О некоторых экстремальных и геометрических задачах теории отображений

Работа посвящена исследованию геометрических и экстремальных свойств классов однолистных аналитических функций одного комплексного переменного. В работе указаны те управляющие функции в уравнении Левнера, которым соответствуют экстремальные функции в теореме вращения, аналогичные задачи решены для граничных функций относительно простейших функционалов на классе однолистных голоморфных в круге функций, указана связь полиномов Бранжа с решениями уравнения Левнера с постоянным управлением, получена формула для производящей функции для полиномов Бранжа, выведена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для конформного отображения полосы (полуплоскости) на специальные области с симметрией переноса.

Актуальность темы

Краткие исторические сведения. Доказанная в 1907 г. П Кебе [1],[2] теорема о существовании круга, покрываемого образами единичного круга E = {z:z<) при отображении голоморфными в нем однолистными функциями f (z) = z+c2(f)z2 +. + cn (f)zn +. (их совокупность образует класс S), стимулировала рост интереса к экстремальным задачам геометрической теории функций. Л. Бибербах [3], основываясь на теореме площадей Гронуолла [4], доказал в 1916 г., что радиус круга, указанного Кебе, равен ¼. В более поздней работе Л. Бибербах [5] дает точную оценку модуля производной на классе S и неточную оценку аргумента производной. Точная оценка arg f'(z) на классе S была получена Г. М. Голузиным [6] и И. Е. Базилевичем [7],[8] и составила содержание теоремы вращения. Доказательство основывалось на методе, предложенном в 1923 г. К. Левнером [9] и, в частности, на выведенном им уравнении для семейства отображений на области специального вида. Создание вариационных методов.

М.А.Лаврентьевым [10],[11], М. Шиффером [12],[13], Г. М. Голузиным [14],[15], метода площадей Н. А. Лебедевым [16],[17], метода симметризации И. П. Митюком [18],[19], В. Н. Дубининым [20],[21], метода ортогональных многочленов в теории однолистных функций И. М. Милиным [22],[23], разработка этих методов и их применений многими авторами качественно изменило содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций (см. обзорную статью И. Е. Базилевича в книге «Математика в СССР за сорок лет» [24], статью Н. А. Лебедева, Г. В. Кузьминой, Ю. Е. Аленицына [25], статью И. А. Александрова, И. М. Милина [26]). Были доказаны теоремы об экстремальных функциях относительно функционалов и их систем общего вида. Оказалось, что во многих случаях экстремальные функции отображают каноническую область на плоскость с разрезами. Отсюда следовало, что их можно рассматривать как предел решений уравнения Левнера с соответствующей управляющей функцией. Важное место заняли предложенные П. П. Куфаревым [27],[28] и Н. А. Лебедевым [25] методы, объединяющие метод параметрических представлений Левнера и метод вариаций Голузина. Их развитию и приложениям посвящены работы П. П. Куфарева [29], И. А. Александрова [30],[31], В. В. Черникова [32],[33], М. И. Редькова [34], В. Я. Гутлянского [35], В. В. Горяйнова [36]. Ими были найдены мажорантные области значений для многих функционалов, причем в большом числе рассмотренных задач они оказались совпадающими с областями значений соответствующих функционалов. Вопрос о представлении в явном виде граничных функций был решен лишь для небольшого числа задач, поскольку он оказался, вообще говоря, очень сложным.

И.А.Александров, С. А. Копанев, В. И. Попов, в работах [37],[38] указали примеры эффективного использования метода параметрических представлений и теории оптимального управления.

Понтягина. Глубокое исследование в этом направлении проведено Д. В. Прохоровым [39].

Метод параметрических представлений Левнера, позволивший еще в 1923 г. доказать точную оценку |с3(/)|<3,/ [9], и тогда же дать точные оценки коэффициентов разложения по степеням и> функцией («, обратных функциям класса Я, был применен.

