Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов

Теория изомонодромных деформаций фуксовой системы дифференциальных уравнений уже почти сто лет (если вести отсчет с работы Шлезингера 1912 года, где впервые появилась система уравнений, описывающая изомонодромные деформации) служит как областью приложений так и источником новых математических идей. Как было показано в основополагающей работе Мива и Джимбо [26], с системой Шлезингера естественно связана замкнутая 1-форма и, определяющая так называемую изомонодромную тау-функцию т равенством и = ¿-т. Объяснение аналитической природы изомонодромной тау-функции было найдено Мальгранжем. Оказалось, что тау-функция совпадает с фредгольмовым детерминантом некоторого теилицева оператора. В работе Книжника [29] было высказано предположение, что для некоторых изомонодромных деформаций, связанных с разветвленным накрытием сферы компактной римановой поверхностью, изомонодромная тау-функция допускает явное выражение через тэта-функции накрывающей римановой поверхности.

Уже первый шаг, сделанный в направлении, указанном в работе Книжника, оказался плодотворным. Именно, сначала в работах Китаева и Корот-кина [28] и (независимо) Дейфта, Итса, Капаева и Жоу [10] было построено ал) изомонодромное семейство решений задачи Римана-Гильберта, связанной с гиперэллиптическим накрытием сферы, при этом в работе Китаева и Ко-роткина была явно найдена соответствующая изомонодромная тау-функция. Затем в работе Короткина [36] эти результаты были радикально обобщены: была решена задача Римана-Гильберта с произвольными квазиперестановочными монодромиями, связанная с общими разветвленными накрытиями произвольной степени и рода. Соответствующую изомонодромную тау-функцию в работе [36] найти не удалось, однако основная аналитическая трудность в ее вычислении была выделена и сформулирована: дело свелось к необходимости проинтегрировать следующую систему уравнений д 1п т? = 1,., М (1.2).

Xj=0 где Бв — проективная связность Бергмана на накрывающей поверхности, х$ - локальный параметр в окрестности простой точки ветвления А^-, М — число точек ветвления. Совместность этой системы была одним из попутных результатов работы [36].

Сходные системы уравнений, связанные с проективными связностями на римановых поверхностях, в несколько другом контексте (производящие функции для акцессорных параметров) были проинтегрированы в серии работ Зографа и Тахтаджяна [67], [63], [62]. Производящие функции акцессорных параметров в этих работах были выписаны в терминах регуляризованного интеграла Лиувилля.

В работе [30] было обнаружено, что некоторый аналог интеграла Лиувилля интеграл Дирихле, регуляризованный в точках ветвления и бесконечностях) дает вещественнозначное решение системы (1.2). Более того, в случае накрытий младшего рода интеграл Дирихле допускает явную голоморфную факторизацию, что приводит к замкнутому явному выражению для изомонодром-ной тау-функции. В этой же работе был найден правильный контекст для описания решения системы (1.2). Оказалось, что естественно определять его, как горизонтальное сечение некоторого линейного расслоения над пространством Гурвица разветвленных накрытий сферы. Это сечение получило название тау-функции Бергмана на пространстве Гурвица. От изомонодромной тау-функции работы [36] тау-функция Бергмана отличается некоторым явно вычисляемым тэта-функциональным множителем.

В случае кривых старшего рода подход с использованием интеграла Дирихле, соответствующего фуксовой униформизации поверхности, не оказался достаточно эффективным — голоморфная факторизация этого интеграла невозможна a priori. Тем не менее этот подход был применен в [30] для выражения квадрата модуля тау-функции через детерминант лапласиана в метрике Пуанкаре.

В работе [33] была обнаружена связь тау-функции Бергмана с теорией фробениусовых многообразий. Именно для фробениусовых структур на пространствах Гурвица, введенных в работе Дубровина [6], изомонодромная тау-функция полупростого фробениусова многообразия была опознана в [33] как некоторая степень тау-функции Бергмана. В младших родах это привело к построению явного решения уравнения Гетцлера — так называемой (^-функции фробениусова многообразия и доказательству гипотезы Строна о фробениу-совых структурах, связанных с группами Якоби.

