О квадратно-линейном отношении правильных кривых Пеано

Диссертация является исследованием в области фрактальной и комбинаторной геометрии. Основным объектом изучения являются численные фрактальные инварианты кривых Пеано, а именно квадратнолинейное отношение.

Под кривой Пеано подразумевается любое непрерывное отображение числового отрезка на плоский квадрат. Первая такая кривая была построена итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1890 году ([7]). Через год Давид Гильберт предложил свой вариант кривой, который стал более известным благодаря симметричности и простоте построения ([8]). С тех пор свои варианты пеановских отображений строили многие математики, среди которых Лебег и Серпинский. Ганс Саган (Hans Sagan) в своей книге [3] приводит довольно подробное описание наиболее известных вариантов построения кривых Пеано.

Правильной фрактальной кривой Пеано согласно [2], называется отображение отрезка на квадрат, допускающее разбиение области определения на несколько равных отрезков (фрактальных периодов), таких что ограничение кривой на любой из ее фрактальных периодов подобно всей кривой. Количество (минимально возможное) фрактальных периодов называется фрактальным родом кривой. Фрактальный род кривой Пеано, образом которой является квадрат, сам является полным квадратом. Кривая Пеано-Гильберта является единственной (с точностью до симметрии и подобия) кривой фрактального рода 4.

Как и все фракталы, кривые Пеано активно используются в самых разных областях современной науки. В вычислительной математике они используются для численного интегрирования функций многих переменных. Они также имеют свое приложение в алгоритмах ([21], [22], [23]) и вычислительной гидродинамике ([16]).

В биологии и медицине кривые Пеано применяются для объяснения структуры головного мозга человека ([10]). Ученые из Гарвардского университета в США пришли к выводу, что ДНК заполняет каждую клетку таким образом, что ее пространственная конструкция приближается к конструкции кривой Пеано.

В работе с базами данных кривые Пеано используются для преобразования многомерных данных к одномерным ([13], [14],[20], [24], [25]).

Интересное приложение кривых Пеано описано в статье [15]. В ней авторы показывают как красиво и информативно изобразить на рисунке граф с множеством связей. Для этого предлагается выделить на нем плотные множества, расположить их группами на отрезке, а затем, согласно кривой Пеано, отобразить эти точки на квадрат и построить ребра графа. Так как плотные множества располагаются плотно на отрезке, то и на квадрате они будут занимать компактные области. Такое изображение графа хорошо покажет связи между его плотными подграфами.

Джон Бартольди (John J. Bartholdi) в своей статье [12] описывает применение кривой Пеано к задаче коммивояжера. Там предлагается наложить на схему города кривую Пеано и посещать точки в той последовательности, как их посещает кривая Пеано.

Известным приложением кривых является обработка изображений ([17], [18], [19], [26]). Двумерное изображение (черно-белое, серое или цветное) можно представлять в виде функции f (x, y), определенной на (цифровом) прямоугольнике. Пусть p (t) пеановская кривая, отображающая отрезок на этот прямоугольник. Тогда композиция f (p (t)) представляет собой функцию одной переменной, которую можно сжимать (с потерей информации), например, с помощью разложения по всплескам (wawelet). Такого рода представление хорошо согласуется с алгоритмом JPEG-2000 и также позволяет делать Zoom: раскодирование части изображения.

Чтобы с успехом применять кривые Пеано, нужно знать некоторые их свойства. Например, в приложениях, где требуется обход (сканирование) многомерной решетки, обычно необходимо знать насколько далеко кривая уходит от заданной точки за определенное время. В разных случаях для различных кривых применялись различные способы это измерить ([5],[6],[9]). Одним из таких способов является так называемое квадратно-линейное отношение, определенное следующим образом:

Для пары p (t), р{г) точек1 кривой Пеано р: [0,1] —> [0,1] х [0,1] величина.

1Р (*)-РСГ)|2 t-T называется квадратно-линейным отношением кривой р на этой паре. Верхняя грань квадратно-линейных отношений для всевозможных пар различных точек кривой называется квадратно-линейным отношением кривой.

Впервые задача о нахождении квадратно-линейного отношения для кривой Пеано была поставлена в статье [9] Готсмана и Линденбаума в 1996 году. В ней доказано, что квадратно-линейное отношение произвольной правильно кривой Пеано не может быть меньше 3, и найдена оценка сверху на квадратно-линейное отношение кривой Пеано-Гильберта равная б|.

В 1997 году вышла статья [6], в которой улучшена оценка сверху для квадратно-линейного отношения кривой Пеано-Гильберта. Доказано, что это отношение не превосходит 6.01. Также в этой статье исследована кривая Сер-пинского, оценка сверху для ее квадратно-линейного растяжения составила 4. Заметим: хотя данная кривая и заметает квадрат, но правильной квадратной.

1 Точкой кривой мы называем точку ее графика. То есть точка кривой Пеано — это по существу пара t, p (t), где t принадлежит отображаемому отрезку, p (t) — квадрату-образу. кривой Пеано она не является, в силу того, что каждая фракция второго шага имеет форму треугольника, то есть фактически это треугольная кривая. Кроме того в данной статье доказана оценка снизу для квадратно-линейного отношения любой кривой Пеано равная 3| и оценка снизу для циклических кривых Пеано равная 4.

В 2004 году в свет вышла статья Щепина ([2]), в которой введено понятие правильных квадратных кривых Пеано и доказана оценка снизу равная 5 для любой квадратной кривой Пеано, у которой начало и конец лежат в вершинах квадрата. В частности, это утверждение верно для кривых, у которых при построении второго шага используются повороты и перемещения фракций, но не обращение времени. Такой класс кривых мы называем классом изотонных квадратных кривых. Немецкий математик Вундерлих (ХУипскНсЬ) описывал его в статье [4]. Класс кривых, определенный Щепииым, допускает обращение времени — значит, он содержит в себе класс изотонных квадратных кривых.

Точное вычисление квадратно-линейного отношения для заданной правильной кривой Пеано представляет собой довольно трудную проблему. На данный момент квадратно-линейное отношение точно определено лишь для нескольких кривых. В их числе — изученная в данной работе кривая Пеано-Гильберта, для которой это отношение оказалось равным 6. Статья [28] с доказательством этого факта вышла в 2006 году. Позже, в 2010 году, на статью ссылаются авторы работы, в которой доказывается, что нижняя оценка квадратно-линейного отношения для любой кривой Пеано равна четырем.

И).

Кривая Пеано-Гильберта имеет фрактальный род 4, то есть делится на четыре части подобные целой кривой. Оригинальная кривая Пеано имеет фрактальный род 9. Квадратно-линейное отношение для этой кривой не меньше восьми.

Интересно было найти кривые с квадратно-линейным отношением меньшим, чем в классическом случае. И они были обнаружены в классе правильных кривых Пеано фрактального рода 9. В пятой главе данной диссертации доказано, что кривые Пеано рода 9 могут быть либо диагональными, либо односторонними, то есть начало и конец кривой располагаются либо в диагонально-противоположных, либо в соседних вершинах квадрата. И в том, и в другом случае удалось найти и полностью изучить класс кривых с минимальным квадратно-линейным отношением равным 5§. Результаты, связанные с диагональными кривыми опубликованы в статьях [31] и [30]. А в пятой главе данной диссертации изучены односторонние кривые Пеано рода 9. Эти результаты опубликованы в статье [29].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения.