Асимптотические свойства метрик неположительной кривизны

Содержание

• 1. Структуры на бесконечности пространств постояной отрицательной кривизны
  • 1. 1. Понятие структуры на бесконечности
  • 1. 2. Гиперболические пространства и их асимптотическая геометрия
  • 1. 3. Пространство, А и его свойства
  • 1. 4. Формулы расстояния на плоскости Лобачевского
  • 1. 5. Асимптотическая геометрия плоскости Лобачевского
  • 1. 6. Следствия основного результата
  • 1. 7. Пространства постоянной отрицательной кривизны
• 2. Асимптотические конусы гиперболических групп
  • 2. 1. Понятие гиперболической группы
  • 2. 2. Граница гиперболического пространства
  • 2. 3. Асимптотические конусы и характеризации гиперболических групп
• 3. О характеризации плоских метрик на двумерном торе
  • 3. 1. Характеризация метрик и уравнение Якоби
  • 3. 2. Поля Якоби и симплектическая геометрия
  • 3. 3. Диффеоморфизмы окружности и условия Грина
  • 3. 4. Завершение доказательства основной теоремы
  • 3. 5. Торы с семейством замкнутых геодезических
• Литература
• Введение и основные результаты

Классическая глобальная геометрия изучает свойства геометрического объекта в целом. В последние годы, благодаря результатам М. Громова ([18],[19],[20]) появилось ее новое направление — асимптотическая геометрия, изучающая структуру пространств на бесконечности. Описание этих структур открывает необычный взгляд на геометрические объекты, позволяет обнаруживать их ранее неизвестные характеристики.

Па интуитивном уровне, структура на бесконечности метрического пространства (X, ¿х) отражает то, как оно выглядит из «бесконечно удаленной точки». Более математически, но по прежнему нестрого, это можно представить себе следующим образом. Для всякого положительного е рассмотрим метрическое пространство Х£, как множество совпадающее с X, но с расстоянием, равным ¿хЕ = ?(1х-Устремим е к нулю, и рассмотрим «предельное пространство» Хо = \т?^Х?, гДе предел метрических пространств понимается в некотором специальном смысле. Поясним это на примере евклидова пространства X = Жп. В этом случае для всякого е > 0 пространство Х£ очевидным образом изометрично X. Поэтому, при? —>— 0 мы имеем «постоянную» последовательность метрических пространств Х£, и в пределе" получаем Xq =¦ Rn.

М.Громовым были предложены два строгих способа задания структуры на бесконечности — через асимптотический подконус и асимптотический конус метрического пространства (см. Определения 1.1.2 и 1.1.3). Следующее понятие является по сути усилением первого из них. Будем говорить, что пространство (Т, dу) можно изометрически вложить на бесконечности ([33]) в метрическое пространство X, если найдется последовательность положительных чисел? i —> 0, такая что для каждой точки t G Т существует такая бесконечная последовательность {х}, г — 1,2,., точек в пространстве X, что для любых? i, ?2? Т имеет место соотношение lim е* dx{x, х) = dT{ti, t2) г—>оо

Рассмотрим некоторые примеры.

Если метрическое пространство X имеет конечный диаметр (т.е. его функция расстояния ограничена), то на бесконечности в него изометрически вкладывается лишь одна точка. Если X = то в него можно изометрически вложить на бесконечности любое пространство, являющееся подмножеством Мп (в частности, само MJ1) — и только такое пространство. Мы снова получили, что структура на бесконечности евклидова пространства совпадает с ним самим.

Следующий пример, несмотря на его простоту, очень важен. Пусть X = Ъ — множество целых чисел с метрикой dz (m:n) = |m — п|. Легко видеть, что всякое пространство, изометрически вкладывающееся в него на бесконечности есть подмножество вещественной прямой R, при этом сама прямая тоже вкладывается на бесконечности в Ъ. Таким образом, дискретная группа Ъ на бесконечности становится «непрерывной». Этот феномен наблюдается и для многих других дискретных групп — как отмечает сам Громов, он и послужил основным стимулом для изучения асимптотических инвариантов бесконечных групп: дискретным объектам сопостовляются непрерывные, более подходящие для геометрических рассмотрений.

Отметим, что геометрический подход к теории групп интересен не просто сам по себе, но и позволяет получать нетривиальные алгебраические результаты. Примером такого утверждения может служить следующая известная теорема Громова: группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса ([18]). В доказательстве этого факта впервые используется понятие «предельного пространства», из которого впоследствии возникло определение асимптотического конуса.

