Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… модСлирования ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° слоТных систСм

Π”ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Апробация Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ€Π°Ρ… Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-мСханичСском Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-' ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ государствСнного унивСрситСта, Π² Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠΌ экономико-матСматичСском институтС РАН, Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ института ΠΈΠΌ. Π’. А. Π‘Ρ‚Π΅ΠΊΠ»ΠΎΠ²Π° РАН, Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ управлСния ΠΈΠΌ. Π’. А. Π’Ρ€Π°ΠΏΠ΅Π·Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° РАН, Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚Π΅… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • Π“Π»Π°Π²Π° 1. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
    • 1. 1. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅
      • 1. 1. 1. Бвойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ
      • 1. 1. 2. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка
      • 1. 1. 3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ†
      • 1. 1. 4. ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ°
      • 1. 1. 5. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ тоТдСство
    • 1. 2. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ
      • 1. 2. 1. Бвойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ
      • 1. 2. 2. ЛинСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
      • 1. 2. 3. ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ°
    • 1. 3. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
      • 1. 3. 1. Бвойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ
      • 1. 3. 2. Норма ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
      • 1. 3. 3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
      • 1. 3. 4. Π‘Π»Π΅Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
      • 1. 3. 5. Π“Ρ€Π°Ρ„ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
      • 1. 3. 6. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
      • 1. 3. 7. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
      • 1. 3. 8. ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ°
    • 1. 4. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  • Π“Π»Π°Π²Π° 2. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния 1-Π³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π°
    • 2. 1. РасстояниС ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°
      • 2. 1. 1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ
      • 2. 1. 2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
    • 2. 2. ЛинСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    • 2. 3. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²
      • 2. 3. 1. БущСствованиС ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
      • 2. 3. 2. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния
      • 2. 3. 3. РСшСниС смСшанной систСмы
      • 2. 3. 4. РСшСниС уравнСния Ах Ρ„ (1=Πͺ

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… модСлирования ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° слоТных систСм (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹

Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° прСдставляСт собой ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ с ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ† с ΠΏΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎ-Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ слоТСниСм. Π—Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ дСсятилСтия идСмпотСнтная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ быстро Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ тСорСтичСской дисциплины ΠΈ ΡΡ„Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ инструмСнта Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅, ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях постоянно растСт.

Одной ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ увСличСния интСрСса ΠΊ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ со ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… спСциалистов являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ классичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„Π°Ρ…, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° динамичСского программирования, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅) сводятся Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ собствСнных чисСл ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ вычислСниям. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ извСстныС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ послС ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° Π½Π° ΡΠ·Ρ‹ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса-ЗСйдСля ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… динамичСских систСм, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, систСмы ΠΈ ΡΠ΅Ρ‚ΠΈ с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ огш сана ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ…’Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ возмоТности для исслСдования Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… систСм Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ подходящим ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ² матСматичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² классичСской Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… динамичСских систСм. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, прСдставлСниС Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ позволяСт Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ряд Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ смыслС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅. МоТно ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Одной ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ являСтся Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π‘. К. Клини [96], опубликованная Π² 1956 Π³. Π‘сылки Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„иях [81,128].

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… H.H. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π²Π° [7−9], Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ A.A. ΠšΠΎΡ€Π±ΡƒΡ‚Π° [16,17] Π±Ρ‹Π»Π° построСна алгСбраичСская тСория ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… полумодулях Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ соотвСтствСнно ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ пространствами ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ). Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, Π±Ρ‹Π»Π° сформулирована ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° Ах = Π¬, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… полумодулях, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ рассмотрСн ряд ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² практичСских ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ основного ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° исслСдования Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ числовоС ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для всякого Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта сущСствуСт ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ.

Π’ ΡΡ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя И. Π’. Романовским Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… изучСния асимптотичСских свойств Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ динамичСского программирования Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ извСстного Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π² Π±Π°Π½Π°Ρ…ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС [61−63] (см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ [50]).

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ шаг Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ связан с ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΉ P.A. ΠšΡƒΠ½ΠΈΠ½Π³Ρ…Π°ΠΉΠΌΠ°-Π“Ρ€ΠΈΠ½Π° [81], Π‘.А. Kappe [74] ΠΈ Π£. Π¦ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ€ΠΌΠ°Π½Π½Π° [128]. Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ вопросов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [81], ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ исслСдований H.H. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π²Π°. Однако прСдставлСнныС Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСсколько ΠΈΠ½ΠΎΠΉ алгСбраичСской Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ, которая, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, позволяСт Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ эти Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Наряду с ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полуполями ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°.

Π’ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ [74] устанавливаСтся тСсная связь ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ с Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°ΠΌΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ². Π’ [128] тСория ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ прСдставлСны Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚СкстС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… упорядочСнных алгСбраичСских структурах. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ±ΡˆΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΡ… ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ тСорСтичСскиС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ичСскиС прилоТСния.

Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ это ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°Ρ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, возглавляСмой Π°ΠΊΠ°Π΄. Π’. П. ΠœΠ°ΡΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ, Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… изучСния ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅ [11,51−54,65,66]. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π’. П. Маслова, Π’.Н. Ко-Π»ΠΎΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠ²Π°, Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ²Π°, А. Н. БоболСвского, Π“. Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·Π° ΠΈ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π³ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ основы ΠΈ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π±Π°Π·Ρƒ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ направлСния — ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, которая ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.

Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ аспСкты Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ исслСдовали Π€. Π‘Π°Ρ‡Π΅Π»Π»ΠΈ, Π―. Π“. ΠžΠ»ΡΠ΄Π΅Ρ€, Π”. Π‘. Π“ΠΎΠ»Π°Π½, Π‘. Π₯Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ€Π³ΠΎΡ‚Ρ‚ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ [68,77,78,92,93], каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… содСрТит ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹, относящСйся ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ вопросов.

К Ρ‡ΠΈΡΠ»Ρƒ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ сочСтаСтся с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, относятся Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π’. Π”. ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Π΅Π½ΠΊΠΎ [55−57,123−125], Π‘. Π›. Π‘Π»ΡŽΠΌΠΈΠ½Π° [3,4,71], Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π° [14,20−50,83−85,90,97−119].

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [55−57,123−125] Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ ряд Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ исслСдования структуры ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ экономичСской Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ. Π’ [124,125] рассматриваСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для полумодуля Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ. ΠŸΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ [3,4,71] посвящСны ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ взаимосвязСй ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°. ΠžΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ прилоТСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… искусствСнного ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚Π° ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ имССтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нСбольшая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, которая посвящСна Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ стохастичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (см., Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, [44,67,68,76,86−88,92,94,111,112]). Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ связаны с ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ эргодичСских свойств ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… стохастичСских динамичСских систСм ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ исслСдованиС асимптотичСского повСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний систСмы. Одной ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° являСтся вычислСниС срСднСй асимптотичСской скорости роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Ляпунова систСмы.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ вмСсто ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ (ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ элСмСнт ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ умноТСния). Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ свойства Ρƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ умноТСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΎΠ±ΠΎΠ³Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈ Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ этого свойства, прСдставляСт Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ интСрСс ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ дальнСйшСго изучСния.

Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ рассматриваСмого Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ модСлирования ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° стохастичСских динамичСских систСм, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, систСм ΠΈ ΡΠ΅Ρ‚Π΅ΠΉ с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ исслСдованиС, связанноС с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΉ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ для случая ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ слоТных систСм, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ стохастичСскиС динамичСскиС систСмы, прСдставляСтся вСсьма Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

ЦСль Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ЦСлью Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ являСтся Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ модСлирования ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° слоТных систСм, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ систСм с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ исслСдования. Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°— Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… динамичСских систСм, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ², Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСской статистики, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ модСлирования ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ-ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ программирования.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Π°Ρ Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ·Π½Π°. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, прСдставлСнныС Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ соискатСлСм ΠΈ ΡΠΎΡΡ‚оят Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ.

1. Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΌΠ΅Ρ‚ричСском пространствС ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅ΠΏΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° опрСдСлитСля ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ условия сущСствования ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚вСнности Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, построСны ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

2. Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° характСристичСского ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ свойства ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнства Kappe для стСпСнСй ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

3. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ сходимости для ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ.

4. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° сущСствования для показатСля Ляпунова Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ стохастичСской систСмы, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° показатСля Ляпунова для систСмы с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вычислСния показатСля Ляпунова Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ разлоТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ систСмы.

5. Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вычислСния показатСля Ляпунова для систСм с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка с ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ распрСдСлСниСм элСмСнтов, для ряда частных случаСв ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² распрСдСлСний.

6. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ для показатСля Ляпунова для случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° систСмы являСтся рСгулярной ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΎΠΉ.

7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ алгСбраичСскиС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ систСм с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ с ΡΠΈΠ½Ρ…Ρ€ΠΎΠ½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ двиТСния Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ модСлирования ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ„Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… систСм.

8. Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ вычислСния ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ срСднСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π° обслуТивания систСм с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ с ΡΠΈΠ½Ρ…Ρ€ΠΎΠ½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ срСднСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π±Π΅Π·ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… систСмах.

9. Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ комплСкс ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Ρ‹Ρ… срСдств Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.

Π”ΠΎΡΡ‚ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² подтвСрТдаСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

ВСорСтичСская Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ичСская Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΈΡ… ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ дальнСйшСС Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ аналитичСского Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎ-Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ построСниС эффСктивных Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€.