Другое применение бергмановской тау-функции было найдено в работе [14]. Оказалось, что первая поправка к свободной энергии в эрмитовой двух-матричной модели совпадает (с точностью до некоторых простых добавочных слагаемых) с логарифмом тау-функции.

В полной общности (для накрытий произвольного рода и степени) бергма-новская тау-функция была вычислена в работе [35]. Это немедленно привело к явной формуле факторизации детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре, являющейся альтернативой известному представлению этого детерминанта через дзета-функцию Сельберга, принадлежащего Докеру и Фонгу. (Позже нам стало известно о существовании неопубликованной рукописи Зографа [65], в которой явная факторизация детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре была выписана в терминах образующих группы Шоттки.).

К сожалению и формула Зографа и наша формула, выражающие детерминант лапласиана в метрике Пуанкаре через квадрат модуля некоторой голоморфной функции (на пространстве Шоттки в контексте Зографа, на пространстве Гурвица в нашем контексте) обладают существенным недостатком — трудно вычислимый вещественнозначный множитель, содержащий интеграл Лиувилля (Дирихле), препятствует полной голоморфной факторизации детерминанта лапласиана. При этом ясно, что полная голоморфная факторизация и невозможна — она запрещена теоремой Белавина-Книжника.

Попытка устранить этот недостаток привела к обобщению бергмановской тау-функции на случай пространств абелевых дифференциалов на римано-вых поверхностях [32]. Оказывается, что если в качестве конформной метрики взять не метрику Пуанкаре (т. е. метрику с равномерно распределенной кривизной), а сингулярную метрику с кривизной, сосредоточенной в конечном числе точек римановой поверхности, то соответствующий этой метрике лапласиан допускает полную явную голоморфную факторизацию (с точностью до двух простых вещественнозначных множителей: определителя мнимой части матрицы Ь-периодов и площади поверхности). В качестве такой сингулярной метрики естественно взять метрику, задаваемую квадратом модуля какого-либо абелева дифференциала. Эта метрика — плоская коническая, конические точки суть нули абелева дифференциала. Детерминант лапласиана в этой метрике (с точностью до простого множителя) совпадает с квадратом модуля голоморфной функции на пространстве абелевых дифференциалов. (Последнее пространство недавно было изучено в работе Зорича и Конце-вича [38].) Эта голоморфная функция (получившая название тау-функции Бергмана на пространстве абелевых дифференциалов) удовлетворяет системе уравнений, являющейся прямым обобщением системы (1.2) со случая пространств разветвленных накрытий на случай пространства абелевых дифференциалов. Оказывается, что явное интегрирование этой системы, как и в случае системы (1.2), возможно и приводит к явным формулам для детерминанта лапласиана в плоских конических метриках.

Важную роль в наших вычислениях играют технические методы, содержащиеся в мемуаре Фэя [16], обобщающем и переизлагающем с единой точки зрения результаты работ Альвареса-Гоме, Мура, Докера и Фонга, Дугана и Соноды, Бейлинсона и Манина, Бисмю, Жийе, Суле и других.

Опишем содержание диссертации по главам. Во второй главе вводится тау-функция Бергмана на пространствах Гурвица и приводится ее явное вычисление для накрытий младшего рода. Здесь же проясняются ее связи с голоморфной функцией Зографа на пространстве Шоттки и доказывается формула факторизации детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре (или, что эквивалентно) формула для квадрата модуля тау-функции общего накрытия произвольного рода и степени.

В третьей, основной, главе диссертации проведено вычисление тау-функции Бергмана для общих пространств Гурвица.

В четвертой главе диссертации описаны приложения тау-функции Бергмана к различным задачам математической физики (фробениусовым многообразиям, эрмитовым одно и двухматричным моделям, спектральной теории римановых поверхностей).

В пятой главе диссертации обсуждаются пространства абелевых дифференциалов, вводится и явно вычисляется тау-функция Бергмана на этих пространствах.

В последней, шестой, главе диссертации обсуждается спектральная теория и лапласианов в плоских конических метриках на римановых поверхностях и доказываются явные формулы для детерминантов таких лапласианов.

