Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях

Диссертация: Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях
  • 1. Постановка смешанных задач. Теоремы существования II единственности решений
  • 2. Доказательство единственности решения смешанных задач
  • 3. Доказательство существования решения задачи
  • 4. Доказательство существования решения задачи
  • 5. Задача Неймана
  • 2. Краевые задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа в цилиндрических областях
  • 1. Единственность решения смешанной задачи
  • 2. Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде
  • 3. Краевые задачи для гиперболических уравнений в многомерных областях
  • 1. Постановка краевых задач
  • 2. Единственность решения смешанных задач в цилиндрической области
  • 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения в прямоугольной области

Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Изучение уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одной из центральных проблем теории уравнений с частными производными.

Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии н других областях. Поэтому разработка методов решений краевых задач для уравнений смешанного типа является одной из важных проблем современной теории дифференциальных уравнений.

Теория уравнений смешанного типа берет свое начало от фундаментальных исследований Франческо Трикоми, опубликованных в двадцатых годах прошлого столетия.

Впервые задача нахождения решения уравнения смешанного типа в смешанной области была поставлена и исследована для уравнения уихх + иуу = 0, (0.1) которое сейчас называют уравнением Трикоми. Ф. Трнкоми изучил краевую задачу (задачу Трикоми) в области, гиперболическая часть которой огранпчена отрезком действительной оси [0, 1] на линии перехода и двумя пересекающимися характеристиками, исходящими из точек (0, 0) н (1,0).

Исследования были продолжены в 30-е годы М. Чибрарио и С. Гел-лерстедтом. Обобщения результатов Ф. Трпкоми для уравнения.

У2т+Хихх + Пуу = 0 принадлежат С. Геллерстедту.

С.А. Чаплыгин показал, что построение теории газовых струй тесно связано с изучением уравнения.

Ку)пхх + иуу = 0, которое в настоящее время носит его имя. Коэффициент к является известной функцией переменного у, которая предполагается положительной при у > 0 и отрицательной при у < 0. Случай к (у) > 0 соответствует дозвуковому течению, а случай к (у) < 0 — сверхзвуковому течению газа.

При изучении околозвукового течения газа приходится иметь дело с уравнением Чаплыгнна в смешанных областях.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф. И. Франкля, в которых было показано, что задача истечения сверхзвуковой струн из сосуда с плоскими стенками сводится к задаче Трнкоми для уравнения Чаплыгина. М. А. Лаврентьев предложил более простую модель уравнений смешанного типа ихх + sign у ¦ иуу = 0, (0.2) впоследствии названное уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бнцадзс [5] осуществил подробное исследование этого уравнения.

И.Н. Векуа указал на важность изучения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в связи с задачами теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Возникла проблема нахождения областей, для которых задача Дирихле окажется корректно поставленной, что явилось объектом дискуссии многнх авторов.

В работах H.H. Вахания [9] и I.R. Cannon [6G] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения (0.2) в прямоугольных областях, обладающих специальными свойствами.

A.M. Нахушевым [37] установлено, что задачи Дирихле для уравнения (0.2) в области Q = Qj U / U ih, где f^ - ограниченная односвязная область верхней полуплоскости у > Ос кусочно-гладкой границей, содержащей интервал 1: 0 < х < 1 прямой i/ = 0, а 0,2 = 1×1 — квадрат О < х < 1, -1 < у < 0, всегда разрешима и притом единственным образом.

В работе [57] А. П. Солдатовым дается прямое доказательство существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения (0.2) в канонической смешанной области, ограниченной дугами окружности и гиперболы, а также общей смешанной задачи (по терминологии A.B. Бнцадзс) и задачи к ней сопряженной. Эти результаты были ранее анонсированы в работах [55], [50].

Единственность решения задачи Дирихле для гиперболического уравнення.

— с{х)и — иуу = 0 в цилиндрической области доказана D.R. Dunninger и Е.С. Zacliiiianoglov [G7], а для уравнений в частных производных смешанного типа A.M. На-хушевым [37].

Особую роль в теории задач Дирихле для уравнения струны сыграла работа Ф. Джона (1941 г.), в которой детально анализируется связь специальных, сохраняющих ориентацию, топологических отображений границы области на себя с разрешимостью и единственностью решения задачи Дирихле для уравнення иху = 0.

СЛ. Соболев в работе [54] рассмотрел систему уравнений, эквивалентную уравнению колебания струны, и установил условия существования единственного решения задачи с данными на всей границе. H.H. Бахания [И] выписал решение предложенной задачи, определив свойства граничных функций.