Построенная Громовым теория гиперболических групп ([19], [10]) полностью основана на геометрическом подходе. Гиперболические группы являются черезвычайно широким классом конечно-порожденных групп (как отмечают Э. Гис и П. де ля Арп ([Ю]), в некотором смысле «наудачу взятая группа, вероятнее всего, — гиперболическая»). Так, любая свободная группа гиперболична. Одним из главных источников примеров гиперболических групп служат компактные многообразия отрицательной кривизны — их фундаментальные группы гиперболические ([10]). Гиперболические группы и многообразия отрицательной кривизны объединяет еще одно существенное обстоятельство — они являются важнейшими классами гиперболических метрических пространств (см. Определение 1.2.1 и Замечание 2.2.5).

Как было показано Громовым ([19],[20]), любой асимптотический конус и подконус гиперболического пространства есть вещественное дерево (см. Определение 1.2.2). Более того, если всякий асимптотический подконус метрического пространства есть вещественное дерево, то оно гиперболическое (см. [10], [19], [22]).

Однако свойства быть вещественным деревом совершенно недостаточно для явного описания пространства — разные деревья могут быть совершенно непохожи друг на друга. Оказывается, что структуры на бесконечности полных односвязных многообразий постоянной отрицательной кривизны (или, как их еще называют, пространств Лобачевского) и гиперболических групп можно описать в виде некоторого пространства функций. Этому посвящены первые две главы диссертации (как было показано в работе А. Г. Дюбиной и автора ([33]), результаты для многообразий постоянной отрицательной кривизны переносятся и на общий случай переменной отрицательной кривизны).

Ключевая конструкция строится следующим образом (см. [33]). Обозначим через, А множество функций /: [0,pf) [0,1], 0 < pf <оо, таких что 1) /(0) = 0- 2)функции / «кусочно-постоянны справа» т.е. для всякого t Е [0, pf) существует ?> 0, такое, что f[t:t+e] = const. Определим на, А расстояние: ¿¿(/ъ /2) = (р^ — s) + (р— s), где

5 = SUP{ij/l (i') = Ш) Vf < t}. есть момент разделения функций /1, /2 (см. [34]).

Перечислим основные главные результаты глав 1 и 2 (см. [33],[34]). В первой главе мы показываем, что А, является полным однородным вещественным деревом с континуальным числом ветвления, и что любой асимптотический конус полного односвязного многообразия постоянной отрицательной кривизны изометричен А. Пространство, А изометрически вкладывается на бесконечности во всякое такое многообразие. Из этого вытекает, что любое вещественное дерево мощности не более чем континуум изометрически вкладывается на бесконечности в полное од-носвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны. Кроме того, доказывается, что любое вещественное дерево есть асимптотический подконус такого многообразия.

Во второй главе дается явное описание асимптотических конусов гиперболических групп и приводится характери-зация гиперболических групп в терминах их асимптотических конусов. Как известно, гиперболическая группа либо 1) конечна- либо 2) содержит циклическую подгруппу конечного индекса- либо 3) содержит свободную подгруппу с двумя образующими (в последнем случае группа называется неэлементарной). Используя понятие границы группы (см. раздел 2.2), можно переформулировать это утверждение в следующей форме: граница гиперболической группы либо 1) пуста- либо 2) состоит ровно из двух точек- 3) имеет мощность континуум. Мы показываем, что подобную ха-рактеризацию можно дать и через асимптотические конусы — для данной гиперболической группы они все либо 1) состоят из одной точки- либо 2) изометричны прямой- либо 3) изометричны пространству А.

Изучение свойств пространства «на бесконечности» оказывается мощным инструментом для решения некоторых совершенно классических задач.

Примером одной из таких проблем служит знаменитая гипотеза Хопфа о том, что п-мерный тор, не имеющий сопряженных точек, является плоским. Напомним вкратце историю вопроса. В 1942-м году Морс и Хедлунд показали, что двумерный тор без фокальных точек (см. Определение 3.2.5) евклидов ([29]). Они предположили, что условие «нефокальности» можно ослабить и достаточно потребовать отсутствия сопряженных точек. Это утверждение было доказано в 1948-м году Э. Хопфом ([24]), и им же была выдвинута гипотеза о справедливости такого результата в любой размерности. Лишь почти полвека спустя, в 1994-м году, Д. Бураго и С. Иванов ([15]) доказали ее, используя современную «асимптотическую» технику.

Вопрос о характеризации плоских метрик на торе через свойства решений уравнения Якоби можно рассматривать в контексте более общей проблемы — характеризации интегрируемых метрик в локальных терминах.

Существует гипотеза, что риманова метрика на двумерном торе интегрируема тогда и только тогда, когда она является метрикой Лиувилля. Метрики Лиувилля обобщают метрики вращения, частным случаем которых служат плоские метрики.

