Обобщенная задача Коши и ее приложения

Диссертация посвящена изучению специальной краевой задачи для систем квазилинейных уравнений с частными производными — обобщенной задачи Когии, которая отличается от задачи Коти в традиционной постановке тем, что начальные (граничные) условия ставятся не па одной, а па двух или на нескольких поверхностях. Число поверхностей пе превосходит числа независимых переменных. Число условий совпадает с числом неизвестных функций. Рассмотрены случаи, когда начальные (граничные) условия ставятся не па одной, а па двух и на трех поверхностях. Тсрмпп «обобщенная задача Копш» предложен Н. А. Леднёвым [76]. Именно к обобщенным задачам Коши с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными приводит математическое опнеаппе течений газа с ударными волнами. Доказанные теоремы применяются для исследования таких течений.

Наиболее часто встречающейся задачей для дифференциальных уравнений с частными производными является задача Коши (ЗК): задача с начальными данными, поставленными для всех искомых функций па некоторой поверхности. Если ЗК записана в нормальной форме, то теорема Ковалевской [67| обеспечивает существование п единственность локально аналитического решения при аналитичности всех входных данных задачи.

Одним из важных, в том числе с точки зрения приложений, направлений развития аналитической теории дифференциальных уравнений с: частными производными является доказательство аналогов и обобщений георемы Ковалевской. Для мпогпх начально-краевых задач, имеющих содержательный газодинамический или физический смысл, вопросы существования и единственности решений в тех пли иных функциональных пространствах в случае нелинейных систем полностью еще не псслсдоваиы.

Возможны различные обобщения ЗК.

Одно из направлений обобщения результата С. В. Ковалевской было развито Ш. Рикье [129] и исходило из того, что не на координатной плоскости, а в конкретной точке задаются начальные значения для всех искомых функций (а также для производных в случае присутствия в системе производных пе только первого порядка). А после этого исследовался вопрос: па каких координатных плоскостях и для каких искомых функций (а также и для производных в отмеченном выше случае) надо задать начальные значения, чтобы получившаяся задача имела единственное аналитическое решение. При исследовании сходимости рядов, решающих некоторые из возникающих при таком подходе задал, было доказано существование и единственность аналитического решения у простейшей обобщенной задачи Коши (ОЗК) с данными на двух поверхностях.

Другое обобщение ЗК связано с увеличением числа поверхностен, несущих начальные (граничные) условия, а также введение в систему особенностей. Это не просто формальные математические обобщения. Они обусловлены наличием содержательных приложений для таких обобщении.

Как отдельный самостоятельный объект исследования ОЗК была рассмотрена СЛ. Соболевым |94, 95] и Н. А. Леднёвым [76]. К сожалению, их результаты, фундаментальные для теории нелинейных аналитических уравнений с частными производными, оказались в течение многих лет не вое требованными в приложениях.

Работы В. М. Тешукова [97, 99, 100, 102] дали «вторую жизнь» ОЗК. Оказалось, что многие важные и трудные задачи газовой динамики, связанные с построением аналитических течении, состыкованных между собой через ударные волны, с точки зрения теории уравнений с частными производными являются ОЗК. В них начальные (граничные) условия для разных функций заданы на двух разных поверхностях.

Еще одно направление обобщения задачи Коши и теоремы Ковалевской связано с тем, что предполагается равным пулю определитель матрицы, стоящей перед вектором производных, выводящих с поверхности, несущей начальные данные. В этом случае записать систему в нормальном виде невозможно п возникает характеристическая задача Коши (ХЗК). Соответствующий аналог теоремы Ковалевской для ХЗК доказан С. П. Баутппым |6].

Особо следует отметить различие задачи Коши, характеристической и обобщенной задач Коши с точки зрения их прпложеппй к решению содержательных задач газовой динамики. Это, несомненно, является следствием их отличия как краевых задач для систем уравнений с частными производными.

1. Задача Коши: для всех искомых газодинамических параметров при t = 0 заданы начальные данные. Требуется построить течение газа при t > 0. Существование п единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема Ковалевской [67].

2. Характеристическая задача Коши: из точки х = .го в момент времени t = t.{) начинает плавное движение в однородном покоящемся газе непроницаемый поршень по закону х — xp (t), .х'р (0) = xq, .7:^(0) = 0, (0) ^ 0. т. е. начальное значение скорости поршня совпадает со скоростью газа в точке х = Х () в момент времени t = 0. По фоновому течению из точки .г = ./'о начнет распространяться слабый разрыв — звуковая характеристика. Требуется построить при /, > 0 течение в области между характеристикой и траекторией движения поршня. Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная C. I Г. Баутииым.

3. Обобщенная задача Конш: из точки х — Xq в момент времени t = О непроницаемый поршень резко вдвигается в однородный покоящийся га:-, т. е. начальное значение скорости поршня строго больше нуля. Г1о однородному покоящемуся газу из точки г = tq начнет распространяться ударная волна страекторией движения х = ф (£), ф (0) = xq, ф'{0) > х’р (0) > 0, которая заранее неизвестна. Требуется определить траекторию движения ударной волны и все течение газа в области между ударной волной п поршнем. Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная В. М. Тешуковым [97].

