О предельных множествах отображений графов

Представленная работа относится к топологической динамике. Цель работы — исследовать топологические и комбинаторные свойства предельных множеств одномерных динамических систем.

1. Основы топологической динамики были заложены А. Пуанкаре в конце XIX века, предложившим качественное описание решений дифференциальных уравнений, не допускающих аналитического решения.

Известно, что автономная система дифференциальных уравнений, удовлетворяющая условиям единственности и продолжаемости решений, определяет поток — однопараметрическую группу преобразований фазового пространства. Дж.Д. Биркгоф, развивая идеи Пуанкаре, заметил [1], что многие понятия и результаты теории автономных систем дифференциальных уравнений могут быть перенесены на потоки в абстрактных пространствах. Он ввел важное понятие минимального множества, классифицировал движения по форме их возвращения, заложив тем самым основы общей теории топологических систем. Эта теория была развита в работах М. Морса, В.Х. Гот-шалка, Г. А. Хедлунда, А. А. Маркова, В. В. Немыцкого.

Следуя современной терминологии, под динамической системой понимается «действие группы (полугруппы) на каком-либо пространстве». Точнее, пусть X — топологическое пространство, Т — топологическая группа (полугруппа), 7г: X х Т —> X — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям (образ точки (х, t) при отображении ж обозначим через тгь (х)):

1) -ке{х) — ж, где х € X, е — единица группы Т;

2) 7г®(7г*(я:)) = 7rts (x), где xGl, t, s€ Т.

Тогда тройка (X, Т, 7г) называется топологической динамической системой. При этом X называется фазовым пространством, группа (полугруппа) Т — временем. Для точки х G X определим множество orb (x) = {ттг (х): t Е Т}, называемое орбитой или траекторией точки х (относительно системы (X, Т, тг)).

Динамическая система (X, Т, 7г) называется дискретной, если Т = Z (Т = 1м+). При этом если обозначить отображение 7Г1 через /, то для любого п Е Z (Z+) выполнено тсп (х) = fn (x), где fn обозначает n-ю итерацию отображения / (в случае Т = Z отображение / является гомеоморфизмом). И наоборот, всякий гомеоморфизм (непрерывное отображение) / по формуле тгп (х) = fn (x) определяет действие группы (полугруппы) Т = Ъ (Т = Z+) на пространстве X. Таким образом, дискретная динамическая система полностью определяется парой (X, /). Динамические системы, рассмотренные в диссертации, являются дискретными и необратимыми, т. е. Т = Z+.

Определим класс топологических систем — символических, представляющих особый интерес в динамике. Фазовым пространством символической системы является множество бесконечных (двусторонних или односторонних) последовательностей над некоторым конечным алфавитом, снабженное тихоновской топологией произведения, а отображением — единичный сдвиг последовательности [9]. Изучение таких систем важно, во-первых, из-за того, что они являются хорошим источником примеров и контрпримеров. Во-вторых, сужения ряда систем на различные инвариантные множества выглядят как символические системы. Такое «кодирование» используется для нахождения у системы орбит с заданными свойствами: чаще их проще найти у символической системы, а затем индуцировать на исходную. Метод «кодирования» широко применяется в диссертации.

Основная задача динамики — изучение асимптотических инвариантов, характеризующих такие свойства как возвращение и разбегание траекторий. Так как чаще всего требуется выяснить, как ведет себя траектория на бесконечном интервале времени, изучение самой траектории сводится к изучению ее предельных точек — ш-предельного множества.

Рассмотрим типичные формы «возвращаемости» точек в произвольную окрестность своего первоначального положения. В классических динамических системах часто встречаются периодические движения (когда движущаяся точка через равные промежутки времени попадает в первоначальное положение). А. Пуанкаре указал примеры непериодических движений, при которых точка сколь угодно поздно возвращается в сколь угодно малую окрестность исходного положения. Движения такого рода называются рекуррентными (в литературе также встречается термин «устойчивые по Пуассону»). Дж.Д. Биркгоф среди рекуррентных выделил класс движений с ограничением на время возвращения: в любом промежутке времени длины, зависящей от окрестности начального положения, найдется момент, при котором точка попадет в эту окрестность. Такие движения называются почти периодическими.

Введенные выше понятия можно переформулировать на языке сопредельных множеств. Точка является периодической, если ее о—предельное множество совпадает с самой траекторией, рекуррентной — если сопредельное множество совпадает с замыканием траектории, и почти периодической — если она рекуррентна и каждая траектория из ее со-предельного множества всюду плотна в нем (другими словами точка является почти периодической, если она принадлежит своему а—предельному множеству и это множество минимально).