Интегрируемость метрики, по определению, эквивалентна интегрируемости геодезического потока на рима-новом многообразии М с такой метрикой. Геодезический поток описывает инерциальное движение материальной точки массы 1 на М вне поля действия всевозможных внешних сил. Если он интегрируем, то по теореме Лиувилля соответствующая система уравнений Гамильтона интегрируется в квадратурах и фазовое пространство расслоено на гладкие многообразия, инвариантные относительно потока и диффеоморфные двумерному тору, на которых поток определяет условно-периодическое движение (см. [3]).

Имеется глубокая связь между свойством интегрируемости метрики на поверхности М и топологической структурой этой поверхности. Известно, что если род М больше единицы, то может существовать бесконечно дифференцируемый на ТМ первый интеграл уравнений движения, не всюду зависимый (и, следовательно, почти всюду независимый) от интеграла энергии- однако, если заменить условие бесконечной дифференцируемости на более сильное условие аналитичности, то такого интеграла не существует ([7]). Этот факт показывает, насколько важно изучать интегрируемые метрики на многообразиях, гомеоморфных Б2 или Т2.

Простейшим и наиболее исследованным случаем интегрируемых метрик служат плоские метрики. Теоремы Морса-Хедлунда и Хопфа содержат достаточные условия того, что двумерный тор является плоским. Мы приводим другое достаточное условие евклидовости тора. Оказывается, что при некотором дополнительном предположении достаточно проверить отсутствие фокальных точек лишь на одной геодезической.

Основной результат главы 3 формулируется следующим образом ([35]).

Пусть геодезический поток на торе Т2 имеет инвариантный тор Ь2 с иррациональным числом вращения, гомологичный нулевому сечению касательного расслоения над Т2. Тогда если на Т2 существует геодезическая, отвечающая некоторой траектории на Ь2 и не содержащая фокальных точек, то исходный тор является евклидовым.

Ключевым моментом в доказательстве этого утверждения является изучение поведения якобиевых полей на бесконечности — так же, как и в доказательстве гипотезы Хопфа, фундаментальную роль играет аргумент асимптотического типа.

Заметим, что условия теорем Морса-Хедлунда и Хопфа являются также и необходимыми, так как на плоском торе не существует фокальных, а, следовательно, и сопряженных точек. Условия приведенного выше утверждения также необходимы для того, чтобы гауссова кривизна тождественно равнялась нулю на торе, поэтому основной результат главы 3 можно понимать как еще один, отличный от ранее известных, критерий евклидовости двумерного тора.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на семинаре в Институте теоретической физики Технического Университета Клаусталь-Целлерфельда (Германия) в 1994 году, на семинаре по эргодической теории под руководством академика РАН Я. Г. Синая (МГУ) и на конференции памяти П. С. Александрова (МГУ) в 1995 году, на семинаре «Геометрия и динамика «в Школе математических наук Тель-Авивского Университета (Израиль) в 1997 году. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре «Вычислительная геометрия и топология» кафедры Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ, проходящем под руководством д. ф.-м. н. В. М. Бухштабера.

Я глубоко благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постоянное внимание к работе. Знакомству с основами асимптотической геометрии я обязан профессору А. И. Шнирельману. Я многому научился у него в процессе совместной работы. Мне хотелось бы выразить свою признательность А. Г. Дюбиной за приятное и полезное сотрудничество. Я также очень благодарен академику РАН Я. Г. Синаю, профессорам М. Л. Вялому, Ю. С. Ильяшенко, Ф. Полену и Л. В. Полтеровичу за обсуждения результатов диссертации и поддержку на разных этапах ее подготовки.

Глава 1.

Структуры на бесконечности пространств постояной отрицательной кривизны

1.1. Понятие структуры на бесконечности

Пусть X — метрическое пространство с функцией расстояния dx¦ Приведем возможные математически строгие интерпретации понятия структуры на бесконечности пространства X. Вначале напомним данное во введении определение изометрического вложения на бесконечности. Определение 1.1.1. ([33]). Будем говорить, что пространство (Г, dт) можно изометрически вложить на бесконечности в метрическое пространство X, если найдется последовательность положительных чисел е{ —?- 0, такая что для каждой точки t (Е X существует такая бесконечная последовательность {х}, г = 1,2,., точек в пространстве X, что для любых ?1,^2? Т имеет место соотношение lim? i ¦ dxixl. xl) = dT (tut2)

Пространство T называется геодезическим (см. [19],[10]), если для любых двух точек ii,^? Т на расстоянии, а = dx (ti: ?2) ДРУГ от друга, существует изометрическое вложение д: [0, а] -" Т, такое что <7(0) = ?1, д{а) = ¿2-Определение 1.1.2. Асимптотическим подконусом ([19],[10]) метрического пространства X, называется геодезическое метрическое пространство (Т, dr), любое конечное подмножество которого можно изометрически вложить на бесконечности в X.