Эти три задачи и отражают газодинамическую суть различия задачи Ко-шп, характеристической и обобщенной задач Коши.

В данной диссертации решения ОЗК, в том числе с особеннос тью, строятся в виде кратных рядов по степеням независимых переменных, доказывается сходимость рядов. Построенные решения используются для описаппя течении газа с ударными волнами.

В диссертации рассмотрены ОЗК в случаях, когда граничные условия заданы на двух п па трех поверхностях. Решения всех рассмотренных задач строятся в классе аналитических функций. Естественно, что не всегда у поставленной задачи имеется аналитическое решение и часто необходимо искать решение с меньшей гладкостью или с особенностью. Нахождение производных произвольного порядка может оказаться достаточно трудоемким делом. Однако использование степенных рядов в качестве первого шага исследования более чем оправдано. Да и на последующих этапах (построение кусочпо-соегавпых решений, выделение у решения различных особенностей и т. п.) бесконечные ряды оказываются полезным инструментом.

Описание систем уравнений с частными производными ограничивается квазилинейным случаем без общей нелинейной ситуации. Это представляется оправданным, поскольку для любой нелинейной системы ее продолжение уже при однократном дифференцировании приводит к квазилинейной системе, а используемая при этом операция дифференцирования не выводит из рассматриваемого класса аналитических уравнений и решений.

Кроме того, рассмотрение ограничивается системами, в которые входят производные только первого порядка: стандартным для 'теории дифференциальных уравнений введением дополнительных искомых функций система с производными любого порядка сводится к эквивалентной с точки зреппя аналитических решений системе с производными только первого порядка.

В диссертации рассматриваются ОЗК с данными па двух п на трех поверхностях для квазилинейной аналитической системы, а 'также ОЗК с дано ными на двух поверхностях для квазилинейной системы, имеющей особенности. Кроме того, рассматриваются некоторые задачи газовой дппампки, математическое описание которых сводится к ОЗК.

В качестве примера сформулируем две задачи, исследуемые в диссертации:

1. Обобщенная задача Коши с данными на двух поверхностях.

Рассматривается квазилинейная система с частными производивши в случае п неизвестных функции, зависящих от двух независимых переменных висимые переменныеА (х, у, U), Ао (х, у, и) — матрицы размерности пхп: f (.x у. U) = ., f^)" 1 — вектор-функция.

На двух разных поверхностях ф (х, у) = 0, ф2(х, у) = 0 ставятся для неизвестных функций U п граничных условий.

Г ФДж, у., U)|0l (j-iI/)=o = 0, г = 1,. Фу (ж, ?у, Щф2(,^0 = 0, j = р + 1,., га- 1 < р < п — 1, где Фг (.г у, U), г = 1,.. ., пф{х, у), ф2{х, у) — заданные функции своих аргументов. Данная задача есть обобщенная задача Коши с данными па двух поверхностях в случае п неизвестных функций, зависящих от двух независимых переменных.

2. Обобщенная задача Коши с данными на трех поверхностях в случае трех неизвестных функций.

Рассматривается квазилинейная система уравнении с час тными производными в случае трех неизвестных функций, зависящих от трех независимых переменных.

Здесь U = (u, v, w)r — вектор-столбец неизвестных функциих = (гг./у, г) — вектор независимых переменныхU), Л2(х, U), Л-5(х, U) матрицы размерности 3×3- f (x.U) G t'1.

На трех разных поверхностях ф (х. у, z) = 0, ф2{х, у, z) = 0, ф*(х, /у. z) = 0 ставятся для неизвестных функций и, w три граничных условия где Ф,(.т, y, z, u, v, w), Ф2{x, y, z, u, v, w), Ф3(x, y, z, u, v, w) ф^х/у^), ф2{х, у ф:](х, у. z) — заданные функции своих аргументов. Данная задача есть обоб.

Лг (х, U) U, — + Л2(х, U) U, + Л3(х, U) U- = f (xs U).

Фх (х, у, и, v, = 0,.

Ф2(х, у, и, V, w) ф2(х^)=о = о, Фз (я, У, z, и, v w) = 0. щенная задача Копш с данными на трех поверхностях для трех неизвестных функции, зависящих от трех независимых переменных.

Также в диссертации исследованы течеппя газа в окрестности оси или центра симметрии с расходящимися ударными волнами, в том числе, построены решения задачи о распаде разрыва, сосредоточенного в особой точке, в случае конфигурации Б и задачи о неавтомодельном безударном сжатии сферического, пли цилиндрического объема газа с последующим возникновением ударной волны, имеющей конечную скорость движения. Кроме того, показано, что газодинамические задачи о резком вдвиженнп в газ непроницаемого поршня и о распаде произвольного квазподномерного разрыва в случае конфигурации Б, ранее решенные В. М. Тешуковым, сводятся к теоремам, представленным в диссертации. Повторить результаты В. М. Тешукова, в том числе с использованием «физических» переменных, предложил в свое время А. Ф. Сидоров.