В.И.Поповым [40] к исследованию системы функционалов на классе ?. Были получены важные теоремы о строении границы в Л4 множества значений этой системы. В частности, указаны семейства прямолинейных отрезков, принадлежащих границе.

Замечательное применение метода Левнера было дано Луи де Бранжем [41],[42] при доказательстве справедливости гипотезы И. М. Милина [22] (стр.72), [43], о логарифмических коэффициентах и, как следствие, при получении неравенства |си (/)|<�л,/е?, й = 3,4,., составлявшего до работы Бранжа содержание гипотезы Бибербаха, высказанной в 1916 г. [3]. Отметим, что исследования, связанные с привлекательно простой формулировкой гипотезы, способствовали развитию методов геометрической теории функций и существенно обогатили ее. Проблемой коэффициентов занимались многие видные математики: Литтлвуд [44], Дьедонне [45], И. И. Привалов [46], К. И. Бабенко [47] и другие. Достаточно подробно история исследований освещена в работах Фитцжеральда и Поммеренке [48], О. М. Фоменко, Г. В. Кузьминой [49], И. А. Александрова, И. М. Милана.

В § 6 этой работы указывается связь экспотенциальных полиномов Бранжа с решением уравнения Левнера. В первой главе и начале второй главы излагается способ нахождения экстремальных управлений в уравнении Левнера применительно к простейшим.

26]. функционалам. В частности, устанавливается управляющие функции в теореме вращения на классе S.

Большое место в практике конформных отображений занимают отображения многоугольников, определяемые с помощью формулы Кристоффеля-Шварца [50],[51], относящейся к классическим результатам теории функций комплексного переменного. Многочисленные примеры использования этой формулы даны в [52]. В данной работе получено полное решение задачи о виде функции, дающей конформное отображение полосы (полуплоскости) на области с симметрией переноса, дополняющее формулу Кристоффеля-Шварца.

Цель работы. Найти управляющие функции в уравнении Левнера, соответствующие экстремальным или граничным функциям относительно функционалов на классе S, зависящих от значения функции и производной, в частности, для аргумента производной. Установить и использовать связь между полиномами Бранжа и решениями уравнения Левнера. Найти производящую функцию для полиномов Бранжа. Дать их представление через специальные функции. Дать вывод формулы для конформного отображения полосы на области с симметрией переноса и с границей, составленной из прямолинейных отрезков.

Перейдем к краткому содержанию работы. Основной целью главы 1 является нахождение управляющих функций ju (г), | ju (t) |= 1, в уравнении Левнера ат ju (T)-g для которых функция.

0) = lim e*g (T, z).

Т-УО экстремальна в задаче о шах arg f (z0), z0 gE{ 0} и фиксировано, то есть в теореме вращения на классе S. В исследовании используются известные и новые факты в том их соединении, которое далает изложение более полным, цельным и удобным для проверки.

В § 1 отмечаются некоторые свойства множества 1)(ги) значений функционала.

7(/, г0) = = г0еЕ{0}, о / ($") на классе где интегрирование выполняется по любой кусочно-гладкой кривой, начиняющейся в нуле и оканчивающейся в точке г0. Множество И (г0)еК ограничено, замкнуто, связно, не зависит от ащг0, симметрично относительно нуля. Поэтому для нахождения £>О0) достаточно найти (г) = тах/(/, г), г е (ОД) и фиксированно. е5.

Пусть функция /(г) доставляет максимум функционалу 1(/, г) на классе ?. Предположение о том, что область /(?') имеет внешнюю точку, пусть м>0, легко приводится к противоречию посредством использования вариационной формулы в ?

Мг) = № + еА /1(2), /00 где, а > 0 и, А — произвольная постоянная. Используя вариационную формулу Голузина.

А) =/(*) + «>(*, + А), где д) = АН2(д) /У] + АК{х, д) + АК (г, I),.

А — произвольное комплексное число, д — произвольно фиксированная точка в Е, $") 2 д-г 2 и o (z, h) — величина более высокого порядка малости, чем h, на любом замкнутом множестве из Е, получаем для экстремальной функции fig) уравнение.

