Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями

Пусть Q — ограниченная область в Rn с границей Г класса С^", п п.

О < а < 1, ([17], с.23), Lu{x) = - Е К/И" ,-.).0 + + i, j=1 3 = 1 c (x)u (x) — равномерно эллиптический дифференциальный оператор на с коэффициентами а^-, bj? Сца (17), а^{х) = aji (x), с? Со-а (Г2). Рассматривается краевая задача вида.

Lu (x) + д (х, и (х)) = iGQ, (0.1).

Bu |г = 0, (0.2) где нелинейность д (х, и) удовлетворяет условию (*): функция борелева (mod 0), т. е. существует борелева функция д: Q х К —> R и измеримое множество 1 С П х К, проекция которого на D, имеет меру нуль в Мп, такие, что д = д на i] х К 1 ([11], с.157), и для почти всех х 6 О сечение •) имеет на R разрывы только первого рода и g{x1u) G [д (ж, н), -и)]. g-{x, u) = liminfs^u^(x, 5), = limsups^M^(rc, s);

— суммируемая на О, функция- (0.2) — одно из основных краевых условий: и |г= 0, (0.3) du дп l г= aij (x)ux.cos (n, Xj) |г= О, hj=1.

0.4 cos{n, xj) — направляюпдие косинусы внешней нормали п к границе Г: ди дпт х) + а (х)и (х) |г= 0,.

0.5 функция, а? Сца (Г) ([17], с.23) неотрицательная и не равна тождественно нулю на Г.

Заметим, что борелева (mod 0) функция g: х Ж R су-перпозиционно измерима, т. е. для любой измеримой на функции и (х) композиция д{х)и{и)) так же измерима на ([11], с.166). Если д{х1и) удовлетворяет условию Каратеодори (непрерывна по и для почти всех х? О, и для каждого и? R измерима по х)} то она борелева (mod 0), но может не быть борелевой. В случае, когда д (х, и) монотонна по и при почти всех х? суперпозиционная измеримость д эквивалентна ее борелевости (mod 0) ([11], с.157).

Сильным решением задачи (0.1)—(0.2) называется функция и? q > 1, которая удовлетворяет уравнению (0.1) для почти всех X? Q и для нее след Ви (х) на границу Г области Q равен нулю.

Исследуется вопрос о существовании сильных решений в так называемом резонансном случае, когда задача.

Lu{x) = 0, х Е.

0.6).

Ви |г= О,.

0.7) имеет ненулевое решение. При этом предполагается, что для почти всех х Е, а 6 Lq (Q), q > а функция р (х) Е Lq (Q).

Систематическое изучение резонансных краевых задач началось с основополагающей работы Ландесмана и Лазера [57], где предполагалось, что нелинейность д (х}и) = д (и) непрерывна на Ж, существуют lim д (и) = д±я д- < д (и) < д+ для любых и Е Ж, а размерность подпространства N (1/) решений задачи (0.6)—(0.7) равна единице. При таких допущениях было доказано, что решение задачи (0.1) (0.2) существует тогда и только тогда, когда р удовлетворяет неравенству д (х, и) | < а (х) /и Е М,.

0.8).

Ф< о.

0> 0.

0.9) о где ф — базисная функция N (L).

Ф< о.

В случае, когда функция д (х, и) каратеодориева к исследованию задачи (0.1)—(0.2) применялись (здесь и далее приводятся лишь наиболее характерные, по мнению автора, для того или иного метода монографии и статьи): а) классическая схема Ляпунова-Шмидта. В работах А. АтЬгоБеШ.

С. Мапаш [46], [47] рассматривается эллиптическая задача.

Дирихле для уравнения высокого порядка с непрерывной по фазовой переменной нелинейностью в ограниченной области.

При этом ядро N оператора, порождаемого дифференциальной.