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ составили основу ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ модСлирования систСм ΠΊΠ°Ρ„Π΅Π΄Ρ€Ρ‹ статистичСского модСлирования ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-мСханичСского Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π° Π‘ΠŸΠ±Π“Π£.

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ комплСкса ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Ρ‹Ρ… срСдств.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΡ… ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° слоТных систСм Π² Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅, экономикС, ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ оказываСтся Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. 1.

Апробация Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ€Π°Ρ… Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-мСханичСском Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-' ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ государствСнного унивСрситСта, Π² Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠΌ экономико-матСматичСском институтС РАН, Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ института ΠΈΠΌ. Π’. А. Π‘Ρ‚Π΅ΠΊΠ»ΠΎΠ²Π° РАН, Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ управлСния ΠΈΠΌ. Π’. А. Π’Ρ€Π°ΠΏΠ΅Π·Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° РАН, Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚Π΅ ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠΌ. Π’. М. Π“Π»ΡƒΡˆΠΊΠΎΠ²Π° ΠΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊ Π£ΠΊΡ€Π°ΠΈΠ½Ρ‹, Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ экономичСских исслСдований унивСрситСта Π’ΠΈΠ»Π±ΡƒΡ€Π³Π° (НидСрланды), Π½Π° ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ автоматичСского управлСния унивСрситСта Π›ΠΈΠ½Ρ‡ΠΎΠΏΠΈΠ½Π³Π° (ШвСция), Π€Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊ ΠΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта Π‘ΠΈΠ½Π³Π°ΠΏΡƒΡ€Π° (Π‘ΠΈΠ½Π³Π°ΠΏΡƒΡ€), Π² Π¨ΠΊΠΎΠ»Π΅ бизнСса ΠΈΠΌ. Π“. Π . Π“Π΅Ρ€Π±Π΅Ρ€Π³Π΅Ρ€Π° унивСрситСта Π‘Π΅Π½Ρ‚-ΠšΠ»Π°ΡƒΠ΄Π° (БША), Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта Π‘Π΅Ρ€Π»ΠΈΠ½Π° (ГСрмания).

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ прСдставлСны ΠΏΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… конфСрСнциях: 3rd.

International Workshop on Model-Oriented Data Analysis (Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³, 1992), St. Petersburg Workshop on Simulation (Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³, 1994;2009), NATO Advanced Study Institute «Current Issues and Challenges in the Reliability and Maintenance of Complex Systems» (Анталия, Вурция, 1995), International Workshop on Discrete Event Systems (Π­Π΄ΠΈΠ½Π±ΡƒΡ€Π³, ВСликобритания, 1996), International Conference on Random Dynamical Systems (Π‘Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½, ГСрмания, 1997), 10th INFORMS Applied Probability Conference (Ульм, ГСрмания, 1999), XII ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ конфСрСнция «ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ тСорСтичСской ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (НиТний Новгород, 1999), 2nd International Workshop «New Models of Business: Managerial Aspects and Enabling Technology» ' (Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³, 2002), ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ конгрСсс «ΠΠ΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ динамичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·» (Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³, 2007), 6th International Conference on Mathematical Modelling (Π’Π΅Π½Π°, Австрия, 2009), ВсСроссийская конфСрСнция ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (Новосибирск, 2009).

Бвязь Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ИсслСдования ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΈΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ РЀЀИ β„–№ 00−01−760, 04−01−840, 06−01−763, 09−01−808.

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ матСматичСскоС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… взаимосвязанных процСссов ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌ нСстационарными модСлями, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Π΄ дистрибутивными Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΊΠ°ΠΌΠΈ» (гос. per. № 0120.804 162) согласно тСматичСскому ΠΏΠ»Π°Π½Ρƒ НИР НИИММ Π‘ΠŸΠ±Π“Π£ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡŽ Рособразования.

ΠŸΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ исслСдований ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [14,20−50,83−85,90,97−119], Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ [20,25,27,29,32,33,35,36, 38,46,48,49], ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ…, входящих Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒ Π’ΠΠš Π½Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ [83, 98, 99,105] Π² ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ…, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΡƒ цитирования Web of Science (Science Citation Index Expanded), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡŽ [45].