2fig)-fir) g2f2jg) Q"is) (/(g)-f (f))2 f2(g) ig-r)g-1-f г в котором Qnig) — полином не более чем четвертой степени.

Из аналитической теории дифференциальных уравнений известно, что решение / ($•) можно продолжить на границу единичного круга и что на ней fig) кусочно-аналитична. Объединяя этот результат с фактом отсутствия внешних точек у f (E) заключаем, что f (E) — область, полученная из плоскости проведением из бесконечности кусочно-аналитических разрезов. Учитывая, что первая часть уравнения имеет не более четырех нулей устанавливаем, что разрезы имеют не более двух концевых точек, лежащих в конечной части плоскости. Поэтому fig) принадлежит классу S’со где fiz, z, ju) = e~Tz +. — решение уравнения Левнера с начальным условием /(0,z, ju) = z.

В начале § 2 дается представление /(/" как функционала на множестве указанных выше функций //(г), точнее функций, полученных из них заменой переменных. Пусть р (т) = р (т, г, /л) =1 /(г, Z, fi) I, р (т)у (т) = fir, r, fi)fi®. Заменив т на р согласно формуле йт ¦

11 — ру I2 Ф.

1 ~Рг Р и используя уравнение Левнера получаем = - 21т} М о V.

У~ Р У + - к.

1-Р2.

Здесь у (р, г) — некоторая комплекснозначная кусочно-непрерывная функция от р, 0< р <г, с модулем, равным единице. Пусть у = — = 1-Г 1 + р

Тогда где.

2? 25/ 1 — г.

1+*2 52+/2' 1 + г'.

Это интегральное представление /(/" приводит к оценке агд/'(г),/-е'£, установленной Голузиным и Базилевичем.

Затем восстанавливается функция //(г) при 0 < г < и проводится интегрирование уравнения Левнера с этой управляющей функцией.

Теорема 1. Экстремальной управляющей функцией в задаче о тах/(/",/ еб", г е (ОД/л/2), является функция ц (г) — //(г, г) = а~2(г)(г+ Ы-г2е~гт^, где а (г) ~г + .

Ей в классе Я соответствует функция г-п1 г 1 -а (г)г, г, г) =— = -, сЬ .

1 -ф)х)2 {(1-а (г)2у.

Рассматриваются геометрические свойства реализуемых функциями семейства Р0(г, г) при изменении г от нуля до 1/л/2 .

В § 3 восстанавливается функции //(г) при < г < 1 и л/2 проводится интегрирование уравнения Левнера с этими управляющими функциями.

Теорема 2. Экстремальными управляющими функциями в задаче о тах/(/",/ е Я, г е (ОД/л/2), являются функции.

Г 0 < г < г°, 1−2 где а2(г)(ге Г +Ы-г2е 2 т 1 <�г<�ос,.

Х/>) = + 42р2- .1 ± л/2.

2/> р) = 1п (1 + л/2/>2 -1) ± — агссоБ.

2 рг — (р{р) — (р{г), а (г) = г + /VI — г2, р (г°, г) = 1/л/2. Этим функциям в классе Б соответствуют функции где д12 (т0, г)—решение уравнения (относительно д0) 1 г V л12 У г-г.

1-гг в котором (п бо = ехЫ-/ +.

I I.

Отметим, что наряду с двумя указанными функциями д (р) в качестве функций, приводящих к экстремальным управлениям, можно взять функцию, равную одной из д (р) на системе попарно непересекающихся интервалов, и другой — на дополнении этой системы.

В главе 2 даны применения метода параметрических представлений в исследованию некоторых экстремальных задач.

Нахождение тех р (т), которым соответствуют в Я' функции, вносящие граничные точки в множества В, (г), 02(г) значений соответственно функционалов о /Оо) посвящен § 4. Можно считать г0 = г е (ОД). Методом параметрических представлений доказана ранее установленная Грунским [53].