частью уравнения совместно с краевыми условиями ненулевое конечномерное). Авторы переходят к естественной операторо ной постановке задачи в пространстве Е =И/^П где 2 т порядок дифференциального оператора. Пространство Е разлагается в прямую сумму подпространств N и N1, где N1 — Ь~2~ ортогоналыюе дополнение к N п Е. Затем, проектируя операторное уравнение на N1 и N соответственно, получаем систему из двух уравнений относительно составляющих решения из N1 и N. На нелинейность накладываются условия, которые обеспечивают однозначную разрешимость первого уравнения относительно составляющей решения из N1 при фиксированной составляющей из N. Затем, подставляя решение первого уравнения как функцию составляющей из N во второе, авторы получают уравнение относительно составляющей из N. которая конечномерна. Дополнительно на нелинейность накладываются специфические ограничения (типа условий Ландесмана-Лазера), которые позволяют доказать разрешимость последнего уравнения, а, значит, и исходной краевой задачи. б) вариационный метод. В работах Р. КаЫпоу^г [62], [63] применительно к резонансным эллиптическим краевым задачам с гладкими пелинейностями был развит вариационный подход, базирующийся на условии Ра1а1з-8та1е [60] и деформационной лемме [56], [61]. Данный метод позволяет формулировать достаточные условия непустоты множества критических точек непрерывно дифференцируемых функционалов, которые могут не быть точками минимума или максимума (минимаксные принципы). Краевой задаче стандартным образом сопоставляется непрерывно дифференцируемый функционал, критические точки которого являются решениями этой задачи. Затем с помощью полученных минимаксных принципов устанавливается непустота множества критических точек функционала рассматриваемой задачи. При этом на нелинейность накладываются ограничения, обеспечивающие выполнение общего вариационного принципа.

Кроме вышеупомянутых работ Р. Rabinovitz, вариационный метод для каратеодориевой функции д (х, и) рассматривался, например, в статье S. Ahmad с соавторами [40] и работе [48]. в) результаты о разрешимости уравнений с некоэрцитивными операторами, полученные с помощью топологических методов. Так в обзоре И. В. Скрыпника [36], рассматривается вопрос о разрешимости в гильбертовом пространстве Н уравнения вида.

Lu + Nu = /, (0.10) где L — линейное фредгольмово отображение нулевого индекса, что означает замкнутость области значений R (L) оператора L, конечномерность ядра ker L и равенство размерностей ker L и kerL*, а N: Н ^ Н — деминепрерывное отображение (отображение G: Ei —> Е2 называется деминепрерывным в точке х Е Ei, если для любой последовательности хп —> х в Ei последовательность G (xn) —^ G (x) в Е2, Ei, Е2 — банаховы пространства) такое, что Nu = o (||u||) при \и\ —>¦ +оо и оператор, А = L + N псевдомонотонный, т. е. для любой последовательности (ип) С Н из ип —^ щ и limsup (Awn, ип — щ) < 0 следует, п—" 00 что lim (Аип, ип — wo) = 0 и Аип —^ Ащ. Устанавливается суп-^оо гцествование решения уравнения (0.10) в предподложении, что для некоторой последовательности ек —> +0 ограничено одно из множеств Z+, Z~, где.

Z± = {ике Н: Luk ± екСик + Nuk — f = 0} и С = MP, М — изоморфизм ker L на ker L*, Р ортогональная проекция на kerL.

В частности, общая теорема используется для доказательства теоремы существования для резонансных эллиптических краевых задач с каратеодориевой нелинейностью и формально самосопряженной линейной частью (результаты типа Ландесмана-Лазера). г) метод верхних и нижних решений, теоретические основы которого были заложены М. А. Красносельским в [10] и Н. Amman в [41]. [42], а приложения к уравнениям в частных производных рассматривались в [43]-[45].