Разбегание траекторий чаще всего измеряется энтропией отображения. Системы, в которых отображение / имеет положительную энтропию h (f), принято считать хаотическими. Но при этом на множестве полной лебеговой ^ меры траектории могут вести себя регулярно, скажем, притягиваться к одной периодической орбите. Поэтому, чтобы хаотичность системы стала «наблюдаемой» в физическом смысле, нужны дополнительные условия. Примером такого условия является транзитивность отображения, т. е. «неразложимость» фазового пространства на два инвариантных множества с непустой внутренностью. Оказывается свойство транзитивности может быть также сформулировано на языке cj-предельных множеств: система (X, /) тран-зитивна, если существует такая точка х € X, что и (х, /) = X.

В одномерной динамике фазовым пространством чаще всего выступает граф. За последние 10−15 лет появилось множество работ по этой тематике. Интерес к ней объясняется несколькими причинами. С одной стороны, существует тесная связь с другими разделами теории динамических систем. Например, для отображений многообразий с инвариантным слоением коразмерности один соответствующее фактор-отображение оказывается определенным на пространстве с одномерной структурой. Динамика псевдоано-совских гомеоморфизмов поверхностей в ряде случаев может быть сведена к анализу некоторых специальных графов [26]. А. Н. Шарковский и его школа значительно углубили [13] изучение разностных уравнений, основываясь на современной теории одномерных динамических систем (во многом созданной ими). С другой стороны, граф обладает следующим техническим преимуществом — топологическим свойством, тесно связанным с общеизвестной теоремой о промежуточном значении: малая окрестность точки разбивается этой точкой, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной.

2. Результаты главы 2 лежат в русле исследований, инициированных теоремой Шарковского, т. е. посвящены сосуществованию точек различного динамического поведения.

Рассмотрим следующее упорядочивание натуральных чисел (порядок Шарковского):

3>5>7О.>2−3>2−5О2−7о.>22−3>22.5>22−7О.> 23 > 22 > 2 > 1.

Подмножество L С N есть начальный отрезок порядка >, если вместе с числом к оно содержит все числа, стоящие правее к в порядке >.

Теорема Шарковского [И]. Если непрерывное отображение /: I —> / отрезка I в себя имеет периодическую точку периода п, то f имеет пе-i> риодические точки всех периодов, следующих за п в порядке Шарковского, т. е. множество периодов П (/) представляет из себя начальный отрезок порядка Шарковского.

Теорема Шарковского породила важное направление в исследованиях одномерных динамических систем — комбинаторную теорию. Часть усилий здесь была направлена на получение аналогичных результатов для систем с более сложным фазовым пространством. Например, доказано, что сосуществование периодов отображения окружности зависит от степени этого отображения. Если степень не равна 1, то периоды сосуществуют согласно порядку Шарковского с одним исключением (в случае deg (/) = — 2 может отсутствовать периодическая точка периода 2) [21], [23]. Если степень равна 1, то множество периодов есть объединение следующих подмножеств натуральных чисел: знаменателей дробей из некоторого интервала и (возможно) двух отрезков порядка Шарковского, «умноженных» на натуральные числа [30]. Задача сосуществования периодов непрерывных преобразований пода (т.е. графа, состоящего из п расходящихся отрезков от общего центра) была решена С. Балдвином [18].

Определим частичные порядки ур на натуральных числах: а) — порядок Шарковского о. б) Для р > 1, 6 N к Ур т, если выполнено одно из следующих условий:

1) т= 1;

2) р | к, р | т и (к/р) > (т/р).

3) к не делится на р, т = гк + jp для некоторых целых г ^ 0, j > 0.

Теорема Балдвина [18]. Если f: Хп Хп — непрерывное отображение п-ода Хп в себя, то множество периодов П (/) есть непустое конечное объединение начальных отрезков порядков >~р, 1 ^ р ^ п. И обратно, для любого подмножества К натуральных чисел, являющегося объединением конечного числа начальных отрезков порядков Ур, 1 ^ р ^ п, существует такое непрерывное отображение f п-ода в себя, оставляющее центр на месте, что П (/) = К.