Диссертация основана на следующих работах.

1. Кокотов А. Ю., Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов, 2006, ПОМИ препринт, 2006;16, с. 1−95.

2. Кокотов А. Ю., Короткин Д. А., Шрамченко В. А, Неавтономные интегрируемые системы, связанные с пространствами Гурвица для родов 0 и 1, Теоретическая и математическая физика, 137 (1) 153−160 (2003).

3. A. Kokotov, D. Korotkin, «Bergman tau-function: from Hurwitz spaces to spaces of quadratic differentials», J. Ph. A, 2006, 2 №.

4. B. Eynard, A. Kokotov, D. Korotkin, «Genus 1 correction to free energy in herrnitian two-matrix model», Nucl. Phys. B, 694 443−472 (2004).

5. A. Kokotov, D. Korotkin, «Tau-functions on Hurwitz spaces», Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 7 47−96 (2004).

6. A. Kokotov, D. Korotkin, «On G-function of Frobenius manifolds related to Hurwitz spaces», Int.Math.Res.Notices, 2004 343−359 (2004).

7. A. Kokotov, D. Korotkin, «Isomonodromic tau-function of Hurwitz Frobenius manifold and its applications», Intern. Math. Res. Noticcs, 2006, (N18746), 1−34.

8. A. Kokotov, I. Strachan, «On the isomonodromic tau-function for the Hurwitz ' spaces of branched coverings of genus zero and one», Math.Res.Letters, 12 (2005), N6, 857−876 9. Yu. Klochko, A. Kokotov, Genus one polyhedral surfaces, spaces of quadratic differentials on tori and determinants of Laplacians, Manuscripta Mathematica, 122, N2(2007), 195−216 10. B. Eynard, A. Kokotov, D. Korotkin, «1/7V2 correction to free energy in hermitian two-matrix model», Lett.Math.Phys., 71 199−207 (2005).

11. A. Kokotov, D. Korotkin, «Invariant Wirtinger projective connection and taut Functions on spaces of branched coverings». CRM Proceedings and Lecture.

Notes, AMS, vol. 37 (2004), p. 91−97.

12. A. Kokotov, D. Korotkin, «Tau-functions on spaces of Abelian and quadratic differentials and determinants of Laplacians in Strebel metrics of finite volume», math. DG/405 042, preprint of Max Planck Institute for mathematics in the sciences, Leipzig (2004) 13. A. Kokotov, D. Korotkin, «Bergmann tau-function and its applications», math-ph/310 008, preprint No.101 of the Max Planck Institute for Mathematics, Bonn (2003).

1. Bertola, М., Free energy of the two-matrix model/dToda tau-function, Nucl.Phys. B669 (2003) 435−461.

2. Briining, J. and Seeley, R., The resolvent expansion for second order > operators, J. Funct. Anal. 73 369−429 (1987).

3. Burghelea, D., Friedlander, L., and Kappeler, Т., Meyer-Vietoris type formula for determinants of elliptic differential operators, J. of Funct. Anal., 107 3465 (1992).

4. Cheeger, J., On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities, «Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 76 2103−2106 (1979).

5. Chekhov, L., Marshakov, A., Mironov, A., Vasiliev, D., DV and WDVV, Phys.Lett. B562 (2003) 323−338.

6. Dubrovin В., Zhang Y., Bihamiltonian hierarchies in 2D topological field theory at one-loop approximation, Commun. Math. Phys., 198 (1998), 311 361.

7. Dubrovin B., Zhang Y., Frobenius manifolds and Virasoro constraints, Selecta Math. (N. S.) 5 (1999), 423−466.

8. Deift, P., Its, A., Kapaev, A., Zhou, X., On the algebro-geometric integration of the Schlesinger equation, Comm. Math. Phys., 203 (1999), N3, 613−633.