Решение сформулированных в данной диссертации ОЗК производится по единой методике. Эта методика состоит из следующих основных моментов.

1. При помощи замены независимых переменных и искомых функции поверхности, несущие начальные данные, выбираются за новые координатные плоскости.

2. Исследуется и реализуется возможность замены искомых функции таким образом, чтобы либо начальные данные приводились к однородному виду, или чтобы система уравнений приводилась к диагональному виду.

3. Решение ОЗК строится в виде рядов по степеням тех независимых переменных, па координатных плоскостях которых поставлены граничные условия. Выписываются системы линейных алгебраических уравнений (С'.ПЛУ) для определения коэффициентов рядов.

4. Вычисляются определители этих СЛАУ и тем самым находятся необходимые и достаточные условия существования и единственности решения в виде формальных степенных рядов.

5. Решения СЛАУ, из которых определяются коэффициенты рядов, находятся в явном виде. При этом с увеличением числа поверхностей, несущих граничные условия, эти системы сильно усложняются. Метод преодоления возникающих алгебраических трудностей основан методах Гаусса и Крамера и использует нетривиальные приемы, разные для разных задач.

6. Сходимость построенных рядов доказывается методом мажорант, при этом определяются достаточные условия сходимости наиболее широкие из возможных.

7. Формулы для коэффициентов рядов анализируются, условия существования аналитического решения преобразуются к удобному виду, в котором требуют для проверки выполнения конечного числа арифметических операции.

8. Строятся примеры типа Адамара, показывающие, что получить необходимые и достаточные условия аналитической разрешимости ОЗК невозможно. А также показывающие, что при невыполнении полученных достаточных условии сходимости ряды могут расходиться.

Описание течений газа с ударными волнами в рамках ОЗК также привело к некоторой единой методике, которая состоит пз следующих основных моментов.

1.

Введение

вместо декартовой системы координат другой координатной системы, обусловленной конкретной геометрической и газодинамической конфигурацией течений.

2. При построения течений с ударными волнами в окрестности осп или центра симметрии с помощью вырожденной замены переменной раскрытие конкретных особенностей решения.

3. С помощью естественных для теории уравнении с частными производными замен независимых переменных и искомых функций сведение к ОЗК тех краевых задач, решения которых описывают течения газа с ударными волнами. Особо подчеркнем, что предлагаемые замены пе требуют априорных знаний пз газовой динамики специальных свойств решеппй.

4. Проверка для полученных ОЗК выполнимости достаточных условий существования п единственности аналитического решения у одного из доказанных в диссертации аналогов теоремы Ковалевской.

Для работ по исследованию краевых задач для нелинейных уравнении с частными производными, встречающихся при математическом описании движения сплошной среды, можно выделить следующие разделы: задача Копш: теория Рпкьехарактеристическая задача Кошиобобщенная задача Копш: аналитическое описание разрывных течений газа. Кроме того, ниже обсуждаются некоторые вопросы терминологии.

Задача Коши. Для нелинейных систем уравнений с частными производными классическим результатом является теорема Ковалевской. В работах [67, 122] строится решение в виде степенных рядов, фактически являющихся рядами Тейлора. Коэффициенты рядов рскуррентпо определяются в явном виде пз алгебраических уравнений. Локальная сходимость рядов доказывается методом мажорант. Приведен пример, который показывает, что аналитическое решение задачи Коши, вообще говоря, существует только для систем, имеющих тип Ковалевской. Это означает, что для каждой искомой функции (fk се выводящая с несущей начальные данные поверхности производная максимального порядка обязательно присутствует в левой части А—го уравнения системы и ее порядок не меньше порядка остальных производных в данном уравнении.

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши в шкалах банаховых пространств являются современными аналогами теоремы Ковалевской. Первой такой теоремой является теорема JI.В. Овсянникова [82] для линейного уравнения с сингулярным оператором в правой части. Затем обобщение теоремы Ковалевской доказал Ж. Ф. Трев [133. 134]. Общая теорема Л. В. Овсянникова опубликована в [83]. Также теоремы существования п единственности решения задачи Коши для нелинейных сингулярных операторов доказаны Л. Ынренбергом [80,126] и Т. Нпшпдоп |127]. Требования теоремы Л. В. Овсянникова, |83] представляются априори более жесткими, чем условия теоремы теоремы Трсва-Нпренберга-Нишиды, однако С. С! Титов [111] установил их эквивалентность. Также в работах С. С. Титова [i 11 И4[ доказаны новые аналоги теоремы Ковалевской для систем не типа Ковалевской. С их помощью решен ряд задач математической физики. В статьях [114, 132] результаты третьей и четвертой глав из работы [П1| обобщены в направлении нелокальное&tradeпутем отказа от слишком обременительных предположений, ограничении и гипотез с получением новых теорем существования, в том числе для системы Навье-Стокса.

