Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции — диффузии — реакции

Диссертация: Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции — диффузии — реакции
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Во многих прикладных задачах возникает проблема идентификации коэффициентов уравнений с частными производными. Коэффициентные обратные задачи для линейных уравнений являются нелинейными. Это обстоятельство существенно осложняет проблему построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает практически невозможным полное и строгое обоснование их сходимости… Читать ещё >

Содержание

  • Основные обозначения
  • Глава 1. Обратная задача идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
    • 1. 1. Постановка прямой задачи
    • 1. 2. Постановка и разрешимость задачи идентификации
    • 1. 3. Необходимые условия оптимальности
    • 1. 4. Единственность и устойчивость решения задачи идентификации
    • 1. 5. Дополнительные свойства решения системы оптимальности
  • Глава 2. Численный анализ обратной задачи идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции — диффузии
    • 2. 1. Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе двухслойного градиентного итерационного метода (алгоритм
    • 2. 2. Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе алгоритма Ньютона (алгоритм 2)
    • 2. 3. Сравнительный анализ результатов численных экспериментов, на основе алгоритмов 1 и
  • Глава 3. Обратная задача идентификации плотности источника одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
    • 3. 1. Прямая начально — краевая задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузииреакции
      • 3. 1. 1. Постановка прямой задачи
      • 3. 1. 2. Применение различных конечно-разностных схем для численного решения прямой задачи
      • 3. 1. 3. Обсуждение результатов вычислительных экспериментов по решению прямой задачи
    • 3. 2. Обратная задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
      • 3. 2. 1. Постановка обратной одномерной нестационарной задачи. Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения
      • 3. 2. 2. Определение порядка аппроксимации нагруженного уравнения
      • 3. 2. 3. Описание численного алгоритма решения обратной задачи
      • 3. 2. 4. Анализ результатов численных экспериментов решения обратной задачи
    • 3. 3. Обратная задача для двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
      • 3. 3. 1. Постановка обратной задачи
      • 3. 3. 2. Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения
      • 3. 3. 3. Описание численного алгоритма решения обратной задачи
      • 3. 3. 4. Обсуждение результатов численных экспериментов

Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции — диффузии — реакции (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Важнейшей задачей прикладной экологии является задача защиты окружающей среды от антропогенных загрязнений [1,2]. Применение метода математического моделирования к исследованию процессов распространения загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере приводит к необходимости решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение загрязнений в рассматриваемых областях. Параметры, входящие в уравнение переноса загрязнений и граничные условия, являются важными характеристиками процесса распространения примеси, поэтому решение этих задач играет большую роль в прикладной экологии. Указанные задачи содержат ряд термогидродинамических параметров, а также функций, описывающих плотности источников примесей. Эти параметры и плотности должны быть заданы для однозначного определения искомого решения. Прямая задача связана с необходимостью найти решение внутри заданной области, удовлетворяющее заданному уравнению и заданным начальным и граничным условиямтак для стационарных уравнений задаются граиичные условия, а для нестационарных — еще и начальные условия. Эти задачи проникли в математику в конце XVIII века (Л. Эйлер, П. Лаплас), однако их теория продолжает развиваться. Интересно отметить, что впервые краевыми задачами стали заниматься при решении задач механики и физики.

В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы численного решения прямых задач математической физики. Для численного моделирования таких задач широко используются конечно-разностные методы [3 12] и метод конечных элементов [13,14]. Часто они дают нефизические осцилляции в численном решении. Чтобы их избежать используются специальные схемы повышенной точности (см., например, [15−24]).

Численная апроксимация уравнений математической физики приводит к системе алгебраических уравнений большой размерности. В силу ограничений на устойчивость для явных схем это приводит к большим затратам ресурсов на ЭВМ. Реализация неявных схем прямыми методами требует обращения матриц большой размерности, что также приводит к большим затратам. Альтернативный подход к решению больших систем уравнений состоит в применении итерационных методов [25−33].

Однако на практике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны. В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивать и неизвестные плотности источников либо параметры, используя некоторую дополнительную информацию о решении.

Приведенные примеры являются примерами так называемых задач идентификации для моделей распространения загрязнений в природных средах. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источников либо параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по дополнительной информации о состоянии среды. Их еще называют обратными задачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить причину воздействия по заданному следствию.