Теоремы Шарковского и Балдвина дают окончательный ответ на вопрос, какие периоды влекут за собой появление других периодов. Однако долгое время незатронутым оставался вопрос сосуществования траекторий более сложных, чем периодические. Трудность заключалась в том, что для этих траекторий не существовало такого полезного инварианта, каким является период для периодических точек. Лишь в начале 90-х гг. Е Сян Дун дал решение этой проблемы для почти периодических точек, а А. И. Демин — для рекуррентных точек. Опишем вкратце их конструкции.

Рассмотрим минимальное для отображения / множество А. При fn множество, А не обязано оставаться минимальным, но оно замкнуто и /пинвариантно, следовательно, в, А существует подмножество Ао, минимальное при /п. Положим Ai = Р (Ао), г = 0, 1, — Нетрудно показать, что все множества Ai минимальны при итерации /п и найдется такое к, что выполнено Ak = Aq и Ai ф Ао при 0 < г < к (в частности, пересечение AiDAj пусто при 0 < i — j < к). Так как множество и^Дзамкнуто, /-инвариантно и не содержит собственных подмножеств, обладающих этими свойствами, мы имеем разложение.

А = А0 U. U Ак-1.

Таким образом, каждому минимальному множеству, А можно сопоставить функцию /а '¦ N —> N по правилу п —V /л (^) = к. Этот инвариант Е Сян Дун назвал декомпозиционной функцией, или Р-функцией, минимального множества А. D-функция fx для почти периодической точки х определяется как D-функция ее^{-предельного} множества ш (х, /). Е Сян Дун показал [8], [32], что для любого /-минимального множества, А функция /а принадлежит Е — множеству функций s: N —У N, удовлетворяющих условиям: а) для любых взаимно простых т, п выполнено s (mn) = s (m) • s (n) — б) для любого простого р существует такое а (р) € N U {0} U {оо}, что выполнено s (pl) = (р1, ра^) для всех натуральных I.

Верно и обратное [32]: любая функция из Е реализуется как D-функция некоторой минимальной динамической системы.

Для периодической точки х периода т функция fx (n) = (m, п). Заметим, что период т полностью определяется D-функцией fx. Поэтому D-функцию можно рассматривать как обобщение периода для периодической точки. На множестве Е можно ввести линейный порядок. Основной результат [32] заключается в том, что почти периодические траектории непрерывных отображений отрезка сосуществуют в смысле этого порядка.

А. И. Демин развил идеи Е Сян Дуна, «двигаясь» в двух направлениях. С одной стороны, он дал определение £)-функции для рекуррентных точек, основываясь на теории ультрафильтров [6], и показал эквивалентность с определением выше в случае, когда рекуррентная точка является почти периодической. С другой стороны, получено обобщение теоремы Балдви-на для всех рекуррентных траекторий n-ода. А именно, для эндоморфизма n-ода описаны всевозможные множества периодов периодических точек и .D-функций рекуррентных, но не периодических, точек.

Как заметил А. И. Демин, D-функцию рекуррентной точки х можно определить как число различных предельных множеств в разложении lj (x, /) при n-й итерации /". Фактически при этом он пользовался свойствами^{-предельного} множества, справедливыми для любой точки (см. лемму 1.1). Вышесказанное позволяет дать определение D-функции общей точки. Это сделано в первой главе настоящей работы. Здесь также установлена тесная связь .D-функции точки и декомпозиционного идеала транзитивного отображения (по Д. Бэнксу).

Возникает вопрос: верен ли результат в духе теорем Шарковского-Е Сян Дуна-Демина для всех точек? То есть мы рассматриваем задачу: зная характер динамической сложности одной точки (не обязательно периодической, почти периодической или рекуррентной), определить все обязательно наличествующие динамические сложности траекторий других точек. Для пода и окружности ответ о сосуществовании точек относительно введенного инварианта дают теоремы, доказанные во второй главе.

Когда фазовым пространством системы является отрезок многие технические трудности в изучении динамики удается избежать, воспользовавшись линейным порядком на нем. Таким образом, актуальна проблема: какие свойства динамическая система приобретает, а какие свойства остаются неизменными при замене отрезка более «сложным» графом? В главе 3 предложен прием, позволяющий редуцировать некоторые вопросы динамики отображения окружности к соответствующим вопросам отображения отрезка. Это позволило ответить на два поставленных в книге ([22], с. 227, 230) вопроса о сохранении на окружности S1 свойств предельного множества, известных в случае отрезка. Кроме того, здесь для отображений произвольных конечных графов доказана формула Блоха о том, что объединение всех предельных множеств есть асимптотический образ множества неблуждающих точек.