Теория Рикье. Теория ортопомпых систем Рнкье содержит условия совместности уравнении с частными производными. Задаются начальные значении неизвестных функций в точке и исследуется вопрос о том. при каких условиях существует решение и какова степень его произвола. Конструктивное построение решения при этом не производится. Данная методика может привести к различным краевым задачам, в том числе к обобщенно]" ! задаче4 Коши. Результаты Ш. Рикье были улучшены российским математиком Н. М. Гюптером [40, 41] и обобщены Дж. Томасом [130, L3J].

Детали этой методики выходят за рамки диссертации, однако отметим следующее. В случае, когда уравнений больше, чем искомых функций, метод Рнкье. впоследствии развитый Н. М. Гюнтером, Дж. Томасом, а также Жапе, Рпттом и др. (см. [90, с. 5−6, с. 74]), лег в основу метода Ж, а н еСпенсера-Кураниши исследования на совместность систем дифференциальных уравнений [90].

Алгоритм исследования по методу Жане-Спеисера-Куранпнш отличается от метода внешних форм Карта на |117] исследования систем уравнений с частными производными на совместность. Естественно, что оба ме тода исследования на совместность эквивалентны с точки зрения окончательного результата и оба 'требуют больших скрупулезных вычислении, связанных с анализом достаточно громоздких формул.

Монография Ш. Рикье, изданная почти сто лет назад в Париже на французском языке, и статьи Дж. Томаса являются библиографическими редкостями. Изложение некоторых положении теории Рикье с обобщениями Томаса можно найти в книге С. П. Финикова [117].

Характеристическая задача Коши. Одной из важных с точки зрения приложений разновидностей задачи Коши для системы типа Ковалевской является характеристическая задача Коши. Она возникает в случаях, когда, во-первых, ставится задача Коши, т. е. на конкретной поверхности задаются начальные данные для всех искомых функций. Во-вторых, по заданным начальным данным из системы дифференциальных уравнений невозможно определить выводящие с несущей начальные данные поверхности производные всех искомых функций. Эта ситуация возникает, когда обращается в нуль определитель матрицы, которая стоит перед вектором выводящих производных [79]. Существуют два различных типа таких задач: 1) в решении задачи есть дополнительный функциональный произвол- 2) произвол в решении задачи отсутствует, т. е. задача имеет единственное решение.

Для характеристической задачи Коши первого типа в случае линейных гиперболических систем В. М. Бабич [1, 2], Д. Людвиг [123], Р. Курант |73] разработали метод представления решений в виде обобщенной бегущей волны — бесконечного ряда по специальным системам функций, зависящим от (/?, где ip = 0 — уравнение характеристической поверхности исходной линейной гиперболической системы. Фактически этот метод есть постановка характеристической задачи Коши для линейной задачи и представление ее решения в виде специальных рядов. При соответствующей замене независимых переменных данные ряды становятся обычными рядами Тейлора, коэффициенты которых последовательно определяются пз рекуррентных соотношений. Некоторые пз этих соотношений являются алгебраическими, другие обыкновенными дифференциальными уравнениями. В случае аналитичности входных данных задачи В. М. Бабич [2] и Д. Людвиг [123] доказали сходимость этих рядов в малом. Д. Людвиг свел вопрос о сходимости обобщенной бегущей волны к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для этого случая Дж. Дафф [120] и Д. Людвиг [123] доказали соответствующие аналоги теоремы Ковалевской. Характеристическая задача Коши для линейной системы рассмотрена также в |77].

В нелинейном случае для системы уравнений газовой динамики постановки конкретных характеристических задач Коши в ситуации, когда данные на характеристике взяты из однородного движения спостоянной скоростью, впервые рассмотрены в А. А. Дородницыным [42]. В работе [42] для описания сверхзвуковых двумерных стационарных течений решение поставленной характеристической задачи Коши построено в виде бесконечных рядов в случае, когда у части рядов коэффициенты определялись при решеппи обыкновенных дифференциальных уравнении. И поэтому решение такой характеристической задачи Коши обладает дополнительным произволом. Л. Л. Дородницыным не только построены ряды, решающие рассмотренные задачи, по и доказана их сходимость.

Позже работы А. А. Дородницына [42] в работе E.II. Зубова и А. Ф. Сидорова [45], а также в работах А. Ф. Сидорова [88, 89] предложен метод построения решения конкретных задач, возникающих в газовой динамике, в виде формальных степенных рядов (в последующем названных авторамп характеристическими рядами). Начальные данные в рассмотренных задачах ставились на звуковых характеристиках, примыкающих к однородному покою. Коэффициенты рядов рекуррептпо определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Сходимость построенных формальных рядов в работах E.II. Зубова, А. Ф. Сидорова не была доказана. Как обобщенная бегущая волна, так и характеристические ряды являются решениями соответствующих характеристических задач Коши. Характеристические ряды при стандартной замене переменных становятся обычным рядами Тейлора с рекуррентно-определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов из работ [45,88,89] доказана С. П. Баутиным [3,6,7].

