Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами

Содержание

Задачи, связанные с изучением локально минимальных сетей, т. е. кратчайших в малом, и экстремальных сетей, т. е. критических точек функционала нормированной длины, гое определение которых см. ниже, появляются при обобщении следующей классической задачи, известной в литературе как проблема Штейнера: среди всех сетей, затягивающих данное конечное множество X точек евклидовой плоскости, найти сеть наименьшей длины. Решение этой задачи называется кратчайшей или абсолютно минимальной сетью, затягивающей множество X. Отметим, что с точки зрения римановой геометрии, локально минимальные сети являются естественным обобщением обычных геодезических. Действительно, локально минимальная сеть, затягивающая две произвольные точки на некотором римановом многообразии, представляет собой обычную геодезическую, т. е. кратчайшую в малом кривую. Более подробный исторический обзор, посвященный проблеме Штейнера, можно найти в [4, 5, 25, 31].

Традиционно больше внимания уделяется изучению локально минимальных и кратчайших сетей, чем изучению экстремальных сетей. Это связано с тем, что в случае функционала римановой длины, если разрешено расщеплять вершины, классы локально минимальных и экстремальных сетей совпадают, см. [15]. В данной работе рассматриваются сети на А-нормированных плоскостях, т. е. на нормированных плоскостях (Е2,рл), для которых единичная окружность Е = {жб М2| р (х) = 1} совпадает с правильным 2А-угольником, одна из осей симметрии которого лежит на оси абсцисс. Важными отличиями этих нормированных плоскостей от стандартной евклидовой плоскости являются отсутствия гладкости единичной окружности? и строгой выпуклости единичного круга, ограниченного ?. Часто нормы, для которых единичная окружность Е является гладкой, называют гладкими, а нормы, для которых единичный круг строго выпуклый, — строго выпуклыми. Оказывается, на этих А-нормированных плоскостях, ввиду отсутствия гладкости нормы, класс локально минимальных сетей существенно шире класса экстремальных сетей.

Первые работы, посвященные изучению проблемы Штейнера на нормированных плоскостях, появились в 60-е годы XX века, см. [6], в связи с бурным развитием электроники и робототехники. В 1966 г. Ханан [8] провел исследование кратчайших прямоугольных деревьев, т. е. кратчайших сетей на 2-нормированной, так называемой манхеттенской, плоскости, и описал несколько важных общих геометрических свойств таких сетей. Он указал максимальную степень, которую могут иметь как внутренние, так и граничные вершины кратчайшей сети на манхеттенской плоскости, а именно, что эта степень равна 4 для всех вершин. Также Ха-нан показал, что всегда существует кратчайшее прямоугольное дерево, которое является подмножеством решетки Ханана — множества всех вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через граничные точки. Позже Хванг [9] описал структуру некоторых кратчайших сетей на манхеттенской плоскости, но эффективный алгоритм, строящий кратчайшую сеть, найти не удалось. В 1977 г. Гэри и Джонсон [7] показали, что задача поиска кратчайшего прямоугольного дерева, затягивающего п различных точек плоскости, является Л^Р-полной. Последнее означает, что, скорее всего, для этой проблемы не существует полиномиального алгоритма, т. е. алгоритма, решающего задачу за время 0(пк), где к — некоторое фиксированное число. Тем не менее, на практике приходится строить кратчайшие деревья, затягивающие большое количество точек плоскости, поэтому изучение ограничений на структуру кратчайших сетей является важным для

приложений. Эти ограничения позволяют сокращать набор претендентов на кратчайшую сеть. Например, хорошо I известно, что степени вершин кратчайших сетей на стандартной евклидовой плоскости должны быть не больше 3, что существенно снижает перебор при построении кратчайшего дерева. Такие же эффекты можно получить, исходя из геометрии граничного множества. Например, если в качестве граничного множества X рассматривается правильный многоугольник, то для такого X удается получить полный

список кратчайших сетей, его затягивающих, см. [4]. Также имеются существенные продвижения и в задаче описания локально минимальных сетей, затягивающих X, см. [13, 14, 35, 36].

В 90-х годах XX века проблемой Штейнера на нормированных плоскостях занимались многие ученые. Опишем некоторые важные результаты, касающиеся сетей на нормированных плоскостях.

