Сети в расширенном пространстве

В настоящее время теория многомерных сетей занимает определенное место в дифференциальной геометрии обобщенных пространств. Её развитие происходит в основном в двух направлениях:

1) строятся различные обобщения богатой результатами теории двумерных сетей [37] ;

2) даются новые способы построения сетей, учитывающие специфику многомерной геометрии.

М.А.Акивис [2] изучил строение сопряженных систем общего типа на многомерных поверхностях тьмерного аффинного пространства и получил достаточные условия слабой и сильной голоном-ности и сильной сопряженности сопряженной системы, рассматривал [3] тангенциально невырожденную поверхность /т проективного пространства Рп, несущую сеть сопряженных линий, соприкасающаяся плоскость которой совпадала со всем пространством, при условии, что у4.3/т «го. Для этой поверхности было построено инвариантное оснащение, внутренним образом связанное с сопряженной сетью.

А.В.Столяров [ 26 ] построил инвариантное оснащение гиперповерхности проективного пространства Р^, на которой была фиксирована сеть сопряженных линий, изучил [27] двойственные геометрические образы — псевдофокусы и гармонические полюсы второго рода, гармонические прямые — порождаемые сетью на гиперповерхности проективного умерного пространства Рух, и доказал ряд теорем о специальных классах сетей, а •.

А.П.Гудзь [14^, рассматривала на гиперповерхности, четырехмерного евклидова пространства ,.

3-сопряженную систему относительно заданной сети Д1я, исследовела 2-поверхность ^^ «которая выделяется на V3 вполне интегрируемым пфаффовым уравнением иоЛ — О, трижды ортогонально — сопряженные системы и ортогональные системы на Va в Еч .

Интересные результаты были получены М. К. Кузьминым |~18], , который исследовал сети с определенным расположением псевдофокусов касательных к линиям сети, а требования ортогональности сети были опущены. Такое обобщение позволило рассматривать обобщенные канонические сети и в аффинном пространстве.

В.А.Тихонов доказал, что ступенчато-чебшевская сеть, на многомерной поверхности аффинного пространства, является сопряженной сетью, установил ^30^ ряд свойств обобщенной сту-пенчато-чебышевской сети в пространствах аффинной связности, изучил плоские сети, присоединенные к гиперраспределениям (in+'l)-мерного аффинного пространства, когда каждая аффинная нормаль (М, Ь) этого распределения несла ^ различных фокусов.

Двумерные сети линий на поверхностях % vcмерного проективного пространства рассматривал В. С. Ленёв 21 ], [22], а в пятимерном евклидовом пространстве Е. К. Сельдюков [ 2. Частные случаи двумерных сетей (например, когда оси Грина и Чебышева ¦ сети совпадают и др.) изучил В. А. Камаев [ 17].

На 3-поверхности V^ евклидова пространства Е^ ^ сопряженные сети рассмотрел А. В. Абрамов [ i] и нашел геометрические свойства поверхности V3. В. А. Есин изучил сети на поверхностях коразмерности два [ 1б].

Вангелдер [ 39^ рассматривал многообразие — ос ~.

Многообразие V^ в называется многообразием типа (I, I,.

I, I), если оно имеет четыре различных системы асимптотических. Пусть на многообразии Va, с S^ даны две системы (С,() и (С^) линий. Мы скажем, что эти две системы линий, заданных в указанном порядке, образуют на двойную сопряженную систему (Cj, С2) первого рода, если касательные к кривым С^ в точках одной и той же кривой Cz образуют развертывающуюся поверхность. Когда С% описывает (), то ребро возврата этой поверхности порождает многообразие, в общем случае трехмерное, которое называется преобразованием многообразия V3 посредством системы (С<, С,). Если обе двойные системы С С,, Cz) и с с*, 0 является сопряженными, то говорят, что эти системы инволютивны. В этом случае () и (Cz) принадлежат одной и той же системе поверхностей на V3 и мы возвращаемся к понятию сопряженной системы в традиционном смысле. Рассмотрен случай, когда первая система кривых двойной сопряженной системы С С-f, С&-) на многообразии Va, с является системой плоских кривых.

В работе В. Т. Базылева [4] рассматривалась поверхность Vp, с заданной на ней сетью Zip, лежащая в аффинном пространстве Ап. Для построения аффинно инвариантного оснащения оказалось, что удобно перейти к расширенному пространству, добавив к An несобственные точки, заполняющие несобственную гиперплоскость А^^. Были рассмотрены примеры таких построений для малых значений р и vi.

Цель предлагаемой работы состоит в следующем: сеть Zip, на рмерном подмногообразии Vp расширенного аффинного или евклидова Еу,) пространства, с помощью семейств касательных к своим линиям, порождает в несобственной плоскости систему из р новых сетей, лежащих в проективном F^.^ (или эллиптическом S^^^) пространстве. Свойства этой системы тесно связаны со свойствами данной сети 2Гр. Эту связь предстояло изучить в диссертации.

