Спектральный анализ некоторых классов линейных отношений

При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения [5]. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени имеется монография [45], в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998 г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статьях [4], [53], [54], а в монографии [47] получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.

Теория линейных отношений является, в некотором смысле, обобщением теории операторов. Поэтому метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений часто используется для развития теории линейных отношений. В частности, обобщение классов ограниченных и компактных операторов на линейные отношения имеется в монографии Р. Кросса [45]. Однако, выделенные им классы линейных отношений не адаптированы к построению их спектральной теории. Таким образом, одна из целей данной работы — выделение и изучение классов линейных от ношений, которые близки к ограниченным и компактным линейным операторам именно по своим спектральным свойствам.

Метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений в полной мере применим и к спектральной теории линейных отношений, спектральные свойства которых часто являются аналогом некоторых спектральных свойств линейных операторов, что находит свое отражение в настоящей работе.

Современное состояние вопросов полноты собственных и присоединенных векторов компактных операторов, операторов с компактной резольвентой, пучков операторов в значительной степени определили работы М. В. Келдыша [13] пятидесятых годов прошлого века. Анализ этой и последующих работ показывает, что постановка задачи о полноте системы спектральных подпространств для линейных отношений позволяет с единых позиций подойти к доказательству соответствующих теорем для различных классов операторов.

В третьей главе диссертации ставится задача о полноте систем спектральных подпространств, подробно рассматривается ключевое (по важности) подпространство векторов, спектр которых сосредоточен в точке оо расширенной комплексной плоскости. Использование техники сопряженных линейных отношений (в случае линейных отношений, в отличие от линейных операторов, не возникает проблем с операцией взятия сопряженного линейного отношения) и соответствующих теорем типа Фрагмена-Линделефа позволяет получать разнообразные теоремы о полноте спектральных подпространств.

Основными целями работы являются:

1) выделение классов линейных отношений, являющихся аналогами классов ограниченных и компактных линейных операторов, развитие их спектральной теории;

2) постановка проблемы полноты системы спектральных подпространств для линейных отношений, изучение условий полноты системы спектральных подпространств;

3) получение теоремы о полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков);

В работе используются методы линейной алгебры, комплексного и функционального анализа, результаты' из спектральной теории линейных операторов.

В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1) введено понятие фактор-отношения — аналог понятия фактор-оператора для линейных операторов;

2) выделены классы линейных отношений, близкие по своим спектральным свойствам к ограниченным и компактным линейным операторам, изучены их свойств;

3) введено понятие спектрального подпространства линейных отношений, изучены свойства спектральных подпространств линейных отношений, отвечающих компактным изолированным частям спектра, изучены свойства спектрального подпространства, отвечающего точке бесконечность в расширенном спектре линейного отношения;

4) доказана теорема о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, подпространство, в котором система спектральных подпространств оказывается полна, описано в терминах заданного линейного отношения;

5) результаты о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений применены для изучения вопросов полноты системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их доказательства могут могут быть использованы при решении широкого круга вопросов теории линейных операторов, упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков), дифференциальных уравнений.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Азизов, Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов — М.: Наука, 1989. — 352 с.

2. Баскаков, А. Г. Упорядоченные пары операторов и полугруппы / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. -1998. Т.2, № 3. — С.39−69.

3. Баскаков, А. Г. Об условиях компактности спектра упорядоченных пар линейных операторов / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. 1999. — Т. З, № 3. — С.5−24.

4. Баскаков, А. Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. — Т.193, Ml. — С.3−42.

5. Баскаков, А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А. Г. Баскаков // Докл. РАН. 2006. — Т.406, № 6. — С.727−729.

6. Бурбаки, Н. Спектральная теория. / Н. Бурбаки М.: Мир. -1972.

7. Гохберг, И.Ц.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн М.: Наука, 1965. — 448 с.

8. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц — М.: ИЛ. — 1962.

9. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория. -Т.Н. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц М.: Мир. — 1966.

10. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. КатоТ. М: Мир. 1972.

11. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений /М.В. Келдыш // ДАН СССР 1951. — Т.77, М. — С.11−14.

12. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов /М.В. Келдыш // УМН 1971. — Т.27, вып.4. — С.15−47.

13. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1989. — 624 с.

14. Крейн, М.Г. О признаках полноты системы корневых векторов диссипативного оператора / А. Г. Баскаков // УМН, 1959. — Т. 14, вып.З. — С.145−152.

15. Кутателадзе, С. С. Основы функционального анализа / С. С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. — 2001.

16. Лидский, В. Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряженных операторов с дискретным спектром / В. Б. Лидский // Труды Московского математического общества 1959. — Т.8. — С.84−120.

17. Лидский, В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В. Б. Лидский // ДАН СССР 1959. — Т.125, № 3 — С.485−488.

18. Лидский, В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов / В. Б. Лидский // Труды Московского математического общества 1969. — Т.П. — С.3−35.

19. Маркус, А.С.

Введение

в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А. С. Маркус Кишинев, Штиинца -1986. 260 с.

20. Маркус, А.С. О базисе из корневых векторов диссипативного оператора / А. С. Маркус // ДАН СССР 1960. — Т.132, № 3 -С.524−527.