Теорема 3. Множество Д (г) значений функционала /, (/, г) на классе 8 принадлежит замыканию круга Кх (г), имеющего центр в точке 1п —— и радиус 1п. 1 -г~ 1 -г.

Для доказательства совпадения ?>, (г) с кругом К} (г) достаточно указать либо функции в вносящие граничные точки в Кг (г), либо управляющие функции //(г), которым соответствуют граничные функции. Вторая из этих возможностей реализована в данной работе указанием формулы т) = м (т, г) = -ехри Л Л / 1 + Г 1+р 8Ш у/ 1П—1П V.

1 -г 1 -р где у/ - постоянная, у/&[0,2л), и монотонная функция р = р (т) определяется уравнением т = (р{г)-(р (р), где р{р) = 1п—+ ^ + Р. 1 -р2 1 -р

В аналогичной задаче для /2(/, г),/е59 экстремальной управляющей функцией является ч, ч. 2sinw 2uny/ (1 — /?)sinщ т) = //(г, г) = ехр^-——-Г + Г^-~ - arctg ^ l-2pcosx?/ + p l-2rcos^ + r (1 -р)cosy/ - 2р где у/ - постоянная, у/ е [0,2л) и.

1 + wcosy/- yJl + 2wcosi/f-w2 sin2 у/.

Р = P (j) = w = w.

2 e~Tr l-2rcos^ + r2.

Таким образом, множеством D2® значений функционала I2(J, r) на классе S является замкнутый крут с центром в нуле и радиусом In-.

— г.

Для точек из Dl®, D2®, лежащих на вещественной оси, нетрудно указать функции из S, вносящие эти точки. В общем случае нахождение граничных функций рассматриваемым методом связано с решением довольно сложных дифференциальных уравнений.

В § 5 приводятся ранее известные результаты относительно функционала Милина.

Мп (/) = - f О — к21 ук (/) |2 п Е N {1}, п к=1 к на классе S функций.

00 = r + 2>t C/V;

4=2 через ук СО обозначены логарифмические коэффициенты разложения iin ^ = ±гЛ/У. 2 z.

JI.де Бранж доказал, что min Мп (/) достигается на функции Кебе feS.

К (z) =——-, 0<<�р<2тг, v (1 -el (pzf и, опираясь на неравенство Милина cn{f).

М. «~, к завершил доказательство неравенства сп (/)<�п,/ е предположение о справедливости которого было сделано Л.Бибербахом.

Важную роль в доказательстве Бранжа играет система обыкновенных дифференциальных линейных уравнений первого порядка (в ней п=2,3, .пфиксированно) п~т-1.

Система имеет постоянные вещественные коэффиценты и, следовательно, ее решение существует на всей действительной оси и единственно в условиях задачи Коши.

Решение системы, удовлетворяющее условиям хт>п (0) = п-т, обозначим через.

Для Хт «(т) имеем формулу ю^Енг-1 д=т Ц У д + п л п- 1-я показывающую, что Хтп (г) — полином относительно е~г. Функции.

Хт, п{т), 1тп (г) = -Хп (г) т называются экспоненциальными многочленами Бранжа.

В § 6 устанавливается и изучается связь полиномов Бранжа и решений уравнения Левнера с управляющей функцией? и (т) = -1. Интегрирование уравнения и разложение решения д (т, г), д (0,г) = г, дает и.

Е (-1 г1 1.

2^ + 1.

V 13 Уч + п — Л г = е^г + 2е-т (-е'т)г2 + е~Г (1 — е~т)(3 — 5е~т)г3 +. Фиксируем т&И. Разложение дт (т, г) по степеням г имеет вид.

СО и=ст+1.

Теорема 5. Полином Бранжа Хтп (г) (п = 2,3,.-/" =, 2,., п-) представляется в виде п-1 т.

Теорема 6. Функция.

ТЯМ.