В теории обратных задач теплои массонереноса различают коэффициентные, граничные и эволюционные обратные задачи [34−37]. Обратные задачи часто являются некорректными в классическом смысле задачами. Типичным является нарушение требования непрерывной зависимости решения от вход-пых данных.

Введение

в класс корректных задач достигается сужением класса допустимых решений. Решение обратных задач непосредственно сводится к многократному решению прямых задач.

Впервые обратную краевую задачу как чисто математическую для гармонической функции поставил в 1929 году Д.Рябушинский. Примерно в те же годы обратными задачами занялись специалисты-аэродинамики, немецкие ученые В. Вейнинг, Р. Берц и В. Манглер. Последний в 1938 году опубликовал фундаментальную работу в этой области. В Советском Союзе различными краевыми задачами занимались в ЦАГИ. Существенный вклад в развитие теории этих задач внес Г. Г. Тумашев в 1942;1946 годах. Он предложил свой метод решения, который позволил расширить исследуемый класс задач. Вместе с М. Т. Нужиным они заложили основы общей математической теории обратных краевых задач [38].

В 80-х годах прошлого столетия, начиная с работ Н. В. Музылева [39,40], в ряде работ отечественных и зарубежных авторов стали интенсивно изучатся обратные задачи для моделей тепловой конвекции (см. [41−48]). В этих работах были изучены теоретические вопросы, а также предложены численные методы решения рассматриваемых обратных задач.

В настоящее время существуют два направления в изучении явлений тепло-и массопереноса. Первое связано с интенсивным развитием методов численного моделирования решения прямых и обратных задач для уточнения математической модели исследуемого физического процесса, составленной на основе законов сохранения. Вторым является дальнейшее совершенствование экспериментальных методов исследования процессов теилопереноса. Решение обратных задач позволяет получить количественную информацию о причинных характеристиках, входящих в математическую модель, а также определяет возможность получения достоверной информации об этих характеристиках при обработке данных физического эксперимента. Следует отметить, что среди задач второго направления следует различать два широких подкласса: один из них содержит задачи прогноза, другой — включает задачи конструирования. Как показывают данные математического моделирования, существует такая система измерений, для которой неизвестные зависимости тенлофизических характеристик материала могут быть найдены с высокой точностью. В связи с этим практический интерес представляет задача предварительной, до проведения реального эксперимента, оптимизации схемы или плана измерений. Так, в работах [49,50] проводится практическое доказательство возможности применения локально-оптимального планирования измерений в процессе подготовки нестационарных теплофизических экспериментов и обсуждаются результаты вычислительных экспериментов восстановления коэффициента теплопроводности многослойного материала в одномерной и двумерной областях, соответственно, выполненных на вложенных сетках для различных схем измерений. В работе [51] предложен эффективный численный алгоритм нахождения старшего коэффициента одномерного параболического уравнения, основанный на применении фильтрации для уменьшения шума в данных.

Наряду с коэффициентными, граничными и эволюционными обратными задачами на практике возникают и задачи восстановления плотностей неизвестных источников загрязнения. Часто эти задачи являются некорректными в классическом смысле. Во многих случаях естественно считать, что неизвестной является зависимость правой части от времени. Для приближенного восстановления неизвестной правой части используются различные подходы, основанные, прежде всего, на методах регуляризации [52]. Этот общий вычислительный алгоритм для решения некорректных задач идентификации использовался, например, в [53] для многомерных параболических уравнений. Традиционный подход в решении проблем идентификации источников состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функций Грина прямой задачи. В частности, такой метод использовался в [54] для нестационарного уравнения конвекции-диффузии при восстановлении плотности источника в случае, когда точка наблюдения находится вне рассматриваемой области. В некоторых работах (см., например, [55−57[) для задач идентификации используются методы теории обратимости динамических систем, позволяющие восстанавливать неизвестные входные воздействия на систему по заданной информации о выходе. В работе [58] предложен численный алгоритм для приближенного решения обратной задачи, заключающийся в восстановлении временной компоненты плотности источников тепла при известном ее пространственном распределении для простейшего одномерного параболического уравнения теплопроводности. Указанный алгоритм основан на сведении рассматриваемой обратной задачи к вспомогательной граничной задаче для нагруженного параболического уравнения [59]. Данный численный алгоритм сводит решение обратной задачи к решению двух прямых задач для нестационарного уравнения теплопроводности на каждом временном слое. Единственность восстановления временной компоненты следует из работы [60]. Следует отметить также работы [61,62], в которых восстановление плотности источника одномерного параболического уравнения теплопроводности осуществляется с использованием кусочно-линейных функций, коэффициенты которых определяются путем решения задачи минимизации, основанной на использовании переопределенных данных. В [03—05] рассмотрены обратные задачи, связанные с идентификацией граничных условий.