3. Сформулируем основные результаты диссертации.

Для произвольной точки х компактного метрического пространства X относительно эндоморфизма / определен инвариант — D-функция fx: N —>• N, обобщающий период периодической точки. Инвариант строится на основе разложения си-предельного множества точки х при п-й итерации /п. Показано, что для любой точки х функция fx принадлежит множеству Е (предложение 1.3) и что D-функция определяется^{-предельным} множеством, когда оно минимально:

Предложение 1.5. Если для точки х? X ее ш-предельное множество является минимальным множеством, А С X, то D-функция точки х совпадает с D-функцией множества А.

Построен пример (пример 1.2) непрерывного отображения / отрезка I в себя и таких точек х, у G /, что их предельные множества совпадают с/) = /), но fx ф fy. Таким образом, условие минимальности предельного множества в предложении 1.5 существенно.

Инвариант типа периода, аналогичный D-функции точки, может быть построен с помощью Л-предельного множества. Установлена его связь с D-функцией (утверждение 1.1, замечание 1.8). Для отображений графов предложен другой вариант определения D-функции точки — псевдо D-функция. Модифицированный вариант обладает теми же свойствами.

Декомпозиционный идеал транзитивного отображения и /^-функция рекуррентной точки связаны согласно следующей теореме.

Теорема 1.1. Декомпозиционный идеал совпадает с областью значений D-функции точки х G X со всюду плотной орбитой, т. е. DI (f) = /X (N). Теорема 1.1 позволяет получить другое доказательство теоремы Бэнкса. Теорема I.A. Декомпозиционный идеал DI (f) является идеалом в решетке (N, -<).

Наличие «почти всех» D-функций установлено у отображения графа со свойством перемешивания.

Теорема II.2. Если отображение f: G —> G является перемешиванием и множество P (f) непусто, то у него имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Эта теорема является следствием двух утверждений ниже (/ J означает, что отрезок / накрывает отрезок J при g-й итерации).

Предложение II.1. Если f: G —" G является перемешиванием и множество P (f) непусто, то найдутся два непересекающихся отрезка М и.

М2 таких, что Mi, А Мь Mi Л М2 «М2 —^ М с (q, г) = 1.

Теорема II. 1. Если на G найдутся два непересекающихся отрезка Mi и М2 таких, что Mi AMi, Mi Аи М2 —^ Mi с (q, г) = 1, то у отображения f имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Следствие II.5. Транзитивная топологическая цепь Маркова имеет все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Определим частичные порядки на множестве N U Е. Для этого разобьем Е на счетное число подмножеств. Положим.

Yi = {seE | s{2l) = (2Z, 2l) для всех I G N}, 0 < i < 00- Y^ = {s E E I s (2l • p) = 2l для всех I € N и всех нечетных р }- Y00 = {sG EY^ I s{21) = 2l для всех l еЩ.

Заметим, что множество Y? состоит из одной функции, будем обозначать ее 200. Пусть.

YP = {s <Е Е | s (p) =р}, ре N;

YP = Yi П YP, г € N U {0} U {00}, р? N.

Через к • 2°° обозначим такую функцию s € Е, что выполнено в (2г • q) = 2 г (к, q) для любого нечетного q и любого 0 ^ г < оо.

Порядки >-i и У2 определяются условиями.

2*'(2к + 1)^1,2 2>(2к + 3) Yj 2J+1(2m + 1) >-1,2 2°° 2J+1 >-1,2 2i для любых г, J ^ 0 и га, к > 0.

Порядки 2 совпадают с линейным порядком из работы [8]. Будем называть его порядком Шарковского — Е Сян Дуна.

Порядок при р > 2 в общем случае уже не является линейным, но содержит линейную часть из D-функций и натуральных чисел, кратных р. Это в точности порядок >-i, «умноженный» нар:

2J (2k + 1) р 2* (2к + 3) р Ур Yf 2J+1(2m + 1) р >-р Y& 2°°-рУрЯ+1р ур2>р для любых г, j ^ 0 и га, к > 0. Кроме того, для к? р • N kypik + jp У Yp Yp Uр • N ур 1 для любых г, j > 0.

Для натуральных чисел порядок >~р совпадает с соответствующим порядком С. Балдвина, описанным выше.

Более наглядное представление о порядке ур дает рисунок 1, где изображены порядки >-з и >-4. Пусть.

