Нелинейные волновые процессы в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией: Точно решаемые модели

Целью настоящей работы является создание моделей нелинейных волновых процессов в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией, математических методов их анализа на основе точных аналитических решений совокупности нелт4нейных уравнений в частных производных, а также применение полученных результатов для моделирования конкретных явлений в гидродинамике, нелинейной оптике и теории гравитации. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Вводится понятие псевдопредставления Лакса-Ззхарова-Шабата. Решается задача разработки общего метода, названного методом тождеств Лагранжа, построения псевдопредставлений и истинных представлений Лакса-Захарова-Шабата многокомпонентных нелинейных уравнений в частных производных общего полиномиального вида, в том числе многомерных. Решается задача создания метода, основанного на обобщенных преобразованиях Дарбу, вычисления формы нелинейных уравнений многокомпонентньгх: систем, в которых могут существовать К-солитонные волны с параметрами, лежащими на заданных дисперсионных кривых.

2. Решается задача создания метода построения точных решений уравнений Лиувилля и многомеризованных цепочек Тоды в пространствах двух и большего числа измерений. Метод применяется для анализа ряда моделей в теории гравитации, нелинейной оптики и многомерных диффузионных процессов. На этой основе решается задача создания нового направления моделирования многокомпонентных моделей автоволновых процессов, в том числе, с применением нового принципа суперпозиции для нелинейных диффузионных уравнений.

3. Решается задача построения точных решений уравнений моделей нелинейных волновых процессов в конкретных системах: а) в плоских и цилиндрических сдвиговых теченияхб) в нелинейных оптических системах генерации второй гармоники, в том числе, в ранее не рассматривавшемся случае диссипации первой гармоникив) в процессе космологической эволюции Вселеннойг) в активных двухпроводных линиях.

Новые научные результаты работы:

1. Создан новый общий метод обобщенных тождеств Лагранжа построения псевдопредставлений и истинных представлений Лакса-Захарова-Шабата уравнений и систем уравнений в частных производных, в том числе и многомерных. На его основе найдены представления новых многокомпонентных нелинейных уравнений, допускающих солитонные рещения. Среди них модели взаимодействия конечного числа квазимонохроматических волн в неоднородных средах с линейной и квадратичной дисперсией, а также модели динамики квазимонохроматического непрерывного спектра волн.

2. Разработан новый метод построения точных рещений уравнений типа Лиувилля и многомеризованных цепочек Тоды в классе п-форм в многомерных пространствах и найдены сами рещения в явном виде, что является новым результатом в теории многомерных нелинейных волновых процессов и дает новые точные решения в ряде задач теории гравитации и космологии.

3. Найден новый класс моделей автоволновых процессов в активных средах с диффузией, названных диффузионными цепочками Тоды. Разработан новый метод построения точных решений уравнений моделей типа диффузионных цепочек Тоды и вычислены сами решения в явном виде. Это открывает новое направление в теории моделирования автоволн в средах с диффузией.

4. Для уравнений типа уравнений нелинейной диффузии и нелинейного телеграфного уравнения, являющихся моделями ряда гидродинамических и электромагнитных процессов, найден новый принцин суперпозиции решений, который позволяет строить из простых решений более сложные. Это позволяет более глубоко анализировать модели автоволновых процессов, связанных с этими уравнениями.

5. Найдено новое представление уравнений течения идеальной жидкости на вращающейся плоскости. С помощью разработанных методов построена новая точная модель динамики стационарных волн в критическом слое, которая раньше исследовалась лишь с помощью теории возмущений и численно. Найдены новые точные решения, описывающие течение идеальной несжимаемой жидкости вблизи критического слоя для плоской и цилиндрической геометрии.

6. Построена новая точноразрешимая модель генерации второй гармоники в случае диссипации первой гармоники. Найдены новые точные решения, описывающие динамику взаимодействия волн первой и второй гармоник, в среде с квадратичной нелинейностью и диссипацией червой гармоники.

