Нелинейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный интерес, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Нелинейные эффекты наблюдаются в таких соединениях, как жидкие кристаллы [1], полупроводники 1п8Ь и ЩСс1Те и т. д. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения. Математические модели с учетом нелинейных эффектов и некоторые результаты представлены в работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3].

К основным нелинейным эффектам, возникающим в веществе при распространении в нем электромагнитных волн, относятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканализации лучей и т. д. [4−6]. В связи с большим количеством нелинейных эффектов и различным их влиянием на распространение электромагнитных волн в веществе большое значение приобретает аналитическое и численное изучение таких явлений. Учет нелинейных эффектов при построении математических моделей для описания подобных явлений приводит к задачам решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, точнее, к нелинейным краевым задачам на собственные значения [2, 3, 7, 8], которые в большинстве случаев не поддаются решению в аналитическом виде. Подобные трудности приводят к тому, что исследователи рассматривают такие задачи при некоторых упрощениях [9] или аппроксимируют решения простыми функциями [10] без достаточного обоснования.

Впервые уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 1971—1972 гг. в пионерских работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3].

Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением электромагнитных ТЕ-волн в различных волноведущих структурах как в волноводе, так и в слое, представлены в [6−8, 11−14]. Работы Ю. Г. Смирнова и С. Н. Куприяновой [7, 8] посвящены изучению краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в нелинейном круглом (цилиндрическом) волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра. Для решения краевой задачи на собственные значения в [7, 8] применяется метод функций Грина, а решение получающегося нелинейного интегрального уравнения находится итерационным методом. Статья [6] посвящена изучению распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое с поглощением, причем отдельно изучается случай нелинейности по закону Керра. В работе Н. W. ЗсЬигшапп, В. С. Серова и Ю. В. Шес-топалова [13] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. Слой расположен между двумя полубесконечными линейными средами. Все среды предполагаются средами без потерь, а также немагнитными изотропными и однородными. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейерштрасса.

Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, т.к. наличие двух компонент электрического поля сильно усложняет анализ [15]. Это связано с тем, что диэлектрическая проницаемость достаточно просто выражается в терминах компонент электрического поля и наличие двух компонент электрического поля приводит к более сложной зависимости диэлектрической проницаемости от интенсивности электромагнитного поля. А это в свою очередь приводит к усложнению уравнений, описывающих распространение волн. В уже упоминавшейся работе [9] рассматривается линейный диэлектрический слой, окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [16, 17]. Для случая ТМ-волн в [9] получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи, которое представляет собой алгебраическое уравнение. Ранее в [18] было получено аналогичное уравнение при условии, что в законе Керра учитывается только продольная компонента Ех электрического поля. Позднее в [19] было показано, что доминирующий нелинейный вклад в диэлектрическую проницаемость пропорционален поперечной компоненте Ег. В работах [20, 21] рассматривается распространение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном полупространстве с нелинейностью по закону Керра. Приводятся формальные решения получающихся дифференциальных уравнений в квадратурах. В [20] также представлены дисперсионные уравнения как для случая изотропной, так и анизотропной среды в нелинейном полупространстве. Дисперсионные уравнения для собственных значений представляют собой рациональные функции значений компонент поля на границе раздела сред и находятся аналитически из простейших алгебраических уравнений. Авторы находят первый интеграл системы, описывающей распространение волн (так называемый закон сохранения). Уравнения поля являются дифференциальными уравнениями первого порядка, разрешенными относительно производной. Это и позволяет формально проинтегрировать получающиеся уравнения при условии, что необходимую компоненту можно выразить из первого интеграла. Авторами приводится необходимое и достаточное условие того, чтобы дифференциальное уравнение, связывающее компоненты поля, являлось уравнением в полных дифференциалах, и, следовательно, его решение (первый интеграл) можно было найти аналитически. Это условие выглядит следующим образом: dsrY дг77 —Цт, где exv и z2Z — компоненты диагонального тензора диэлек-дЕ22 дЕ2х трической проницаемости в направлениях Ох и Oz соответственно. Однако складывается впечатление, что это условие является тривиальным, т.к. закон Керра влечет за собой это условие, а если использовать более сложную нелинейность, то это условие не выполняется. В некоторых случаях более сложной нелинейности уравнение удастся проинтегрировать, найдя подходящий интегрирующий множитель (авторы упомянули об этом в конце указанной работы). В случае аналогичной задачи для ТЕ-волн наличие всего лишь одной компоненты электрического поля позволяет получить точные результаты [22−27]. В работах [28, 29] распространение ТМ-волн изучается в терминах магнитной компоненты электромагнитного поля. В работе К. М. Leung [28] изучается распространение ТМ-волн в нелинейном изотропном полупространстве, причем нелинейность — это произвольная функция квадрата интенсивности электрического поля, в качестве примера найденные результаты применяются к случаю нелинейности типа Керра. Такие среды экспериментально изучены в [30, 31]. Также в [28] получен первый интеграл системы и дисперсионное уравнение для собственных значений. Также в указанной работе рассматриваются эффекты самофокусировки и дефокусировки электромагнитных волн. Работа [29] посвящена изучению рассеяния электромагнитных ТМ-волн в тонком нелинейном слое. В качестве диэлектрической проницаемости выступает произвольная функция от квадрата интенсивности электрического поля. Также представлено формальное решение в квадратурах. В [19] проводится обоснование с физической точки зрения возможности учета только одной из компонент электрического поля в выражении для диэлектрической проницаемости в случае распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое. Проводится сравнение с аналогичным случаем для ТЕ-волн.