Во многих прикладных задачах возникает проблема идентификации коэффициентов уравнений с частными производными. Коэффициентные обратные задачи для линейных уравнений являются нелинейными. Это обстоятельство существенно осложняет проблему построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает практически невозможным полное и строгое обоснование их сходимости. Для численного восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений, как и для идентификации неизвестных плотностей источников загрязнений, используются различные подходы, многие из которых основаны на методах регуляризации [52]. Особого внимания заслуживают также методы параметрической идентификации, связанные с представлением искомого коэффициента в параметрическом виде и с нахождением параметров этого представления. Такой подход, в частности, осуществлен в [61,66] для восстановления старшего коэффициента нестационарного одномерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности. В [67] представлен численный алгоритм идентификации коэффициента конвекции двумерного эллиптического уравнения, основанный на применении градиентного метода и алгоритма Ньютона. Традиционный подход в решении задач идентификации младшего коэффициента состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функции Грина прямой задачи. В частности, такой подход был осуществлен в [68] для определения младшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Аналогичная задача рассмотрена также в [69], где проведен сравнительный анализ применения для ее численного решения четырех конечно-разностных схем разного порядка точности. В [70,71] предложены численные алгоритмы решения задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения в ограниченной области через усредненные данные о потоке, основанные на использовании двухслойного градиентного метода и квазиньютоновского алгоритма соответственно. В [72] представлен численный алгоритм решения экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента для эллиптического уравнения переноса примеси, основанный на подходе, впервые примененном в работе [73].

Отметим также работы [74−76], в которых рассматривается обратная задача для общего параболического уравнения с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом. В [74] установлены условия существования и единственности решения данной задачи. Подход, примененный в [75] для решения данной задачи, связан с представлением неизвестного коэффициента в недивергентной форме. Там же также представлены результаты серии вычислительных экспериментов. В [76] развивается монотонный итерационный алгоритм для численного решения в классе конечно-разностных уравнений диффузии-реакции с нелинейным коэффициентом диффузии. В частности, доказано, что использование в качестве начальной итерации верхнего или нижнего решения ведет к монотонной сходимости соответствующей последовательности к единственному решению конечно-разностной схемы. Кроме того, показано, что если шаг сетки стремится к нулю, то решение конечно-разностной задачи сходится к решению исходной дифференциальной задачи.

Отмстим также работы, в которых исследуются задачи идентификации сразу нескольких неизвестных коэффициентов. Среди них упомянем [77 79], где рассматриваются вопросы, связанные с существованием и единственностью восстановления как коэффициента диффузии, так и коэффициента конвекции двумерного параболического уравнения. Там же установлены условия существования и единственности решения обратной задачи, состоящей в одновременном нахождении коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости в случае, когда они являются функциями времени.

Наряду с обратными задачами важную роль в приложениях играют и задачи управления для моделей распространения загрязнений. Эти задачи заключаются в достижении определенных «экологических» целей за счет действия граничных либо распределенных управлений, роль которых играют координаты, мощности и другие параметры источников загрязнений. Интерес к этим задачам появился в 70−80-е годы прошлого столетия, начиная с пионерских работ Г. И. Марчука, В. В. Пененко и других исследователей, посвященных решению задач оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон.

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче и последующей его минимизации на решениях исходной задачи. На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления. Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для из решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации (см. [8092]).

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [93]- [99].

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г. В. Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидатам физ.-мат. наук Д. А. Терсшко и Р. В. Бризицкому за полезные замечания, направленные на улучшение содержаия работы.

