Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена доказательству разрешимости краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами, созданию алгоритмов их численного решения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.

Актуальность проблемы. Стационарная фильтрация жидкости в пористых средах, описывается решениями квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений.

В гидродинамике задачами со свободными границами принято назвать задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения.

Нелинейный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости (закон Дарси) был предложен С. А. Христиановичем (1940), который при этом установил полную аналогию полученной модели нелинейным уравнениям дозвуковой газовой динамики. Модель С. А. Христиановича получила широкое применение для описания движения нефти в пористом пласте. Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые были доказаны В. Н. Монаховым (1961) методами теории квазиконформных отображений.

М.А. Лаврентьевым [12] впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М. А. Лаврентьеву или Ь-эллиптических).

Р (г, го, «-2, т?) = 0, г = х + гу, го = (р + (1) сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение и>(г) такого уравнения является локально-гомеоморфным в области изменения независимой переменной. Для ¿—эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей [13], а впоследствии в работах М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [15, 36] установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства.

I^z/^zl < Qo = constc 1 (оценки констант эллиптичности q0, не зависящие от искомого решения, получены позднее В. Н. Монаховым в [19]).

В работах В. Н. Монахова [19, 20] эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности, установлена его эквивалентность определению М. А. Лаврентьева. Нетрудно видеть, что из положительной определенности соответствующей (1) квадратичной формы следует выполнение неравенств.

FU2 — Fu2 > а, |FC|2 — |Р^|2 > с* > 0, обеспечивающих локальную разрешимость (1) относительно? и и. В. Н. Монахов установил, что эти неравентсва гарантируют и глобальную разрешимость (1) относительно С и аи при этом им был обобщен аналог теоремы Римана на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах Б. Боярского и Т. Иванеца [1, 2], а в работе H.A. Кучера [3] исследована разрешимость краевой задачи Гильберта для L-эллиптических уравнений.

Задачи линейной фильтрации в идеальных пористых средах при некоторых дополнительных предположениях о течении изучались в работах Полубариповой-Кочиной (1952).

В случае нелинейной фильтрации в идеальной пористой среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены Монаховым (1964). Для неидеалыюй пористой среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены В. Н. Монаховым (19G5) при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж, т. е. на горизонтальный промежуток высачивания).

Впервые проблема определения параметров конформного отображения многоугольников без ссылки на теорему Римана была поставлена и решена А. Вайнштейном [7]. Созданная им для решения этой проблемы конструктивная схема, названна методом непрерывности. В совместной работе с А. Вайнштейном [5] Ж. Jlepe придал этому методу абстрактную форму, реализованную в дальнейшем в виде теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке нелинейных вполне непрерывных отображений банахова пространства в себя.

Метод непрерывности был применен А. Вайнштейном, а затем в совместной работе А. Лере, А. Вайнштейна [5] для доказательства разрешимости струйных задач гидродинамики в точной нелинейной постановке. Другим методом М. А. Лаврентьев [10] вместе с теоремой существования доказал и теорему единственности в этих задачах.

Непосредственное развитие метода непрерывности получено в работах В. Н. Монахова (библиография этих работ имеется в [21]), который па его основе доказал разрешимость широкого класса задач гидродинамики со свободными поверхностями практически без ограничения на геометрию заданной части границы области течения.

Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами.

Численно реализованы алгоритмы решения задач фильтрации в классе аналитических функций.

Методы исследования. Основным методом является представление решения в виде композиции отображний квазиконформного и конформного. При этом для конформного отображения получается задача об определении параметров аналогичная соответствующей проблеме при построении конформного отображения многоугольников. Для построения квазиконформного отображения, удовлетворяющего квазилинейным или нелинейным эллиптическим системам уравнений, доказываются равномерные шаудеровские оценки, на основе которых доказывается резрешимость исходных задач.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при численном решении задач гидродинамики.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: «Математические проблемы в механике сплошных сред» (г. Новосибирск 1999, 2000), «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск 2002), «Математические методы в механике природных сред и экологии» (г. Барнаул 2002) .

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» под руководством академика Монахова В. Н., чл-корр. РАН Плотникова П. И. (2000), Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева A.B. (200G).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

Основные результаты диссертации:

• доказана разрешимость задачи фильтрации для аналитических функций с граничными условиями из Са;

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения;

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения в области с криволинейной границей;

• исследованы некоторые свойства структуры выпуклой оболочки оператора, задаваемого системой сжимающих подобий;

• установлена разрешимость задачи фильтрации для нелинейных эллиптических уравнений;

• численно решена задача о нахождении параметров формулы Кристофеля-Шварца;

• численно решены задачи фильтрации жидкости со свободными границами;

• численно реализован квазиконформный гомеоморфизм.

Заключение

.