Jp{k) = {к} U {s G N U Е | k^ps}-, Jp (p.2°°) = {p.2°°}U{p-2n: n = 0,1,2,.}- J{oo) = {p-2n: n = 0, 1, 2, .}.

Обозначим через DF (f) множество периодов периодических точек и D-функций почти периодических, но не периодических точек, а через PDF (f) — множество периодов и псевдо D-функций точек с конечными и бесконечными^{-предельными} множествами соответственно. Возможные множества DF (f) и PDF (f) для непрерывных отображений n-ода описывает.

Теорема II.4. Если f: Хп —"• Хп непрерывное отображение п-oda Хп в себя, то множества DF (f) и PDF (f) совпадают и представляют собой конечное объединение Jp (kp) начальных отрезков в порядках У-р, р ^ п, для некоторых kp G {р- 200} U {оо} UN {2, 3, ., р— 1}. И обратно, любое вышеописанное множество является множеством PDF (f) для некоторого отображения f 6 С (Хп, Хп) с неподвижным центром.

Доказывается сформулированный результат редукцией с помощью «спектральной» теоремы Блоха (теорема II. С) к теореме Демина о сосуществовании почти периодических точек п-ода [7].

I 12 1.

1 20.

15 .

• ¦

• ¦ j y3 Yrr 1.

Порядок <1?

Порядок умноженный на 4 умноженный на 3 yi.

I б I.

3 I 1.

Y4.

Лм.

I 8 I.

4 I 1.

Рис. 1: Частичные порядки >~з (слева) и >-4 (справа).

Наличие «квазисопряжения» подмножества графа с топологической цепью Маркова обеспечивает.

Теорема II.3. Пусть на ребре I С G (возможно петле) задана совокупность отрезков С — {/i, /2, ., In} с попарно непересекающимися внутренностями и обладающая свойством от каждой вершины определяемого ею графа Маркова есть путь в вершину, из которой идут по крайней мере два ребра. Пусть, А — (0,1)-матрица, ассоциированная с С. Тогда существует такое замкнутое f-инвариантное подмножество X С U" =1/j, что системы (X, /1 X) и а) обладают общим топологическим фактором (?, а). Причем полусопряжения взаимнооднозначны за исключением счетного числа точек, на которых они двукратны.

Следующие результаты описывают сосуществование точек относительно введенных инвариантов в случае отображений окружности.

Теорема II.6. Предположим, что отображение f: S1 —" S1 таково, что 1 € П (/) и п? П (/) для некоторого натурального п > 1. Тогда для множества псевдо D-функций PDF (f) выполнена, по крайней мере, одна из следующих ситуаций:

1) EPDF (f) конечно, т. е. имеются все псевдо D-функции за исключением, быть может, конечного числа;

2) PDF (f) D J{n), т. е. имеются все псевдо D-функции, стоящие правее п в порядке Шарковского-Е Сян Дуна.

Теорема II.9. Если у отображения f: Sl S1 степени 1 интервал вращения невырожден, то имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Связь между предельными множествами и интервалом вращения описывает.

Теорема II.8. Существует такая точка х Е S1, что интервал вращения является образом предельного множества f) при функции вращения.

Объединение предельных точек u (f) = UX? gu (x, f) всех траекторий и множество неблуждающих точек связаны соотношением.

Теорема III. 1. Для отображения f: G —> G графа G справедлива формула.

Л = П /*(«(/))• fc^O.

Следующая теорема позволяет редуцировать некоторые вопросы динамики отображений окружности к соответствующим вопросам отображений отрезка.

Теорема III.2. Пусть для f: Sl —> S1 множество P (f) непусто. Если неблуждающая точка с не лежит в замыкании периодических точек, то у нее найдется такая окрестность U, что отрезок U является периодическим и точка с принадлежит £1{д), где g — сужение fn на U, а п — период U.

Методы исследования. В работе используются методы теории континуумов и теории линейно упорядоченных топологических пространств. Использованы также методы символической динамики.

Апробация диссертации. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П. С. Александрова, семинар «Меры, размерность и топологическая динамика» под рук. проф. В. В. Федорчука, проф. С. А. Богатого, доц. Ю. В. Садовничего, семинар «Эргодическая теория и динамические системы» под рук. акад. Д. В. Аносова, проф. A.M. Степина, а также на конференции молодых ученых МГУ (2004 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [33], [34] и [35].