Рассмотрим вопрос о максимальной степени вершины. В случае, когда норма является гладкой и строго выпуклой, степень вершин не превосходит 3, см. [1]. Как было отмечено выше, если мы откажемся от условий гладкости и строгой выпуклости нормы (как это имеет место, например, на манхеттенской плоскости), то степень вершин может быть больше 3. Рассмотрим нормированные плоскости, которые удовлетворяют только одному из обсуждаемых условий, т. е. либо норма является гладкой, либо строго выпуклой. Оказывается, что существуют нормированные плоскости со строго выпуклой нормой и кусочно-гладкой единичной окружно стью, на которых внутренние вершины кратчайших сетей могут иметь степень 4, см. [1]. Заметим, что упомянутая выше манхеттенская плоскость не удовлетворяет условию строгой выпуклости единичного круга. Лаулор и Морган [28] обобщили результаты, полученные в [1], и показали, что на нормированных плоскостях с гладкой нормой и без условия ее строгой выпуклости степень внутренней вершины все равно не превосходит 3. Но в некоторых случаях условие строгой выпуклости нормы играет существенную роль при ограничении степени вершин. Если норма строго выпуклая, но не обязательно гладкая, то Альфаро и др. [1] показали, что степень внутренней вершины не больше 4, а Цислик в работе [2] доказал это ограничение для всех вершин. Подводя итоги вышесказанного, мы можем заключить, что на нормированных плоскостях с гладкой нормой степени вершин не превосходят 3, а со строго выпуклой нормой

4. Более того, Цислик показал [2], что на нормированных плоскостях, не изометричных 3-нормированной плоскости, степень вершин не может быть больше 5. Сванепол уточнил этот результат [32] и доказал, что на любой нормированной плоскости степень внутренней вершины не превосходит 4, а граничной — 6, причем граничная вершина может иметь степень 5 или 6 только на плоскостях, изометричных 3-нормированной k плоскости.

Локальная структура локально минимальных сетей на А-нормирован-ных плоскостях, А ф 2, т. е. возможные степени вершин и углы между смежными ребрами, была описана Саррафзаде и Вонгом [30], а также Ли и Шеном [29]. Но в этих двух работах описание было не полным, так как отсутствовали некоторые возможные структуры вершин степени 3 для 2А = 0 (mod 3). Полный же ответ был независимо получен Сванепо-лом [32] и автором настоящей диссертации [18].

Отметим, что проблемой Штейнера занимались многие известные математики, такие как Винтер, Гилберт, Гильдебрандт, Грехем, Гэри, Джонсон, Ду, Иванов, Кокейн, Мантуров, Мелзак, Морган, Поллак, Рубинштейн, Смит, Томас, Тужилин, Фоменко, Ханан, Хванг, Цислик и другие. Одна из причин этого неослабевающего интереса специалистов к минимальным сетям состоит в том, что у проблемы Штейнера имеется много различных интерпретаций и

приложений. Например, заданное конечное множество X можно интерпретировать как набор конечных (терминальных) пунктов. Если, например, терминальные пункты города, которые требуется соединить сетью дорог, то в этом случае минимальная сеть — это самая дешевая транспортная система, обеспечивающая коммуникации между данными конечными пунктами. Здесь естественно предполагается, что стоимость коммуникаций пропорциональна их длине. Другие

приложения проблемы Штейнера — это разводка микросхем и построение эволюционных деревьев. Основная проблема при разводке микросхем — это минимизация длины проводников на печатных платах. Эти проводники имеют вид ломанных линий, составленных из горизонтальных и вертикальных отрезков. Таким образом, разводка микросхем имеет непосредственное отношение к проблеме Штейнера на манхеттенской плоскости. Эволюционные деревья часто моделируются кратчайшими сетями в филогенетических пространствах, т. е. в пространствах слов с соответствующей метрикой.