Необходимо заметить, что большинство авторов при рассмотрении задач о распространении волн в нелинейной среде основное внимание уделяют решению получающихся дифференциальных уравнений и не акцентируют внимание на выводе дисперсионных уравнений для собственных значений. Подобные задачи представляют собой задачи на отыскание собственных значений, и поэтому рассматривать их необходимо именно как краевые задачи на собственные значения. Это связано с тем, что главный интерес представляет нахождение тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел), при которых волна в указанной структуре распространяется. Нахождение же решений системы дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемое явление, дает математическое выражение компонент электромагнитного поля и ничего не говорит о том, при каких значениях спектрального параметра волны существуют. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального параметра, анализ которого позволяет делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения.

Надо отметить, что дополнительные трудности в данной работе связаны с тем, что дисперсионное уравнение для собственных значений хоть и получено в замкнутой форме, однако не проинтегрировано в явном виде. Этот факт осложняет анализ количества собственных значений для одних и тех же начальных данных и краевых условий, в отличие от, например, работы [20], где рассматривается задача для полупространств и собственные значения являются рациональными функциями начальных данных и краевых условий.

Таким образом, можно сказать, что наиболее важные результаты по распространению ТМ-волн в нелинейном слое (система дифференциальных уравнений, первые интегралы, а из них, фактически, следует интегрируемость в квадратурах) были получены в работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3], выполненных в 1971;1972 гг. и работах К. М. Leung [28,.

29]. Но основной интерес в таких задачах связан с нахождением дисперсионного уравнения, а как раз его долгое время не удавалось получить и исследовать. Впервые это сделано в работах автора сначала для случая слоя малой толщины [32], а затем и для слоя произвольной толщины [33−38].

При исследовании линейных спектральных задач теории волноводов применялись различные методы (см. [39] и имеющуюся там библиографию). Основными методами являются: вариационный метод [40−42], метод оператор-функций [43], метод интегральных уравнений [44], метод операторных пучков [45, 46] и некоторые другие.

Будем считать, что собственным значением описываемой ниже задачи является такое значение спектрального параметра (константы распространения) у = уд, при котором задача имеет ненулевое решение. Это ненулевое решение называется собственной функцией, соответствующей собственному значению уд. В пункте 2.1 главы 2 определения собственного значения и собственной функции будут сформулированы строго.

Настоящая работа посвящена изучению распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном диэлектрическом слое, находящемся между полупространствами с не зависящими от интенсивности поля диэлектрическими проницаемостями (см. рис. 1 ниже). В слое диэлектрическая проницаемость выражается законом Керра. Поглощение не учитывается. Все среды предполагаются однородными и немагнитными. Предположения о доминирующей доле вклада одной из компонент электрического поля в выражение для диэлектрической проницаемости не учитываются, и все уравнения выводятся в общем виде.

X е = Сз, А / / / / '///// / / / / / / / / / / / / / / /' / / / / -''У / / / / / / / / / / / / / <е = Е2+аИ / /' / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0 / / / / / / .' .' / / / //.'//? г = ?

Рис. 1.

Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла: го 1Н = -¿-соеЕ;

1) го1Е = /соцН.

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны.

Будем предполагать, что компоненты поля гармонически зависят от г, Ну = Ну (х)ехр (/у2-) — Ех = Ех (х) ехр (/уг) — Е2 = Е2 (х) ехр (/уг), здесь у неизвестный спектральный параметр — постоянная распространения электромагнитной волны [3]. Дальше будем считать у действительным (так что.

I |2.

Е не зависит от т).