10.М. Березанскнй [3], [4] рассматривал решения из пространства Lj задачи Дирихле для уравнення струны. Ему удалось построить примеры областей, для которых обобщенные решения задачи устойчивы относительно малых возмущений границы.

Н.И. Поливанов [42] для широкого класса вырождающихся гиперболических уравнений установил оценку решения и доказал существование сильного решения задачи Дарбу для любой правой части.

— 7 В работах [G2], [G3] найдены условия существования, единственности и непрерывной зависимости от правых частей уравнений и граничных условий решений задач с данными на всей границе области для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического и составного типов.

Также следует отметить ряд работ [9], [10], [40], [58], [59], посвященных поиску смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. Наиболее полная библиография по этой проблеме представлена в монографии М. М. Хачева [64].

М.В. Швецкпм [G5] решены краевые задачи типа Трнкоми, Дирихле и Неймана для модельного уравнения смешанного типа ихх + sign у утиуу = 0 с характеристическим вырождением внутри прямоугольной области при определенных значениях параметра т.

К.Б. Сабитовым [48] поставлены смешанные краевые задачи и доказаны теоремы существования и единственности решений для уравнений смешанного типа с сильно характеристическим вырождением типа на границе области. В работах [49], [50] доказана единственность решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения утихх — иуу + Ь2и = 0, т > 0, Ь > 0 в прямоугольной области.

В монографии Е. И. Моисеева [3G] изучается задача Трнкоми для уравнения эллиптико-гиперболичсского типа со спектральным параметром. Уравнение смешанного типа берется с произвольным степенным вырождением на линии изменения типа, устанавливаются области на комплексной плоскости, в которых нет точек спектра.

Фундаментальные результаты теории уравнений смешанного типа получены в работах A.B. Бицадзс [5] - [8], К. И. Бабенко [2], С.П. Пуль-кнна [43], [44], М. М. Смирнова [53], С. А. Алдашева [1], Д. К. Гвазава [12], Т. Д. Джураева [27], Т. Ш. Кальменова [31], Г. Д. Каратопраклнева [32], [33], A.M. Нахушева [38], Л. С. Пулькннон [45], [4G], O.A. Репина [47], AI.С. Салахнтдинова [51], А. П. Солдатова [57], М. М. Хачева [04].

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

.

В данной диссертационной работе исследованы краевые задачи для гнперболо-эллиптических и гиперболических уравнений в прямоугольных н цилиндрических областях.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений двух смешанных задач и задачи Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области.

2. Доказана единственность решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в цилиндрической области.

3. Доказана теорема существования и единственности решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в прямоугольном параллепипеде.

4. Доказана единственность решения краевых задач для уравнения гиперболического типа в цилиндрической области.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решений трех смешанных задач для телеграфного уравнения в прямоугольной области.