Тоюрема существования и единственности аналитического решения характеристической задачи Коши стандартного вида в общем случае квазилинейной аналитической системы доказана С. П. Баутиным [3,6].

Доказательство существования аналитических решений у нелинейных уравнений с частными производными в случаях, когда одна из рассматриваемых задач фактически является характеристической задачей Коши с дополнительным произволом в решении, имеются в работах В. А. Куликовского [75| и В. М. Теш. укова [96, 98 101|.

Характеристическая задача Коши второго типа не содержит дополнительного произвола в решении. В работе Л. В. Овсянникова [81] доказана сходимость ряда, описывающего стационарное осесимметричнос течение Мейера в окрестности оси симметрии, на которой система уравнений имеет известную особенность: 1 Jr. Коэффициенты ряда определялись из разрешенной в явном виде системы линейных алгебраических уравнений, поэтому дополнительного произвола в решении данной задачи нет. С точки зрения теории уравнений с частными производными рассмотренная в работе |81] задача является характеристической задачей Коши, поскольку при указанных условиях за пуляется коэффициент перед выводящей производной.

Близкая к задаче пз работы [81] как е точки зрения отсутствия дополнительного произвола в решении, так и по методике доказательства сходимости рядов, решающих ее, задача возникает при описании тепловых воли, распространяющихся по холодному фону [22] и являющихся решениями нелинейного уравнения теплопроводности.

Применение методологии характеристических рядов к построению тепловых волн предложено А. Ф. Сидоровым [91]. В работе С. Г1. Баутина [11] при заданной произвольной аналитической функции n (t), определяющей фронт движения тепловой волны, доказаны существование п единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности, а также приведено обобщение данного результата как на многомерный случай, так п па другие уравнения параболического типа. В работе А. Ф. Сидорова [92] сформулирована, теорема о существовании тепловой волны при заданном специальном краевом режиме, однако эта теорема осталась недоказанной (см. [93|). В работах С. П. Баутина [22, 23] доказаны существование п единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности (в том числе многомерного) при заданном произвольном аналитическом краевом режиме с отличной от нуля в момент t — 0 производной по времени. Построение тепловых волн в течениях теплопроводного вязкого газа приведено в работе С. П. Баутина [13].

С.С. Титовым [110] при рациональных значениях копстапты а. являющейся показателем степени в нелинейном коэффициенте теплопроводности, в плоско-, цилиндрическии сфернчсскп-симметричпых случаях в виде специальных рядов построены решения задачи о тепловой волне с заданным фронтом, обладающие на фронте тепловой волны конкретными особенностями. Показано, что сходимость этих рядов следует из приведенной теоремы С. П. Баутина.

В работах С. С. Титова, [105, 106], С. С. Титова и В. А. Устинова |115| приведены примеры точных решении нелинейного уравнения теплопроводное! и в виде специальных многочленов. С. С. Титовым [107] также получены решения нелинейного уравнения теплопроводности для симметричного случая в виде сходящихся логарифмических рядов.

Обобщенная задача Коши. Одним из возможных обобщений задачи Коши является краевая задача, в которой начальные (граничные) условии для разных функций заданы не на одной, а на двух или нескольких поверхностях.

Результаты Мерея-Рнкье н Н. М. Гюнтера. Впервые обобщение задачи Копш па случай, когда начальные (граничные) условия для неизвестных фупкций заданы на разных поверхностях, встречается в работах французских математиков TIT. Мерея п Ш. Рикье (125, 129]. Ими рассмотрена краевая задача, фактически являющаяся обобщенной задачей Коши с данными па двух поверхностях для нелинейного уравнения второго порядка. В частности, получены первые (весьма узкие) достаточные условия существования и единственности аналитического решения данной задачи, названной в последствии Н. А. Леднсвым [76] обобщенной за, дачей Коши. В работе Н. М. Понтера (411 эта задача исследована более подробно и результат Мерея и Рпкье усилен. В своей работе [411 Н. М. Гюнтер не только в явном виде решил СЛАУ, из которых определяются коэффициенты формальных рядов решения рассматриваемой задачи, по и детально исследовал определители возникших СЛАУ.

Результаты С. Л. Соболева. В работах С. Л. Соболева [94, 95) рассмотрена задача, именуемая автором задачей Гурса, являющаяся фактически обобщенной задачей Коши с данными на двух поверхностях для нелинейной системы с произвольным числом неизвестных функций. Число уравнений равно числу неизвестных функций и числу граничных условий. Причем для части искомых функций граничные условия заданы на одной координатной осп, а для остальных — на другой. В исходной нелинейной системе выделена «главная часть», связанная с производными, т. е. с точки зрения построения формального решения система фактически сведена к квазилинейной.