Для резонансных краевых задач с разрывными нелинейностями использовались следующие методы: а) метод верхних и нижних решений. Здесь прежде всего стоит упомянуть работы итальянских математиков ([49] и [59]), в которых предполагалось, что д (х, и) = д{и) и на любом отрезке д (и) имеет ограниченную вариацию. Абстрактная схема метода верхних и нижних решений была предложена В. Н. Павленко в [26] и получила дальнейшее развитие в [32], [33], [39]. При этом использовались результаты М. А. Красносельского и A.B. Соболева о существовании решений уравнений с разрывными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах [12] и различные варианты обобщенного принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, изложенные в [53]. Применение общей схемы метода верхних и нижних решений возможно при существовании упорядоченной пары нижнего и верхнего решения у рассматриваемой краевой задачи. б) вариационный метод. В [54] К.-С.Chang, базируясь на понятии обощенного градиента Кларка [9] для локально липшице-вых функций и обобщив для них условие Palais-Smale (P.S.) и деформационную лемму, развил вариационный подход применительно к краевым задачам для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. В частности, он доказал о теорему о существовании и? Ж^Ч^) П^Т1 удовлетворяющей включению ти{х)? [д~{х, и{х)), д+{х, и{х))] (0-И) для почти всех х? где т — формально самосопряженный, равномерно эллиптический, линейный дифференциальный оператор порядка 2 т с достаточно гладкими коэффициентами, а функция д (х, и) суперпозиционно измеримая и ограниченная на О, х К, и для нее выполнено условие.

N (t) — подпространство решений уравнения ти{х) = 0, удовлетворяющих однородным условиям Дирихле. В [55] К.-С.Chang для дифференциальных уравнений второго порядка с фиксированной линейной частью г выделил класс разрывных нели-нейпостей д (х, и) (он их назвал (т, д) — оптимальными), для которых любое решение и (х) включения (0.11) является сильным решением уравнения —ти (х) = д (х, и (х)), х? ?1.

Суть ограничений Ченга в том, что все разрывы д (х, и) по и лежат на не более чем счетном множестве достаточно гладких поверхностей и, если и = ср (х) — уравнение одной из таких поверхностей, то либо пр{х) + д (х,(р (х)) = 0, либопр (х)? [д-(х, у{х)), д+{х, ч>{х))].

Кроме работ Ченга, вариационный метод для задач с разрывными нелинейностями применялся в [19].

Укажем также на работы [64], [65], базирующиеся на вариационном принципе Толанда (Toland), сформулированном в [66].

В данной работе применительно к резонансным эллиптическим и (х) lim u<=N (t) ||и||—>+оо краевым задачам с разрывными нелинейностями развит вариационный подход, основанный на результатах В. Н. Павленко [20], [24], [27], [29], [34], [35].

Перейдем к содержанию диссертации.

В первой главе диссертации формулируются и доказываются новые вариационные принципы, которые в первой части третей главы применяются к задаче (0.1)—(0.2) для доказательства предложений типа Ланденсмана-Лазера в случае формальной самосопряженности оператора Ь. Исследуется операторная постановка задачи (0.1)—(0.2), имеющая вид х ее ААх + Р*ТРх — Ар = 0, (0.12) где, А — линейный ограниченный самосопряженный оператор в X с ненулевым ядром Л^А), отображене Т У У* квазипотенциальное и ограниченное на У (возможно, разрывное), р Е X. Квазипотенциальность оператора Т означает существование функционала: У —> М. такого, что для любых х и к Е У 1 х + К) -/(ж) = J (Т (ж + г/г),/г) (И, о где < г, у > обозначает значение линейного ограниченного функционала г? У* на элементе у Е У. При этом / называют квазипотенциалом оператора Т.

Приведем формулировки установленных вариационных принципов.

Теорема 1.1.1. Предположим, что.

1) X — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •), компактно вложенное в рефлексивное банахово пространство У, и Р — оператор вложения X в У;

2) оператор, А: X —>¦ X линейный, ограниченный и самосопря-'жснный, нуль является изолированной точкой его спектра, причем (Лж, х) > 0 Уж? X;

3) отображение Т: У —г У' квазипотенциальное и ограниченное на У, т. е. существует константа М > 0, для которой \Тх\ <МУхе У;

4) элемент р? X удовлетворяет условию.