— дт (г, 2) (пг = 1,2,.) является производящей для полиномов Хтп (х): со и=т+1.

Теорема 7. Функция п=т+1 является производящей для полиномов 2тп (т).

Теорема 8. Имеет место следующее представление: п-тк=О где (х) — полиномы Якоби.

Отметим два свойства производящей функции Тт (т, г).

Г =-Т +т т л т+ *" * т т +1 т т+? т~1с т + кт-к Г X т, п к + п п-к-1.

— кг У где*=1,2,., п-1-п=2,3,.

Глава 3 целиком посвящена выводу формулы для конформного отображения полосы (полуплоскости) на некоторые области с симметрией переноса. Исследования примыкают к классическому результату Кристоффеля и Шварца об общем виде функции, отображающей полуплоскость на многоугольник.

Пусть DgCодносвязная область, совпадающая с собой при переносе вдоль вещественной оси на отрезок Т, о< Т < +">. Будем считать, что граница frD области D, понимаемая как совокупность простых концов по Каратеодори, состоит из отрезков, лучей и прямых и удовлетворяет следующему условию: если w0 е frD, w0^оо, то дуга O0, w0+r] границы, начинающаяся в точке w0 и оканчивающаяся в точке w0 +Т, состоит из конечного числа отрезков и лучей. Двигаясь по границе Каратеодори области D в положительном направлении, будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки границы через w°wf}* wf0) +Т (л = 1,2,.), а углы области D соответственно ахп, а2я,., апп. Если wfeC, то 0<2- если же wf} =оо, то as -0. Легко видеть, что ах +а2 +.+ап = п.

Возможны два случая: множество к=- со или совпадает с границей области D, или не совпадает с ней. В первом случае говорим, что D есть область типа полуплоскости, во второмтипа полосы.

В § 7 рассмотрен случай полосы. Фиксируем на frDL0 конечную точку о)0. Пусть оо к= Uk+*2>o+(* + lFl к — <с.

— множество, которое в объединении с Ьо образует границу области D. Обозначим через w=f (z) функцию, однолистно и конформно отображающую полосу Q-{z :0.

2 п / ч m. .

00 = /* (z0)]g (S) ]>" 1 k — ^0))]> fe — k+/(zo), гЛ S~1 5=1 0 где Zg — фиксированная точка в замыкании Q, из которого удалены точки as (0) +ki, bf] +kt (к е Z), G (z) — целая функция, не обращающаяся в нуль, cr (z) — сигма-функция Вейерштрасса.

В § 8 приводится для полноты изложения формула [75] для функции f (zj, отображающей полуплоскость на область типа полуплоскости. В указанных выше обозначениях имеем f (z) = f (z0)]G (g)Y z0 S=1 sin j (g — af}) sin ~ (z0 — af^) dg + f{z o).

Случаи полосы и полуплоскости качественно различны. В первом из них в записи отображения присутствуют дважды периодические функции, а во втором — функции с одним периодом.

1. Koebe Р. Uber die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven //Nachr. Gess.Wiss.Gott., Math-Phys.Kl. 1907. P. 191 -210.

2. Koebe P. Uber die Uniformisierung der algebraischen, II //Math.Ann.1910,69. P. l-81.

3. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln //S.B.Preuss.Acad.Wiss.1916.138. P.940−955.

4. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformai representation //Ann.of Math. 1914;1915.v. 16. P.72−76.

5. Bieberbach L. Aufstellung und Beweis der Drehungssatzes fur schlichte konforme Abbildungen //Math.Z.1919.v.4. P.295−305.

6. Голузин Г. M. О теоремах искажения в теории конформных отображений //Матем.сб.1936.т.1(43). С.127−135.

7. Базилевич И. Е. Sur les theoremes de Koebe-Biebrbach //Матем.сб.1936.т.1(43). С.283−292.

8. Базилевич И. Е. Дополнение к работе «Sur les theoremes de Koebe-Biebrbach» //Матем.сб.1937.т.2(44). C.689−698.

