Метод установления и его применение для численного моделирования некоторых обратных задач теплообмена

При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [75]. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории условно-корректных задач.

Эта теория была заложена в основополагающих трудах академиков А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В. К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических центрах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками.

При создании этой теории следует отметить серьезный научный вклад, который внесли своими работами следующие математики: В. Я. Арсении, A. J1. Агеев, А. Б. Бакушинский, A.JI. Бухгейм, Г. М. Вайникко, Ф. П. Васильев, В. В. Васин, В. А. Винокуров, А. В. Гончарский, В. Б. Гласко, A.M. Денисов, В. И. Дмитриев, И.Н. Домбров-ская, И. В. Емелин, П. Н. Заикин, В. В. Иванов, А. С. Ильинский, М. А. Красносельский, А. С. Леонов, А. С. Лисковец, Л. Д. Менихес, И. В. Мельникова, В. А. Морозов, А. И. Прилепко, В. Г. Романов, В. Н. Страхов, В. П. Тапапа, A.M. Федотов, Г. В. Хромова, А. В. Чечкин,.

А.Г. Ягола и другие математики.

К настоящему моменту накоплен значительный теоретический и прикладной материал, который частично отражен в известных монографиях: А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [65], М. М. Лаврентьева [25], В. К. Иванова, В. В. Васина, В. П. Тананы [22], А. Н. Тихонова, А. В. Гончарского, В. В. Степанова, А. Г. Яголы [68], М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Шишатского [27], В. П. Тананы [50], В. П. Тананы, М. А. Реканта, С. И. Янченко [53], Морозова В. А. [37], А. Б. Бакушинского, А. В. Гончарского [8], A.M. Федотова [70], А. Н. Тихонова, А. С. Леонова, А. Г. Яголы [69], В. В. Васина, А. Л. Агеева [13], О. А. Лисковца [30] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики. За рубежом наибольший вклад в данной области сделан следующими математиками: Franklin J.N. [73]- Gullum J. [74]- Miller К. [77], [78]- Phillips D.L. [79].

При решении обратных и некорректно поставленных задач к численным методам предъявляется повышенное требование точности. В связи с этим, одним из актуальнейших вопросов является построение оптимальных методов, как наиболее точных. Построением и исследованием оптимальных и оптимальных по порядку методов занимаются давно и в этом направлении получено большое число результатов. Особо следует отметить построение оптимальных по точности методов и получение точных оценок их погрешностей в работах А. Л. Агеева [1], Г. М. Вайникко [9]-[10], В. В. Васина [11]-[12], В. Н. Страхова [47], В. П. Тананы [48]—[50], [52], [54], Melkman А. Micchelli С. [76].

В теории условно-корректных задач можно выделить три основпых направления.

1. Теория регуляризуемости, связанная с решением проблемы существования регуляризующих алгоритмов в банаховых простран-страх. Это направление связано с исследованиями В. А. Винокурова, Л. Д. Менихеса и других математиков.

2. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность. Это направление, возникшее в работах В. К. Иванова, В. Н. Страхова, нашло своё продолжение в работах таких математиков как В. В. Васин, В. П. Танана.

3. Построение численных методов решения некорректных задач. Отправной точкой этого направления являются работы А. Н. Тихонова, В. К. Иванова и М. М. Лаврентьева. В его основу было положено численное решение конкретных задач математической физики.

Натоящая работа относится ко второму и к третьему направлениям. Это связано с тем, что при математическом моделировании обратных и условно-корректных задач существенную роль играют погрешности исходных данных, с которыми нельзя не считаться. Одной из актуальных проблем при решении обратных задач является оценка влияния погрешности исходных данных на получаемое приближенное решение, поэтому в настоящей работе получению оценок уделяется большое внимание. В более ранних работах ([6], [14]) доказывалась устойчивость приближенного решения, полученного тем или иным методом, но конкретная зависимость решения от погрешности входных данных впервые была получена в трудах В.П. Та-наны [49]-[51]. Эти исследования продолжены в настоящей работе.

Математическая сложность решения подобных задач заключается в необходимости применения спектральной теории для несамосопря-жепных операторов. Обратные задачи теплообмена с подвижными границами находят широкое применение в различных областях тех-пики [2], [3], [5], [14], [24], [34], [45].

Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы.

1. Агеев A. J1. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения I рода./A.JI. Агеев //Известия вузов. Математика. 1983. Т. 250, № 3. С. 67−68.

2. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов./ О. М. Алифанов //М., Машиностроение. 1979. 216 с.

3. Алифанов О. М. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов./О.М. Алифанов, В. К. Зайцев, Б.М. Панкратов//Под ред. акад. В. П. Мишина. М., Машиностроение. 1983. — 168 с.

4. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена./О.М. Алифанов //М., Машиностроение. 1988. — 279 с.

5. Алифанов О. М. Определение граничных условий в процессе тепловых газодинамических испытаний./О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин//ТВТ. 1978. Т. 16, № 4. С. 819−825.

6. Алифанов О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, С.В. Румянцев//М., Наука. 1988. 285 с.

7. Бакушинский А. Б. К вопросу о стабилизации решений линейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве./А.Б. Бакушинский//Матем. заметки. 1971. Т.9, № 4. С. 415−420.

8. Бакушинский А. Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения./А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский//М., Изд-во МГУ. 1989. 199 с.

9. Вайникко Г. М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач./Г.М. Вайникко//АиТ. 1980. № 3. С. 84−92.

10. Вайникко Г. М. Оценки погрешности методов регуляризации для нормально разрешимых задач./Г.М. Вайникко//Жури, выч. мат. и мат. физ. 1985. Т.25, № 10. С. 1443−1456.

11. Васин В. В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией./В.В. Васин//Числе1шые методы и оптимизация. Таллинн. 1988. С. 70−80.

12. Васин В. В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов./В.В. Васин//Киев. 1977. — 17 с.

13. Васин В. В. Некорректные задачи с априорной информацией./В.В. Васин, A.JI. Агеев//Екатеринбург, Наука. 1993. — 261 с.

14. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения./H.J1. Гольдман//М.: Изд-во МГУ, 1999. — 294 с.

15. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств./Д. Ди-стель//Киев, Вища школа. 1980. — 215 с.

16. Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление. /В.А. Диткин, А.П. Прудников//М.: Наука, 1961. 524 с.

17. Емелин И. В. К теории некорректных задач/И.В. Емелин, М.А. Красносельский//ДАН СССР. 1979. Т.244, № 4. С. 805 808.

18. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода./В.К. Иванов//Ж. выч. мат. и мат.физ. 1966. Т.6, № 6. С.1089−1094.

19. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах./В.К. Ива-нов//ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270−272.

20. Иванов В. К. О равномерной регуляризации неустойчивых за-дач./В.К. Иванов//Сиб. мат. журн. 1966. Т.7, № 3. С. 546−558.

21. Иванов В. К. Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах./В.К. Ива-нов//Сиб. мат. журн. 1965. Т.6, № 4. С. 832−839.

22. Иванов В. К. Теория линейных некорректных задач и её приложения./В.К. Иванов, В. В. Васин, В.П. Танана//М.: Наука, 1978. 208 с.

23. Иванов В. К. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач./В.К. Иванов, Т.И. Королюк//Жури. выч. матем. и матем. физ. 19G9. Т.9, N2 1. С. 30−41.

24. Исаков Г. Н. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач теплои мас-сопереноса./Г.Н. Исаков, А. Я. Кузин, В. Н. Савельев, Ф.В. Ер-молаев//Физика горения и взрыва. 2003. Т.39, № 5. С. 86−96.

25. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики./М.М. Лаврентьев//Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 92 с.

26. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений./М.М. Лаврентьев//Новосибирск: Изд-во НГУ. 1973. 71 с.