Нт — (р, х)) = +оо, где / - квазипотенциал оператора Т.

Тогда существует жо? X, для которого р{хо) = ^<£>М> = (Ах> х)/2 + /0*0 ~ (р, х) — Л причем: любое такое удовлетворяет включению.

— ААхо + Ар е Р* (5Т) (Рхо), где ST — секвенциальное замыкание оператора Т Если дополнительно предположить, что все точки разрыва оператора (0.12) регулярные для Q, то любое такое хо удовлетворяет, уравнению (0.12) и является точкой радиальной непрерывности оператора Р*ТР.

Секвенциальным замыканием оператора Т: У —> У* называется отображение ST (вообще говоря, многозначное) для которого значение STx, х Е У совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой всех слабо предельных точек последовательностей вида (Тхп) в У*, где хп сильно сходится к ж в У.

Элемент х е X называется регулярной точкой для оператора Q: X —У X*, если существует h &euro-Е X для которого limsup (Q (x + th), h) < 0. t-^+o.

Теорема 1.1.2. Предположим, что.

1) X — вещественное гильбертово пространство, непрерывно вложенное в рефлексивное банахово пространство Y, и Р — оператор вложения X в У;

2) отображение Т: У У* квазипотенциальное, монотонное и ограниченное на У;

3) выполнены условия 2) и 4) теоремы 1.1.1.

Тогда справедливо заключение теоремы 1.1.1.

В отличие от предыдущей теоремы в данном предложении не предполагается компактность вложения X в У, однако, от оператора Т дополнительно требуется монотонность на X.

Для исследования проблемы (0.1)—(0.2) с несимметричной дифференциальной частью во второй главе диссертации доказывается общая теорема о разрешимости в гильбертовом пространстве уравнений с разрывными некоэрцитивными операторами с помощью регуляризации и теории топологической степени для многозначных компактных векторных полей. При этом устанавливается существование таких решений абстрактных уравнений, которые являются точками непрерывности оператора уравнения.

Предметом рассмотрения второй главы является уравнение вида где, А: Н —> Н — линейное фредгольмово отображение нулевого индекса, Н — гильбертово пространство, оператор Т: Н Н компактный (возможно, разрывный) удовлетворяет условию.

6 Н. Дополнительно предполагается, что оператор, А принадлежит классу (5) +, то есть для произвольной последовательности.

Аи + Ти = /,.

0.13).

Тм/Цг^Н —>• 0 при \и\ —> +оо,.

0.14) ип) С Н из ип щ и lim sup (Аип, ип — щ) < О п—"ОС следует сильная сходимость (ип) к щ в Н. Через {х, у) обозначается скалярное произведение элементов х, у из Н.

Определение. Будем говорить, что для элемента f G Н в уравнении (0.13) выполнено (г) условие, если существует линейный изоморфизм М между ker Л и ker А* такой, что для любой последовательности (щ) С Не \uk\ —+оо и ||i?&||1 • Uk —> v G ker Л имеет место неравенство lim sup (Тик, Mv) > (/, Mv), к—"oc или же для каждой такой последовательности lim inf (Тщ, Mv) < (/, Mv). fc—"oo.

Сформулируем основной результат второй главы. Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

1) линейный оператор, А: Н Н (Н — гильбертово пространство) — фредгольмов, нулевого индекса и принадлежит классу.

S)+;

2) отображение Т: Н —" Н компактное и удовлетворяет условию (0.14);

3) для элемента f Е Н выполнено условие (г).

Тогда найдется щ Е Н, удовлетворяющее включению f — Аи Е STu, где ST — секвенциальное замыкание оператора Т. Если дополнительно предположить, что точки разрыва оператора Qu = Аи + Ти — f сильно регулярные, то щ решение уравнения (0.13) и точка непрерывности оператора Т.

