Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными

Исходным моментом для темы предлагаемой диссертации послужили работы ряда авторов по исследованию системы уравнений первого порядка ди п.

— =^T, aik{xi,., хп) щ + /г (жь., хп): г = 1, —, гг, (1) °Xi к=1 интересной, в частности, с точки зрения применения получаемых результатов к изучению важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа (например [3], [6], [7], [36], [39], [47], [48], [49], [58], [65]).

Аналогичная система высокого порядка имеет, очевидно, вид dk’vs, (dkl lvi dkn~lvTl s = 1,., п, где fs — линейные относительно аргументов г/i,. , функции.

Путем введения новых искомых функций можно представить (2) как частный случай системы т п uixj =Ч^2ац (хи.1хп)щ-{- fi (xi:., xn), (3) г=1 г=1 если 1 ^ I ^ hi, то j = 1, если + 1 ^ I ^ ki + то j = 2, если &1 + &2 + I ^ I ^ + + то j = 3,. , если то j = п. Именно (3) и является предметом исследования в настоящей работе.

Основным инструментом служит адаптация метода Римана к рассматриваемой системе уравнений. Для гиперболического уравнения иху + а (х, у) их + Ь (х, у) иу + с (х, у) и = /(ж, у), (4) а также системы (в этом случае а, 6, с — известные матричные функции, / — известная, и — искомая векторные функции) этот метод хорошо известен и применяется при построении решений и исследовании широкого круга задач [1], [4], [8], [9], [40], [50]. В ряде работ В.И. Жега-лова и его учеников этот метод был распространен на класс уравнений со старшими частными производными.

Di + D2) u = f (xu., xn), (5) где.

Qki+••¦+&".

D1 = дх^ .дх a Z?2 — линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования [18], [19], [20], [21], [22], [24], [25], [26], [27], [28], [41], [42], [43], [44], [45], [54], [55], [56], [59], [60]. Одним из основных моментов в работах этих авторов было определение функции Римана как решения уравнения типа Вольтерра. Другие варианты метода Римана предлагались в работах многих российских и зарубежных математиков [12], [13], [57], [61], [70], [71], [73], [79], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88].

Отметим, что некоторые частные случаи уравнения (5) при п = 2 исследовались с разных точек зрения многими авторами [10], [11], [15], [16], [17], [67], [68], [69], [72], [74], [75], [77], [78], [80], [81]. Интерес к уравнению (5) объясняется его приложениями в теориях фильтрации жидкости в трещиноватых средах, поглощения влаги корнями растений, колебаний стержней с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах.

Э. Хольмгрен [76] распространил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В работе Б. Н. Бурмистрова [7] результаты Хольмгрена развивались с целью решения задачи Коши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости. А. А. Андреев [2] с помощью метода Римана изучил системы уравнений вида (4) при наличии у матриц-коэффициентов особенностей.

Вместе с тем многие авторы исследовали системы дифференциальных уравнений с частными производными, не прибегая к схеме, предложенной Э. Хольмгреном. Так, в работах Т. В. Чекмарева [62], [63], [64], [65] решение задачи Гурса для (1) с условиями 'Pifali • ¦ ¦ j 1) ¦ • •? *En)j 2 — 1,. .. , (6) строится методом последовательных приближений. На полученных формулах основывается вывод формул решений задач Коши и Дарбу. Отметим также работу [5], в которой были предложены формулы интегрального представления решений задач Коши и Гурса для (1) при п = 2, позволяющие установить их структурные свойства.

Таким образом, система (3) может рассматриваться как обобщение некоторых уравнений, изучавшихся в различных аспектах целым рядом авторов.

Главу 1 настоящей диссертации можно рассматривать как определенное распространение рассуждений из [76], [7] на случай системы (3). При этом используется указанная выше идея из работ В.И. Жега-лова и его учеников: элементы матрицы Римана вводятся как решения некоторых систем интегральных уравнений типа Вольтерра, решение каждой из этих систем существует и единственно в классе непрерывных функций (заметим, что в работе [7] матрица Римана также определялась как решение системы интегральных уравнений, но система там имела другой вид). Далее доказывается матричное дифференциальное тождество, интегрированием которого получены решения задач Гурса и Коши (при выводе формул решения задачи Коши существенно используется аппарат дифференциальных форм).

Очевидно, что вышеизложенные рассуждения проходят и в более простом случае, когда дифференцирование искомых функций системы (2) однократное. В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся полученные результаты с ранее изученными Т. В. Чекмаревым в [62], [63], [64], [65] случаями? В § 3 с этой точки зрения рассматривается гиперболическая система щх = an (x, y) ui + a12{x, y) u2 +fi{x, y),.