Заключение

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.:Наука, 1982. 319 с.
  2. В.М., Шокин Ю. И. Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО- ПРЕСС, 1997. 240 с.
  3. Л.А., Муратова Г. В. Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной многосеточным методом// Изв. ВУЗов. Северо-кавказский регион. Мат. модел. Спецвып. 2001. С. 105−109.
  4. Я.А., Муратова Г. В. Использование метода конечных разностей для решения уравнения мелкой воды. //Мат. модел. 2001. Т. 13. N. 3. С. 57−60.
  5. Crank J, Nikolson P. A practical method for numerical evaluation of solution of differential equations of heat-conduction type // Proc. Camb. Phil. Soc. 1947. V.43. P. 50−67.
  6. A.A., Вабищевич П.H. Аддитивные схемы для задач математической физики // М.: Наука, 1999.
  7. П.Н., Самарский А. А. Об устойчивости разностных схем для задач конвекции/диффузии // ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. N. 2. С. 182−186.
  8. А.А., Вабищевич П. Н., Магпус П. П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // ДАН. 1997. Т. 356. N. 4. С. 455−457.
  9. Владивосток: Дальнаука. 1999.
  10. Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
  11. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag. 1986.
  12. Usmani R.A., Agarwal R.P. An A-stable extended trapezoidal rule for the numerical integration of ordinary differential equations // Computers Math. Applic. 1985. V. 11. N. 12. P. 1183−1191.
  13. Jacques I.B. Extended one-step methods for the numerical solution of ordinary differential equations // Intern. J. Computer Math. 1989. V. 29. P. 247−255.
  14. Chawla M.M., Al-Zanaidi M.A., Al-Sahhar M.S. Stabilized fourth order extended methods for the numerical solution of ODEs // Intern. J. Computer Math. 1994. V. 52. P. 99−107.
  15. Chawla M.M., Al-Zanaidi M.A., Al-Sahhar M.S. A class of stabilized extended one-step methods for the numerical solution of ODEs // Computers Math. Applic. 1995. V. 29. N. 10. P. 79−84.
  16. Chawla M.M., Karaballi A.A., Al-Sahhar M.S. Extended double-stride Instable methods for the numerical solution of ODEs // Computers Math. Applic. 199G. V. 31. N. 2. P. 1−6.
  17. Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A. An Extended Trapezoidal Formula for the Diffusion Equations // Сотр. and Math. Appl. 1999. V.38. P. 51−59.
  18. Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A., AL-Aslab M.G. Extended One-Step Time-Integration Schemes for Convection-Diffusion Equations // Сотр. and Math. Appl. 2000. V. 39. P. 71−84.
  19. Wang H., Jiang J. Solution of system of linear algebraic equations by decreasing dimension // Applied Mathematics and Computation. 2000. V. 109. P. 51−57.
  20. А.А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N. 2. С. 265−274.
  21. Крукиер J1.А. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанным на косо-симметричной части исходной положительной матрицы // Мат. модел. 2001. Т. 13. N. 3. С. 49−56.
  22. Крукиер J1.А., Мартынова Т. С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации // Выч.мат. и мат.физ. 1999. Т. 39. N. 11. С. 1821−1827.
  23. Л.А., Чикина Л. Г. Двуциклический треуголный кососиммет-рический итерационный метод решения сильно несимметричных систем // Изв. ВУЗов. Математика. 2001. Т. 468. N. 5. С. 36−42.
  24. Т.С., Белоконь Т. В. Нестационарный итерационный метод решения сильно несиметричных систем линейных алгебраических уравнений // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. N. 3. С. 61−68.
  25. Krukier L.A., Martynova T.S. Point SOR and SSOR Methods for the Numerical Solution of the Steady Convection-Diffusion Equation with Dominant Convection // IMACS Series in Computational and Applied Mathematics. 1999. V. 5. P. 399 404.
  26. А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.
  27. А.А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС. 1999.
  28. П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Современные методы математического моделирования // Сборник лекций.Самара. 2001. С. 21−40.
  29. А.А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука. 1997. С. 5−97.
  30. Alifanov О.М. Inverse Heat Transfer Problems. Springer.Berlin. 1994.
  31. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational Heat Transfer. Wiley. Chichester. 1995.
  32. Г. Г., Нужин M.T. Обратные краевые задачи и их приложе-ния//Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1965. 333 с.
  33. Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач тепловой конвекции // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20. N. 2. С. 388−400.