Напомним, что неглавный ультрафильтр со есть конечно-аддитивная мера, определенная на всех подмножествах I С N, такая что и>(1) равно 0 или 1 для любого /, и ш (1) = 0 если / конечно (см. [20], [25]). Предел по неглавному ультрафильтру S (cu) для всякой ограниченной функции S: N —> Е однозначно определяется следующим условием: для любого? > u-({i? I\5(i) — 5{си) <�е}) = 1.

Определение 1.1.3. ([20]). Зафиксируем точку xq? X и рассмотрим множество последовательностей /: N —X, таких что dx (xQ, f (i)) /ь/2(г) = dx{fi (i)→ /2(0)/^ Будем считать последовательности fi,/2 эквивалентными, если предел ¿>/ь/2(<^) = 0. Множество Т классов эквивалентности, снабженное расстоянием drili 9) = является метрическим пространством, называемым асимптотическим конусом пространства X по отношению к неглавному ультрафильтру и: Т = ConwX.

Отметим, что всякий асимптотический конус есть полное метрическое пространство ([23]) — СопшХ наследует у X свойства однородности и геодезичности (см. [30],[25],[26]).

Заметим, что любой асимптотический конус геодезического метрического пространства является также и его асимптотическим подконусом. Действительно, пусть Т — асимптотический конус пространства X по отношению к какому-нибудь ультрафильтру оо. Очевидно, что любую пару его точек можно изометрически вложить на бесконечности в X. Перейти от двух точек к произвольному конечному набору позволяет следующее простое замечание: для любых двух множеств /, «7 С М, таких что оо (I) — = 1, из аддитивности меры оо вытекает, что ио (1Г3) =а-(М ((М/)и (М"7)) = 1. При этом асимптотический конус геодезического пространства тоже есть геодезическое пространство, и следовательно является асимптотическим подконусом X.

1.2. Гиперболические пространства и их асимптотическая геометрия

Определение 1.2.1. ([19],[10]). Геодезическое метрическое пространство X называется 5-гиперболическим, если для любого геодезического треугольника расстояние от точки на одной из его сторон до объединения двух других сторон не превосходит некоторого фиксированного 6 > 0. Если конкретное значение 6 неважно, говорят просто, что X — гиперболическое.

Как отмечалось во введении, М. Громов доказал, что любой асимптотический конус и подконус гиперболического метрического пространства есть О-гиперболическое пространство, или вещественное дерево (см. [19],[20], [10]): Определение 1.2.2. Метрическое пространство называется вещественным деревом, если 1) любые две его точки ограничивает единственный геодезический сегмент- и 2) если два геодезических сегмента имеют ровно одну общую граничную точку, то их объединение тоже есть геодезический сегмент.

С точки зрения дифференциальной геометрии, наиболее интересным классом гиперболических пространств являются многообразия отрицательной кривизны — или, точнее, полные односвязные римановы многообразия, секционные кривизны которых ограничены сверху некоторым числом к < 0 (см. [10]). Нашей целью является полное описание структуры на бесконечности полных односвязных многообразий постоянной отрицательной кривизны (как отмечалось во введении, в общем случае переменной отрицательной кривизны результаты не отличаются (см. [33])). Как будет показано ниже, для этого достаточно изучить структуру на бесконечности всем известной плоскости Лобачевского.

В работе [34] определялись функциональные пространства S и D, являющиеся вещественными деревьями, ветвящимися в каждой точке, и служащие примерами асимптотических подконусов плоскости Лобачевского. Подобные конструкции рассматривались также В. Берестовским [9] и А. Шнирельманом [32]. Оказывается, что структура на бесконечности гиперболической плоскости полностью описывается похожим функциональным пространством.

1.3. Пространство, А и его свойства

Напомним определение пространства А, данное во введении. Рассмотрим множество функций /: [0,//) —У [0,1], 0 < pf <оо, таких что 1) /(0) = 0- 2)функции / «кусочно-постоянны справа» т.е. для всякого t 6 [0,//) существует ?> 0, такое, что f[t, t+e] — const. Определим на, А расстояdA (flj2) = (pfl-s)+(pf>-8), (1.1) s = sup{i|/1(t,) = /2(i/) Vf

Лемма 1.3.1. ([34]). Расстояние dA корректно определено на пространстве А.

Доказательство. Нам надо проверить, что расстояние (1.1) удовлетворяет неравенству треугольника. Пусть /ъ /2, /з — ТРИ произвольные функции из пространства А, Ръ Р2, Рз — границы их областей определения и S12, S13, S23 — соответствующие моменты разделения. Без ограничения общности можно считать, что S12 < S13 <«23- Тогда, очевидно, S12 — ?>13. Тем самым, dA (fb /2) + dA (fh /3) = 2/01 + Р2 + РЗ — 4512 > Р2 + рз — 2512 > Р2 + Рз — 2S23 = dA{f2: /з)

Два оставшихся неравенства доказываются аналогично.? Главное отличие, А от пространств S и D, введенных в [34], заключается в том, что, А состоит из кусочно-непрерывных функций (быть может со счетным чилом интервалов непрерывности), и за счет этого становится полным метрическим пространством:

Лемма 1.3.2. ([33]). Метрическое пространство (А,?а) полно.