Теорией экстремальных сетей много занимались А. О. Иванов и A.A. Тужилин [12, 14, 15, 17]. В своих работах [15, 17] они показали, как по каждой сети можно построить систему неравенств, выполнение которых при каждом значении переменных равносильно экстремальности исходной сети. Функции, входящие в эту систему, устроены достаточно сложно, в них даже могут встречаться условные операторы, поэтому, в общем случае, проверка справедливости этих неравенств может оказаться чрезвычайно трудоемкой. Один из результатов настоящей диссертации состоит в том, что для условия экстремальности дерева на А-нормирован-ной плоскости достаточно показать справедливость неравенств системы для деревьев простого вида и лишь для конечного набора значений переменных. А. О. Иванов и А. А. Тужилин [15, 17] получили, используя систему обсужденных выше неравенств, геометрический критерий экстремальности локально минимальной сети на 2-нормированной плоскости. Настоящая диссертация дает геометрический ответ на вопрос, когда дерево является экстремальным на А-нормированной плоскости для всех А, за исключением, А = 2, 3, 4, 6. Для получения этого ответа были выбраны методы теории экстремальных сетей, разработанные А. О. Ивановым и A.A. Тужилиным [12, 14, 15, 17]. Была построена характеристика дерева, ориентированная погрешность, которая является аналогом числа вращения дерева на евклидовой плоскости. Оказывается, что эта погрешность полностью отвечает за экстремальность дерева на А-нормированной плоскости. Сама ориентированная погрешность дерева считается достаточно просто: сначала определяется ориентированная погрешность между двумя смежными ребрами как кососимметричная функция от их направлений- затем для всех путей, входящих в дерево и удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, определяется ориентированная погрешность как сумма ориентированных погрешностей во внутренних вершинах- наконец, вычисляется максимум ориентированных погрешностей всевозможных ориентированных путей, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям.

Поскольку дерево содержит конечное число путей, для любого дерева мы можем за конечное число шагов вычислить ориентированную погрешность и проверить его экстремальность. Отметим, что ориентированная погрешность пути определяется только самим путем, т. е. ребра, не входящие в путь, но смежные с ним, не влияют на результат. Для некоторых деревьев критерий экстремальности в терминах погрешности позволяет достаточно быстро отвечать на вопрос об их экстремальности. Так, в диссертации критерий применяется к деревьям, которые представляют собой путь. Критерий, получаемый в этом случае, достаточно прост и нагляден, см. теорему

4.17. Также в диссертации исследуется вопрос о реализации дерева в виде локально минимального или экстремального дерева на Л-нормированной плоскости и поведение экстремального дерева на А-нормированных плоскостях при Л —оо. Как и следовало ожидать, при достаточно больших Л структура экстремального дерева на Л-нормированной плоскости близка к структуре экстремального дерева на евклидовой плоскости, т. е. степени вершин те же и углы между смежными ребрами приблизительно одни и те же.

Диссертация состоит из пяти глав.

Первая

глава IIосвящена описанию основных используемых в работе понятий и результатов, связанных с теорией сетей. Эта глава основывается на [12, 14, 15, 17, 18, 29, 32]. В первом параграфе вводятся определения сети, границы сети, подсети, деформации сети, типа расщепления сети, которые будут использоваться в дальнейшем.

Во втором параграфе описываются операции над сетями, такие как разрезание сети по вершине и ребру, редукция и антиредукция сети. Первые три операции применяются для упрощения проверки экстремальности произвольной сети. С помощью этих операций мы переходим к сетям более простого вида, экстремальность которых равносильна экстремальности исходной сети. Последняя операция используется для построения экстремальных сетей общего вида из экстремальных сетей простого вида.

В параграфе 1.3 мы вводим понятие экстремальной и слабо экстремальной сети, кратчайшей и локально минимальной сети. Теорема 1.1 показывает, что в любом нормированном пространстве классы локально минимальных и локально экстремальных сетей совпадают. Итогом этого параграфа являются теоремы 1.3 и 1.4. В теореме 1.3 приведена формула первой вариации для сетей, а теорема 1.4 показывает, какие типы расщепления сети достаточно рассмотреть для проверки экстремальности. Эти типы расщепления называются базовыми.

Основным результатом четвертого параграфа является теорема 1.5. Эта теорема представляет собой геометрический критерий локальной минимальности произвольной сети на Л-нормированной плоскости. Также в этом параграфе вводятся важные понятия для ребер сети. Это точечное и неточечное ребро, а также погрешность между двумя смежными ребрами. Все эти понятия будут использоваться при формулировке критерия экстремальности произвольного дерева.