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [47−49] соискатСлСм осущСствлСна постановка Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, построСниС ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ систСмы, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ срСднСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π±Π΅Π·ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ систСмы. Π‘ΠΎΠ°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ построСны Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Ρ‹Π΅ срСдства ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ числСнныС расчСты. Π’ [83, 84] соискатСлСм Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ построСниС ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· слоТности Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ модСлирования систСм, Π° ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ — постановка Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π’ [14,85] соискатСлСм построСны ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ систСм с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ соавторам.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [90,117] соискатСлСм Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° бизнСс-процСссов, Π° ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ постановка Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚СрпрСтация Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ области. Π’ f ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ [50] соискатСлСм ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ нСравСнства для собствСнного числа, Π½ΠΎΡ€ΠΌΡ‹" ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄Π° стСпСни ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΡΡ…одимости ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅-" Π½Ρ‹ ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

Π’ [118,119] ΡΠΎΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΡΡ€Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π° обслуТивания Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ„Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… систСмах с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ, Π° ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρƒ — аналитичСский ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², связанных с ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΎΠΉ срСдних Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ максимумов сумм нСзависимых случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

Π‘Ρ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ДиссСртация состоит ΠΈΠ· Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, дСсяти Π³Π»Π°Π², списка Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ОбъСм диссСртации составляСт 300 страниц, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ 10 ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈ 4 Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹.

Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

содСрТит 128 Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.

1. Π‘Π°Ρ‡Π΅Π»Π»ΠΈ Π€., Маковски А. М. ИспользованиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ массового обслуТивания для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° систСм с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ½Ρ…Ρ€ΠΎΠ½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ // Π’Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ ИИЭР. 1989. Π’. 77, № 1. Π‘. 99−128.

2. Π‘Π΅Π»Π»ΠΌΠ°Π½ Π .

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. М.: Наука, 1976. 352 с.

3. Π‘Π»ΡŽΠΌΠΈΠ½ Π‘. Π›. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ искусствСнного ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚Π°: Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π”ΠΆ. Ρ„ΠΎΠ½ НСйману Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ «Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ» Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°Ρ… // БистСмы управлСния ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. 2003. Π’. 1−2(12). Π‘. 90−94.

4. Π‘Π»ΡŽΠΌΠΈΠ½ Π‘. Π›. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ искусствСнного ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚Π°: Π±ΡƒΠ»Π΅Π²Π° «Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ» Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° // БистСмы управлСния ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. 2005. Π’. 3(20). Π‘. 4−10.

5. Π‘ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠ² A.A. ВСория вСроятностСй. М.: Наука, 1986. 432 с.

6. Π’ΠΎΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π’. Π’. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… процСссах. М.: Наука, 1986. 296 с.

7. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π² H.H. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† // Π”ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹ АН Π‘Π‘Π‘Π . 1963. Π’. 152, № 1. Π‘. 24−27.

8. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π² H.H. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd. 3, N 1. S. 39−72.

9. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π² H.H. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1970. Bd. 6, N 4/5. S. 303−312.

10. Π“Π°Π½Ρ‚ΠΌΠ°Ρ…Π΅Ρ€ Π€. Π . ВСория ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. M.: Наука, 1988. 552 с.

11. Π”ΡƒΠ΄Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² П. И., Бамборский Π‘. Н. Π­Π½Π΄ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ с ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ // Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ АН Π‘Π‘Π‘Π . Π‘Π΅Ρ€. ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ. 1991. Π’. 55. № 1. Π‘. 93−109.

12. Π•Ρ€ΠΌΠ°ΠΊΠΎΠ² Π‘. М. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠœΠΎΠ½Ρ‚Π΅-ΠšΠ°Ρ€Π»ΠΎ ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ вопросы. М.: Наука, 1975. 472 с.

13. Π•Ρ€ΠΌΠ°ΠΊΠΎΠ² Π‘. М., ΠœΠΈΡ…Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² Π“. А. БтатистичСскоС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. М.: Наука, 1982. 296 с.

14. Калашников Π’. Π’., Π Π°Ρ‡Π΅Π² Π‘. Π’. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ построСния стохастичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ обслуТивания. М.: Наука, 1988. 312 с.

15. ΠšΠΎΡ€Π±ΡƒΡ‚ A.A. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ пространства // Π”ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹ АН Π‘Π‘Π‘Π . 1965. Π’. 164, № 6. Π‘. 1229−1231.

16. ΠšΠΎΡ€Π±ΡƒΡ‚ A.A. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ пространства ΠΈ ΠΈΡ… ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π° // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1972. Bd. 8, N 8/9. S. 525−536.

17. ΠšΠΎΡ„ΠΌΠ°Π½ А., ΠšΡ€ΡŽΠΎΠ½ Π . МассовоС обслуТиваниС. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. М.: ΠœΠΈΡ€, 1965. 302 с.

18. Коэн Π“., ΠœΠΎΠ»Π»Π΅Ρ€ П., ΠšΠ°Π΄Ρ€Π° Π–.-П., Π’ΡŒΠΎ М. АлгСбраичСскиС срСдства оцСнивания характСристик дискрСтно-событийных систСм // Π’Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ ИИЭР. 1989. Π’. 77, № 1. Π‘. 30−53.

19. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Об ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТных систСм ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ // ВСстн. Π›Π΅Π½ΠΈΠ½Π³Ρ€. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1. 1990. Π’Ρ‹ΠΏ. 2 (№ 8) Π‘. 100— 102.

20. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ динамичСских систСм с Π΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ событиями Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ модСлирования // АвторСф. дисс.. ΠΊΠ°Π½Π΄. Ρ„ΠΈΠ·.-ΠΌΠ°Ρ‚. Π½Π°ΡƒΠΊ. Π›.: Π›Π΅Π½ΠΈΠ½Π³Ρ€. гос. ΡƒΠ½-Ρ‚, 1990. 17 с.

21. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. АлгСбраичСскиС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ сСтСй с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй / Под Ρ€Π΅Π΄. Н. К. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½Π°, Π’. Π’. Π’Ρ€ΠΎΡ„ΠΈΠΌΠΎΠ²Π°. БПб.: Изд-Π²ΠΎ Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°, 2001. Π‘. 25−38.

22. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ врСмя Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π° обслуТивания Π² Π°Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… сСтях с ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ // ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ дискрСтных систСм: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй / Под. Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: НИИΠ₯ Π‘ΠŸΠ±Π“Π£, 2001. Π‘. 97−109.

23. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ВычислСниС срСднСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π° Π² ΡΠ΅Ρ‚ях с ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2002. Π’Ρ‹ΠΏ. 3 (№ 17). Π‘. 27−35.

24. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ константы Ляпунова для ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… стохастичСских систСм // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°, Π’Ρ‹ΠΏ. 2. БПб.: Изд-Π²ΠΎ НИИΠ₯ Π‘ΠŸΠ±Π“Π£, 2002. Π‘. 150−163.

25. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ скорости роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ динамичСской систСмы со ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2003. Π’Ρ‹ΠΏ. 3 (№ 17). Π‘. 47−55.

26. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. НСравСнства ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ сходимости для стСпСнСй ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Ρ‹ΠΏ. 4. Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π’Π’Πœ, 2004. Π‘. 64−72.

27. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° сходимости для стСпСнСй ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ собствСнного числа Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2004. Π’Ρ‹ΠΏ. 2. Π‘. 49−55.

28. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Ρ‹ΠΏ. 4. Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π’Π’Πœ, 2004. Π‘. 139−145.

29. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй. Π’Ρ‹ΠΏ. 5 / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π’Π’Πœ, 2004. Π‘. 105 113.

30. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ динамичСской систСмы со ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2005. Π’Ρ‹ΠΏ. 1. Π‘. 33−38.

31. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Об ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ΅ срСднСй скорости роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ динамичСской стохастичСской систСмы Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2005. Π’Ρ‹ΠΏ. 2. Π‘. 45−54.

32. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй. Π’Ρ‹ΠΏ. 6 / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π’Π’Πœ, 2005. Π‘. 186−212.

33. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2006. Π’Ρ‹ΠΏ. 1. Π‘. 23−36.

34. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. БобствСнныС значСния ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚-Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ВСсти. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2006. Π’Ρ‹ΠΏ. 2. Π‘. 29−40.

35. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ-ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй. Π’Ρ‹ΠΏ. 7 / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π’Π’Πœ, 2006. Π‘. 80−88.

36. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ стохастичСской систСмы с ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ // Π—Π°ΠΏ. Π½Π°ΡƒΡ‡. сСминаров ПОМИ. 2007. Π’. 341. Π‘. 134−141. (ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΠΎ ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ 30 Π½ΠΎΡΠ±Ρ€Ρ 2006Π³-).

37. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ВычислСниС скорости роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ стохастичСской систСмы // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2007. Π’Ρ‹ΠΏ. 3. Π‘. 91−99.

38. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй. Π’Ρ‹ΠΏ. 8 / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π—ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ΅ сСчСниС, 2007. Π‘. 158−183.

39. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ скорости роста Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояний ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ стохастичСской систСмы Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2008. Π’Ρ‹ΠΏ. 1. Π‘. 38−48.

40. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ВычислСниС показатСля Ляпунова Π² ΡΡ‚охастичСских динамичСских модСлях систСм с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ // БтохастичСская оптимизация Π² ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π’Ρ‹ΠΏ. 4 / Под Ρ€Π΅Π΄. О. Н. Π“Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. БПб.: Изд-Π²ΠΎ Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°, 2008. Π‘. 90−120.

41. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ радиус ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ВСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π‘Π±. Π½Π°ΡƒΡ‡. статСй. Π’Ρ‹ΠΏ. 9 / Под Ρ€Π΅Π΄. М. К. Π§ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠ²Π°. БПб.: Π’Π’Πœ, 2008. Π‘. 73−82.

42. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ВычислСниС показатСля Ляпунова ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ распрСдСлСниСм элСмСнтов ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2009. Π’Ρ‹ΠΏ. 2. Π‘. 37−46.

43. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… модСлирования ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° слоТных систСм. БПб.: Изд-Π²ΠΎ Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°, 2009. 256 с.

44. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К. О Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ класса Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 10. 2009. Π’Ρ‹ΠΏ. 3. Π‘. 6477.

45. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К., МилоС Π”. Π‘. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ срСднСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π±Π΅Π·ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ класса сСтСй с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ // ВСсти. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2001. Π’Ρ‹ΠΏ. 1 (№ 1). Π‘. 23−30.

46. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К., МилоС Π”. Π‘. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° срСднСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ для сСтСй с ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡΠΌΠΈ со ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ // ВСстн. Π‘.-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°. Π‘Π΅Ρ€. 1, 2001. Π’Ρ‹ΠΏ. 3 (№ 17). Π‘. 27−31.

47. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΡƒΠ»ΠΈΠ½ Н. К., Романовский И. Π’. О ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ стСпСнСй ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ // ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. № 34 / Под Ρ€Π΅Π΄. H.H. Π£Ρ€Π°Π»ΡŒΡ†Π΅Π²ΠΎΠΉ. 2006. Π‘. 69−77.

48. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ² Π . Π›., Маслов Π’. П., БоболСвский А. Н. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· // Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. 2001. Π’. 6, № 6. Π‘. 47−70.

49. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ² Π“. Π›., Маслов Π’. П., Π¨ΠΏΠΈΠ· Π“. Π‘. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΈΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… пространствах. АлгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ // Π”ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹ РАН. 1998. Π’. 363, № 3. Π‘. 298−300.

50. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ² Π“. Π›., Маслов Π’. П., Π¨ΠΏΠΈΠ· Π“. Π‘. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. АлгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ // ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ. 2001. Π’. 69, № 5. Π‘. 758−797.

51. Маслов Π’. П., ΠšΠΎΠ»ΠΎΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠ² Π’. Н. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. М.: Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°Ρ‚Π»ΠΈΡ‚, 1994. 144 с.

52. ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Π΅Π½ΠΊΠΎ Π’. Π”. ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ схСмы динамичСского программирования ΠΈ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† // ДискрСтная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. 1990. Π’. 2. Π’Ρ‹ΠΏ. 1. Π‘. 59−71.

53. ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Π΅Π½ΠΊΠΎ Π’. Π”. Π‘Ρ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ Π² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΡ… экономичСской Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ // АвторСф. дисс.. Π΄ΠΎΠΊΡ‚. Ρ„ΠΈΠ·.-ΠΌΠ°Ρ‚. Π½Π°ΡƒΠΊ. БПб.: Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΈΠΉ экономико-матСматичСский институт РАН, 2004. 38 с.

54. ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Π΅Π½ΠΊΠΎ Π’. Π”. Π‘Ρ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ экономичСской Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ // Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ состояниями Π² ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅ / Π‘Π±. статСй. Π•ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ½Π±ΡƒΡ€Π³: Изд-Π²ΠΎ Π£Ρ€Π°Π», ΡƒΠ½-Ρ‚Π°, 2007. Π‘. 99−110.

55. ΠœΠΈΡ…Π», ΠΈΠ½ Π‘. Π“. Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ уравнСниям. М.: Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°Ρ‚Π»ΠΈΡ‚, 1959. 232 с.

56. ΠžΡ€Ρ‚Π΅Π³Π° Π”ΠΆ.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм. М.: ΠœΠΈΡ€, 1991. 367 с.

57. ΠŸΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ И. Π“. Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. М.: Изд-Π²ΠΎ Моск. ΡƒΠ½-Ρ‚Π°, 1984. 136 с.

58. Романовский И. Π’. ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ стационарного управлСния дискрСтным Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ процСссом // ΠšΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. 1967. № 2. Π‘. 66−78.

59. Романовский И. Π’. АсимптотичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискрСтного Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса с Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌ мноТСством состояний // ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ² Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π‘О АН Π‘Π‘Π‘Π . 1967. № 8. Π‘. 171−193.

60. Романовский И. Π’. Π”Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ процСссы динамичСского программирования с Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ограничСниями // ΠšΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. 1971. № 5. Π‘. 69−71.

61. Π‘Π°Π°Ρ‚ΠΈ Π’. Н. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ массового обслуТивания ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. М.: БовСтскоС Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΎ, 1971. 520 с.

62. Π¨ΠΏΠΈΠ· Π“. Π‘. РСшСниС алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… полуполях // УспСхи матСматичСских Π½Π°ΡƒΠΊ. 2000. Π’. 55. Π’Ρ‹ΠΏ. 5(335). Π‘. 185−186.