Обозначим Е2=2{х) и 1ЕХ = Х (х). Пусть Е и 0[Е, у) обозначают векторы-столбцы где Х (х) и Z (x) являются искомыми функциями, а 0 и ~ некоторые непрерывные функции. Число у является спектральным параметром. Также будем рассматривать вектор-столбец N (x) задачу, используя введенные обозначения. Для полупространства х<0, е = е1? N.

2Л гХ{х).

А*).

Сформулируем.

V 2 у получаем у/Ж0 у2−8! О = 0.

2) у.

Внутри СЛОЯ 0<�х<�и, 8 = 82+Я|Е|, ДГ = и система принимает вид.

ЦЕ, у) = ВЕ-в (Е, у) = 0.

О).

Для полупространства x>h, 8 = 83, N = z3X Z получаем уDF0 У у 0.

4).

Cd 0 dx.

0 d.

V dx) где D =.

Условия сопряжения, накладываемые на функции Х (х) и Z{x) на границах раздела сред, приводят к условиям.

5) где Г/(х)1 = lim /(х) — lim f (x) и f — вектор, а предельный переход совершается по каждой компоненте вектора.

Требуется найти ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения у такие, что F удовлетворяет уравнениям (2)—(4) и условиям сопряжения (5). Кроме того, компоненты Х[х) и Z (x) вектора F удовлетворяют условию.

Г ,.

Х (х) = 0 и Z (х) = О vrly.

VIх! У при X —^ 00.

Известно (см., например [20, 29, 32−35, 37]), что функции Х (х) и.

Z{x) связаны алгебраическим уравнением (первый интеграл), используя которое можно выразить функции Х (х) и Z{x) в квадратурах. Первый интеграл позволяет перейти от условий сопряжения к краевым условиям и, таким образом, от задачи сопряжения к краевой задаче.

Из вышесказанного видно, что явление распространения электромагнитных ТМ-волн сводится к нелинейной краевой задаче на собственные значения. Еще более усложняет задачу то обстоятельство, что спектральный параметр входит как в сами уравнения, так и в краевые уеловия нелинейным образом. Дисперсионное уравнение для собственных значений задачи получено в диссертации и имеет вид 1.

— | /с1г[ + {Ы +)Т = к, (6) з.

00 где / ^/(г|)=———-, N> О является целым числом, Т= | /с1г, ух + г| (т — 1) а переменные г| и х связаны с переменными X ж 2 следующими фор

8 2+а1×2 + г2) х мулами: х =-=— и г = ух—. у.

Формула (6) — дисперсионное уравнение, справедливое для любого к. Когда N * 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно у каждое из получающихся уравнений. Все полученные у будут составлять множество собственных значений задачи для данной толщины к слоя. На самом деле N будет принимать все Л.

Т.

Также сформулированы и доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений. Уравнение для собственных значений найдено как для случая изотропного нелинейного слоя, так и для случая анизотропного нелинейного слоя.

Случай, когда диэлектрическая проницаемость в слое постоянна 8 = 82, является классическим в электродинамике и хорошо изучен (см., например [47]). Дисперсионное уравнение для собственных значений в этом случае имеет следующий вид: целые значения от 0 до где [•] - целая часть числа. г Ч.

Г-(-2) 2 12 /2 * у 8³(82-у ]-е2>/У -¿-зф -?1.

Уже в случае линейной среды в слое уравнение для собственных значений является трансцендентным.

Данная работа содержит следующие основные результаты:

1. Впервые получено дисперсионное уравнение, позволяющее делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения. Доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений нелинейной краевой задачи.

2. Решение краевой задачи на собственные значения распространяющихся ТМ-волн в нелинейном слое было проведено методом сведения ее к эквивалентному дисперсионному уравнению. Доказана теорема эквивалентности решения краевой задачи на собственные значения и дисперсионного уравнения.

3. Найдена асимптотика первого порядка для собственных значений в зависимости от коэффициента нелинейности. Выполнены численные расчеты собственных значений, соответствующих им собственных функций краевой задачи и проведено сравнение с результатами расчетов по первому приближению.

Диссертация содержит три главы.

В главе 1 описывается постановка задачи для распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в нелинейном изотропном слое с нелинейностью типа Керра.

В первом пункте проведен формальный вывод системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение ТМ-волн из уравнений Максвелла.

Во втором пункте для полученной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений найден алгебраический первый интеграл и доказана формальная интегрируемость системы в квадратурах.

В третьем пункте из условий сопряжения и первого интеграла находятся все необходимые значения функций на границах раздела сред. Первый интеграл позволяет перейти от изучения задачи сопряжения к изучению краевой задачи.