Последующие главы посвящены экстремальным деревьям на А-норми-рованных плоскостях, где, А ф 2, 3, 4, 6. В первых трех из них основные усилия направлены на выяснение того, когда произвольное дерево на А-нормированной плоскости является экстремальным. А в последней главе применяется полученный критерий экстремальности дерева к проблеме реализации дерева и сходимости экстремальных деревьев при, А —> оо.

Вторая глава содержит три параграфа. В первом параграфе показывается, как свести проверку экстремальности произвольного дерева к проверке экстремальности дерева, не содержащего внутренние вершины степени 2. Такие деревья называются линеаризованными. Основной результат этого параграфа, утверждение 2.2, заключается в том, что сеть экстремальна тогда и только тогда, когда все ее нити являются монотонными кривыми, а линеаризованная сеть экстремальна.

Во втором параграфе изучается, какие операции сохраняют экстремальность, т. е. выясняется, когда экстремальность сети равносильна экстремальности сетей, полученных в результате применения этих операций. Ключевым результатом этого параграфа являются утверждения 2.3

2.8. Утверждение 2.3 выделяет из класса граничных вершин степени

2 те вершины, которые можно разрезать с сохранением экстремальности, а утверждение 2.4 показывает, что все граничные вершины степени

3 можно разрезать с сохранением экстремальности. Следующие четыре утверждения относятся к операции разрезания по ребру. Из утверждений 2.5 и 2.6 выясняется, что неточечное ребро всегда можно разрезать с сохранением экстремальности, а точечное разрезаемо с сохранением экстремальности при выполнении некоторых дополнительных условий. Утверждения 2.7 и 2.8 имеют дело не с самим ребром, а с вершиной. Они показывают, что для некоторых внутренних вершин экстремальность всего дерева равносильна экстремальности деревьев, полученных разрезанием по каждому в отдельности ребру, инцидентному этой вершине.

Третий параграф второй главы начинается с определения существенной сети. Эти сети имеют достаточно простую структуру. Они представляют собой объединение пути и ребер, инцидентных некоторым внутренним вершинам этого пути. Поскольку, по определению, в существенных сетях все граничные вершины имеют степень 1 или 2, а внутренние — степень 3, то для них имеется всего один базовый тип расщепления, который получается расщеплением граничных вершин степени 2. Углы между смежными ребрами существенной сети определяются из условия ее локальной минимальности и из условий, описывающих, какие граничные вершины разрезаются с сохранением экстремальности. Далее в этом параграфе приводится алгоритм, который каждому локально минимальному дереву, не содержащему внутренние вершины степени 2, ставит в соответствие набор максимальных существенных его подсетей. Эти сети называются существенными представителями. В дальнейшем описанный алгоритм используется для доказательства теоремы 2.2, утверждающей, что для проверки экстремальности дерева достаточно проверить экстремальность максимальных существенных представителей данного дерева.

Третья

глава IIосвящена деформациям существенных сетей. Для каждой сети рассматривается единственный базовый тип расщепления, который получается расщеплением всех граничных вершин степени 2, и на основании структуры базового типа расщепления выделяются так называемые допустимые деформации и строго допустимые деформации. Отметим, что важным условием того, куда будет двигаться вершина при допустимой деформации, являются значения углов между смежными ребрами в этой вершине. При этом модули векторов скорости движения вершин при строго допустимой деформации взаимосвязаны, т. е., фиксировав один из модулей, мы можем определить все остальные. Таким образом, направления движений вершин определяются только локальными свойствами, а модули векторов скоростей — не локальны. Отметим, что при допустимой деформации сети каждая вершина может двигаться не более чем в четырех направлениях, а при строго допустимой — не более чем в двух. Поскольку длины векторов строго допустимой деформации взаимосвязаны, то каждый базовый тип расщепления существенной сети имеет конечное (возможно нулевое), с точностью до нормирующего множителя, число таких деформаций. Теоремы 3.1, 3.2, 3.3 этой главы показывают, что для проверки экстремальности сети достаточно рассмотреть только строго допустимые деформации с единичной нормой, а также, что существенная сеть экстремальна тогда и только тогда, когда первая вариация для каждой ее существенной подсети неотрицательна при любой строго допустимой деформации с единичной нормой. Так как каждая сеть имеет конечное число подсетей и каждая существенная сеть имеет конечное число строго допустимых деформаций, то для проверки экстремальности дерева достаточно проверить справедливость конечного числа неравенств лишь в конечном наборе значений переменных.