21. Маркус, А.С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора / А. С. Маркус // ДАН СССР 1962. — Т. 142, № 3 — С.538−541.

22. Маркус, А. С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве / А. С. Маркус // Мат. сб. 1966. — Т.70(112), № 4 — С.526−561.

23. Мацаев, В. И. Об одном классе вполне непрерывных операторов / В. И. Мацаев // ДАН СССР -1961. Т.139, № 3 — С.548−552.

24. Мацаев, В. И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов / В. И. Мацаев // ДАН СССР 1964. — Т. 155, № 2 — С.273−276.

25. Наймарк, М. А. О некоторых признаках полноты системы собственных и присоединенных векторов линейного оператора в гильбертовом пространстве / М. А. Наймарк // ДАН СССР -1954. Т.98, № 5 — С.727−730.

26. Рицнер, B.C. Об одном преобразовании линейных отношений / B.C. РицнерВоронежский гос. ун-т, Воронеж, 1980 — 20 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.03.1980, № 830−80.

27. Рицнер, B.C. Матричное представление линейных отношений / B.C. РицнерВоронежский гос. ун-т. Воронеж, 1981 — 10 с. -Деп. в ВИНИТИ 28.12.1981, № 5872−81.

28. Рицнер, B.C. Теория линейных отношений / B.C. РицнерВоронежский гос. ун-т. Воронеж, 1982 — 150 с. — Деп. в ВИНИТИ 02.02.1982, № 846−82.

29. Рицнер, B.C. Линейные отношения и индефинитная геометрия: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.01.01 / B.C. Рицнер Воронеж, 1982. — 127 с.32} Рудин, У. Функциональный анализ / у. Рудин М: Мир. — 1975.

30. Свиридюк, Г. А. Необходимые и достаточные условия относительной и-ограниченности линейных операторов / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева, Л. Л. Дудко // ДАН. 1995. — Т.345, № 1. -С.25−27.

31. Хатько, В.В. О факториально ограниченных и факториаль-но — компактных линейных отношениях / В. В. Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. — 2003. — № 1. — С.194−199.

32. Хатько, В.В. О некоторых спектральных свойствах линейных отношений / В. В. Хатько // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ-2005). 2006. — Вып. 16. — С.66−69.

33. Хатько В. В. О спектральных свойствах некоторых классов линейных отношений / В. В. Хатько // Тез. докл. ВЗМШ С. Г. Крейна 2006., ВорГУ. — Воронеж, 2006. — С.104.

34. Хатько, В. В. Об относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношениях / В. В. Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2006. — М. — С.208−214.

35. Хатько, В.В. О полноте системы спектральных подпространств линейных отношений // В. В. ХатькоПрепринт НИИ математики ВГУ. Воронеж, 2007. — № 25. — 33 с.

36. Хилле, Э, Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс М.: ИЛ. — 1962.

37. Arens, R. Operational calculus of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math. 1961. — V.U. — P.9−23.

38. Birkhoff, G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. — V.9. — P.373−395.

39. Cech, E. Point sets / E. CechTranslation from the Czech Bodovu Mnoziny into English by Ales PultrPreface: M. Katetov. Acadernia, Prague, 1969.•.

40. Coddington, E.A. Adjoint subspaces in Banach spaces with applications to ordinary differential subspaces / E.A. Coddington, A. Dijksma // Ann. Mat. Рига Appl. 1978. — - P. l-118.

41. Cross, R. Multivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

42. De Wilde, M. Closed graph theorems and webbed spaces / M. De Wilde Pitman, London, 1978.

43. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. — 1998.

44. Gohberg, I. Classes of Linear Operators. Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek Birkhauser Verlag. — Basel-Boston-Berlin. — 1990.

45. Lee, S.J. Algebraic and topological selections of multi-valued linear relations / S.J. Lee, M.Z. Nashed // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa- 1990. V.17. — P. lll-126.

46. Lee, S.J. Normed linear Relations: Domain Decomposability, Adjoint Subspaces, and Selections / S.J. Lee, M.Z. Nashed // Linear Algebra Appl. 1991. — V.153. — P.135−159.

47. Mac Lane, S. An algebra of additive relations / S. Mac Lane // Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A. 1961. — V.47. — P.1043−1051.

48. Neumann, J. von. Uber adjungierte Funktional-operatoren / J. von Neumann // Ann. of Math., 1932 — V.33(2) — P.294−310.

49. Sandovici, A. Ascent, descent, nullity, defect, and related notions for linear relations in linear spaces / A. Sandovici, H. de Snoo, H. Winkler // Linear Algebra and its Applications, 2007 — V.423 -P, 456−497.

50. Saveliev, P. Lomonosov’s invariant subspace theorem for multivalued linear operators / P. Saveliev // Proc. Am. Math. Soc., — 2003 V.131(3) — P.825−834.

51. Tretter, C. Linear operator pencils A-XB with discrete spectrum / C. Tretter // Integr. equ. oper. theory 2000. — V.37(3). — P.357−373.

52. Yakubov, S. Completeness of Root Functions of Regular Differential OperatorsPitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics Series, No. 71 / S. Yakubov Longman Scientific & Technical — 1990.