Вторая глава посвящена формулировке и исследованию разрешимости краевой задачи на собственные значения. Показано, что краевую задачу можно свести к дисперсионному уравнению, и, таким образом, вопрос о разрешимости краевой задачи сводится к вопросу существования корней дисперсионного уравнения.

В первом пункте формулируется в операторном виде краевая задача на собственные значения.

Второй пункт посвящен выводу дисперсионного уравнения относительно спектрального параметрапоказано, что краевая задача сводится к дисперсионному уравнению. Также сказано о возможном применении теории алгебраических и абелевых функций для изучения собственных функций задачи и приведены многочисленные ссылки.

В третьем пункте доказывается возможность осуществления предельного перехода в дисперсионном уравнении к случаю линейной среды в слое. А также проводится этот переход и показано, что в результате получается классический случай, хорошо изученный в электродинамике [47].

Четвертый пункт посвящен выводу первого приближения для собственных значений как функции от коэффициента нелинейности.

В пятом пункте доказано, что вопрос о разрешимости краевой задачи на собственные значения сводится к вопросу о существовании решений у дисперсионного уравнения, а также приведены теоремы о существовании собственных значений.

Шестой пункт посвящен обобщению полученных результатов на случай нелинейного анизотропного слоя. Рассмотрена постановка задачи, найден первый интеграл, который также является алгебраическимпри помощи условий сопряжения и первого интеграла найдены значения функций на границах раздела сред. Все это позволяет выписать дисперсионное уравнение и для этой задачи, которая является менее изученной по сравнению с рассматриваемой.

Глава 3 посвящена численным результатам и обсуждению некоторых свойств дисперсионного уравнения. Проведено сравнение между решениями дисперсионного уравнения в случае линейной среды в слое, нелинейного дисперсионного уравнения, а также первого приближения для собственных значений. Результаты расчетов проиллюстрированы графиками соответствующих зависимостей. Также проведены расчеты поведения решений нелинейного дисперсионного уравнения при различных значениях параметров.

Первый пункт посвящен вычислению собственных значений в зависимости от толщины слоя, коэффициента нелинейности и начальных данных. Также проведено сравнение результатов расчетов собственных значений в случае нелинейной среды в слое по первому приближению и линейной среды в слое. Результаты представлены в графическом виде.

Второй пункт посвящен как расчету собственных значений, так и расчету собственных функций. Представлен случай, когда имеется три собственных значения, для каждого из них вычислены и построены собственные функции.

1. Khoo 1. С. Phys. Rev. — 1982. — A 25. — P. 1040.

2. Eleonskii, P. N. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor / P. N. Eleonskii, V. P. Silin // Soviet Physics JETP. — 1971. — M. 33. № 5. — P. 1039−1044.

3. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. 1972. — V. 35. -№ l.-P. 44−47.

4. Бломберген, H. Нелинейная оптика / H. Бломберген. М.: Мир, 1966.

5. Маныкин, Э. А. Взаимодействие излучения с веществом. Феноменология нелинейной оптики / Э. А. Маныкин. — М.: МИФИ, 1996.

6. Schurmann, Н. W. Optical response of a nonlinear absorbing dielectric film / H. W. Schurmann, R. Schmoldt // Optics Letters. 1996. — V. 21. -№- P. 387−389.

7. Ivleeva, S. N. Electromagnetic waves guided by a lossess nonlinear open structure / S.N. Ivleeva, Yu. G. Sminov // Proceedings of European Symposium on Numerical Methods in Electromagnetics, 6−8 March 2002. -Toulouse, France, 2002. P. 94−97.

8. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. — № 10. — С. 1850−1860.

9. Chen Qin. Exact dispersion relation for TM waves guided by thin dielectric films bounded by nonlinear media / Chen Qin, Zi Hua Wang // Optics letters. 1993.-V. 18.-№ 4.-P. 1−3.

10. Sammut, R. A. Gaussian and equivalent-step-index approximations for nonlinear waveguides / R. A. Sammut, C. Pask // Journal of the Optical Society of America B. 1991. — V. 8. — № 2. — P. 395−402.

11. Yijiang Chen. ТЕ family of self-guided beams in saturable nonlinear media / Yijiang Chen // Journal of Lightwave Technology. — 1991. — V. 9. — № 9. -P. 1208−1213.

12. Deepak Kumar. Introduction to modes and their designation in circular and elliptical fibers / Deepak Kumar, P. K. Choudliury // Am. J. Phys. 2007. -V. 75.-№ 6.-P. 546−551.

13. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D. 2001. — № 158 (2001). — P. 197−215.