Показать весь текст

Список литературы

  1. С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических уравнении и уравнении смешанного типа: Автореф. дне.. докт. фнз.-мат. наук. Киев, 1990. — 32 с.
  2. К. И. К теории уравнении смешанного типа: Автореф. дне.. докт. физ.-мат. наук. М., 1952
  3. Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, 1965. — 789 с.
  4. Б ереванский Ю. М. Существование слабых решении некоторых краевых задач для уравнении смешанного типа // Укр. матем. журнал. -1963. T.XV. — № 41. — С. 347 — 364
  5. A.D. Некорректность задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанных областях // Докл. АН СССР. 1958. Т.122. — N22. — С.167 — 170
  6. A.B. Уравнения смешанного типа. М., 1959. — 164 с.
  7. A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнении второго порядка. М., 1966. — 204 с.
  8. A.B. Некоторые классы уравнении в частных производных. М., 1981. 448 с.
  9. H.H. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны // Сообщ. АН Груз.ССР. 1958. — T.XXI. — № 2. — С.131 — 138−9610. Бахания Н. Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа / Тр. Выч. центра АН Груз. ССР. Тбилиси, 1963. — С.69 — 80
  10. Н.Н. Об одной краевой задаче с заданием на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебания струны // Докл. АН СССР. 1963. — Т.116. — № 6. — С.906 — 909
  11. Д.К. О некоторых классах нелинейных уравнений смешанного типа: Дне.. докт. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1979. — 148 с.
  12. Т. И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научно-практической конференции «VI неделя науки МГТИ». Майкоп, 2001. — С.18 — 19
  13. Т.И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2002. — С. 108
  14. Т.Н. Задача Неймана для уравнения смешанного типа / Доклады пятой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых «Наука XXI веку». Майкоп, 2004. С. 36 — 37
  15. Т.Н. Задача Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Материалы международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы аналнза и информатики». Нальчик, 2004. — С.55 — 56
  16. Т. И. Критерий единственности решения смешанных задач для гиперболического уравнения в цилиндрической области // Известия Кабардино-Балкарского Научного центра РАН. 2004. — № 2 (12). — С.112 — 115
  17. Т. И. Критерий единственности решения смешанной задачи для уравнения гнисрболо-эллиптнческого типа в цилиндрической области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2005. Т.7. — № 2. — С.18 — 20
  18. Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Материалы III Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи современного анализа и информатики». Нальчик, 2005. — С.24 — 20
  19. Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2005. — Т.8. № 1. — С.30 -37
  20. Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бнцадзс в прямоугольной области / Наука 2005. Ежегодный сборник научных статей молодых ученых и аспирантов АГУ. Майкоп, 2005. С. 10 — 10
  21. Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Доклады шестой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых «Наука XXI веку». Майкоп, 200G. — С.98 — 105
  22. А.Н. Аналог задачи Трнкомн для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 199G. Т.32. .№ 3. — С.350 — 35G
  23. Т.Ш. О регулярности краевых задач и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дис.. докт. физ.-мат. наук. М., 1982. — 27 с.
  24. Г. Д. Об одной краевой задаче для уравнений смешанного типа в многомерных областях // Докл. АН СССР. 19G9. -Т.188. № 6. — С.1223 — 122G
  25. Г. Д. О единственности решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа и гиперболических уравнений в пространстве // Дифференц. уравнения. 1982. — Т.18. т. С. 59 — G3
  26. O.A. Смешанная задача для гиперболических уравнений. М., 1953. — 280 с.
  27. O.A. Краевые задачи математической физики. AI., 1973. 408 с.3G. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988. — 150 с.
  28. A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дпфференц. уравнения. 1970. Т.О. — № 1. — С. 190 — 191
  29. A.M. Об одном классе лннейных краевых задач для гиперболического н смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик, 1992. 155 с.
  30. A.M. Уравнения математической биологин. М., 1995. -301 с.
  31. Нгуен Тьи Тхань. Краевые задачи Дирихле и типа Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бпцадзе и его аналога в областях прямоугольного вида или с бесконечным множеством особых точек: Авто-реф. дне.. канд. физ.-мат. наук. Минск, 1983
  32. И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. -М. Л., 1950. — 400 с.
  33. H.H. Многомерный аналог задачи Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Дпфференц. уравнения. -1978. Т.14. — Ш. — С.80 — 932
  34. С. П. Задача Трикомн для общего уравнения Лаврентьева-Бнцадзе // Докл. АН СССР. 1958. — Т.118. — № 1. — С.38 — 41
  35. С.П., Ежов A.M. Оценка решения задачи Трикомн для одного класса уравнении смешанного типа // Докл. АН СССР. 1970. -Т.193. т. — С.978 — 980
  36. O.A. Задача Трикомн для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса // Днфференц. уравнения. — 199G. — Т.32. — № 3. — С.350 — 35G
  37. К. Б. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с вырождением второго рода на границе области: Автореф. дне.. канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1980. — 14 с.
  38. К.Б. Критерий единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения / Материалы международной конференции «Тихонов и современная математика». М., 2006. — С.223 — 224
  39. М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент, 1974. 154 с.
  40. .И. Курс высшей математики. Т.2. М., 1961. — 628 с.
  41. М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1970. 296 с.
  42. С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе // Докл. АН СССР. -1956. Т.109. — № 4. — С.707 — 709
  43. А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. РАН. 1993. Т.332. -№ 6. — С.696 — 698
  44. А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бнцадзе. II. Теоремы существования // Докл. РАН. 1993. — Т.333. -№ 1. — С.16 — 18
  45. А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврснтьева-Бнцадзе. // Дифференц. уравнения. 1994. — Т.ЗО. — № 11. — С.2001 -2009
  46. Р. И. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференц. уравнения. 1981. — Т.17. — № 1. — С.150 -15G
  47. Р. И. Первая краевая задача для уравнений смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения: Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1985. -14 с.
  48. GO. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 19GG. — 724 с.
  49. G1. Толстое Г. П. Ряды Фурье. М., 1980. -- 384 с.
  50. G2. Фиголъ В. В. Об устойчивости задачи Дирихле для гиперболических уравнений /Общая теория граничных задач. Сб. научн. трудов. -Киев, 1983. С.298
  51. В.В. Краевые задачи с данными на всей границе для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов: Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Донецк, 1985. 15 с.
  52. М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик, 1998. — 1G8 с.
  53. Dunninger D.R., Zachmanoglov E.C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hiperbolic equations in cilindrical domains // J. Math. Mccli. 1969. V.18. — № 8. — P.763 — 766
Заполнить форму текущей работой

На отлично!