Доказательство. Рассмотрим фундаментальную последовательность fi в А. Тогда pi — р^ фундаментальна, так как dA (fi:fj) > |pi — pj. Обозначим р = lim^ooPi- Тогда Ит^-юо Sij = р, где s%] есть момент разделения функций Действительно, = (а — б^) + (р3 — з^) и = /ч + Р1-Ш, г,) ^ р (12)

Следовательно, для любого р' <р функции совпадают для всех г, начиная с некоторого номера, на интервале [О, р'). Определим / полагая /(х) = Нт^оо/гДля всех ж ? [0,р). Заметим, что / ? А, так как для любого х ? [0, р) существуют номер I и число е> 0, такие что /1 [о, ж+е] = //|[о, ж+ф и следовательно / «кусочно-постоянна» справа. Лемма доказана. ?.

Лемма 1.3.3. ([33],[34]). Пространство, А является вещественным деревом причем валентность каждой его точки есть континуум.

Доказательство. Вначале покажем, что пространство, А есть вещественное дерево. Пусть /ь /2 (= А — две произвольные функции, Р1, Р2 — границы их областей определения соответственно, ив — момент разделения между ними. Тогда /2) = р + р2 — Рассмотрим следующее вложение:^: [0, р 4- рг — 2в] —> А: {ЛМ, 0 < * < - ж}, 0 <�х<�Р1-з-= Ш*), 0<�г<�х + 2з- Р1>, (1.3)

I — 5 < X < р1 + р2 — 25.

Это вложение изометрично и очевидным образом единственно с этим свойством, следовательно условие 1) определения 1.2.2 выполнено. Чтобы проверить условие 2), заметим, что любые два геодезических сегмента [/, д], [д, К могут иметь ровно одну общую точку д в том и только в том случае, когда функция к есть продолжение функции д и отделяется от нее не ранее, чем от /, или, аналогично, функция / есть продолжение функции д и отделяется от нее не ранее, чем от Н. В обоих случаях по формуле (1.3) получаем, что [/, К тоже есть геодезический сегмент. Таким образом, А есть вещественное дерево.

Напомним, что валентностью точки? вещественного дерева Т называют мощность множества компонент связности Т t. Докажем, что валентность каждой точки, А есть континуум. Возьмем произвольную функцию /: [О, р) —[0,1] 6 А. Для любого с б [0,1] рассмотрим множество функций: [0,р + <5) —^ [0,1], таких что /¿М = /(*), 0 < I < р и /¿(г) = с, р < I < р + 6. Для различных с мы получаем непересекающиеся лучи, начинающиеся в точке /. Так как, А есть вещественное дерево, эти лучи лежат в разных компонентах связности множества, А /. Следовательно, валентность точки /? А есть континуум. Лемма доказана. ?

Теорема 1.3.4. ([33],[21]). (1) Любое вещественное дерево не более чем континуальной мощности можно изометрически вложить в А. (11) Любое полное вещественное дерево, каждая точка которого имеет валентность континуум, изо-метрично А. (ш) Метрическое пространство, А однородно.

Доказательство. (1) Пусть Г — произвольное дерево мощности сагс?(Г) < 2*4 Будем говорить, что его поддерево Т С Г хорошее, если оно удовлетворяет следующим двум свойствам: а) Т непусто и связно- б) Ш (Е Т либо Т имеет непустое пересечение со всеми компонентами связности множества Г£ (в этом случае назовем точку? полновалентной), либо Т имеет непустое пересечение с не более чем двумя компонентами связности множества Г? (в таком случае назовем точку? мало валентной). Заметим, что объединение вложенных хороших поддеревьев также является хорошим поддеревом. Рассмотрим пары Р = (Т, Г), такие что Т есть хорошее дерево и Р: Т, А — изометрическое вложение. Введем частичный порядок на таких парах: (Ть < (Т2,^2) если Тг С Т2 и = Множество таких пар очевидно непусто, так как оно содержит всевозможные вложения одноточечных множеств. Любое линейно упорядоченное множество пар Ра = (Та, Ра) имеет максимальный элемент. Действительно, положим Т = иТа и возьмем такое .Р, что Рта = Тогда по лемме Цорна (см. [12]) существует максимальный элемент Ртах = (Ттах, Ртах). Покажем, что Ттах = Г. ЕСЛИ это не так, то существует 7? Г Ттах. Возьмем произвольное? ? Ттах и рассмотрим геодезический сегмент [?. 7]. Пересечение [?, 7] П Ттоаж есть либо отрезок [?,?'], либо полуинтервал [?,?'). Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

I- Ттах П [?, 7] = [М') — Рассмотрим = Ттах и V. Это хорошее поддерево, так как Т^аа. пересекается с единственной связной компонентой Г (так как Ттах связно), а для точек из Ттах условие б) остается справедливым. В силу полноты А, изометрическое вложение Ттах может быть продолжено до изометрического вложения Т’тах. Это противоречит максимальности Ртах.