27. Лаврентьев М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа./М.М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С.П. Шишат-ский//М., Наука. 1980. — 288 с.

28. Лаврентьев М. М. Теория операторов и некорректные задачи./М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев//Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН. 1999. 702 с.

29. Леонов А. С. О специальном тихоновском регуляризующем алгоритме для некорректных задач с истокообразно представи-мыми решениями./Леонов А.С.//Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Екатеринбург: изд-во Уральского ун-та. 2001. 327 с.

30. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач./О.А. Лисковец//Минск, Наука и техника. 1981. — 343 с.

31. Лыков А. В. Теория теплопроводности./А.В. Лыков//М., Высшая школа. 1967. — 599 с.

32. Менихес Л. Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврептьева/Л.Д. Менихес, В.П. Танана//Сиб. ж. выч. мат. 1998. Т. 1, № 1. С. 59−66.

33. Мишин В. П. Обратные и сопряжённые задачи теплообме-на./В.П. Мишин//ИФЖ. 1977. Т. ЗЗ, № 6. С. 965−966.

34. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды. //Под ред. акад. Г. И. Петрова. М., машиностроение. 1981. — 382 с.

35. Морозов В. А. О регуляризующих семействах операторов./В.А. Морозов//Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 63−93.

36. Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе пераметра регуляризации./В.А. Моро-зов//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1966. Т.6, N2 1. С. 170 175.

37. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач./В.А. Морозов//М., Изд-во МГУ. 1974. — 360 с.

38. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике.// Под ред. проф. В. К. Кошкина. М., Машиностроение. 1975. 623 с.

39. Платунов Е. С. Теплофизические измерения в монотонном режиме./Е.С. Платунов//Л., Энергия. 1973. — 143 с.

40. Полежаев Ю. В. Проблемы нестационарного прогрева теплозащитных материалов./Ю.В. Полежаев, В. Е. Киллих, Ю.Г. На-рожный//ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 39−44.

41. Полежаев Ю. В. О методе определения теплопроводности высокотемпературных материалов при нестационарном нагре-ве./Ю.В. Полежаев, Ю. Г. Нарожпый, В.Е. Сафонов//ТВТ. 1973. Т.11, № 3. С. 609−615.

42. Полежаев Ю. В. Тепловая защита./Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юре-вич//М., Энергия. 1976. 392 с.

43. Рудин У. Функциональный анализ./ У. Рудин//М., Мир. 1975. 448 с.

44. Симбирский Д. Ф. Температурная диагностика двигателей./Д.Ф. Симбирский//Киев, Техника. 1976. — 208 с.

45. Смирнов А. Н. Процессы непрерывной разливки./А.Н. Смирнов, B.JT. Тимошенко, А. А. Минаев, С. В. Момот, Ю.Н. Бело-бродов //Донецк. Дон. НТУ, 2002. 536 с.

46. Страхов В. Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве./В.Н. Страхов//Дифференц. уравнения. 1970. Т.6, № 8. С. 1490−1495.

47. Страхов В. Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений условно-корректных задач./В.Н. Стра-хов//Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 10. С. 1862−1874.

48. Тан an, а В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения./В.П. Танана//Изв. вузов. Математика. 1977. № 11. С. 106−112.

49. Танана В. П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач./В.П. Тана-па//СибЖИМ. 2002. Т.5, № 4. С. 150−163.

50. Танана В. П. Методы решения операторных уравне-ний./В.П. Танана//М., Наука. 1981. 160 с.

51. Танана В. П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач./В.П. Тана-на//Сиб. журн. инд. матем. 2004. Т.7, № 2. С. 117−132.

52. Танана В. П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач./В.П. Танана, А.Р. Данилин// Дифференц. уравнения. 1976. Т.12, № 7. С. 1323−1326.

53. Танана В. П. Оптимизация методов решения оператор-пых уравнений./В.П. Танана, М. А. Рекант, С.И. Янчен-ко//Свердловск: изд-во Уральского ун-та. 1987. — 200 с.

54. Танана В. П. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором./В.П. Танана, Т.Н. Рудакова//МВ и ССО. ЧелГУ. Челябинск. 1991. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 25.02.91, № 887-В91.

55. Танана В. П. Об оптимальных методах решения линейных уравнений первого рода с приближённо заданным оператором./В.П. Танана, Я.М. Севастьянов//Сиб. жури. выч. мат. 2003. Т.6, № 2. С. 205−208.

56. Танана В. П. Об оптимальности метода установления./В.П. Та-нана, Е.В. Худышкина//Вестник ЧелГУ. Челябинск, изд-во ЧелГУ, 2003. С.

57. Танана В. П. Решение обратной задачи для уравнения теплопроводности методом установления./В.П. Танана, Е.В. Ху-дышкина//Известия Челябинского научного центра. 2005. Вып. 2(28). С. 1−3.

58. Танана В. П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики./В.П. Танана, Е.В. Худышкина/ /Вестник ЮУрГУ. Серия математика, физика, химия. 2005. Вып. 6, № 6(46). С. 50−53.

59. Танана В. П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана./В.П. Танана, Е.В. Худышкина//Сиб. журн. инд. матем. 2005. Т. 8, № 4. С. 124−130.

60. Танана В. П. Об оптимизации методов регуляризации вырожденных операторных уравнений первого рода./В.П. Танана, С.И. Янченко//ДАН. 1988. Т.298, № 1. С. 49−52.

61. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач./А.Н. Тихо-нов//ДАН СССР 1943. Т.39, № 5. С. 195−198.

62. Тихонов А. Н. Обратные задачи теплопроводности./А.Н. Тихо-пов//ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 7−12.

63. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. //ДАН СССР. 1963. Т. 151 № 3. С. 501 504.

64. Тихоиов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных за-дач./А.Н. Тихонов//ДАН СССР. 1963. Т. 153 № 1. С. 49−52.

65. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач./А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин//М., Наука. 1979. — 288 с.

66. Тихонов А. Н. О приближённом решении интегральных уравнений первого рода./А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1964. Т.4, № 3. С. 564−571.

67. Тихонов А. Н. Применение метода регуляризации к нелинейным задачам./А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1965. Т.5, № 3. С. 463−473.

68. Тихонов А. Н. Численные методы решения некорректных задач./А.Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А.Г. Яго-ла//М., Наука. 1990. 232 с.

69. Тихонов А. Н. Нелинейные некорректные задачи./А.Н. Тихонов, А. С. Леонов, А.Г. Ягола//М., Наука. 1995. — 311 с.

70. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных./A.M. Федотов//Новосибирск, Наука. 1982. 190 с.

71. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа./А. Фридман//М.: Мир, 1968. — 427 с.

72. Худышкина Е. В. Об оптимальности метода установления./Е.В. Худышкина//Тезисы докладов Всероссийской конференции Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург, Изд-во Уральского университета, 2004. С. 87.

73. Franklin J.N. On Tikhonov’s method for ill-posed problems./J.N. Franklin//Math. Comput. 1974. T.28, № 128. P. 889−907.

74. Gullum J. Numerical differentiation and regularisation./J. Gullurn//SIAM J. Numer. Anal. 1967. T.8, № 2.

75. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux dirivees partielles lineaires hyperboliques./J. Hadamard //Paris, Hermann. 1932.

76. Melkman A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data./A. Melkman, C. Micchelli//SIAM J. Numer. Anal. 1979. T.16, № 1.

77. Miller K. Three circle theorems in parcial differential equations and applicaions to improperly posed problems./К. Miller//Arch. Ration. Mech. Anal. 1964. T.16, № 2. P. 126−154.

78. Miller K. Least squares methods for ill-posed problems with a prescribed bound./K. Miller//SIAM J. Math. Anal. 1970. T. l, № 1. P. 52−74.

79. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind./D.L. Phillips//J. Assoc. Comput. Mach. 1962. T.9, № 1. P. 84−97.