  34. Н.В. О единственности решения обратной задачи линейной тепловой конвекции // Ж. вычисл.мат. и мат.физ. 1985. Т. 25. N. 9. С. 1346−1352.
  35. О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение. 1988.
  36. В.В., Рапута В. Ф., Быков А. В. Планирование эксперимента в задаче оценивания мощности источников примеси // Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21. N. 9. С. 913−920.
  37. Besk J. V., Blackwell В., Clair C.St. Inverse Conduction Ill-posed Problems. Wiley. New York. 1985.
  38. Cannon J.R., Zachmann D. Parameter determination in parabolic differential equations from overspecified boundary data // Int. J. Engng.Sci. 1982. V. 20. P. 779−788.
  39. Cannon J.R., Duchateau P. An inverse problem for a non-linear diffusion equation // SIAM J. Appl.Math. 1980. V. 39. P. 272−289.
  40. Cannon J.R., Duchateau P. Determining unknown coefficients in a nonlinear conduction problem // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 24. P. 298−314.
  41. А.Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988.
  42. Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука. 1986.
  43. Е.А., Будник С. А., Охапкин А. С. Численное решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и оптимизация температурных измерений // ИФЖ. 1988. Т. 55. N. 2. С. 292−304.
  44. О.А., Зеркалъ С. М., Иткина Н. Б. Применение методов планирования эксперимента при решении обратных коэффициентных задачтеплопереиоса. Препринт N 125. РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики. Новосибирск. 2003. 20 с.
  45. Al-Khalidy N. On the solution of parabolic and hyperbolic inverse heat conduction problems // Intern.Jour.of Heat and Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 3731−3740.
  46. A.H., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.
  47. А.А., Вабищевич П. Н. Дифференциальные методы решения задач идентификации обнаружения источников параболических уравнений // Вестник МГУ. Сер. Матем. и киберн. 1995. Вып. 1. С. 47−5G.
  48. Криксин Ю. А, Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии // Матем. модел. 1995. Т. 7. N. И. С. 95−108.
  49. В. Т. Инверсия линейного инварианта динамических систем во времени с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1982. N. 5. С. 29−30.
  50. А.В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. матем. и мех. 1982. Т. 47. N. 6. С. 883−889.
  51. П.М., Борухов В. Т., Борисевич Л. Е. Метод обратных динамических систем для восстановления внутренних источников и граничных условий в теории переноса // ИФЖ. 1988. Т. 55, N. 2. С. 304−311.
  52. Borukhov V.T., Vabishchevich P.N. Numerical solution of the inverse problem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation// Computer Physics Communications. 2000. T. 12G. N. 1. C. 32−36.
  53. A.M. Нагруженные уравнения и их приложения //Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. N. 1. С. 86−94.
  54. Ю.А., Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. К вопросу о единственности решения обратной задачи конвективной диффузии. Препринт Ин-та математического моделирования РАН N 23. Москва. 1994.
  55. Fatullayev A.G. Numerical procedure for the determination of an unknown coefficients in parabolic equations. // Computer Physics Communications. 2002. V. 144. P. 29−33.
  56. Fatulayev A.G. Numerical solution of the inverse problem of determining an unknown source term in a heat equation // Mathematics and Computers in Simulatiion. 2002. V. 58. P. 247−253.
  57. Shidfar A., Azary H. Nonlinear parabolic problems // Nonlinear analysis, theory, Methods and Applications. 1997. V. 30. N. 8. P. 4823−4832.
  58. Essaouini M., Nachaoui A., Hajji S.El. Numerical method for solving a class of nonlinear elliptic inverse problems // J. of Сотр. and Appl.Math. 2004. V. 162. P. 165−181.
  59. Nachaoui A. Numerical linear algebra for reconstruction inverse problems // J. of Comput. and Appl.Math. 2004. V. 16. P. 147−164.
  60. Fatullayev A.G. Determination of unknown coefficient in nonlinear diffusion equation // Nonlinear Analysis. 2001 V. 44. P. 337−344.
  61. Ito K., Kunisch K. Estimation of the convection coefficient in elliptic equations //Inverse Problems. 1997. N. 14. P. 995−1013.
  62. Shidfar A., Tavakoli К An inverse heat conduction problem // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2002. V. 26. P. 503−507.
  63. Dehghan M. Finding a control parametr in one-dimensional parabolic equations // Applied Mathematics and Conputation. 2003. V. 135. P. 491 503.
  64. А.А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Москва: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.