Элемент и Е Н называется сильно регулярной точкой для оператора Q: Н —Н, если существует h Е Н такой, что limsup (Q (u + v), К) < 0.

В отличие от известных результатов об уравнениях с разрывными операторами, в том числе работ В. Н. Павленко [21], [22], [23], [28] во второй главе диссертации не предполагается пи монотонность, ни квазипотенциальность, ни коэрцитивность оператора уравнения.

Полученные в первой и второй главах результаты позволяют доказать в третьей главе диссертации теоремы существования сильных и полуправильных решений задачи (0.1)—(0.2), то есть таких сильных решений и (х) этой задачи, что для почти всех х Е Q значение и (х) является точкой непрерывности функции д (х,-). Такие решения были впервые введены в [13].

В первом параграфе третьей главы рассматриваются применения к задаче (0.1)—(0.2) вариационного принципа, доказанного в первой главе диссертации. Сформулируем основной результат параграфа. Предварительно введем необходимые обозначения и дадим вспомогательные определения.

Определение. Говорят, что для уравнения (0.1) выполнено А-условие (сильное А-условие) [19], если.

1) выполняется (*);

2) найдется не более чем счетное семейство поверхностей.

5 г, г 6 /}, = {{х, и) б Кп+1|и = щ (х), х? О},.

Рг? Wfocl{^i), таких, что для почти всех жеП неравенство д (х, и—) < д (х, и+) (д (х, и—) ^ д (х, и-{-)) влечет существование г С I, для которого и = ср{(х) и.

Ь (рг (х) + д (х, (рг{х)+) — р (х)) ¦

0.15).

Ьщ (х) + д (х, (рг{х)~) — р (х)) > 0.

Определение. Говорят, что для уравнения (0.1) выполнено АГусловие [19], если.

1) выполняется (*);

2) найдется, не более чем счетное семейство поверхностей.

5 г, г е /}, 5 г = {(х, и) Е Жп+1|и = щ{х), х е О},.

Рг? ¥-^осЛ (0,)} таких, что для почти всех х € О, неравенство д (х, и—) < д (х, и->г) влечет существование %? I, для которого и — (Рг (х) и верно либо (0.15), либо.

Сопоставим краевой задаче (0.1)—(0.2) при фиксированном р? о1 2п/(п + 2), функционал: X —Ж, где X в случае задачи Дирихле и X = в случае второй и третьей краевых задач, следующим образом: для задачи Дирихле и второй краевой задачи.

Ь&(х) +д{х, щ (х)) =р (х).

Зр (и) = 30(и) + Ср (и) и и (х) vi 0 в случае третьего краевого условия (0.5) г.

Теорема 3.2.1. Предположим, что.

1) краевая задача (0.6)—(0.7) имеет ненулевое решение и N (L) подпространство всех ее решенийо1.

2) если Ви = и, то J0(u) >0 /и GW2 если Ви = то J0{u) > 0 Уи е если Ви = -?^- + а (х)и, то Jo (u) + f a (s)u2(s)ds > 0 Vu.

Пь г.

3) выполняется (*) и (0.8);

4) либо q > 2п/{п + 2), либо q — 2п/(п + 2) и для почти всех х 6 Г2 функция д (х, •) неубывающая на Ж. функция р 6 Lq (Q) такая, что lim Gp (u) = +оо. ueiV (L),||u||->+00.

Тогда существует щ G для которого.

Jp{u0) = inf Jp (w), (0.16) X причем любое такое щ? И/д2(Г2) — удовлетворяет включению.

— Ьщ (х) +р{х) е [g-(x, u (x)), g+(x, u (x))] для почти всех х? Г2 и граничному условию (0.2). Если дополнительно предположить, что для уравнения, (0.1) выполнено А-условие (AI-условие), то любое щ, удовлетворяющее (0.16). является полуправильным (сильным) решением задачи (0.1)-(0.2).