9. P. Di Francesco, P. Ginzparg, J. Zinn-Zustin, «2D Gravity and Random matrices», Phys.Rep. 254, 1 (1995).

10. D’Hoker E., Phong, D.H., Functional determinants on Mandelstam diagrams. Comm. Math. Phys. 124 629−645 (1989).

11. Dugan, M., Sonoda, H., Functional determinants on Riemann surfaces, Nuclear Phys. B289 227−252 (1987).

12. B. Eynard, A. Kokotov, D. Korotkin, Genus one contribution to free energy in Hermitian two-matrix model, Nucl. Phys B694 443−472 (2004).

13. Fay, John D., Theta-functions on Riemann surfaces, Lect. Notes in Math. 352, Springer (1973).

14. Fay, John D., Kernel functions, analytic torsion, and moduli spaces, Memoirs of the AMS (464), 1992.

15. Fulton, William, Hurwitz schemes and irreducibility of moduli of algebraic curves, Annals of Math., 90 (1969), 542−575.

16. Forman R., Functional determinants and geometry, Invent. Math. 88 447 493 (1987).

17. Enolskii, V., Grava, T., Singular Z^ curves, Riemann-Hilbert problem and modular solutions of the Schlesinger equation, IMRN, 2004 1619−1683 (2004).

18. Grubb G., Singular Green operators and their spectral asymptotics. Duke Math. J., 51(1984), N3, pp. 477−528.

19. Givental, A., Elliptic Gromov-Witten invariants and the generalised mirror conjecture, in «Integrable systems and algebraic geometry» (Kobe/Kyoto, 1997), 107−155, World Sci. Publishing, River Edge, NJ (1998).

20. Getzler E., The jet-space of a Frobenius manifold and higher-genus Gromov-Witten invariants, arXiv: math. AG/211 338.

21. Hawley, N. S., Schiffer, M., Half-order differentials on Riemann surfaces, Acta Math., 115 (1966), 199−236.

22. Hala Khuri King, Determinants of laplacians on the space of conical metrics on the sphere, Transactions of AMS, 339, 525−536 (1993).

23. Hassell, A., and Zelditch, S., Determinants of laplacians in exterior domains, IMRN, 1999 N18, 971−1004 (1999).

24. Jimbo, M., Miwa, M., Ueno, K., Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients, I, Phys. D 2 306−352 (1981).

25. Karol' A. I., Asymptotics of the parabolic Green function for an ellipticoperator on a manifold with conical points, Math. Notes, 63 N1, 28−36(1998)169.

26. Kitaev, A., Korotkin, D., On solutions of Schlesinger equations in terms of theta-functions, International Mathematics Research Notices No. 17 p. 877 905 (1998).

27. Knizhnik, V.G., Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry, Sov.Phys.Usp. 32 (11) 945−971 (1989).

28. Kokotov A., Korotkin D., Tau-functions on Hurwitz spaces, «Mathematical Physics, Analysis and Geometry», 7 (2004), no. 1, 47−96.

29. Kokotov, A., Strachan, I., On the isomonodromic tau-function for the Hurwitz spaces of branched coverings of genus zero and one, Math.Res.Letters, 12, 857−875 (2005).

30. Kokotov A., Korotkin D., On G-function of Frobenius manifolds related to Hurwitz spaces, Internat. Math. Res. Notices, 2004 N 7, 343−360 (2004).

31. Kokotov A., Korotkin D., Bergman tau-function on Hurwitz spaces and its applications, math-ph/310 008, Max-Planck-Institut fur Mathematik preprint 03−101.

32. Kokotov A., Korotkin D., Isoraonodromic tau-function of Hurwitz Frobenius manifolds and its applications, IMRN (2006), M 6 ,.

33. Korotkin, D., Solution of matrix Riemann-Hilbert problems with quasi-permutation monodromy matrices, Math.Ann., 329 (2004), N2, 335−364.

34. Kontsevich, M., Zorich, A., Connected components of the moduli spaces of holomorphic differentials with prescribed singularities, Invent. Math. 153 631−678 (2003).

35. Kontsevitch, M., Zorich A., Lyapunov exponents and Hodge theory, hep-th/9 701 164.

36. Yoonweon Lee, Mayer-Vietoris formula for determinants of elliptic operators of Laplace-Beltrami type (after Burghelea, Friedlander and Kappeler), Differential Geometry and its Appliccations 7(1997), 325−340.