63. Π¨ΠΏΠΈΠ· Π“. Π‘. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… пространствах // Π”ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹ РАН. 2000. Π’. 374, № 1. Π‘. 26−28.

64. Baccelli F., Canales М. Parallel simulation of stochastic Petri nets using recurrence equations // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 1993. Vol. 3, N 1. P. 20−41.

65. Baccelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity: An algebra for discrete event systems. Chichester: Wiley, 1992. 514 p.

66. Blyurnin S.L., Golan J.S. One-sided complements and solutions of the equation aXb = с in semirings // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2002. Vol. 29, N 8. P. 453−458.

67. Braker J.G., Olsder G.J. The power algorithm in Max algebra // Linear Algebra and Its Applications. 1993. Vol. 182. P. 67−89.

68. Carre B.A. An algebra for network routing problems // IMA Journal of Applied Mathematics. 1971. Vol. 7, N 3. P. 273−294.

69. Carre B. Graphs and networks. Oxford: Oxford University Press, 1979. 277 p.

70. Chen L., Chen C.-L. A fast simulation approach for tandem queueing systems // Proc. 1990 Winter Simulation Conf., New Orleans, LA, Dec. 9−12. Piscataway: IEEE, 1990. P. 539−546.

71. Cohen J.E. Subadditivity, generalized products of random matrices and operations research // SIAM Review. 1988. Vol. 30, N 1. P. 69−86.

72. Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer, 1999. 396 p.

73. Golan J.S. Power algebras over semirings with applications in mathematics and computer science. Dordrecht: Kluwer, 1999. 216 p. (Mathematics and Its Applications, Vol. 488).

74. Greenberg A.G., Lubachevsky B.D., Mitrani I. Algorithms for unboundedly parallel simulation // ACM Transactions on Computer Systems. 1991. Vol. 9, N 3. P. 201−221.

75. Gumbel E.J. The maxima of the mean largest value and of the range // The Annals of Mathematical Statistics. 1954. Vol. 25. P. 76−84.

76. Cuninghame-Green R.A. Minimax algebra. Berlin: Springer-Verlag, 1979. 258 p. (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 166).

77. Cuninghame-Green R.A. Minimax algebra and applications // Fuzzy Sets and Systems. 1991. Vol. 41. P. 251−267.

78. Ermakov S.M., Krivulin N.K. Efficient algorithms for tandem queueing system simulation // Applied Mathematics Letters. 1994. Vol. 7, N 6. P. 4549.

79. Ermakov S.M., Melas V.B., Krivulin N.K. Efficient methods of queueing systems simulation // Modelling and Simulation 1991: Proc. 1991 Europ. Simulation Multiconf., Copenhagen, Denmark, June 17−19, 1991 / Ed. by E. Mosekilde. P. 8−20.

80. Glasserman P., Yao D.D. Stochastic vector difference equations with stationary coefficients // Journal of Applied Probability. 1995.Vol. 32. P. 851 866.

81. Glasserman P., Yao D.D. Subadditivity and stability of a class of discrete-event systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995.Vol. 40, N 9. P. 1514−1527.

82. Gondran M., Minoux M. Linear algebra in dioids: A survey of recent results // Annals of Discrete Mathematics. 1984. Vol. 19. P. 147−164.

83. Hartley H.O., David H.A. Universal bounds for mean range and extreme observation // The Annals of Mathematical Statistics. 1954. Vol. 25. P. 8599.

84. Heidergott B. Max-Plus linear stochastic systems and perturbation analysis. New York: Springer-Verlag, 2007. 320 p. (The International Series on Discrete Event Dynamic Systems, Vol. 15).

85. Heidergott B., Olsder G.J., van der Woude J. Max-Plus at work: Modeling and analysis of synchronized systems. Princeton: Princeton University Press, 2006. 226 p.

86. Jean-Marie A. Analytical computation of Lyapunov exponents in stochastic event graphs // Performance Evaluation of Parallel and Distributed Systems. Solution Methods: Proc. 3rd QMIPS Workshop. Amsterdam: CWI, 1994. P. 309−341. (CWI Tracts, Vol. 106).

87. Kingman J.F.C. Subadditive ergodic theory // The Annals of Probability. 1973. Vol. 1. P. 883−909.

88. Kleene S.C. Representation of events in nerve nets and finite automata // Automata Studies / Ed. by C.E. Shannon and J. McCarthy. Princeton: Princeton University Press, 1956. P. 3−42. (Annals of Mathematics Studies, N 34).

89. Krivulin N.K. Unbiased estimates for gradients of stochastic network performance measures // Acta Applicandae Mathematicae. 1993. Vol. 33. P. 21−43.