Научно-практическая значимость работы:

Разработанные в диссертации методы позволяют на основе точных решений ис (ледовать целый ряд практически важных задач, А гидромеханике, нелинейной оптике и теории гравитации.

1. Новый метод построения псевдопредставлений и представлений Лакса-Захарова-Шабата для произвольных нелинейных уравнений в частных производных, позволяет универсальным способом проверять принадлежность данного уравнения к классу уравнений, допускающих К-солитонные и квазисолитонные решения. Метод позволяет так же в каждом классе моделей выделять модели, обладающие К-солитонными решениями, что может быть использовано для аналитического моделирования целого ряда новых систем на основе метода обратной задачи рассеяния.

2. Получены новые модели взаимодействия волн для задач нелинейной оптики, гидродинамики и других прикладных задач, в том числе для случая неоднородных сред и сред «с нестандартной» нелинейностью, допускающие АА-солитонные решения.

3. Разработанный в работе новый метод построения точных многомерных уравнений Лиувилля и многомеризованных цепочек Тоды в классе п-форм позволяет решать новые типы прикладных задач в таких разделах как квантовая теория, гидродинамика, автоволновые процессы, теория гравитации и космологии, где в качестве модели использзАются эти уравнения.

4. Найденные в работе новые подходы к решению гидродинамических задач идеальной жидкости дают возможность в аналитическом виде исследовать ряд эффектов, которые ранее исследовались только приближенно или численно.

5. На основе развитых методов найдены новые классы точных решений в задачах описания автоволн в средах с диффузией. На основе точных решений для двухпроводной линии предложен новый механизм генерирования коротких импульсов в двз-Ахпроводных активных линиях.

6. Для систем, которые описываются нелинейным диффузионным уравнением и близкими к нему уравнениями, в том числе активных уравнений двухпроводных линий, найден новый принцип суперпозиции, который позволят находить новые точные решения кз простейших, со-отр, отствующие новым автоволновым явлениям в тгт: их системах.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Для каждого нелинейного уравнения аз частных производных, допускающего введение сопряженного уравнения с помощью стандартного определения сопряженного оператора, существует метод явного вычисления (метод обобщенных тождеств Лагранжа) псевдопредставления Лакса-Захарова-Шабата. Псевдопредставление реализуется на п дифференциальных матричных операторах первого порядка и матричной размерности где п — размерность координатного пространства, а т — векторная размерность уравненияВ каждом классе уравнений, имеющих псевдопредставление Лакса-Захарова-Шабата, существует и может быть явно вычислен подкласс уравнений, имеющих истинное представление Лакса-Захарова-Шабата, снабженное спектральным параметром, что позволяет применять к построению решения этих уравнений метод обратной задачи рассеяния.

2. Для каждой комплексной дисперсионной кривой, имеющей явную полиномиальную или рациональную параметризацию от одного спектрального параметра, существует и может быть явно вычислен с помощью обобщенных преобразований Дарбу класс уравнений, обладающих истинным представлением Л акса-Захарова-Шабата.

3. Обобщенные модели взаимодействия волн в неоднородной нелинейной среде с различным типом дисперсии, в том числе волн в непрерывном квазимонохроматическом спектре, обладают истинным представлением Лакса-Захарова-Шабата при условиях, диктуемых методами тождеств Лагранжа и преобразований Дарбу.

4. Существует метод явного вычисления точных решений уравнения Лиувилля в многомерных пространствах и много-меризованных цепочек Тоды, выражающихся в классе п-форм, где п-размерность координатного пространства. Полученные решения могут быть использованы для исследования нелинейных процессов в теории гравитации и космологии.