Тема настоящего исследования актуальна, так как теория многомерных сетей глубоко проникает в другие разделы современной геометрии: геометрию многообразий фигур, линейчатую дифференциальную геометрию, геометрию дифференцируемых отображений пространств и т. д. Существенную роль она играет и в вопросах преобразований многомерных поверхностей.

Методика исследований, имеющих локальный характер, основана на применении метода внешних форм Картана [32^. Все используемые в работе функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.

Диссертация состоит из двух глав и является самостоятельным исследованием автора. Получены новые результаты по геометрии многомерных сетей, обзор которых приводится ниже.

В первой главе рассматриваются трехмерные сети в расширенных аффинном Д 5 и евклидовом Е 5 пятимерных пространствах.

В § I рассматривается сеть линий (со*, ьо2, оо3) на подмногообразии ^сД^/^иА^, где Ач — несобственная гиперплоскость, несущая структуру проективного пространства Р^. К подмногообразию присоединен подвижной репер ]?= лглъ> так, что Ае^г, А, А I) — касательные к линиям данной сети J -[Д^А^с Д^ .

При перемещении точки, А по подмногообразию Ц, каждая из точек, А I, описывает в, в общем случае, 3 -подмногообразие (А^), на котором естественным образом возникает сеть линий (со, ио, ио). Именно, точка пбудет описывать линию оо, когда точка Л смещается вдоль линии на подмногообразии 4. Формы (> ^и)*, входящие в дерирационные формулы репера I?, являются главными, то есть.

И 2-Х.

Доказана следующая теорема: пусть сеть линий (со, и), и)) А на подмногообразии А, сопряженная, А—Де^Ца^Ц С = 3- Тогда а) если ЦА = 0(*Ь = О, Ц^+О^д^фО, то на подмногообразии (А4), б) если = = =0(Д = О, в^фО.,.

Д^фО^Д^фО то на подмногообразиях (АЛ) и (Ад) одновременно, в) если все (Х^- - О ()', к различные), А^ + О^ ф О, то на всех подмногообразиях (А^) одновременно, семейства линий (, ы оог) образуют сопряженную сеть.

Показано, что условия теоремы не зависят от выбора оснащения. л.

В § 2 сделано замечание о том, что все 0(-. = 0 (о, :, К.

• Ц ¿-и различные), +0, Д^ ФО. Это значит, что подмногообразие /3 является 3-сопряженной системой в смысле Р. В. Смирнова [25″ ]. Подсчеты соответствующих форм для подмногообразий (А^) показали, что в этом случае и подмногообразие (А-Ъ)с Ац также 3-сопряженная г л ъ ъ л система относительно сети Соо, со, оо причем у этой системы фо-I, А кусы р.* на касательных (А-А*) к линиям ьо" в точке, А совпадают соответственно с точками А*. Приводится и * одна зависимость между фокусами прямых С, А А ^) и (А^)с Д* (I ф]). Доказывается, что если подмногообразие /ъ является 3-сопряженной системой, то фокусы .А,^, г^. прямых (АА.с), (А Аз), (А^Аз) соответственно, лежат на одной прямой (I, j, К различные).

Как отмечалось, в общем случае подмногообразия (А-) — трехмерные. В? 3 рассматривается случай понижения размерности этих.

— г л г ъ ^ подмногообразии, когда сеть линии С со, оо, ио — на подмногообразии Л, сопряженная. Например: I) подмногообразие С А.) двумерное, если на подмногообразии Д существует такое семейство линий, что при смещении ¦ точки, А вдоль линии этого семей.

I. стез, точка Анеподвижна- 2) подмногообразие (А-) одномешое, с, а с ж ' если на подмногообразии существует такое двумерное распределение, что при смещении точки, А в направлении, принадлежащем (А), точка Ас неподвижна.

В этих случаях доказаны соответствующие теоремы. В частности справедливы:

I) Если то JimCA-J-2 а Li, а к.

VC ct-J 0 Р аиг j J а* а vC <*tu.

VC.

Cleve GUj 2- пш движении точки, А вдоль линии '• оз^ = О, оа = из — (Х- 0 и «.

С^, ^, ус различные), точка неподвижно.

2') Если Ц-+0, то с!(т (АОтогда и только тогда, когда на касательной С, А А) к линии соь сети С оо*, и)2,, и)3) на подмногообразии Д фокусы-несобственные, СЗ (^-0 (I, j, 1С различныеI — фиксировано). При движении точки, А вдоль двумерного направления (AAjA^c), точка Д. неподвижна .

