Связь между подгрупповым и нормальным строением конечных групп

Исследование нормального строения конечных групп в зависимости от свойств их подгрупп всегда было и остается центральным направлением в теории групп. Подгруппы с некоторыми теоретико-групповыми свойствами являются одним из основных звеньев в цепи познания произвольных конечных групп. Существование в группах определенных подгрупп обуславливает в сущности большинство характерных свойств заданного множества групп.

По этому поводу С. Н. Черников в [i] пишет следующее: «Выделяя с помощью некоторого условия ту или иную систему подгрупп произвольной группы (базисную систему подгрупп) и подчиняя их тому или иному требованию (определяющему ограничению), можно получать самые разнообразные классы групп.

Сужая или расширяя выделенную определяющую систему подгрупп, ослабляя или усиливая взятое оцределяющее ограничение, можно получать те или иные расширения или сужения изучаемого класса групп" .

По предложению С. Н. Черникова, строение группы, связанное со свойствами ее подгрупп, в частности, со взаимоотношениями между элементами некоторого множества подгрупп группы будем называть «подгрупповым строением группы». К подгрупповому строению группы относятся, например, перестановочность подгрупп и вид их пересечений.

Согласно Виландту строение групп, зависящее от свойств ее нормальных рядов, а также связанное с рассмотрением нормальных подгрупп и фактор-групп, называется «нормальным строением группы». К нормальному строению группы относятся, например, свойства разрешимости и сверхразрешимости.

В работе [2] С. А. Чунихин определил более широкий класс групп, чем разрешимые — JZ «разрешимые группы. Оказалось, что в 1Сразрешимых группах (С.А.Чунихин [з]) и в разрешимых группах (Ф.Холл [32]) справедливы теоремы типа Силова, т. е. существуют холлов.

ТГ I ские % и 'ТГ-подгруппы, любые две из них сопряжены и каждая И или %-подгруппа содержится соответственно в некоторой холловкой 71 или 7Г-под группе. Эти теоремы С. А. Чунихина и Ф. Холла положили начало многим замечательным результатам теории конечных групп. Так, например, В. Фейт и Дж. Томпсон в [зз] при доказательстве разрешимости групп нечетного порядка не только используют известные результаты о рразрешимых группах, но и находят новые пути их изучения и приложения.

К настоящему времени ^" -разрешимые и разрешимые группы, ввиду результатов Ф. Холла, С. А. Чунихина, Б. Хупперта и других математиков довольно хорошо изучены. Поэтому, доказав 71 -разрешимость или разрешимость конечной группы, исходя из свойств ее определенных подгрупп, мы получаем обширную информацию о подгрупповом строении данной группы.

Таким образом, в исследовании взаимосвязи подгруппового и нормального строения конечных групп возникают две задачи: первая-по подгрупповому строению группы определять ее нормальное строение и вторая — исходя из нормального строения группы, устанавливать ее подгрупповое строение.

Настоящая диссертация посвящена исследованию в различных аспектах выше указанных задач.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, а также списка цитированной литературы, содержащего 60 названий. В первой главе приводятся обозначения, определения и дается перечень теорем других авторов, используемых в работе.

1. Черников С. Н., Исследование групп с заданными свойствами под-групп. Укр.мат.журн., 1969, т.21, № 2, с.193−200.

2. Чунихин С. А., 0^{-свойствах} конечных групп. Матем.сб., 1949, т.25 (67), № 3, с.321−346.

3. Чунихин С. А., 0 силовских свойствах конечных групп. Докл. АНСССР, 1950, т.73, № I, с.29−32.

4. Шмидт О. Ю., Группы, все подгруппы которых специальные.Матем.сб., 1924, т.31, с.366−372.

5. Чунихина И. К., Чунихин С. А., 0^{Г-разложимых} группах. Мат.сб., 1944, т.15, с.325−342.

6. Белоногов В. А., Конечные группы с единственным классом ненильпотентных максимальных подгрупп.- Сиб.мат.журн., 1964, т.5, № 5, с.987−995.

7. Беркович Я. Г., 0 разрешимых группах конечного порядка.Матем.сб., 1967, т.74 (116), № I, с.75−92.

8. Романовский А. В., 0 конечных группах с ТС-разложимыми подгруппами. Докл. АН СССР, 1963, т.152, № 4, с.831−833.

9. Романовский А. В. Произведение^{-разложимых} подгрупп конечныхгрупп. Докл. АН БССР, 1969, т.13, № 2, с.103−106.

10. Белоногов В. А., Конечные группы с единственным классом неинвариантных максимальных подгрупп. Изв. АН БССР, сер.физ.-матем.н., 1969, № 3, с.114−117.

11. Анищенко А. Г., Монахов B.C., Центральные пересечения и р-длина р-разрешимых групп. Докл. АН БССР, 1977, т.21, № II, с.968−971.

12. Анищенко А. Г., Об оценке 7Г-длины^{-разрешимых} групп. Вкн.: Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981, с.13−16.

13. Мазуров В. Д., Конечные простые группы с циклическими пересечениями силовских 2-подгрупп. Алгебра и логика, 1971, т.10, № 2, с.188−198.

14. Ведерников В. А., 0 конечных группах с данными" бипримарными подгруппами. В кн.: Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1975, с.24−29.

15. Черток В. Д., Недостижимые подгруппы и нормальное строениеконечных групп. Докл. АН СССР, 1967, т.173, № 2, с.282−285.