С.Л. Соболев не только проанализировал структуру СЛАУ, из которых определяются коэффициенты формальных рядов и показал их разрешимость. Им также исследованы определители этих систем и фактически установлены необходимые и достаточные условия существования формального решения у рассмотренной задачи. При этом одновременное приведение к диагональному виду двух матриц, стоящих перед векторами производных по х и по /у. существенно облегчает выкладки.

Результаты П. А. Ледпёва. Термин обобщенная задача Коши предложен именно Н. А. Ледпёвым [76|. Им рассмотрена краевая задача для нелинейной системы уравнений с частными производными в случае, когда данные для искомых функций заданы па произвольном числе координатных гиперплоскостей, и на каждой такой гиперплоскости данные заданы для произвольного числа искомых функций.

В обобщенной задаче Коши коэффициенты степенных рядов, задающих решения, определяются не из явных соотношений (как в задаче Коши для системы, записанной в нормальном виде), а из систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому условия существования аналитического решения должны содержать условия как существования формального решения в виде формальных рядов (разрешимости соответствующих СЛАУ), так п сходпмоctii формальных рядов.

Теорема Н. А. Леднёва (как и теоремы С.Л. Соболева) также обеспечивает и существование формальных рядов и их сходимость. Однако условия Н. А. Леднёва, как в общем случае и условия С. Л. Соболева, неконструктивны. Для того чтобы ими воспользоваться, исследователю необходимо самому проделать весьма сложную и кропотливую дополнительную работу по подбору значении ?2,, при которых собственные числа характеристической матрицы задачи по модулю меньше единицы.

Результаты В. М. Тешукова. С точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными рассмотренные В.М. Ten Жуковым [97, 99, 100| задачи с ударными волнами являются обобщенными задачами Коши для квазилинейной системы первого порядка. Для обозначения этих задач В. М. Тешуков использовал термины задача Гурса (пехарактерп-стпческая) |97] пли обобщенная задача Гурса [100[. В. М. Тешуков рассмотрел [97, 99, 100) обобщенные задачи Коши с данными на двух поверхностях для аналитической системы в случаях различного числа неизвестных функций, зависящих от четырех независимых переменных. Для всех рассмотренных задач вытшеапы и разрешены в явном виде системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов рядов. Также в явном виде выписаны определители этих систем. Тем самым, фактически выписаны необходимые и достаточные условия существования формального решения и проверена их выполнимость для рассматриваемой задачи. Для доказательства сходимости формальных рядов по виду исходной системы и с учетом формул, задающих коэффициенты рядов, строятся мажорантные задачи п показывается, что они имеют аналитические, мажорирующие нуль решения. Полученные достаточные условия сходимости рядов являются для рассмотренных задач наиболее широкими из возможных.

Обобщенная задача Копш в линейном случае рассматривается также4 в работах III. Мерея [124[, К. Вагшо [135|, К. Игари [121[.

ОЗК для уравнений газовой динамики с условиями на границах, пересекающихся в звуковых точках, рассмотрена Р. Г. Баранцевым [119].

Аналитическое описание разрывных течений газа. Одним из содержательных приложений теории уравнений с частными производными является решение задач механики сплошной среды, в частности газовой динамики. Общеизвестно, что фоновые (невозмущенные) течения газа строятся при решении задачи Копш с помощью теоремы Ковалевской (см. например, [84], |86|).

Если в начальный момент времени параметры газа непрерывны, по рвутся производные, то возникает характеристическая задача Коши. Прпмепеншо характеристической задачи Коши для решения различных задач газовой динамики посвящено большое количество работ, в частности, С. П. Баутппа [3, 12, 17, 25]. В. М. Тешуковым [9G, 98, 99, 101] рассмотрены задачи о распаде произвольного разрыва па криволинейной поверхности, когда, но обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше пуля в случае общих пространственных течений нормального газа. Эти задачи либо являются характеристическими задачами Коши, либо одно из составляющих искомого кусочно-аналитического решения есть решение характеристической задачи Коши. В указанных работах В. М. Тешукова не только построены решения таких характеристических задач Копш, по и доказаны их существование и единственность в классе аналитических и кусочно аналитических функций. При этом методами, отличными от примененных в [7, 8], для некоторых решений детально описана область существования решений.

Кусочно аналитические решения с сильными разрывами. Течения газа с сильными разрывами (ударными волнами) являются решениями соответствующих обобщенных задач Коши.

М.Ю. Козмапов [70] в виде формальных рядов строит, возможно впервые, решение задачи о распаде произвольного одномерного разрыва в течениях i аза в случае конфигурации Б, когда возникают две ударные волны и контактный разрыв. Им [71] построено формальное решение этой задачи в случае двумерных нестационарных течений. Вопросы сходимости рядов М. К). Ко мапов пе рассматривал.