5. С / ществуют базовые модели автоволновых ттроцессов, допускающие точные решения в классе квадратичных форм, названные в работе диффузионными цепочками Тоды, которые могут быть использованы для моделирования автоволн в активных системах с диффузией. Существует и явно указан набор общих условий, при которых в реальных системах могут применяться модели типа диффузионных цепочек Тоды. Для уравнений типа уравнения нелинейной диффузии существует новый принцип суперпозиции решений, позволяющий из простых решений строить более сложные точные решения, описывающие автоволновые явления в различных активных системах с диффузией.

6. Для уравнений Эйлера двумерных течений жидкости на вращающейся плоскости существует новое представление в форме совг"хестности системы четырех комплексных. инейных дифференциальных уравнений (п се вд о представление Лакса-Захарова-Шабата) относительно логарифма функции тока. Новое представление позволяет находить новые точные решения для течений жидкости на плоскости и, в частности, волнообразных течений вблизи критического слоя.

Достоверность полученных результатов определяется совокупностью доказанных в работе математических утверждений и прямыми проверками соответствия полученных точных решений исследуемым нелинейным уравнениям, а также сравнением полученных результатов с уже имеющимися результатами и литературными данными.

Вклад автора в разработку проблемы. Диссертация является результатом обобщения работ, выполненных автором за период с 1994 по 2002 год. Все положения диссертации, выносимые на защиту, получены самим автором диссертации. В совместных работах автору принадлежит разработка теоретических основ исследуемых моделей, анализ результатов и большая часть конкретных расчетов точных решений. Остальная часть расчетов точных решений была проведена его аспирантами, дипломниками и коллегами.

Значение работы.

Разработанные автором универсальные методы построения псевдопредставлений Лакса-Захаррва-Шабата и на их основе метод вычисления истинных представлений Лакса-Захарова-Шабата вместе с методом обобщенных преобразований Дарбу, дают полное рещение фундаментальной проблемы выделения в каждом заданном классе нелинейных уравнений в частных производных, уршнений, допускающих М-солитонные решения, и являются существенрым вкладом в теорию математического моделирования нелинейных волновых процессов в многокомпонентных системах с дисперсией. На основе этих методов найдены новые точнорешаемые модели взаимодействия волн в неоднородных средах с нестандартными нелинейностями в том числе волн в квазимонохроматическом спектре. Разработанные автором методы построения точных решений двумерных и многомерных уравнений Лиувилля и связанных с ними многомеризованых цепочек Тоды на основе нового внедиагонального представления операторов Лапласа и Д’Аламбера являются новым направлением в теории аналитического моделирования многомерных волновых процессов, что позволило исследовать новые точнорешаемые модели в гидродинамике, нелинейной оптике и теории гравитации. Автором открыто новое направление в моделировании автоволновых процессов в активных средах с диффузией, основанное на точнорешаемых уравнениях типа цепочек Тоды и нелинейных диффузионных и телеграфных уравнениях.

Публикации и апробация.

По теме диссертации опублржовано более 40 работ из них 18 статей (14 в центральной печати), 1 монография и 1 учебно-методическое пособие. Все выносимые на защиту положения представлены в опубликованных автором работах (частично совместно с коллегами). Результаты работ были представлены и докладывались: 1) на IX Всероссийской конференции по гравитации и астрофизике в г. Владимире (1999) — 2) на конференции Математические методы моделирования физических, биологических, экономических и социальных систем, Ульяновск, 1999; 3) на заседании научного семинара лаборатории под. рук. проф. Баранце-ва Р.В. «Аэрогидродинамики» СПб. ГУ, С-Петербург, 1999; 4) на Всероссийской конференции «Модели неравновесных систем», Красноярск, 1999 г.- 5) на И международной конференции «Проблемы теоретической кослюлогии» г. Ульяновск, 2000 г.: 6) на всероссийской конференции фундаментальные проблемы физики" ФПФ- 2000, г. Саратов, 2000 г.- 7) на Всероссийской астрономической конференции, С. Петербург, 2001 г., 8) на международной конференции азиаоко-тихоокеанского региона по Теории гравитации и астрофизике Москва, 2001 г. 9) на международной конференции «Современные проблемы теоретической и математической физики, Волга-13», Казань, 2001 г.- 10) на конференции Математические методы моделирования физическг. х, биологических, экономических и социальных систем, Ульяновск, 2001 г.