В заключение приношу глубокую благодарность профессору С. А. Богатому за научное руководство и всестороннюю помощь в подготовке работы.

1. Биркгоф Г. Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

2. Блох A.M. О динамических системах на одномерных разветвленных многообразиях. 1 // Теория функций, функциональный анализ и их прил. 1986. Т.46, с. 8−18.

3. Блох А. М. О транзитивных отображениях одномерных разветвленных многообразий. В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 3−9.

4. Богатый С. А. Периодические точки отображений отрезка. Общая топология. Отображения топологических пространств. Сборник под ред. В. В. Федорчука и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. с.3−12.

5. Верейкина М. Б. Поведение решений разностных уравнений и почти возвращающиеся точки динамических систем. В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 20−24.

6. Демин А. И. Стабилизатор рекуррентной точки // Вестник Моск. унта, сер.1, математика, механика. 1994. № 6. с.3−6.

7. Демин А. И. Сосуществование периодических и почти периодеческих орбит непрерывных отображений триода в себя. // Вестник Моск. унта, сер.1, математика, механика. 1996. № 3. с.84−87.

8. ЕСяндун Минимальные множества и сосуществование почти периодических точек преобразований отрезка // Доклады АН СССР, т.309. № 5. 1989. с.1049−1051.

9. Каток А. Б., Хасселблат Б.

Введение

в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

10. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. т.141. № 2. с.343−374.

11. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. № 1. с.61−71.

12. Шарковский А. Н. Притягивающие множества, не содержащие циклов // Украинский математический журнал. 1968. № 1. с.136−142.

13. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев.: Наукова думка, 1986.

14. Энгельгинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

15. AlsedaLL, Llibre J. A note on the set of periods for continuous maps of the circle which have degree one // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. v.93, № 1, p. 133−138.

16. Auslander J., Katznelson Y. Continuous maps of the circle without perioic points // Israel. J. Math. 1979. v.32, p. 375−381.

17. Bae J., Yang K. u—limit sets for maps of the circle // Bull. Korean Math. Soc. 1988. v.25, p. 233−242.

18. Baldwin 5., An extension of Sharkovskii’s theorem to n-od // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1991. v. ll, p.249−271.

19. Banks J. Regular periodic decompositions for topologically transitive maps 11 Ergod. Th. Dynam. Sys. 1997. v.17, p. 505−529.

20. Bernhardt C. Periodic orbits of continuous mappings of the circle without fixed points// Ergod. Th. Dynam. Sys. 1981. v. l, p. 413−417.

21. Block L. Periods of periodic points of maps of the circle which have a fixed point // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. v.82, p. 481−486.

22. Block L.S., Coppel W.A. Dynamics in One Dimension. N.Y.: Springer-Verlag, 1992.

23. Block L., Guckenheimer J., Misiurevicz M., Young L. S. Periodic points and topological entropy of one dimensional maps. Lecture notes in math. 1980. v.819, p.18−34.

24. Blokh A. M. Spectral decomposition, periods of cycles and a conjecture of M. Misiurewicz for graph maps. Lecture notes in math. 1992. v.1514, p.24−31.

25. Evans M., Humke P., Lee Ch., O’Malley R. Characterizations of turbulent one-dimensional mappings via cu-limit sets// Trans. Amer. Mathr Soc. 1991. v.326, № 1, p. 261−280.

26. Franks J., Misiurevicz M. Cycles for disk homeomorphisms and thick trees. Contemporary Mathematics. 1993. v.152, p. 69−139.

27. Hedlund G. A. Sturmian minimal sets // Amer.J. of Math. Sos. 1944. v.66, p.605−620.

28. ItoR. Rotation sets are closed // Math. Proc. Cambridge Philos. Sos. 1981. v.89, p. 107−111.

29. Llibre J., Misiurewicz M. Horseshoes, entropy and periods for graph maps // Topology 1993. v.32, № 3, p. 649−664.

30. Misiurevicz M. Periodic points of maps of degree one of a circle // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1982. v.2, p. 221−227.

31. Nitecki Z. Topological dynamics on the interval. Progress in Math. 1982. v.21, p. 1−73.

32. Редкозубое В. В. Предельные множества отображений окружности // Матем. заметки. 2005 (принято к печати).

33. Редкозубое В. В. Центр и глубина центра непрерывных отображений дерева // Тезисы докл. XXVI конф. молодых ученых МГУ. Москва, апрель 2004, с. 100−101.