В.М. Тешуков [97, 99, 100, 102] исследовал конкретные краевые задачи для системы уравнений газовой динамики (квазплнпейпой системы уравнений с частными производными гиперболического тина), в которых разные области течения газа разделены сильными разрывами ударными волнами. С точки зрения общей теории дифференциальных уравнений задачи с ударными волнами, рассмотренные В. М. Тешуковым, являются обобщенными задачами Коши для квазилинейной системы первого порядка.

В.М.Тешуковым [97] решается задача о резком вдвпжеппи непроницаемого поршня в газ, в результате чего в течении газа возникает ударная волна. Им решена |99] задача о распаде произвольного разрыва для описания течения в случае возникновения двух ударных волн и контактного разрыва: строится [100] решение задачи об отражении криволинейной ударной волны от жесткой стенки в сверхзвуковом случае. Показано, что в случае дозвуковых течений множество, где обращаются в нуль определители систем линейных алгебраических уравнений, из которых находятся коэффициенты рядов, всюду плотное па множестве изменения некоторых параметров, являющихся определяющими в рассматриваемой газодинамической задаче. Наконец, решается [102] задача о пространственном взаимодействии сильных разрывов в газе.

В работах В. М. Тешукова [97, 99, 100, 102] все исследования газодинамических задач с псодпомерными ударными волнами проведены по едппой оригинальной методике. А именно. Вводятся специальные криволинейные координаты, в которых поверхности, несущие граничные условия, становятся координатными гиперплоскостями. Вводятся новые неизвестные функции, граничные условия для которых являются однородными. Следует отметить, что преобразования зависимых и независимых переменных для задач, рассмотренных в [100, 102], являются более сложными, по сравнению с задачами из [97, 99], поскольку жесткая стенка и фронт отраженной ударной волны |Ю0] (контактный разрыв н фронт ударной волны [102]) в любой момент времени пересекаются по замкнутой кривой. Не смотря на громоздкость проведенных выкладок, для всех исследованных задач строго обоснована возможность рекуррентного построения решения и с помощью специальной модификации метода мажорант доказана сходимость рядов. Установлена однолистность отображения. Предложенная В. М. Тешуковым методика может быть перенесена па случай общих квазилинейных аналитических систем.

В работах A.M. Блохппа [30−32] ОЗК (автор называет ее смешанной задачей) для уравнений газовой динамики с граничивши условиями па ударной волне в линейной и квазилинейно!] постановках исследуется с помощью техники дпееппатпвных интегралов энергии.

Автомодельные решения системы уравнений газовой динамики. Одним из способов раскрытия в системе уравнений газовой динамики особенности тина.

1 /г является использование автомодельных переменных. С точки зрения математического формализма вначале делается замена переменных ц = r/t.a. т = t, а затем полагается д/дт = 0. Такой подход убирает особенность типа 1/г из одномерных уравнений газовой динамики |87] и существенно упрощает задачу. Применению автомодельных решений в задачах газовой динамики посвящено много работ. В том числе это труды Л. И. Седова [87]. К. В. Брушлинского и Я. М. Каждапа [33], С. К. Годунова, и И. Л. Кпресвой [38[. Е. И. Забабахппа и И. Е. Забабахнна [43], И. Е. Забабахина п В. А. Снмопенко [44], Я. М. Каждана [46]. С помощью некоторых автомодельных решений возможно описание течений с ударными волнами. Классическими примерами являются задачи о сильном взрыве [87] и о фокусировке воли сжатия с последующим отражением от оси или центра симметрии ударных волн |38. 43, 44, 461.

Отличие обобщенной задачи Коши от других краевых задач.

В название конкретной краевой задачи введен термин «обобщенная задача Коши» по следующим причинам. Данная задача действительно является принципиально новой по сравнению с рассмотренной ранее другими исследователями задачей Коши для систем уравнений с частными производными. Принципиальное отличие обусловлено не только тем, что в обобщенной задаче Коши граничные условия для искомых функций ставятся па разных гиперповерхностях (что и позволяет использовать термины «обобщенная задача Коши» [76], «задача Коши с начальными данными па разных поверхностях» [14−16, 28)). В отличие от задачи Коши в традиционной постановке для существования аналитического решения у обобщенной задачи Коши недостаточно, чтобы задача имела тип Ковалевской, была записана в нормальном виде и все входящие в нее функции были аналитическими. В обобщенной задачи Коши требуется выполнение еще некоторых дополнительных условий, которые должны обеспечить построение формального решеппя и обеспечить сходимость рядов. Часто для этих двух моментов условия оказываются разными.

В книге С. В. Владимирова |34, с. 221−127] вводится понятие «обобщенная задача Коши для волнового уравнения». Однако эта задача Коши для волнового уравнения ставится традиционно: в начальный момент времени задаются значения искомой функции и ее производной по времени. Л вот решение этой традиционно поставленной задачи ищется в классе обобщенных функции. т. е. строится обобщенное решение задачи Коши. Работа Н. Л. Леднёва ]76]. в которой введен термин обобщенная задача Коши. вышла значительно раньше книги [34]. И главное в ней рассмотрена новая по постановке1 краевая задача, действительно являющаяся обобщением задачи Коши. Исходя из этих соображений, авторы настоящей монографии используют термин «обобщенная задача Коши» в том смысле, в каком он был впервые введен в ■-теорию уравнений с частными производными.