7).

U2У = a2i (x> у) и 1 + а22(ж, у) и2 + /г (аг, у).

В § 4 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости некоторой системы интегральных уравнений, на которую указаний в литературе автору обнаружить не удалось. Эти результаты требуются при доказательстве утверждений в главе 3.

Следующие главы посвящены исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными п ди п • •' + 12 • • •' хп) щ+ г=1 dXk г=1 (8) fk{x 1> • • • > к — 1, 71.

На примере системы (8) хорошо видно, как результаты главы 1, относящиеся к системе (3), могут быть применены к системе (2) (алгоритм сведения (2) к (3) одинаков при любом порядке производных в левых частях уравнений системы (2)). В то же время для детального исследования требуется ограничиться каким-то более определенным классом систем (2). В качестве такого класса, на примере которого демонстрируются возможности метода Римана, в настоящей диссертации взяты системы с двукратными старшими производными. Представляется, что они являются моделями, на основе которых можно строить определенные предположения об изучении систем с производными любой конечной кратности. Наиболее подробно в диссертации рассмотрены системы с двукратным дифференцированием в R2 и R3. Это, в частности, связано с тем, что получаемые результаты легко интерпретировать геометрически.

В главе 2 рассмотрен случай п = 2: ихх = ai (x, y) vx + &i (>, у) и + ci (x, y) v + fi (x, у), vyy — a2(x, y) uy + b2(x, y) u + с2(ж, y) v + /2(ж, y).

При этом в замыкании рассматриваемой области D плоскости (х, у) выполняются включения ai, а2 6.

С2, bubo, ci, с2, /i, /2 € С1. Решение (9) класса и, v? C1(D), ихх,? C'(D) называем регулярным в D.

В § 5 методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решений следующих задач.

Основная характеристическая задача. В области G = {ссо < х < xi, уо < у < у{ найти регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям у) =.

РМ, Ч>1 (у) G CHbo^i]), W®)" Ых) ^ C^N,^]).

Эта задача играет существенную роль при исследовании других, рассматриваемых далее, задач.

Задача Коши. Пусть D — треугольная область плоскости (х, т/), ограниченная характеристиками х = xi, у = yi, х > 0, у > О, и отрезком кривой Т: у = &-(х), сг'(ж) < О (S — кривая класса С2). Для определенности положим у = сг (0), cr (xi) = 0. Требуется найти регулярное в D решение (9), удовлетворяющее условиям dv.

ЧЕ = Ыж), Че = vo (®)" «!.(*), дп^ю (аг), Е п — внешняя нормаль к Е, u0, vo Е С2([0, cci]), uxo, г/щ € C1([0,a-i]).

Смешанная задача. Пусть Dq — область плоскости (х, у), ограниченная характеристиками х = у = т/i, х > 0, у >0, осями координат и отрезком АВ кривой Е: у = сг (ж), о'{х) < 0, принадлежащей классу С2. При этом кривая отсекает от характеристического прямоугольника угол с вершиной (0,0), А = (#2,0), В = (0,2/2) — Обозначим Y = {х2 < х < жх, У = 0}, X = {х = 0, у2 < у < Ух}.

Требуется найти регулярное в Dq решение (9), удовлетворяющее на характеристиках х = 0, у — 0 условиям рассмотренной выше характеристической задачи, а на Е — условиям Коши що{у), Е Ую (х), (ux-a1v)T= (р (у), (vy-a2u)|F = ^(rc), дп dv дп Е п — внешняя нормаль к Е, щ, (р Е СХ ([2/2,2/i])> Ф G С1([ж2, a^i]), Що Е С2([у2,2/i])j vw Е С2([х2,^х]). Кроме того, должны выполняться условия согласования их Е С (Е U X), vy Е С (Е U F).

В § 6 в терминах матрицы Римана строятся формулы решений сформулированных выше задач.

При рассмотрении граничных условий основной характеристической задачи нетрудно заметить, что эти условия отличаются определенной несимметричностью. В том же § б исследуются условия разрешимости задачи 2.1 с более «симметричными» условиями (производные искомых функций входят в граничные условия равноправно).

Задача 2.1. Найти регулярное в G решение системы (9), удовлетворяющее условиям и (х0,у) = х (у), v (x, у0) = Кх)> ап (у)их{х о, у) + au (y)vx (ж0, у) = mi (y), a2i (x)uy (x, yo) + a22{x)vy (x, y0) = т2(х).

Предполагается, что выполняются условия гладкости ац> а2 €.