14. Chiao R. Y., Garmire E., Townes C., Phys. Rev. Lett. 1964. — № 13. -P. 479.

15. Boardman A. D., Maradudin A. A., Stegeman G. I., Twardowski Т., Wright E. M. Phys. Rev. 1987. — A 35. — P. l 159.

16. Seaton С. T., Valera J. D., Shoemaker R. L., Stegeman G. I., Chilwel J. Т., Smith S. D. IEEE J. Quantum Electron 1985. — № 21. — P. 774.

17. Boardman A. D., Egan P. IEEE J. Quantum Electron 1985. — № 21. -P. 1701.

18. Agranovich V. M., Babichenko V. S., Chernyak V. Ya. Sov. Phys. JETP Lett. 1981. — № 32. — P. 512.

19. Seaton С. Т., Valera J. D., Svenson В., Stegeman G. I. Opt Lett. 1985. -№ 10.-P. 149.

20. Joseph, R. I. Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media / R. I. Joseph, D. N. Christodoulides // Optics Letters. 1987. — V. 12. -№ 10.-P. 826−828.

21. Валовик, Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМ-волн на нелинейном полубесконечном слое / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2007. — № 2. — С. 19−25.

22. Kaplan A. E. JETP Lett. 1976. — № 24. — P. 114.

23. Kaplan A. E. Sov. Phys. JETP. 1977. — № 45. — P. 896.

24. Miyagi M., Nishida S. Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. Ser. B. 1972. -№ 24.-P. 53.

25. Miyagi M., Nishida S. Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. Ser. B. 1973. -№ 25.-P. 53.

26. Tomlinson W. J. Opt. Lett. 1980. — № 5. — P. 323.

27. Langbein U., Lederer F., Peschel Т., H.-E. Ponath Opt. Lett. 1985. -№ 10.-P. 571.

28. Leung, К. M. p-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions / К. M. Leung // Physical Review B. -1985. V. 32. -№ 8. — P. 5093−5101.

29. Leung, К. M. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: Formal field solutions in quadratures / К. M. Leung, R. L. Lin // Physical Review B. 1991. — V. 44. — № 10. — P. 5007−5012.

30. Chen Y. J., Carter G. M. J. Phys. (Paris) Colloq. 1984. — № 45. -P. 5−261.

31. Agranovich V. M., Chernyak V. Ya. Solid State Commun. 1982. -№ 44.-P. 1309.

32. Валовик, Д. В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия вузов. Математика. 2008. -№ 10. — С. 70−74.

33. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризо-ванных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. 2008. — Т. 53. — № 8. -С. 934−940.

34. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2007. — № 4. — С. 51−59.

35. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. М.: Высшая школа, 1991.

36. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. -М.: Наука, 1970.

37. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1951. — Т. 1.

38. Бирман, М. Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк. JL: ЛГУ, 1980.

39. Ильинский, А. С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

40. Даутов, Р. 3. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Р. 3. Даутов, Е. М. Карчевский // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2000. Т. 40. — № 8. — С. 1250−1263.

41. Смирнов, Ю. Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений / Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. 1991. — Т. 27. — № 1. — С. 140−147.

42. Делицин, A. JI. Об одном подходе к вопросу о полноте нормальных волн волновода с магнитодиэлектрическим заполнением / A. JI. Делицин // Дифференциальные уравнения. 1999 (в печати).

43. Snyder, A. Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love. London: Chapman and Hall, 1983.

44. Еругин, H. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. Минск: Наука и техника, 1979.

45. Понтрягин, JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI. С. Понтрягин. М.: Наука, 1982.

46. Гохберг, И. Ц.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1965.

47. Маркушевич, А. И.

Введение

в классическую теорию абелевых функций / А. И. Маркушевич. М.: Наука, 1979.

48. Спрингер, Дж.

Введение

в теорию римановых поверхностей / Дж. Спрингер. М.: ИЛ, 1960.

49. Чеботарев, Н. Г. Теория алгебраических функций / Н. Г. Чеботарев. -М.: ГИТТЛ, 1953.

50. Голубев, В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В. В. Голубев. М.: ГИТТЛ, 1953.

51. Baker, Н. F. Abel’s theorem and the allied theory including the theory of the theta functions / H. F. Baker. Cambridge: At the university press, 1897.

52. Риман, Б. Сочинения / Б. Риман. М.: ГИТТЛ, 1948.

53. Эрмит, Ш. Курс анализа / Ш. Эрмит. М.: ОНТИ, 1936.

54. Гурса, Э. Курс математического анализа / Э. Гурса. М.: ГТТИ, 1933. -Т. 2. -Ч. 1: Теория аналитических функций.

55. Зигель, К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных / К. Зигель. М.: ИЛ, 1954.

56. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. -М.: Высшая школа, 1981. Т. 2.