9. Schiffer M. A method of variation with in the family of simple functions //Proc.London Math.Soc.l938.44(ser 2). P.432−449.

10. Schiffer M. Variation of the Greenfunction and theory of the p-valued functions //Amer.Journ.Math. 1943.65. P.341−360.

11. Голузин Г. М. Метод вариаций в конформном отображении //Матем.сб.1946.т.19. С.203−236.

12. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. //М.:Наука, 1966.

13. Лебедев H.A. Приложение принципа площадей к задачи о неналегающих областях //Тр.Ин-та матем. АН СССР им. B.А.Стеклова. 1961 .т.60. С. 211 -231.

14. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций.//М. :Наука, 1975.

15. Митюк И. П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения//Известия ВУЗов. Математика. 1964.№ 2. С.110−119.

16. Митюк И. П. Принцип симметризации для кольца и некоторые его применения //Сиб.матем.журн.1965.№ 6. С. 1282−1291.

17. Дубинин В. Н. Метод симметризации и трансфинитный диаметр //Сиб.матем.журн.1986.т.27.№ 2. С.39−46.

18. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного //Успехи матем.наук.1994.т.49.в.1(295).C.3−76.

19. Милин И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы//М. :Наука. 1971.

20. Милин И. М. О коэффициентах однолистных функций У/ДАН СССР.1967.т.176.№ 5. С. 1015−1018.

21. Математика в СССР за сорок лет //М.:Физматгиз. 1959.Т. 1.

22. Лебедев H.A., Кузьмина Г. В., Аленицын Ю. Е. Методы и результаты геометрической теории функций. В книге Г. М. Голузина «Геометрическая теория функций комплексного переменного» //М.:Наука. 1966. С.532−626.

23. Александров И. А., Милин И. М. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций //Известия ВУЗов. Математика. 1989.№ 8(327). С.3−15.

24. Куфарев П. П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем.сб.1943.13. С.87−118.

25. Куфарев П. П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г. М. Голузина //Труды 3-го Всесоюзного матем.съезда. М.:1956.т.1. С.85−86.

26. Куфарев П. П. О вариационной формуле Г. М. Голузина //Вопросы математики и механики: Тр.Томск.ун-та.1963.т.163. С.58−62.

27. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций //М.:Наука.1976.

28. Александров И. А. Граничные значения функционала J = •/(/,/,/',/') на классе голоморфных однолистных в круге функций //Сиб.матем.журн.1963.т.4.№ 1. С.17−31.

29. Черников В. В. Об экстремальных свойствах однолистных функций с вещественными коэффицентами //Тр.Томск.ун-та.1963.т.169. С.69−95.

30. Черников В. В. Обобщенный метод вариаций в теории однолистных функций //Депонент в ВИНИТИ № 5804.В.89. 12.09.89.

31. Редьков М. И. Область значений функционала / = в классе W («0I) Н Труды Томск. ун-та. 1963 .т. 169. С.59−68.

32. Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций//ДАН СССР.1970.Т.194. С.750−753.

33. Горяйнов В. В. Полутруппы конформных отображений //Матем.сб.1986.т.129. С.451−472.

34. Александров И. А., Попов В. И. Оптимальные управления и однолистные функции //Aim.Univ.Mariae Curie-Sklodowska. 19 681 970. Ser.A. v.22−24. Р. 13−20.

35. Александров И. А., Завозин Г. Г., Копанев С. А. Оптимальные управления в задачах о коэффицентах однолистных функций //Дифференциальные уравнения. 1976.т.12.№ 4. С.3−19.

36. Прохоров Д. В. Методы оптимизации в экстремальных задачах для однолистных функций //Докторская диссертация. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1990.

37. Гриншпан А. З. Логарифмические коэффиценты функций класса S //Сиб.матем.журн.1972.т.13.№ 5. С.1146−1157.