II. Ттах П [?, 7] = [М']- Тогда Ттах не пересекает связную компоненту Г содержащую 7, и следовательно маловалентна. В каждой компоненте связности Г не пересекающейся с Ттах, мы фиксируем точку ^ и рассмотрим геодезические сегменты [?',?//]. Рассмотрим = и Ттах. Это хорошее поддерево. Действительно, полновалентна, для точек Ттах условие б) остается в силе, а точки Т’тах Ттах = Цц^',^] маловалентны.

Построим продолжение отображения Р на Т’тах. Рассмотрим Е А. Точка Р (Ь') является общим концом континуума лучей, лежащих в различных компонентах связности множества AF (t'). Точки F{Tmax) могут лежать в не более чем двух из них. Так как множество отрезков [t'^t^] не более чем континуально, каждому такому отрезку мы можем изометрически сопоставить сегмент [F (t'), F (tfj)] на одном из «свободных» лучей, А F (t') (т.е. не содержащих точек из Ттах). Мы снова получаем противоречие с максимальностью Ртах

Таким образом, Ттах — Г и Fmax есть его изометрическое вложение в пространство А, что завершает доказательство пункта (г). и) Пусть Г полное вещественное дерево, каждая точка которого имеет валентность континуум. Назовем пару (Т, F) хорошей, если Т хорошее поддерево, и F переводит полновалентные точки в полновалентные. Так же, как и в случае (i), множество хороших пар непусто, на нем можно ввести аналогичный частичный порядок и всякое линейно-упорядоченное множество хороших пар имеет максимальный элемент. Следовательно, по лемме Цорна существует максимальная пара (Tmax, Fmax), где Ттах = Г. Докажем, что Fmax есть сюръекция. Если это не так, то существует точка, а 6 А, не лежащая в Fmax (Tmax). Возьмем произвольную точку р е Fmax (Tmax) и рассмотрим [а, р] П Fm&x (Tmax). Так как Fmax (Tmax) полно (будучи изометрическим образом полного пространства Ттах = Г), это пересечение есть отрезок [а, р'}. Но в таком случае Fmax (Tmax) пересекается не со всеми компонентами связности, А р', в то время как -^тах (р') ^ Г очевидным образом полновалентна, что противоречит тому, что (Ттах, Fmax) — хорошая пара. Таким образом, Fmax есть изометрия между, А и Г. (iii) Напомним, что метрическое пространство называется однородным, если для любых двух его точек найдется взаимно однозначная изометрия этого пространства, переводящая одну точку в другую.

Выберем две произвольные точки 70? Г и ао € А. Заметим, что в доказательстве (11) можно было бы рассматривать только те хорошие пары (Т, .Р), которые удовлетворяют условию (Го, .Ро) < (Т, г), где Т0 = 70,^о (то) = о-о-Тогда в конечном счете мы получили бы изометрию между Г и А, переводящую 70 в ао- Полагая Г = А, получаем, что, А — однородное метрическое пространство.

Теорема 1.3.4 доказана полностью.? Замечание 1.3.5. Конструкции универсальных пространств, в которые изометрически вкладывются любые вещественные деревья не более чем заданной мощности, содержатся в [28]. В этой же работе рассматриваются расстояния на деревьях, аналогичные (1.1) (см. также [27]).

1.4. Формулы расстояния на плоскости Лобачевского

Пусть X — Ш — плоскость Лобачевского- для удобства вычислений мы рассматриваем ее модель Пуанкаре в круге:

X = {х е С: |ж| < 1}.

Для каждой точки х 6 X, обозначим через р неевклидово расстояние между точками х и нулем, центром X, и через (р полярный угол- тем самым, (р,

Между риг имеется следующее соотношение (см. [8]):

Расстояние между точками х, хч? X определяется по формуле ([8]): хЫ, х2) = 1п —+ Х1—(1.4) |1 — Х1Х2 ~ Х1 ~ Х2

Мы перепишем эту формулу в евклидовых полярных координатах. Если х = (гх,(/?1), Х2 = (г2,? то выражение (1.4) принимает вид: а+(г1г2)2−2г1г2 С0 В ((р1 —<�р2) ^ ах (хих2)=Ы V — (1.5)

V г+г1−2г1г2 СО$(Щ-Ч>2)

После ряда элементарных преобразований формулы (1.5) мы имеем ([34],[31]): х{х 1, ж2) = 1п | ^ д, (1.6)

2-/?2)(? + 1/?)2 + /?2(5 + 1/5)2'

З2 = 1 — С08((^1 — 2), = ?2 = ер'-р

Эта формула удобна для асимптотического анализа и будет играть ключевую роль в следующем разделе.