90. Krivulin N.K. A recursive equations based representation for the G/G/m queue // Applied Mathematics Letters. 1994. Vol. 7, N 3. P. 73−78.

91. Krivulin N.K. Using max-algebra linear models in the representation of queueing systems // Proc. 5th SIAM Conf. on Applied Linear Algebra, Snowbird, UT, June 15−18, 1994 / Ed. by J.G. Lewis. Philadelphia: SIAM, 1994. P. 155−160.

92. Krivulin N.K. Recursive equations based models of queueing systems // Proc. 1994 SCS Europ. Simulation Symp., Istanbul, Turkey, Oct. 9−12, 1994 / Ed. by A.R. Kaylan, A. Lehmann, T.I. Oren. San Diego: SCSI, 1994. P. 252 256.

93. Krivulin N.K. Unbiased gradient estimation in queueing networks with parameter-dependent routing // Proc. Intern. Conf. on Control and Information 1995 / Ed. by Wong Wing-Shing. Hong Kong: The Chinese University Press, 1995. P. 351−356.

94. Krivulin N.K. Algebraic models in simulation of tandem queueing systems // Proc. 1995 Summer Computer Simulation Conf. / Ed. by T.I. Oren, L.G. Birta. San Diego: SCS, 1995. P. 9−14.

95. Krivulin N.K. A max-algebra approach to modeling and simulation of tandem queueing systems // Mathematical and Computer Modelling. 1995. Vol. 22, N 3. P. 25−37.

96. Krivulin N.K. An algebraic approach in modelling and simulation of queueing networks // Circuits, Systems and Computers'96: Proc. Intern. Conf., July 15−17, 1996, Piraeus, Greece. Hellenic Naval Academy, 1996. Vol. 2. P. 668−672.

97. Krivulin N.K. Max-plus algebra models of queueing networks // Proc. Intern. Workshop on Discrete Event Systems (WODES96), University of Edinburgh, UK, Aug. 19−21, 1996. London: IEE, 1996. P. 76−81.

98. Krivulin N.K. The max-plus algebra approach in modelling of queueing networks // Proc. 1996 SCS Summer Computer Simulation Conf., July 2125, 1996, Portland, OR / Ed. by V.W. Ingalls, J. Cynamon, A. Saylor. San Diego: SCS, 1996. P. 485−490.

99. Krivulin N.K. Bounds on mean cycle time in acyclic fork-join queueing networks // Proc. 4th Workshop on Discrete Event Systems (WODES98), Cagliari, Italy, Aug. 26−28, 1998. London: IEE, 1998. P. 469−474.

100. Krivulin N.K. Monotonicity properties and simple bounds on the mean cycle time in acyclic fork-join queueing networks // Recent Advances in Information Science and Technology / Ed. by N. Mastorakis. Singapore: World Scientific, 1998. P. 147−152.

101. Kriuvlin N.K. Evaluation of Lyapunov exponent in generalized linear dynamical models of queueing networks // Proc. MATHMOD 09 Vienna Full Papers CD Volume (I. Troch, F. Breitenecker, eds.). Vienna: ARGESIM, 2009. P. 706−717.

102. Krivulin N.K., Nevzorov V.B. On evaluation of the mean service cycle time in tandem queueing systems // Applied Statistical Science V / Ed. by M. Ahsanullah, J. Kennyon, S.K. Sarkar. N.Y.: Nova Science Publishers, 2001. P. 145−155.

103. Lindley D. V. The theory of queues with single server // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1952. Vol. 48. P. 277 289.

104. Mahr B. Iteration and summability in semirings // Annals of Discrete Mathematics. 1984. Vol. 19. P. 229−256.

105. Marcinkiewi. cz J., Zigmund A. Sur les fonctions independantes // Fundamenta Mathematicae. 1937. Vol. 29. P. 60−90.

106. Matveenko V. Development with positive externalities: The case of the Russian economy // Journal of Policy Modeling. 1995. Vol. 17, N 3. P. 207 221.

107. Matveenko V.D. Optimal paths in oriented graphs and eigenvectors in max—® systems // Discrete Mathematics and Applications. 2009. Vol. 19, N 4. P. 389−409.

108. Olsder G.J., Resing J.A.C., De Vries R.E., Kea/ne M.S., Hooghiemstra G. Discrete event systems with stochastic processing times / / IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol. 35, N 3. P. 299−302.

109. Olsder G.J., Roos C. Cramer and Cayley-Hamilton in the Max algebra // Linear Algebra and Its Applications. 1988. Vol. 101. P. 87−108.

110. Zimmermann U. Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures. Amsterdam: North-Holland, 1981. 390 p. (Annals of Discrete Mathematics, Vol. 10).

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