По сравнению с работами других авторов по проблеме существования сильных решений задачи (0.1)—(0.2) в резонансном случае в теореме 3.2.1 ослаблены ограничения на множество точек разрыва нелинейности д (х, и) по и. Так, в отличие от результатов [50]-[55], [59] в теореме 3.2.1 нет каких-либо дополнительных условий на разрывы д (х, и) по и, для которых д (х, и—) > д (х, и+) («падающие разрывы»), а в отличие от [15], [16] допускаются разрывы, «прыгающие вверх» (д (х, и—) < д (х:и—)). По сравнению с [33] не предполагается, что нелинейность д (х, и) представляется в виде разности неубывающих по и функций и не требуется существования упорядоченной пары нижнего и верхнего решений. Кроме того, в работах [50]—[55], [59] полуправильные решения не рассматривались.

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются применения к задаче (0.1)—(0.2) результатов, доказанных во второй главе диссертации. Приведем формулировку основного результата этого параграфа.

Теорема 3.3.1. Предположим, что.

1) для уравнения (0.1) выполнено сильное А-условие;

2) Нелинейности д (х, и) в уравнении (0.1) удовлетворяет условию (*);

В сформулированном результате в отличие от [54] не требуется самосопряженность оператора, порождаемого дифференциальной частью уравнения и граничным условием, а по сравнению с [50], [51], [52] - не предполагается монотонность нелинейности по фазовой переменной s после добавления слагаемого М • s с достаточно большой константой М и существования упорядоченной пары верхнего и нижнего решения краевой задачи. В работах [59], [33], предполагается, что нелинейность д (х, и) в уравнении (0.1) равна разности неубывающих по фазовой переменной функций. В теореме 3.3.1 такое ограничение на нелинейность д (х, и) не накладывается.

Таким образом, в диссертации через доказанные общие теоремы выработан единый подход к широкому классу резонансных эллиптических краевых задач, в рамках которого получены новые результаты.

Результаты диссертации опубликованы в [67]-[77].

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXVI международной научной студенческой конференции в Новосибирске (1998 г.), на зимней и весенней Воронежской математической школе (1999 г.), на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» в Челябинске (1999 г.), на международном симпозиуме посвященном 150-летию со дня рожде.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренбсрг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. — М.: Ин. лит., 1962. — 208с.

2. Альбер Я. И., Рязанцева И. П. Принцип невязки в нелинейных задачах с разрывными монотонными отображениями регуля-ризирующий алгоритм. // ДАН СССР, 1978. — т.239, № 1. — с. 1017−1020.

3. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В.

Введение

в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. — 104с.

4. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов, М.: Наука, 1972. — 416с.

5. Вайнберг М. М., Лаврентьев И. М. Нелинейные квазипотенциальные операторы. // ДАН СССР. 1972. т.205: № 1. — с.1022−1024.

6. Раевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения М.: Мир, 1983. — 336с.

7. Гилбарг Д, Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка М.: Наука, 1989. — 464с.

8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. — 642с.

9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ М.: Наука, 1988. — 280с.

10. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. — 396с.

11. Красносельский М. А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983, — 272с.

12. Красносельский A4.А., Соболев A.B. О неподвижных точках разрывных операторов // Сиб. мат. журнал. 1973. — т. 14, № 3. -с. 674−677.

13. Красносельский М. А., Покровский A.B. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // ДАН. 1976. -Т.226, N3. — с.506−509.

14. Красносельский М. А., Покровский A.B. О разрывном операторе суперпозиции. // УМН. 1977. т.32, вып.1. — с.169−170.

15. Красносельский М. А., Покровский A.B. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // ДАН. 1995. -Т.342, N6. — с.731−734.

16. Красносельский М. А., Лусников A.B. Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов. //Функц. анализ и приложения. 1996. — Т. ЗО, вып.З. с.34−46.

17. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. — 540с.

18. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных М.: Наука, 1988. — 424с.

19. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами. Учебное пособие. ЧелГУ, 1997 г. — 75с.

20. Павленко В. Н. О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами. // ДАН СССР. 1972. — т.204, № 6. — с.1320−1323.

21. Павленко В. Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вести. Моск. гос. ун-та. Математика. Механика. 1973. — N6. — С.21−29.

22. Павленко В. Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в бнаховых пространствах. // Укр. матем. журн. 1979. — т.31, № 5. — с.569−572.

23. Павленко В. Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными полумонотонпыми операторами. // Укр. матем. журн. 1981. — т.33, .№ 4. — с. 547−551.

24. Павленко В. Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференц. Уравнения. 1988. Т.24, N8. — С.1397−1402.

25. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями ,// Укр. мат. журн. 1989. — Т.41, N12. -С.1659−1664.

26. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнений параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 1991. — Т.27, N3. С.520−526.

27. Павленко В. Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями. // Укр. матем. журн. 1991. — т.43, № 2. — с.230−235.

28. Павленко В. Н. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностями. // Известия вузов. Математика. 1991. — № 6. — с. 38−44.

29. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами. // Вестн. Челяб. ун-та. Математика. Механика. 1994. — № 1(2). — с. 87−95.

30. Павленко В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1994. Т.46, N6. — С.729−736.

31. Павленко В. Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями /./ Дифференц. уравнения. 1995. — Т.31, N9. — С.1586−1587. Деп. ВИНИТИ за N769−695.

32. Павленко В. Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями. Автореф. докт. дис. — Екатеринбург. — 1995.

33. Павленко В. Н., Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. // Известия вузов. Математика. 1998. № 11. -с.69−76.

34. Павленко В.H., Искаков P.C. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа. // Укр. матем. журн. 1999. — т.51, № 2. — с.224−233.

35. Павленко В. Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями. // Вестник Чел-ГУ. Математика. Механика. 1999 г. — № 2. — с.56−67.

36. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка, Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр.пробл. мат. 1990. Т.37. С.3−87.

37. Соболев C. J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во Ленингр. ун-та, 1950.

38. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. -496с.

39. Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными нелинейностями. Автореф. канд. дис. — Екатеринбург. — 1995. — 17с.

40. Ahmad S., Lazer A.C., Paul J.L. Elementary critical point theory and perturbations of elliptic boundary value problems at resonance // Indiana Univ. J. 1976. V.25. — P.933−944.

41. Amann H. On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Banach spaces. // J. Funct. Anal. 1972. — v.11, .№ 3. -p.346−384.

42. Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. /'/ SIAM Review. 1976. — v. 18, N4. -p.620−709.

43. Amann H. Supersolutions, monotone iterations, and stability. // J. Different. Equat. 1976. — v.21, № 2. — p.363−377.

44. Amann H. Existence and multiplicity theorems for semi-linear elliptic boundary value problems // Math. Z. 1976. — Bd.150. — № 3. — p.281−295.

45. Amann H., Grandall M.G. On some existence theorems for semilinear elliptic equations // Indiana Univ. Math. J. 1978. — v.27. -№ 5. — p.779−790.

46. Ambrosetti A., Mancini G. Existence and multiplicity results for nonlinear elliptic problems with linear part at resonance. The case of simple eigenvalue // J. Different. Equat. 1978. — v.28, № 2. -P.220−245.

47. Ambrosetti A., Mancini G. Theorems of existence and multiplicity for nonlinear elliptic problems with noninvertible linear part. //Annali delia scuola Normale superiore de Pisa. 1978. — v.5, № 1. — p.15−28.

48. Ambrosetti A., Rabinovitz P. Dual variational methods in critical point theory and applications. // J. Functional Anal. 1973. -V.14. — P.349−381.

49. Basile N., Mininni M. Some solvability results for elliptic boundary value problems in resonace at the first eigenvalue with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital., ser. V 1980. V.17-B. — P.1023−1033.