12.6 Выводы.

В главе рещены следующие задачи.

1. Исследованы общие свойства моделей двухпроводной линии с активным элементом экспоненциального типа для нескольких приблимоделей.

2. Найдено несколько классов точных решений для моделей с не нулевой индуктивностью и без индуктивности. Эти решения указывают на возможность генерации импульсов в таких линиях при определенных условиях.

3. Показано существование принципа суперпозиции, аналогичного принципу суперпозиции уравнения нелинейной диффузии. С помощью этого решения найдены новые точные решения.

Заключение

.

1. Разработан универсальный метод построения псевдопредставлений Лакса-Захарова-Шабата для произвольных нелинейных дифференциальный уравнений, допускающих в соответствии со стандартным определением линейного сопряженного оператора введение сопряженного уравнения, основанный на использовании обобщенных тождеств Лагран-жа.

2. Для каждого класса уравнений, имеющих псевдопредставление ЛаксаЗахарова-Шабата, указан способ явного вычисления подкласса уравнений, имеющих истинное представление Лакса-Захарова-Шабата, снабженное спектральным параметром.

3. Для каждой комплексной дисперсионной кривой, имеющей явную полиномиальную или рациональную параметризацию от одного спектрального параметра, указан метод вычисления класса нелинейных уравнений, обладающий истинным представлением Лакса-Захарова-Шабата, основанный на использовании обобщенного метода преобразований Дарбу.

4. Найдены истинные представления Лакса-Захарова-Шабата для моделей взаимодействия К-волн в неоднородной нелинейной среде с линейной и квадратичной дисперсией и. самодействия волн с непрерывным квазистатическим спектром в нелинейных средах с произвольной дисперсией. Проведены исследования этих моделей и показано существование представлений ЛЗШ для моделей взаимодействия Н-волн с нестандартной нелинейностью.

5. Разработан метод построения точных рещений уравнений Лиувил-ля в многомерных пространствах и многомеризованных цепочек Тоды, выражающихся в классе п-форм, где п-размерность координатного пространства. Вычислены в явном виде рещения указанных уравнений для размерностей пространств п=:2,3,4.

6. Для описания автоволновых процессов в активных средах с диффузией предложены и исследованы новые базовые модели допускающие точные решения в классе квадратичных форм, названные в работе диффузионными цепочками Тоды. Показана возможность их использования для описания автоволновых явлений в реальных физических, химических и биологических системах.

7. Для уравнений типа уравнения нелинейной диффузии доказано су-шествование нового принципа суперпозиции решений, позволяющего из простых решенш! строить более сложные решения.

8. Для уравнений Эйлера двумерных течений жидкости на вращающейся плоскости найдено новое представление в форме совместности системы четырех комплексных линейных дифференциальных уравнений, относительно логарифма функции тока. С помощью этого представления найдены новые точные решения для течений жидкости на плоскости, и в частности, решения, описывающие волнообразные течения вблизи критического слоя.

9. Для уравнений генерации второй гармоники в среде с линейной дисперсией, квадратичной нелинейностью и диссипацией первой гармоники доказано существование специального свойства симметрии, позволяющего получать точные решения для случая с ненулевым коэффициентом диссипации первой гармоники из решений с нулевым коэффициентом диссршации. Пайден новый класс точных решений, связанный таким с решениями, выражающимися через решения уравнения Л иу вил ля.

10. Для уравнения нелинейной диффузии, являющегося моделью для ряда гидродинамических, биологических и физических процессов, найдены новые классы точных решений, описывающие разнообразные автоволновые явления в активных систохмах с диффузией.