С1{[Уъ, У]), а21, «22 G C^^o^i]), mi € Cl ([yQ, yi), т2 в Cl ([x0,?i]), причем а?2 ^ 0, aJi + <4 ^ 0.

Исследуется задача 2.1 путем сведения к основной характеристической задаче. Оказывается, что эта задача может быть разрешима как однозначно, так и с точностью до одной или двух произвольных постоянных. Задачи со сходными линейными комбинациями в граничных условиях исследовались В. И. Жегаловым и Н.Х. Х. Зомотом для системы (1) при п = 2, 3 и в общем случае [23], [27], [30], [32], [33].

В § 7 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического прямоугольника G = {яо < х < я и Уо < У < 2/1} с граничными условиями на трех и четырех сторонах G. При этом указанные задачи редуцируются к основной характеристической задаче. Приведем некоторые примеры.

Задача 2.2. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям и (х0:у) = (pi{y), (их — a: v)(x0,у) = <�р2(у), (vy — а2и)(х, т/о) = Ф1 (ж), v (x, г/1) = х (ж),.

Р2(у) е Cl ([yu, yi}), х (ж) G (^([zczi]).

Обозначим сю = с — aix, &20 = Ь2 — а2у.

Теорема 2.5. Если аь а2 Е C2(G), Ьь Ь20, сю, с2, /ь /2? Cl{G), с2(х, у)) 0 б G, то существует единственное решение задачи 2.2.

Задача 2.4. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям и (х0,у) =.

PiЫ> Ч>2.Ы)? C[yQ, yi]), ф{х), ф2(х) в ^([аго,.

Теорема 2.7. Если аь а2 е C2(G), 6Ь Ь2о, сю, с2- /ь /2 G CX (G) и в G выполняется одно из условий у) = сю (ж, у) = с2(ж, у) = 0, 6i (®, у) ^ О, а2(х, у) = Ь20(х, у) = 0, с2(х, у) ^ О, то решение задачи 2.4 существует и единственно.

В главе 3 основные результаты главы 2 переносятся на трехмерное пространство.

В главе 4 рассмотрены основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача в пространстве любого конечного числа измерений.

Отметим, что как в главе 1, так и в последующих главах, рассматриваются сходные задачи (задача Коши, смешанная задача). Однако в постановке этих задач имеются значительные различия, связанные с различным порядком уравнений, входящих в системы (3) и (8). Например, в случае задачи Коши в граничных условиях для (8) присутствуют значения производных искомых функций, в то время как для (3) нужно задавать лишь граничные значения самих искомых функций. Это приводит к различиям в деталях доказательств и в формулировках теорем существования и единственности, а также в записи формул, дающих решение задач. Поэтому целесообразно получить формулы решения, например, задачи Коши для (8) в явном виде, а не ссылаться на соответствующий результат для (3).

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Разработка нового варианта метода Римана для системы (3). Получение в терминах матрицы Римана решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи для (3).

2. Получение в терминах матрицы Римана решений основной характеристической задачи, задачи Коши и смешанной задачи для (8) в пространствах й2, й3 и в пространстве любого конечного числа измерений.

3. Постановка различных характеристических задач для (8) в пространствах R2 и i?3, исследование вопросов их разрешимости.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [89] - [97].

По мере получения они докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанскго государственного университета. Были сделаны доклады на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию Казанского государственного университета и 70-летию НИИ математики и механики имени Н. Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), на VII международной научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.).

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

2. Андреев А. А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Автореф.. дисс. канд. физ.-мат. наук. — Душанбе, 1981. — 13 с.

3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

4. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982. — 336 с.

5. Бицадзе А. В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных // Матем. моделирование. — 1994. — Т. 6, № 6. — С. 22−31.

6. Бурмистров Б. Н. О некоторых краевых задачах типа задачи Франкля для систем уравнений первого порядка смешанного типа. Автореф.. дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1970. — 10 с.

7. Бурмистров Б. Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе //Труды семинара по краевым задачам. — Казанск. ун-т, 1971. — Вып. 8. — С. 41−54.

8. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. — М. Л.: Гостехиздат, 1948. — 296 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.

10. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Наху-шева для одного псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2. — С. 280−285.

11. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием A.M. Нахушева // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 163−166.

12. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова O.K., Захаров В. Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения. — Самара, 1995. — 76 с.

13. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения. — Самара, 1996. — 52 с.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

15. Джохадзе О. М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 4. — С. 523−535.

16. Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 58−68.

17. Жамалов Р. С. Смешанная задача для одного эволюционного уравнения // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. — Новосибирск, 1988. — С. 126−130.

18. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические задачи и уравнения смешанного типа. — Новосибирск, 1990. — С. 94−98.

19. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 10. — С. 1429−1430.

20. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в n-мерном пространстве // Сибирский матем. журнал, Новосибирск, 1997. —Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2290-В97. — 4 с.

21. Жегалов В. И. О трехмерной функции Римана // Сибирский матем. журнал. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 1074−1079.

22. Жегалов В. И., Котухов М. П. Об интегральных уравнениях для функции Римана // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 1. — С. 26−30.

23. Жегалов В. И., Зомот Н.Х. Х. Линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 394-В98 — 20 с.

24. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 10. — С. 73−76.

25. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 11. — С. 77−81.

26. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. — С. 93−97.

27. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. — Казанское математическое общество, 2001. — 226 с.

28. Жегалов В. И., Миронов А. Н. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 5. — С. 23−30.

29. Забрейко П. П., Кошелев А. И. и др. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 448 с.

30. Зомот Н.Х. Х. Условия разрешимости одной характеристической задачи // Казанский ун-т, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 04.04.97, № 1089-В97. — 17 с.

31. Зомот Н.Х. Х. Случаи явного решения одной трехмерной задачи Гурса // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 393-В98 — 9 с.

32. Зомот Н.Х. Х. Линейная характеристическая задача в четырехмерном евклидовом пространстве // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, № 900-В98. — 43 с.

33. Зомот Н.Х. Х. Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка. Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1998. — 113 с.

34. Зорич В. А. Математический анализ. 4.1. — М.: Наука. — 1981. — 544 с.

35. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 2. — М.: Наука. — 1984. — 640 с.

36. Карамышев Ф. И. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений смешанного типа // Сибирский матем. журнал. — 1961. — Т. 2, № 4. — С. 537−546.

37. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

38. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712 с.

39. Красильников М. Г. Задача Трикоми с обобщенными граничными условиями для модельной системы уравнений смешанного типа. Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Н. Новгород, 1993. — 15 с.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. — 830 с.

41. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 7. — С. 78−80.

42. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1698−1701.

43. Миронов А. Н. О методе Римана для одного уравнения четвертого порядка со старшей частной производной // Вестник СамГТУ, серия матем. — 2003. — Вып. 22. — С. 190−194.

44. Миронов А. Н. К задаче Коши в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 6. — С. 844−847.

45. Миронов А. Н. О методе Римана решения задачи Коши // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 2. — С. 34−44.

46. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. — JI М.: ГТТИ, 1934. — 330 с.

47. Плещинская И. Е. Граничные задачи для систем уравнений смешанного типа, приводимые к задаче Гильберта. Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Куйбышев, 1979. — 15 с.

48. Плещинская И. Е. Задача со смещениями для одной системы уравнений смешанного типа с частными производными // Тр. семинара по краевым задачам. — Казань: КГУ, 1983. — Вып. 19. — С. 145−155.

49. Плещинская И. Е. Об эквивалентности некоторых классов эллиптических и гиперболических систем первого порядка и уравнений второго порядка с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 9. — С. 1634−1637.

50. Риман Б. Сочинения. О распространении волн конечной амплитуды. — М. Д.: ГТТИ, 1948. — С. 376−395.

51. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. — М.: ИЛ, 1953. — 346 с.

52. Севастьянов В. А. О методе И. Н. Векуа решения интегральных уравнений типа Вольтерра // Казан, ун-т, 1997. —Деп. в ВИНИТИ 24.04.97, № 1373-В97. — 9 с.

53. Севастьянов В. А. Существование и единственность решения одного многомерного интегрального уравнения // Казан, ун-т, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 05.06.97, № 1848-В97. — 6 с.

54. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 69−73.

55. Севастьянов В. А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в n-мерном евклидовом пространстве. Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1997. — 127 с.

56. Севастьянов В. А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 12. — С. 1706−1707.

57. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. — С. 547−552.

58. Теут О. М. Некоторые краевые задачи для систем уравнений в частных производных смешанного типа. Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1964. — 8 с.

59. Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка // Дифференц. уравнения. — Минск, 1999. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.99, № 2059;В99. — 13 с.

60. Уткина Е. А. Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений. Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1999. — 140 с.

61. Фаге М. К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. — 1958. — Т. 45, № 3. — С. 281−322.

62. Чекмарев Т. В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями // Изв. вузов. Математика. — 1959. — № 6. — С. 220 228.

63. Чекмарев Т. В. Решение в квадратурах задач Коши и Гурса для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Уч. записки Горьковского ун-та. — 1967. — Вып. 80. — С. 63−69.