16. Чунихин С. А., Шеметков Л. А. Конечные группы. В кн.: Алгебра.Топология. Геометрия. 1969 (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР). М., 1971, с.7−70.

17. Чунихин С. А., Подгруппы конечных групп. Минск: Наука итехника, 1964. 158 с.

18. Романовский А. В., Группы с холловскими нормальными делителями. В кн.: Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1966, с.98−115.

19. Чунихин С.А.} Об одном общем способе получения подгрупп у конечных групп. Изв. вузов, математика, I960, т.14, № I, с. 227.-233.

20. Сергиенко В. И., 0 факторизации конечных групп. Докл. АН БССР, 1970, т.14, № 5, с.400−401.

21. Ведерников В. А., 0 максимальных подгруппах конечных разрешимыхгрупп. В кн.: У1 Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тез.докл. Киев: Наукова думка, 1978, с .14.

22. Монахов B.C., Произведение сверхразрешимой и циклической илипримарной групп. В кн.: Конечные группы. Минск:Наука и техника, 1978, с.50−63.

23. Монахов B.C., Произведение бипримарной и 2-разложимой групп.Матем.заметки, 1978, т.23, № 5, с.641−648.

24. Брюханова Е. Г. Связь между 2-длиной и производной длиной сило вской 2-подгруппы конечной разрешимой группы.-Матем.заметки, 1981, т.29, № 2, с.161−170.

25. Кострикин А. И., Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. — 496 с.

26. Супруненко Д. А., Группы матриц. М.: Наука, 1972. — 351 с.

27. Путилов С. В., Конечные группы с нильпотентными эпиморфнымиобразами. В кн.: Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981, е. 6668.

28. Путилов С. В., 0 разрешимости конечных групп. Докл. АН БССР, 1982, т.26, № 5, с.393−396.

29. Путилов С. В., Абнормальные максимальные подгруппы и нормальное строение конечных групп. В кн.: УШ Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тез.докл. Киев: Институт математики, 1982, с.105−106.

30. Путилов С. В., Классы максимальных подгрупп и разрешимость вконечных группах. Препринт — 28 (153) Института математики АН БССР, Минск, 1982, — 21 с.

31. Холл Ф., Хигмзн Г., рДлина р-разрешимых групп и редукционные теоремы для проблемы Бернсайда. Математика, 1969, т.13, № 2, с.64−104.

32. Hall P., A note on Soluble groups. Proc. LondonMath.Soc., 1928, 3, p. 98−105.

33. Peit W. and Thompson J.G., Solvability of groups of odd order. Pacif.J.Math., 1963, v.13, H3, p. 755−1029.

34. Tchounikhin S.A., tlber Gruppen mit vorgegebenen Untergruppen.-Мат.сб., 1938, тЛ (46), № 3, с.521−530.

35. Ore О,, Contributions to the theory of groups offinite order. Duke Math.J., 1939, 5, p. 431−460.

36. Huppert B., Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen. Math.Zeitschr., 1954, Bd.60, N4, s. 409−434.

37. Baumami B., Endliche nichtauflosbare Gruppen mit einernilpotenten maximalen Untergruppen. J. Algebra, 1976, v.38, p. 119−135.

38. Ito N., On the faktorisations of the linear fractionalgroup LF (2,p). Acta sci. math., 1953, v.15, p. 79−84.

39. Wilandt H., Ober Produkte von nilpotenten Gruppen. Illinois J.Math., 1958, Bd.2, s. 611−618.

40. Gaechutz W., tlber die фUntergruppe endlicher Gruppen.Math. Zeitschr, 1953, Bd. 58, s. 160−170.

41. Baer R., Classes of finite groups and their properties. Illinois J. Math., 1957, v.1, p. 115 187.

42. Walter J., The characterization of finite groups withabelian Sylow 2-subgroups. Ann.Math., 1969, v.89, p. 405−514.

43. Thompson J.G., Nonsolvable finite groups all of whose localSubgroups are solvable. Bull.Amer.Math.Soc., 1968, v.74, Ю, p. 383−437.

44. Suzuki M., On a class of doubly transitive groups.I.II.Ann.Math., 1962, 75, p. 105−145- 1964, 79, P. 514−589.

45. Gorenstein D., Finite groups. Hew York: Harper and Row, 1968. 527 p.

46. Кабанов В. В., Кондратьев А. С, Силовские 2-подгруппы конечных групп (обзор), Свердловск, Институт математики и механики УНЦ АН СССР, 1979. 144с.

47. Goldschmidt D.M., 2-Fusion in finite groups. Ann. ofMath., 1974, 99, JT1, p. 70−117.

48. Поляков JI.Я., О влиянии свойств максимальных подгрупп наразрешимость конечной группы. В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1966, с.89−97.

49. Csorgo Р., On the theory of Probenius-groups. Ann.Univ. Sci. Budapest. Sec. math., 1978, 21, p. 123 127.

50. Adnan S., On Frobenius groups. Periodica MathematicaHungarica., 1981, v.12, И2, p. 99 101.

51. Путилов С. В., Одлинеразрешимых конечныхгрупп. Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1983, № 3, с. 9−12.

52. Путилов С. В., Абнормальные максимальные подгруппы и разрешимость конечных групп. Матем. заметки, 1983, т. 34, № 3, с. 347−353.