В МАИ под согласованностью суждений подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений [3]: если например, для индивидуума яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов.

Схематически это можно записать так:

.

— знак предпочтения элемента в отношении двух элементов;

? — знак пересечения множеств (совместности).

В МАИ транзитивность наделяется количественными отношениями. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсин (по цене), а апельсины предпочтительнее бананов в 3 раза, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это автор МАИ Саати называет числовой (кардинальной) согласованностью предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может нарушить транзитивность.

МАИ не только показывает наличие несогласованности отдельных сравнений, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.

Замечание. В простейшей версии МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы между собой, но все они влияют на каждый элемент другого (вышестоящего) уровня. Таким образом, общая задача многокритериального выбора сводится к задаче оценки влияния уровней иерархи (снизу-вверх либо сверху-вниз). иерархия экспертный приоритет альтернатива Теперь обратимся к расчетам для нашего примера.

Зафиксируем нижний (третий) уровень иерархи Рис. 2, содержащий элементы А1, А2, А3, А4, А5 претендентов на должность. Зафиксируем также один элемент К1 -знание делопроизводства на уровне 2 иерархии.

Матрица А_С.1 парных сравнений альтернатив по первому критерию Таблица 2

Аналогично поступим с остальными критериями Таблица 3

Матрица А_С.2 парных сравнений альтернатив по первому критерию Таблица 4

Матрица А_С.2 парных сравнений альтернатив по первому критерию Таблица 5

Матрица А_С.2 парных сравнений альтернатив по первому критерию Таблица 6

Матрица А_С.2 парных сравнений альтернатив по первому критерию Таблица 7

Матрица А_С.4 парных сравнений критериев

Этап 2. Определение вектора приоритетов

В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из оценки через средние геометрические.

Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i-я компонента СВ, тем больше влияние i-го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.

Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.

Этап 3. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений

Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений А_с.1, А_с.2, А_с.2, А_с.4. Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм расчета. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца — на вторую компоненту и т. д. Затем полученные числа суммируются:

(8)

где k — номер матрицы парных сравнений (суждений); - вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номером k; - нормализованный собственный главный вектор матрицы суждений А_с.k, принадлежащий наибольшему собственному значению .

Этап 4. Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений

В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы, А не должны быть противоречивыми.

Из теории МАИ известно, что идеальная согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию Заметим, что всегда верно, поэтому Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)

. (9)

Знаменатель — это число всех возможных парных сравнений данного элемента в фиксированной строке i для квадратной матрицы n-го порядка.

Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.

Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):

(10)

где СС — индекс случайной согласованности (СС).

СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицы А. Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 7.

Таблица 7

Случайная согласованность для случайных матриц

Приемлемая величина ОС — порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т. е. назначение величин в матрице парных сравнений.

Этап 5. Синтез приоритетов уровней

В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.

Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно [3], в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А₁, А₂, А_3, А_4,А₅ по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.

Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А₁, А₂, А_3, А_4,А₅) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3, К4,К5) на общую цель (уровень 1) равен:

(11)

где В — матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого снизу уровня (см. таблицы 2, 3 и 4);

— нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 5).

Для нашего примера:

Этап 6. Выбор оптимальной альтернативы

Алгоритм оптимального выбора прост:

Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору претендента на должность № 4, так как ей соответствует наибольшее значение компонента вектора общего приоритета 0,55.

Заключение

Целью контрольной работы являлась оценка претендентов на должность и выбор целевого претендента методом анализа иерархий. В ходе работы были выбраны 5 претендентов на должность секретаря компании. Для постановки иерархической задачи были выбраны 5 критериев, характеризующих успешность претендента. Была проведена оценка важности критериев, затем были проведены расчеты. В результате свертки локальных приоритетов с весом 0,55 был выбран претендент на должность под № 4.