38. Littlewood J.E. On inequalities in the theory of functions //Proc.London Math. Soc. 1925.v.23. P.482−519.

39. Dieudonne J. Sur les functions univalentes //C.R.Acad.Sci.Paris.1931. P.1148−1150.

40. Привалов И. И. О функциях, дающих однолистное комфорное отображение //Матем.сб.1924.т.32. С.350−365.

41. Бабенко К. И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S //Труды МИАН CCCP.1972.T.CI.

42. Fitzgerald С.Н., Pommerenke Ch. The de Branges theorem on univalent functions //Trans.Amer.Math.Soc. 1985.v.290.№ 2. P.683−690.

43. Fomenko O.M., Kuzmina G.Y. The last 100 days of the Bieberbach conjecture //Math.Intell.l986.v.8.№l. P40−47.

44. Christoffel E.B. Ann.math.pura ed appl. Ser.2.1868.t.l. P.89−103. 51. Schwarz H.A. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bdl-2,В., 1890.

45. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений //М.:ИЛ.1963 С. 406.

46. Grunsky H. Neue Abschatzungen zur konformen Abbildung ein und mehrfach zusammenhangender Bereiche //Math.Sem.Univ.Berlin. 1932.1. P.93−140.

47. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного //М.:Наука.1967.

48. Александров И. А., Соболев В. В. Аналитические функции комплексного переменного //М.:Высшая школа. 1984.

49. Александров И. А., Копанев С. А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций //Укр.матам.ж. 1970.22. С.647−651.

50. Grad A. Coefficient regions of schlicht functions //Amer.Math.Soc., Colloqium Publ. 1950.35.New York.

51. Дитенкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения //М.:ИЛ.1962.

52. Александров И. А., Александров А. И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения //Доклады РАН.2000.т.371.№ 1.

53. Александров И. А., Александров А. И. Об экстремальных функцияъ в проблеме вращения для однолистных отображений //Вестник Томского университета.Томск.Изд-во Томск. ун-та.2000.т.269.

54. AlexandraV A.I. Alexandrov I.A. On Theorems of rotation. International Conference on Analysis and Geometry devoted to the 70th anniversary of Yurii Grigir’evich Reshetnyak. August 30 September 03. 1999, Novosibirsk, Russia. P.5.

55. Александров А. И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера //Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов». М.:Из-во МГУ.2000.вып.4. С. 317.

56. Александров И. А., Александров А. И. О граничных функциях для простейших функционалов //Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд.Томск.ун-та.Томск.1998.с.З-9.

57. Александров И. А., Александров А. И., Касаткина Т. В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа //Актуальные проблемы современной математики. Сб.научн.трудов. т.З. Новосибирск. Изд-воНИИМИООНГУ. 1997. С.13−18.

58. Grunsky Н. Jahresber.deutsh.Math.Vereinig. 1934.43. Р.140−142.

59. Милин И. М. О коэффициентах однолистных функций //ДАН СССР. 1967.т. 176.№ 5. С.1015−1018.

60. Садритдинова Г. Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения //Доклады РАН.1999.т.368.№ 4. С.462−463.

61. СегёГ. Ортогональные многочлены//М.:Физматгиз. 1962.

62. Askey R., Gasper G. Positive Jacobi polynomial sums. II //Amer.J.Math. 1976.v.98.№ 3. P709−737.

63. Кантарович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа //М. :Гостехиздат. 1949.

64. Куфарев П. П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца //ДАН СССР.1947.57. С.535−537.

65. Александров А. И. Конформные отображения полосы на области с симметрией переноса //Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск.2000.с.5−10.

66. Александров И. А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса //Известия ВУЗов. Математика. 1999.№б (445). С. 15−18.

67. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций //М,-Л. :Гостехиздат. 1950.

68. Волковыский Л. И. Лунц Г. Л. Арманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного //М.Физматгиз.1961.

69. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений //Т.З М,-Л. :Гостехиздат. 1951.

70. Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений //М.-Л. :Гостехиздат. 1951.79.