Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах ЛИ малой размерности

Данная диссертация посвящена классификации возможных сигнатур оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах Ли. Хорошо известно, что различные ограничения на кривизну риманова многообразия позволяют получить информацию о его геометрическом и топологическом строении. Ярким примером этого является теорема Майерса, утверждающая, что полное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи является компактным и имеет конечную фундаментальную группу [46].

Для однородных римановых многообразий кривизна Риччи еще более информативна. Например, согласно теореме Вохнера однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи обязано быть некомпактным [30]. Для заданного однородного пространства G/H (где Н — компактная подгруппа группы Ли G) естественно попытаться отыскать общие свойства оператора Риччи для всевозможных (2-инвариантных римановых метрик на пространстве G/H. Эту проблему можно уточнить и конкретизировать разными способами. Один из возможных вариантов — рассмотреть следующий вопрос: каковы возможные сигнатуры операторов Риччи С-инвариантных римановых метрик на однородном пространстве G/H?

Есть основания надеяться на то, что для пространств малой размерности этот вопрос может быть полностью разрешен. Благодаря работе Дж. Мил-нора [45] мы знаем ответ на этот вопрос в размерности не больше 3. Работы [28, 38, 50] дают ответ на поставленный вопрос для всех четырехмерных однородных пространств, отличных от групп Ли. Частичные результаты для групп Ли получены в работах Дж. Милнора [45], Ф. Набонпана [47], И. Дотти [36], Д. Чена [32] и др.

Данная диссертация посвящена изучению возможных сигнатур оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли и пятимерных нильпотентных группах Ли.

В работе Ф. Набоннана [47] доказана нереализуемость сигнатур (+, +, 0,0) и (+,+,+,+) в качестве сигнатуры оператора Риччи левоинвариантных метрик на четырехмерных группах Ли. Аналогичный результат получен в недавней работе’Д. Чена [32]. Результаты настоящей работы существенно обобщают и уточняют это утверждение.

Напомним, что метрической алгеброй Ли называется пара (g, Q), где g — вещественная алгебра Ли, a Q — некоторое скалярное произведение на д. Произвольная левоинвариантная риманова метрика р на группе Ли G определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли д группы G, и наоборот, каждое скалярное произведения Q на g индуцирует левоинвариантную метрику р на группе G. Если отождествить элементы алгебры Ли g с левоин-вариантными векторными полями на группе Ли G, то нетрудно получить в терминах метрической алгебры Ли (g, Q) формулы для вычисления основных характеристик кривизны риманова многообразия (G, p) [5].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе — номер раздела, третье — номер утверждения данного типа. Для таблиц и формул используется сплошная нумерация.

1. Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Матем. сб. 1975. Т. 96. С. 93−117.

2. Алексеевский Д. В. Сопряженность полярных разложений групп Ли // Матем. сб. 1971. Т. 84. С. 14−26.

3. Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Структура однородных рима-новых пространств с нулевой кривизной Риччи // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 2. С. 5−11.

4. Берестовский В. Н. Однородные римановы многообразия положительной кривизны Риччи // Мат. заметки. 1995. Т. 58, № 3. С. 334−340.

5. Бессе A. Л. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

6. Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп и алгебр Ли. (Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т. 41.) М.: ВИНИТИ, 1990.

7. Кремлев А. Г. Исследование операторов Риччи метрических алгебр Ли // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2006. С. 48−50.

8. Кремлев А. Г. Сигнатуры операторов Риччи метрических алгебр Ли // Вестник БГПУ. 2006. № 6. С. 40−44.

9. Кремлев А. Г. О некоторых сигнатурах операторов Риччи метрических алгебр Ли малой размерности // МОНА 2006: тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае. Барнаул: Изд-во БГПУ, 2006. С. 14−15.

10. Кремлев А. Г. Исследование оператора Риччи нильпотентных метрических алгебр Ли размерности 5 // Математическое образование в регионах России: материалы всероссийской научно-практической конференции. Барнаул. 2008. С. 19−21.

11. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинва-риантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимо-дулярный случай // Мат. труды. 2008. Т. 11. № 2. С. 115−147.

12. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинва-риантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неуни-модулярный случай // Мат. труды. 2009. Т. 12. № 1. С. 40−116.18 1920.