Четвертая глава завершает описание структуры экстремальных сетей на А-нормированных плоскостях.

Первые три параграфа посвящены переходу от сетей к словам. Для удобства изложения существенные сети кодируются словами, при этом нескольким сетям может соответствовать одно и то же слово. Вводится понятие подслова, которое соответствует понятию существенной подсети. Во втором параграфе формула первой вариации сети переписывается в терминах слов. На основании этой формулы в третьем параграфе определяются положительные (справа, слева) слова и полуэкстремальные (справа, слева) слова. Теорема 4.1 утверждает, что сеть экстремальна тогда и только тогда, когда слово, соответствующее ей, полуэкстремально справа и слева.

В следующих трех параграфах исследуется полуэкстремальность слов. Сначала каждому слову при 2А = 1,2 (mod 3) ставится в соответствие некоторый набор так называемых простейших слов. Для этого используется операция редукции, подобная той, которая была определена для деревьев. Оказывается, что полуэкстремальность слова равносильна полуэкстремальности простейших слов, которые строятся по исходному слову, теорема 4.3. Для случая 2А = 0 (mod 3) полуэкстремальность слова связана с существованием строго допустимых деформаций существенных сетей, представленных подсловом исходного слова, теорема 4.8. На основании этого формулируется критерий полуэкстремальности слова. А именно, для каждого слова вводится понятие кручения, которое и ответственно за полуэкстремальность слова для случаев 2А = 1,2 (mod 3). Основные результаты этих параграфов — теорема 4.6 и теорема

4.8. Первая утверждает, что слово о полуэкстремально тогда и только тогда, когда кручение каждого подслова слова, а не больше нуля при 2А = 1 (mod 3) и не меньше нуля при 2А = 2(mod3). Вторая теорема относится к 2А = 0 (mod 3) и показывает, что слово, а полуэкстремально тогда и только тогда, когда для каждой существенной сети, представленной подсловом слова а, не существует строго допустимой деформации. Используя теоремы 4.1, 4.6 и 4.8, в седьмом параграфе мы приводим критерий экстремальности существенной сети в терминах соответствующего ей слова, теорема 4.9.

Главный результат четвертой главы заключен в следующих двух параграфах. Сначала вводится понятие ориентированной погрешности между двумя смежными ребрами, которая характеризует ориентированный угол между ними. Следующий шаг — это определение ориентированной погрешности сети, которая является аналогом числа вращения сети в евклидовом случае. Далее устанавливается связь между ориентированной погрешностью сети и кручением слова для случаев 2А = 1,2 (mod 3), а также между ориентированной погрешностью сети и существованием строго допустимой деформации сети для случая 2А = 0 (mod 3). Переходя от слов к существенным сетям и пользуясь теоремой 4.9, доказывается теорема 4.15 — критерий экстремальности существенной сети: существенная сеть экстремальна тогда и только тогда, когда ее ориентированная погрешность не больше 3. Используя теорему 4.15 и результаты предыдущих двух глав, мы доказываем основную теорему — геометрический критерий экстремальности произвольного дерева в терминах ориентированной погрешности. Основная теорема утверждает, что произвольное дерево экстремально тогда и только тогда, когда его ориентированная погрешность не больше 3.

В заключительном параграфе этой главы мы применяем критерий экстремальности к деревьям, все вершины которых суть граничные вершины степени 1 или 2. Каждому дереву ставится в соответствие некоторая последовательность целых чисел. Теорема 4.17 показывает, что если последовательность содержит подпоследовательность некоторого специального вида, то дерево не является экстремальным. Из этой теоремы видно, что пути в экстремальных деревьях не могут сильно «закручиваться» в одну сторону с минимально возможным углом.

В пятой главе работы рассматриваются свойства экстремальных сетей и вопросы, касающиеся топологической и планарной А-минимальных (экстремальных) реализаций деревьев, т. е. реализаций этих деревьев в виде локально минимальных (экстремальных) деревьев на А-нормирован-ных плоскостях, а также поведения экстремальных сетей на А-нормиро-ванных плоскостях при, А —^ оо.