37. H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations, Ann. of Math., 115 (1982), 169−200.

38. Mumford, D., Tata Lectures on Theta, Birkhauser, 1984.

39. Manin Yu. I., Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces, AMS, 1999.

40. Nagase, N., The fundamental solution of the heat equation on Riemannian spaces with cone-like singular points, Kodai Math. J. 7 382−455 (1984).

41. Natanzon S., Hurwitz spaces, in «Topics on Riemann surfaces and Fuchsian groups», Madrid, 1998, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 287, 165−177.

42. Natanzon S., Turaev V., A compactification of the Hurwitz space., Topology 38 (1999), N 4, 889−914.

43. Natanzon, S.M., Topology of 2-dimensional coverings and meromorphic I functions on real and complex algebraic curves, Selecta Mathematica (formelySovietica), vol. 12 (1993), N.3, 251−291.

44. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings, Phys.Lett. 103B, 211−213 (1981).

45. Polchinski J., Evaluation of the one-loop string path integral, Comm. Math. Phys., 104 37−47 (1986).

46. Ray, D. B.- Singer, I. M. Analytic torsion for complex manifolds. Ann. of Math. (2) 98 154−177 (1973).

47. Rauch, H.E., Weierstrass points, branch points, and moduli of Riemann surfaces, Comm. Pure Appl. Math. 12 543−560 (1959)i172.

48. Rauch, H. E., A transcendental view of the space of algebraic Riemann surfaces. Bull. Amer. Math. Soc., 71 (1965), 1−39.

49. V. Shramchenko, Deformations of Frobenius structures on Hurwitz spaces, IMRN 2005 N0.6 339−387 (2005).

50. Sonoda, H., Functional determinants on punctured Riemann surfaces and their application to string theory. Nuclear Phys. B294 157−192 (1987).

51. Strebel, K., Quadratic differentials, Springer, 1984.

52. V. Shramchenko, «Real doubles» of Hurwitz Frobenius manifolds, Commun.Math.Phys. 256 635−680 (2005).

53. Strachan I. A. B., Symmetries and solutions of Getzler’s equation for Coxeter and extended affine Weyl Frobenius manifold, Intern. Math. Research Notices (2003) No 19, 1035−1051 (2003).

54. Tyurin, A.N., Periods of quadratic differentials (Russian), Uspekhi Mat. Nauk 33, no. 6(204), 149−195 (1978).

55. W. Veech, Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps, Ann. of Math., 115 (1982), 201−242.

56. Voros A., Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function, Commun. Math. Phys., 110, 439−465 (1987).

57. R. Wentworth, Asymptotics of determinants from functional integration, J.Math. Phys., 32(7), 1991, 1767−1 773 173.

58. Zograf, P. G.- Takhtajan, L. A. On the uniformization of Riemann surfaces and on the Weil-Petersson metric on the Teichmiiller and Schottky spaces. Math. USSR-Sb. 60 (1988), no. 2, 297−313.

59. Zograf P. G., Takhtajan, L. A., Potential of the Weil-Peterson metric on Torelli space, J. Sov. Math., 52(1990), 3077−3085.

60. Zograf, P. G. Liouville action on moduli spaces and uniformization of degenerate Riemann surfaces. Leningrad Math. J. 1 (1990) no. 4, 941−965.

61. Zograf, P., Determinants of Laplacians, Liouville action, and an analog of the Dedekind 77-function on Teichmiiller space, unpublished manuscript (1997).

62. Zograf, P., Takhtajan, L., On the Liouville equation, accessory parameters and the geometry of Teichmiiller space for Riemann surfaces of genus 0. Math. USSR-Sb. 60 No.2 297−313 (1988).

63. Zograf, P., Takhtajan, L., A local index theorem for families of d-operators on Riemann surfaces (Russian) Uspekhi Mat. Nauk 42 (1987), N6 (258), 133−150.

64. Zverovich, E.I., Boundary value problems in the theory of analytic functions in Holder classes on Riemann surfaces, Russ. Math. Surveys 26 117−192 (1971).