50. Carl S., Heikkila S. An existence result for elliptic differential inclusions with discontinuous nonlinearity. // Nonlinear Anal. -1992. v.18. № 15. — p.471.

51. Carl S., Heikkila S. On the existence of extremal solutions for discontinuous elliptic equations under discontinuous flux conditions. // Nonlinear Anal. 1994. — v.23, № 12. — p. 1499 -1506.

52. Carl S., Heikkila S., Lakshmikantharn V. Nonlinear elliptic differential inclusions governed by state-dependent subdifferentials. // Nonlinear Anal. 1995. v.25, № 7. — p.729−745.

53. Chang K.-C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities. // Comm. Pure Appl. Math. -1980. v.33, № 2. — p.117−146.

54. Chang K.-C. Variational methods for nondifferentiable functionals and their applications to partial differential equations // J. Math. Anal, and Appl. 1981. — V.80. P.102−129.

55. Chang K.-C. Boundary problems and the set-valued mappings // J. Different. Equat. 1983. — V.49. — P. 1−28.

56. Clark D. A variant of the Lusternik-Schnirelman theory. // Ind. Univ. Math. J. 1972. — V.22. — P.65−74.

57. Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math, and Mech. -1970. V.19, N3. P.609−623.

58. Ma T.W. Topological degree for set valued compact vector fields in locally convex spaces. // Rozprawy Mat. 1972. — v.92. — p.3−47.

59. Massabo I. Elliptic boundary vaiue problems at resonance with discontinuons nonlinearities. // Boll. Unione Math. Ital., ser. V. V. 17-B. — P.1302−1320.

60. Palais R. Critical point theory and the minimax principle. //' Proc. Sym. Pure Math. 1970. — V.15. — P.185−212.

61. Rabinovitz P. Variational methods for nonlinear eigenvalue problems, Eigenvalues of Nonlinear Problems. / / Edizoni Cremonese, Rome. 1974. — P. 141−195.

62. Rabinovitz P. Some critical point theorems and applications to semilinear elliptic partial differential equations. /,/ Annali della scuola Normale superiore de Pisa. 1978. — v.5, № 1. — p.215−233.

63. Stuart C.A., Toland J.F. A varitional method for boundary value problems with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. — v.21, № 2. — p.319−328.

64. Stuart C.A., Toland J.F. A property of solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. v.21, № 2. — p.329−335.

65. Toland J.F. A duality principle for nonconvex optimization and the calculus of variations. // Arch. Rational Mech. Anal. 1979. — v.71, № 1. — p.41−61.

66. Павленко В. Н., Винокур В. В. Вариационный метод для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами. // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В. К. Иванова. Екатеринбург. 1998. с. 194−195.

67. Павленко В. Н., Винокур В. В. О существовании сильных решений резонансных эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. // Тезисы докладов на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения X». Воронеж, 1999. — с. 190.

68. Павленко В. Н., Винокур В. В. О разрешимости уравнений с разрывными некоэрцитивными операторами. // Тезисы докладов на Воронежской весенней математической школе, Воронеж, 1999. с. 154.

69. Винокур В. В. О разрешимости резонансных эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. // Тезисы докладовмеждународной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения». Челябинск, Изд-во ЧелГУ, 1999. с. 28.

70. Павленко В. Н., Винокур В. В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. // Известия вузов. Математика. 2001. JVXi^ - с ^" 'Ч'.

71. Павленко В. Н., Винокур В. В. Теоремы существования для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами. // Вести. Челяб. ун-та. Математика. Механика. 2001. — № 1(3).л^-мС" :

72. Павленко В. Н., Винокур В. В. О существовании решений уравнений с разрывными некоэрцитивными операторами. // Тезисы докладов на Воронежской зимней математической школе. Воронеж. 2001. С. 206.

73. Винокур В. В. Существование полуправильных решений эллиптических резонансных краевых задач с разрывными нелиней-ностями. // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Екатеринбург, 2001. — С. 80−81.