  65. Lowe В., Rundell W. The determination of a coefficient in an elliptic equation from average flux data // J. of Computational and applied mathematics. 199G. V. 70. P. 173−187.
  66. Д.А. Численное решение задач идентификации параметров примеси для стационарных уравнений массопереноса // Выч/гехн. Спец. вып. 2004. Т. 9. Ч. 4. С. 92 98.
  67. Capatina A., Stavre R. Numerical analysis of a control problem in heat conducting Navier-Stokes fluid // Int. J. Eng. Sci. 1996. V. 34. N 13. P. 14G7 1476.
  68. Н.И. Определение зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. N. 3. С. 539−550.
  69. Shidfar A., Azary Н. An inverse problem for a nonlinear diffusion equation // Nonlinear analysis, theory, Methods and Applications. 1997. V. 28. N. 4. P. 589−593.
  70. Wang J., Pao С. V. Finite difference reaction-diffusion equation equations with nonlinear diffusion coefficients // Numer.Math. 2000. V. 85. P. 485−502.
  71. H.B. О единственности одновременного определения коэффициентов теплороводности и объемной теплоемкости // ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N. 1. С. 102−108.
  72. Н.И., Пабыривска Н. В. Определение двух, зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. N. 2. С. 323−329.
  73. Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. матем. жури. 1994. Т. 39. N. 3. С. 612 621.
  74. Capatina A., Stavre R. Algorithms and convergence results for an inverse problem in heat propagation // Intern. Journal of engeneering science, 2000. V. 38. P. 575−587.
  75. Г. В. Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N. 2. С. 174−177.
  76. Г. В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. N. 5. С. 982−998.
  77. Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневост. матем. сб. 1998. Выи. 5. С. 74−85.
  78. Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теило-массопереноса // ДАН. 2000. Т. 375. N. 3. С. 315−319.
  79. Alekseev G.V., Adomavichus Е.А. Theoretical analysis of inverse extremal problems of admixture diffusion in viscous fluids // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. V. 9. N. 5. P. 435−468.
  80. Г. В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса //Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. N. 5. С. 971−991.
  81. Г. В., Адомавичюс Э. А. О разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнений массопереноса // Дальневост. мат. журн. 2001. Т. 2. N. 2. С. 138−153.
  82. Г. В., Адомавичюс Э. А. Исследование обратных экстремальных задач для нелинейных стационарных уравнений переноса вещества //Дальневост. мат.журн. 2002. Т. 3. N. 1. С. 79−92.
  83. Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса // Ж. выч. матем. и мат. физ. 2002. Т. 42. N. 3. С. 380−394.
  84. Г. В., Прокопенко C.B., Соболева O.A., Терешко Д. А. Задачи оптимального управления для некоторых моделей распространения загрязнений // Выч.техн. Спец.вып. 2003. Т.8. Ч. 4. С. 65−71.
  85. Э.А., Калинина Е. А. Экстремальные задачи идентификации для стационарных уравнений массопереноса // Выч. технол. Спец. вып. 2002. Т. 7, Ч. 1. С. 17−23.
  86. Е. А. О численном решении обратной нестационарной задачи идентификации плотности источника для уравнения конвекции диффузии // Выч.технол. Спец. вып. 2003. Т.8. Ч. 2. С. 84−91.
  87. Е.А. Использование схем повышенной точности для численного исследования обратных задач идентификации плотности источника одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Выч.технол.Спец. выи. 2004. Т.9. Ч. 2. С. 287−296.
  88. Е.А. Численное решение задачи идентификации параметра примеси двумерного эллиптического уравнения // Выч. технол. Спец. вып. 2006. Т.1. С. 549−557.
  89. Е.А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции диффузии // Дальнев. матем. журн. 2004. Т.5. N. 1. С. 89−99.
  90. Е.А. Численное исследование обратной экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения // Дальнев. матем. журн. 2005. Т. 6. N. 1−2. С. 57−70.
  91. Г. В., Калинина Е. А. Идентификация младшего коэффициента для стационарного уравнения конвекции диффузии — реакции // Сиб. журн. индустр. матем. 2007. Т. И. N. 1. с. 3−16.
  92. В. А .Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
  93. А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 240 с.
  94. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.
  95. Д., Моулер К., Нош С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001. 576 с. 104. http://www.mathworks.com1105. http://www.imamod.ru/ vab/fortran.htm
Заполнить форму текущей работой

На отлично!