Естественно, что конкретные обобщенные задачи Коши можно подразделять в зависимости от вида рассматриваемых уравнения или системы уравнений.

Особо отметим различие в использовании терминов обобщенная задача Коши и задача Гурса.

Термин «задача „Гурса“ традиционно» (см. [39], |79], [85|) используется для обозначения задачи и. п, — f (x, y, u, ux, u"), и (Ъчу)=ч>{у)1 Чг-, 0) = 0(х), <р (0) = ^(0), в которой, во-первых, дифференциальное уравнение заведомо имеет гиперболический тип с известными (в силу полулипейности уравнения) характеристиками. Во-вторых, значения единственной искомой функции заданы па двух пересекающихся линиях, которые обе по условию являются характеристиками. Подобная специфика в постановке задачи не только влечет существование п единственность решения в соответствующих функциональных пространствах, но и позволяет использовать специальные приемы (например, метод функции Рпмана) для исследования этой задачи.

Различие обобщенной и характеристической задач Коши [6| состоит в изначальной постановке: в обобщенной задаче Коши граничные условия для различных функций заданы для разных функций, вообще говоря, па разных гиперповерхностяхв характеристической — значения всех искомых функций на одной гиперповерхности, т. е. исследование характеристической задачи Коши начинается с постановки задачи Коши. А уже потом (по виду системы, по значениям ее коэффициентов, по свойствам матриц, входящих в систему) проверяется: будет ли поставленная задача Коши являться характеристической задачей Коши стандартного вида. Из-за указанных различий и введены разные термины для этих двух задач.

Отличие обобщенной задачи Конш от задачи, рассмотренной Ш. Рпкье, Дж. Томасом (129−131] п др. состоит в следующем. В обобщенной задачеКоши:

1) число неизвестных функций в задаче совпадает с числом уравнений;

2) система имеет тип Ковалевской;

3) система является нормальной, так как при подстановке в систему начальных значений в правой части каждого уравнения пе появится значение & производной функции, старшей по отношению к производной из левой части к-го уравнения;

4) для неизвестных функций и для соответствующих производных заданы не только начальные значения (значения в точке), но и граничные условия на плоскостях, параллельных соответствующим координатным плоскостям. в виде произвольных функций от соответствующих переменных. Именно эти. граничные условия обеспечивают единственность решения в виде формальных степенных рядов.

Диссертация состоит из четырех глав.

Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации решена крупная научная проблема: впервые подробно исследована другая по сравнению с задачей Коши и характеристической задачей Коши краевая задача для для квазилинейных систем уравнений с частными производными — обобщенная задача Коши. Отличие обобщенной задачи Коши от задачи Коши и от характеристической задачи Коши в традиционных постановках заключается в том, что начальные данные для разных функции ставятся па разных поверхностях.

Авторы привели постановки обобщенной задачи Коши с данными на двух и на трех поверхностях для различных квазилинейных систем первого порядка, в том числе для систем с особенностями. Для поставленных задач доказаны локальные теоремы о существовании п единственности аналитических решений, являющиеся аналогами теоремы Ковалевской в рассмотренных случаях. Решения представлены в виде бесконечных рядов с коэффициентами, рекуррентно определяемыми в явном виде при решении систем лшгейных алгебраических уравнений.

На основе исследования структуры коэффициентов рядов получены удобные для проверки достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемые обобщенные задачи Коши имеют единственные локально аналитические решения.

Предложена методика исследования обобщенной задачи Коши, включающая в себя замены независимых переменных, переводящие поверхности, несущие начальные данные, в координатные плоскостизамены неизвестных функций, приводящие начальные данные к однородному видупостроение решения в виде рядов по степеням независимых переменныхдоказательство сходимости рядов методом мажорантиспользование найденных в явном виде коэффициентов формальных рядов для получения максимально широких и вместе с тем в виде удобных для проверки достаточных условий их сходимости.

Именно в том, что решение строится в явном виде, состоит отличие подхода, предложенного в монографии, от подходов, предложенных Ш. Рикье [129| и Н. А. Ледпёвым [76]. При этом системы линейных алгебраических уравнений, из которых определяются коэффициенты рядов, с увеличением числа поверхностей, несущих начальные данные, сильно усложняются. Это обстоятельство не позволило к настоящему времени исследовать обобщенную задачу Коши с данными па трех поверхностях в самом общем случае.

В диссертации приведены содержательные приложения обобщенной задачи Коши в газовой динамике. Эта краевая задача возникает при описании течений газа с сильными разрывами — ударными волнами. В книге построены кусочно-аналитические решения некоторых задач газовой динамики с ударными волнами. В том числе описаны течения газа в окрестности осп или центра симметрии с отраженными ударными волнами, распространяющимися с конечной скоростью.