64. Чекмарев Т. В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 9. — С. 1614−1622.

65. Чекмарев Т. В. Системы уравнений смешанного типа. — Нижегородский гос. техн. ун-т, 1995. — 199 с.

66. Чуриков Ф. С., Мащенко И. П. Построение функции Римана для уравнения иху + (p (x)ip (y)u = 0 // Научн. труды Краснодарского политехи, ин-та. — 1970. — Вып. 30. — С. 19−25.

67. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 689−699.

68. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 265, № 6. — С. 1327−1330.

69. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка и экстремальных свойствах их решений // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 267, № 3. — С. 567−570.

70. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d’ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. — 1895. — V. IV, 1 sem. — P. 89−99, 133−142.

71. Burgatti P. Sull’estensione del metodo d’integrazione di Riemann all’equazioni lineari d’ordine n con due variabili independenti // Rend. Reale Accad. Lincei. — 1906. — Ser. 5a, 15, № 2. — P. 602−609.

72. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different, equations. — 1972. — V. 12, № 3. — P. 559−565.

73. Delassus E. Sur une extension aux equations d’ordre quelqonque d’une methode de Riemann relative aux equations du second ordre // Comptes Rendus de l’acad. des sci. Paris. — 1893. — P. 510−513.

74. Easwaran S. On the positive definitenes of polivibrating operators of Mangeron // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 7. — P. 563−569.

75. Easwaran S. Mangeron’s polyvibrating operators and their eigenvalues // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 10. — P. 1011−1015.

76. Holmgren E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre // Arkiv for matematik, astronomy och fysik. — 1910. — Band 6, № 2. — P. 1−10.

77. Mangeron D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1968. — V. 14, № 1−2. — P. 433−436.

78. Mangeron D., Oguztoreli M.N. Darboux problem for a polyvibrating equation: solutions as F-function // Proc. Nat. Acad. USA. — 1970. — V. 67, № 3. — P. 1488−1492.

79. Niccoletti O. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d’ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. cl. sc. fis., mat. e natur. — 1895. — 1 sem. — P. 330−337.

80. Oguztoreli M.N. Boundary value problem for Mangerons equation. I. // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1973. — V. 19, № 3. — P. 81−85.

81. Radochova V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung uxxtt = A (t, x) uxx + ??(?, x) utt mit gewissen Nebenbedinungen // Cas. pestov. mat. — 1973. — V. 98, № 4. — S. 389−399.

82. Rellich F. Verallgemeinerung der Riemanschen Integrationsmethode auf Differentialgleihungen n-ter ordnung in zwei Veranderlichen // Math. Annalen, 103, 1930. — S. 249−278.

83. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. — 1977. — V. 63, № 1. — P. 77−81.

84. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncilindrical domains // J. Different. Equations. — 1978. — V. 27, № 3. — P. 394−404.

85. Rundell W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation // Indiana Univ. Math. J. — 1978. — V. 27, № 5. — P. 739−750.

86. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc. — 1979. — V. 76, № 2. — P. 253−257.

87. Tedone O. Sull’integrazione dell’equazione — Y^Li §^2 = 0 // Ann. di mat. — 1889. Ser. 3, № 1. — P. 1.

88. Volterra V. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes // Acta Math., 18, 1894. — P. 161−232.

89. Миронова JI.Б. Постановка задачи Коши для линейной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XIII межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 2003. — С. 131−133.

90. Миронова Л. Б. Метод Римана для одной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2004. — С. 158−161.

91. Миронова Л. Б. О методе Римана для одной системы в трехмерном пространстве // Труды XIV между нар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2004. — С. 264−266.

92. Миронова Л. Б. К задаче Коши для одной системы с кратными характеристиками // Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 25. Актуальные проблемы математики и механики: Материалы между нар. научн. конф. — Казань, 2004. — С. 186−187.

93. Миронова Л. Б. Метод Римана для системы с двукратными старшими частными производными в n-мерном пространстве // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы VI междунар. научн. конф. — Смоленск, 2005. — С. 136−137.

94. Миронова JI.Б. О характеристических задачах для одной системы уравнений с частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды II всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2005. — С. 178−180.

95. Миронова Л. Б. О характеристических задачах для одной системы с кратными характеристиками в трехмерном пространстве / Ела-бужский гос. пед. ун-т. — Елабуга, 2005. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1059-В2005.

96. Миронова Л. Б. О методе Римана в Rn для одной системы с кратными характеристиками // Изв. вузов. Математика. (В печати.).