1.5. Асимптотическая геометрия плоскости Лобачевского

Основной результат главы 1 можно сформулировать следующим образом:

Теорема 1.5.1. ([33],[21]). Пространство, А можно изометрически вложить на бесконечности в плоскость Лобачевского.

Доказательство. Каждой функции f (t)? Д /: [0,/?) [0,1] сопоставим последовательность точек гиперболической плоскости хп = (рп, срп), где рп = рп, а

Рп = joPe~tnf (t)dt.

Рассмотрим две произвольные функции f (t), g (t)? А, хп — (pl,(pQ, уп = (Рп,<�Рп) — соответствующие им последовательности точек. Без ограничения общности можно считать, что pf> р9. Докажем, что

Hm -dx (xn, уп) = dA (f, д) = pf + р9 — 2s, (1.7) где s — момент разделения между функциями / и д. Обозначим фп — fl — ip9n. Покажем, что lim ^ = (1.8)

Продолжим функции / и д нулем на всю положительную полуось. Тогда

О0 fOQ

Фп = /0 (/" - g (t))e~ntdt = I (f (t) — g (t))e~ntdt. (1.9)

Так как f, g? А, существуют? > 0 и с ф 0 (без ограничения общности можно считать с > 0), такие что f (t)—g (t) = с на отрезке [s, s + е]. Разобьем интеграл (1.9) на два слагаемых:

PS i-? /* фп = I ce~ntdt + ljf (t) — g (t))e~ntdt. Оценим второе слагаемое:

Je (f (t) — g (t))e'ntdt < jT 2e-ntdt = le~<8+e

Таким образом, ее-д-е-«) 2 се-(1 — | 2^^ п п п п

Выражения в правой и левой части имеют вид яч, с const е ns (~ ±е п£).

Очевидно, что

Це-п5(? + c^stg-ne) П стремится к —s при п —> оо.

Следовательно, Ит^-юо ^^ = — s, и формула (1.8) доказана.

С помощью этой формулы и несложного асимптотического анализа выражения (1.6) получаем: lim dx{Xn, у&bdquo-) = «lim I + = ть ть pf -pg + lim — In (ф2пе2рЭп) = pf — ps + 2p9 + 2 lim ^ = r И Tl—>00 n J г Г Г n→00 n pf + p9 — 2s.

Таким образом, мы проверили справедливость формулы (1.7). Следовательно, пространство, А можно изометрически вложить на бесконечности в плоскость Лобачевского. Теорема доказана. ?

Замечание 1.5.2. Из доказательства теоремы 1.5.1 следует, что мы на самом деле изометрически вложили на бесконечности пространство, А в бесконечно узкую окрестность луча на плоскости Лобачевского.

1.6. Следствия основного результата

Следствие 1.6.1. ([33]). Любое вещественное дерево не более чем континуальной мощности изометрически вкладывается на бесконечности в плоскость Лобачевского. Обратно, всякое геодезическое метрическое пространство, изометрически вкладывающееся на бесконечности в плоскость Лобачевского, есть вещественное дерево не более чем континуальной мощности.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из Теорем 1.5.1 и 1.3.4. Чтобы проверить второе, надо показать, что любое метрическое пространство, изометрически вло-жимое на бесконечности в плоскость Лобачевского, не более чем континуально. Действительно, всякой точке такого пространства мы сопоставляем последовательность точек из X, причем разным точкам соответствуют разные последовательности. Однако мощность множества всех последовательностей точек на плоскости Лобачевского не более чем континуальна. Следствие доказано.? Следствие 1.6.2. ([33]). Любое вещественное дерево является асимптотическим подконусом плоскости Лобачевского.

Доказательство. Пусть Т — произвольное вещественное дерево, а Т' — какое-то его конечное подмножество точек. Соединим попарно точки Т' геодезическими сегментами. Мы получим дерево с конечным числом вершин. Оно очевидным образом изометрично вкладывается в А, и следовательно, изометрически вкладывается на бесконечности в плоскость Лобачевского. Кроме того, Т является геодезическим пространством, так как оно есть вещественное дерево. Это означает, что Т — асимптотический подконус гиперболической плоскости. ?

