Проекционные методы определения функции радиального распределения некристаллических систем

Жидкие и аморфные металлы и их сплавы давно привлекали внимание исследователей. Однако в последние годы интерес к структуре некристаллических систем значительно вырос. Это явилось следствием более широкого непосредственного их применения в ряде новых отраслей науки и техники.

Сведения о строении некристаллических систем получают либо косвенными методами по измерению различных структурно-чувствительных свойств (электропроводность, вязкость, плотность, поверхностное натяжение, магнитная восприимчивость и др.) [1, 2], либо прямыми дифракционными методами (рентгенография, электронография, нейтронография) [3−6], позволяющими экспериментально определять структурные параметры (равновесные межатомные расстояния, числа ближайших соседей и т. д.) и тем самым количественно характеризовать их структуру.

В последние годы значительно возрос интерес к исследованию строения некристаллических систем дифракционными методами. Это обусловлено успехами теории жидкого состояния, возможностью расчета по структурному фактору и функции радиального распределения атомов потенциала межионного взаимодействия, термодинамических и транспортных свойств металла [7−10]. При этом наиболее плодотворными в раскрытии природы жидкого состояния оказались теории, основанные на изучении функции радиального распределения.

Функция радиального распределения описывает плотность числа частиц, локальную по отношению к некоторому произвольно выбранному в качестве начала координат атому. Она не может быть измерена экспериментально, однако может быть найдена из структурного фактора, получаемого в результате дифракционного эксперимента. Возникающие при этом математические задачи являлись предметом исследования ряда авторов. В то же время, результаты обработки экспериментальных данных во многихработах (например, [11−16]) оказываются довольно противоречивыми и до сих пор не позволяют провести анализ функции радиального распределения целого ряда систем достаточно надежно. В связи с этим развитие математических методов обработки экспериментальных дифракционных данных представляет собой важную и актуальную задачу.

Сложности, возникающие при определении функции радиального распределения по данным дифракционных экспериментов, обусловлены как погрешностью экспериментальных данных, так и ограниченностью отрезка, на котором они могут быть получены. Это приводит к некорректности соответствующих задач, для решения которых необходимо применять специальные методы.

Появление вычислительной техники способствовало распространению методов определения функции радиального распределения, основанных на применении формулы обращения интегрального преобразования Фурье. Однако ограниченность интервала, на котором доступны экспериментальные данные о структурном факторе, обуславливает появление на функции радиального распределения эффектов обрыва. Как показано в работах [17−22], обрыв кривой интенсивности приводит к появлению ложных максимумов и размыванию реальных пиков функции радиального распределения, что не позволяет однозначно интерпретировать структуру исследуемых систем.

Развитие математической теории решения некорректных задач позволило использовать для определения функции радиального распределения более общие методы. Наибольшее распространение среди них получил метод регуляризации Тихонова [23]. При этом задача нахождения функции радиального распределения сводится к минимизации регуляри-зирующего функционала. Для выбора параметра регуляризации обычно применяют принцип невязки [23−25], использующий информацию о погрешности экспериментальных данных. Как показано в [25], при различных уровнях погрешности получаемые решения могут различаться между собой достаточно сильно. Повышение точности может быть достигнуто за счет учета априорной информации о функции радиального распределения и последующего применения итерационного процесса, что требует значительных вычислительных затрат.

В последнее время особое внимание исследователей привлекают проекционные методы, соединяющие в себе регуляризацию и сохраняющие важные характеристики исходной задачи. Они основаны на представлении решения в виде линейной комбинации некоторой системы функций. При этом различный выбор системы базисных функций, разные способы вычисления коэффициентов и определения количества слагаемых привели к появлению различных методов.

В работе [26] в качестве базисных функций предлагается использовать функции JIareppa. Однако, как показано в работах [27−31], использование функций Эрмита является более предпочтительным вследствие их инвариантности относительно преобразования Фурье. В качестве коэффициентов используют либо коэффициенты Фурье, либо коэффициенты, полученные в результате решения задачи о наилучшем равномерном приближении. Однако последняя задача в случае не ортогонализованной системы является плохо обусловленной, и для ее решения необходимо применять специальные методы [28].

До настоящего времени основным критерием выбора количества слагаемых в проекционных методах является достижение экспериментальной точности, что приводит к появлению высокочастотных возмущений в приближенном решении. Для улучшения свойств решения в диссертационной работе предлагается использовать информацию о длине отрезка, на котором заданы экспериментальные данные.

Целью диссертационной работы является построение и исследование проекционных методов для определения функции радиального распределения по экспериментально полученному структурному фактору, их программная реализация и применение разработанного программного обеспечения для расчета функции радиального распределения ряда некристаллических систем.

Первая глава диссертации посвящена постановке задачи нахождения функции радиального распределения по данным дифракционных экспериментов и обзору методов ее решения. В ней также проведено исследование некоторых свойств функций Эрмита, применяемых в последующих главах для обоснования предложенных проекционных методов.

Во второй главе разрабатывается проекционный метод решения уравнения Цернике-Принса, описывающего связь между функцией радиального распределения и структурным фактором. Решение ищется в виде линейной комбинации нечетных функций Эрмита, которые сосредоточены на том отрезке, на котором задана исходная информация.

В третьей главе исследован проекционный метод решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, возникающего при решении уравнения дифракции некристаллических систем.

Четвертая глава содержит описание численной реализации предлагаемых проекционных методов, созданного программного комплекса для исследования структуры некристаллических систем и результаты расчета функции радиального распределения ряда некристаллических систем.

Основные результаты работы перечислены в заключении.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. Международной конференции «Fourier Analysis and Applications» (Kuwait, 1998 г.).

2. Российских конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998 г., 1999 г., 2000 г., 2001 г.).

3. Международной конференции «Special Functions 2000» (USA, Arizona State University, 2000 г.).

4. Научно-исследовательском семинаре кафедры математической фи зики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, 2003 г.

Результаты опубликованы в статьях [57−59] и в качестве тезисов докладов [60−65].

Заключение

.