Первый параграф содержит теоремы, касающиеся поведения ориентированной погрешности при редукциях и антиредукциях дерева. Теоремы 5.1, 5.2, 5.3 дают оценку на ориентированную погрешность дерева, полученного из данного дерева с помощью некоторой операции, и в некоторых случаях позволяют сказать, когда новое дерево экстремально, см. следствие 5.1.

Основной результат второго параграфа — это критерий А-экстре-мальной реализации дерева, теорема 5.5. Эта теорема утверждает, что дерево А-экстремально реализуется тогда и только тогда, когда оно является деревом Штейнера.

Третий, он же заключительный параграф главы, содержит теоремы о поведении экстремальных сетей на А-нормированных плоскостях при

Л —У оо. Теорема 5.7 утверждает, что для любого вложенного экстремального дерева Г на стандартной евклидовой плоскости существует последовательность вложенных планарно эквивалентных Г экстремальных деревьев на А-нормированных плоскостях, сходящаяся к Г при, А —> оо. В то же время, это утверждение не имеет места, если дополнительно потребовать, чтобы границы всех приближающих Г сетей совпадали. Теорема 5.8 показывает, что если дерево Г является бинарным, то утверждение теоремы 5.7 верно и с дополнительным требованием совпадений границ.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. проф. А. А. Тужилину и д.ф.-м.н. проф. А. О. Иванову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе. Также автор благодарен Н. П. Долбилину, Н. С. Гусеву, Г. А. Кар-пунину, И. М. Никонову, C.B. Матвееву, И. Х. Сабитову, А. Т. Фоменко за полезные обсуждения результатов настоящей диссертации. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и

приложений за творческий климат и поддержку.

1. Предварительные сведения 14

1.1. Общее определение сети .14

1.2. Операции над сетями.18

1.2.1. Разрезание сетей по вершинам и ребрам.18

1.2.2. Редукция вложенного дерева.19

1.2.3. Антиредукция вложенного дерева.20

1.3. Определения экстремальной и локально минимальной сети 21

1.4. Критерий локальной минимальности сети на А-нормированной плоскости .26

2. Существенные сети 32 4! 2.1. Линеаризация сети .32

2.2. Разрезания сети, сохраняющие экстремальность.34

2.2.1. Разрезания по граничным вершинам.34

2.2.2. Разрезания по ребрам.47

2.2.3. Вершины, инцидентные неточечному 1-граничному ребру.49

2.2.4. Вершины, инцидентные точечным ребрам.50

2.3. Существенные представители локально минимального дерева 51

3. Допустимые деформации 61 3.1. Сведение любой деформации к допустимой.61

4. Критерий экстремальности дерева на А-нормированной плоскости 71

4.1. Представление сети словом.71

4.2. Формула первой вариации существенной сети.77

4.3. Определения полуэкстремальных справа и слева слов. 84

4.4. Избавление от букв 63, 64, 65 и для к = 1, 2.84

4.5. Критерий полуэкстремальности слова для х = 1,2.88

4.5.1. Редукция внутри слова.89

4.5.2. Редукция в начале и в конце слова для к = 1. 100

4.5.3. Редукция в начале и в конце слова для хг = 2. 102

4.5.4. Простейшие слова и полуэкстремальность слов. .. 105

4.6. Критерий полуэкстремальности слова для х = 0.107

4.7. Критерий экстремальности существенной сети.109

4.8. Геометрический критерий экстремальности бинарной сети 110

4.8.1. Избавление от неточечных ребер.110

4.8.2. Определение ориентированной погрешности.112

4.8.3. Геометрический критерий экстремальности бинарной существенной сети.113

4.8.4. Геометрический критерий экстремальности бинарного дерева.116

4.9. Геометрический критерий экстремальности произвольного дерева.116

4.10. Некоторые следствия из основной теоремы .118

5. Свойства А-экстремальных сетей и их асимптотика при

А оо 120

5.1. Поведение погрешности при редукциях и антиредукциях. 120

5.2. Топологическая и планарная А-минимальные (экстремальные) реализации сети.124

5.3. Стандартная евклидова плоскость как предел А-нормиро-ванных плоскостей при, А —оо.127

5.3.1. Сходимость сетей.127

5.3.2. Строгая сходимость сетей.131

Список

литература 134

Список работ автора по теме диссертации 138