Заметим, что так как всякий подконус плоскости Лобачевского есть вещественное дерево, мы описали все ее асимптотические подконусы.

Теорема 1.6.3. ([33]). Любой асимптотический конус плоскости Лобачевского изометричен А. В частности, это означает, что асимптотический подконус плоскости Лобачевского изометрически вкладывается в нее на бесконечности.

Доказательство. Асимптотический конус является полным метрическим пространством. Кроме того, так как плоскость Лобачевского однородна, ее асимптотический конус также однороден. Заметим, что если последовательность имеет обычный предел, то она сходится к нему по любому ультрафильтру. Поэтому из формулы (1.7) и определения асимптотического конуса следует, что пространство, А может быть изометрически вложено в Соп^Х для любого ультрафильтра ш. Таким образом, некоторые точки конуса имеют валентность не менее чем континуум, а следовательно ровно континуум (в силу того же теоретико-множественного аргумента, что и в доказательстве следствия 1.6.1). В силу однородности это означает, что валентность всех точек асимптотического конуса есть континуум — по теореме 1.3.4 он изометричен А.? Замечание 1.6.4. Из доказанной теоремы в частности следует, что асимптотические конусы плоскости Лобачевского не зависят от выбора ультрафильтра.

1.7. Пространства постоянной отрицательной кривизны

В этом коротком разделе, завершающем главу 1, мы покажем, что все доказанные выше результаты обобщаются на случай полных односвязных многообразий постоянной отрицательной кривизны произвольной размерности (их также называют пространствами Лобачевского). Как отмечалось во введении, всякое полное односвязное многообразие с секционными кривизнами, отделенными сверху от нуля, является гиперболическим. Здесь мы рассматриваем частный случай постоянной отрицательной кривизны. Теорема 1.7.1. ([33]). Пусть М = Шп — полное односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны. Тогда (1) пространство, А изометрически вкладывается в М на бесконечности- (11) любое вещественное дерево не более чем континуальной мощности изометрически вкладывается на бесконечности в М и обратно, всякое геодезическое метрическое пространство, изометрически вкладывающееся на бесконечности в М, есть вещественное дерево не более чем континуальной мощности- (ш) любой асимптотический конус М изометричен А- (гу) любое вещественное дерево есть асимптотический подконус М. Доказательство. Плоскость Лобачевского можно изометрически вложить в М — утверждения (?) следует из этого немедленно. Аналогично следствиям 1.6.1 и 1.6.2, из (1) вытекают (и) и (гу). Доказательство утверждения (И) полностью аналогично доказательству теоремы 1.6.3. Замечание 1.7.2. Теорема 1.7.1 верна и для общего случая полного односвязного многообразия переменной отрицательной кривизны (см. [33],[21]).

Глава 2.

Асимптотические конусы гиперболических групп

2.1. Понятие гиперболической группы

Пусть Г — конечно-порожденная группа с системой образующих (2. Будем считать, что (7 не содержит единицы группы Г и вместе с каждым элементом 7 содержит и элемент 7−1. Введем на группе Г словарную метрику: длиной 1д (7) элемента 7 будем называть минимальную длину слова из элементов (2, необходимых для записи 7. Для любых двух элементов 71,72? Г, определим расстояние ^(7(71*72) — ^(7Г172) — Это корректно определенная лево-инвариантная метрика на группе Г ([10],[19]).

Заметим, что это расстояние принимает лишь целочисленные значения, и поэтому Г не является геодезическим пространством. Поэтому полезно рассматривать граф Кэли группы Г, вершинами которого служат элементы группы, причем ребрами соединены вершины, находящиеся на единичном расстоянии. Граф Кэли — линейно-связное метрическое пространство, и естественное вложение в него группы со словарной метрикой является изоме-трией ([Ю]).

Определение 2.1.1. Конечно-порожденная группа называется гиперболической, если ее граф Кэли относительно некоторой системы образующих является гиперболическим пространством (см. [19],[10]).

Можно показать, что если группа гиперболична относительна некоторой своей системы образующих, то это выполняется и для любой системы. Введем следующее важное определение.

Определение 2.1.2. ([10]). Пусть {Х, й) и (Х',<1') — два метрических пространства. Говорят, что пространства X и X' квазиизометричны, если существуют отображения /: X —» Xд: X' —> X, а также константы Л > 0, С > 0, такие что с1'(/(х), Лу)) < с1(х, у) + С для любых 1,2/6 1, (1(д (х'), д{у')) < в!(х', у') + С для любых х', у'? X

Понятие квазиизометричности отражает «схожесть» метрических пространств, если смотреть на них из бесконечности. Очевидно, это есть отношение эквивалентности на категории метрических пространств. В каком-то смыле можно считать, что асимптотическая геометрия изучает метрические пространства с «с точностью до квазиизоме-трии»