3) о1″ т (АО =0 (I — фиксировано) тогда и только тогда, когда семейство линий 00° содержится в связке прямых с центром в точке, А^. Все подмногообразия (А^) одновременно вырождаются в точки тогда и только тогда, когда подмногообразие плоское. Данная сеть образована тремя семействами параллельных прямых.

Следующий § 4 касается тех случаев, когда подмногообразия () становятся плоскими. Известно, что подмногообразие (А-^) будет плоское, если соответствующая асимптотическая форма Фтождественно равна нулю. Доказано, что если на касательной (ДА, —) I к линии сОс сети (со, со, со) на подмногообразии фоку.

— О. сы — несобственные, = О.

I-5.

1 00 ц Щ о (вырождается в прямую линию о1: .

1 ¦ то подмногообразие (А ?,).

Если.

И*1- 1;

На^ис 0 к а.

1и «I и].

5 'JJ, а к. И Ч.

1-е ю аг Ц Л О а* = = о а*- = = = = о ь,^, К, различные-? — фиксировано), то каждое из двумерных подмногообразий, на которые расслаивается подмногообразие С Д5 вдоль линии ю* лежит в своем трехмерном расширенном пространстве Д ^.

В § 5 подмногообразие N/5 рассматривается в пространстве Е5 = Е5 II Е * «где Е* - несобственная гиперплоскость, несущая структуру эллиптического пространства. Аналогично, как в § I присоединяем к подмногообразию подвижной репер & такой, что точки, А ^ принадлежат ортогональному дополнению касательной плоскости, причем (ААН) 1 (АА5).

На подмногообразии Д рассматриваем сеть линий кривизны.

ГЛ и1, где Л=±гСЛ, относительно средней нормали [А, Я] л 5 —^ ^ ь при =0 (то есть вектор /Ц направлен по вектору с Т9 4 ^ | ^ /Г* / средней кривизны г! = ^ ^ ъ? j/л^ подмногообразия /з в точке Д). В этом случае сеть линий (со*, со2″, со*), кроме ортогональной, будет еще и сопряженной, относительно асимптотической формы •. Следовательно {?- -о (^). п к.

Доказано, что если ь^+О, то сеть линий (со1, саЗ2,, со3) на подмногообразии (М) Еысекается развертывающимися подмногообразиями фокального семейства прямых (МД5), тогда и только тогда, когда на подмногообразии V3 сеть (со1, и)3) линий кривизны относительно средней нормали [А, М] = [АД] сопряженная.

В § б изучается сеть линий (со1, иог) на подмногообразиях (), если сеть линий (оэ^, и)2, со5) на подмногообразии V5 является: I) сетью линий кривизны относительно средней нормали —^ —=? 2) V — сопряженной сетью, 3) сетью Фосса и доказаны соответствующие теоремы.

Так как пространство Б* несет структуру эллиптического пространства SH, то монно рассмотреть случай ортогональности сети линий (со" 1, со2,, оог) на подмногообразиях (А.) a Ft. § 7 посвящен этому вопросу. Доказана следующая теорема: пусть сеть линий (оо1 } на подмногообразии Vj сопряженная,.

V^j^K =0 • С I, j, К a: J. a3.

К. ^ vc j an.

0. различные), то сеть линий (со, оо, со) на подмногообразии () (I — фиксированно) будет ортогональной. В противном случае сеть.

Н 3 Л линий (со, из, со) на подмногообразии (А ^) будет полуортогональной.

В § 8 строится оснащение подмногообразий (А^) с: Е^ .

К подмногообразию (А-) строим нормаль (АЛ/:), где точка А/* V * и * V.

— нормальная точка — полюс касательной гиперплоскости е рассматриваемой точке Аподмногообразия (А-), относительно абсолюта.Она.

I* I" является пересечением четырех трехмерных полярных плоскостей точек А-, В—., где прямая (А • Бг •) является касательной к линии со-1 на подмногообразии (А^) в точке, А^. Для подмногообразия (А^) доказаны следующие теоремы:

I. Пусть сеть линий (со1, сог, иоь) на подмногообразии Va сопа л л э ряженная, ФО, ф О. Если * * >

Л Л.

I oil, aj. -Я 4i, е<�М b ъ = 0, 0(, 2 «л л» u i? ча U2.3, j = 2,3- i+j), то развертывающиеся подмногообразия ce-мейства прямых (A^A/^) высекают сеть линий (со, u), со) на подмногообразии (А 4).

2) Пусть на подмногообразии Vj сеть (со, сл) г, со5) является сетью линий кривизны относительно средней нормали [А^А^]. Если Hji +0, то нормаль (А, Л/!,) не проходит ни через одну из точек Ая, А3, А* репера R .

Во второй главе исследуются четырехмерные сети в пространстве г. т «S 4 Z ъ м л й § I рассматривается сеть линии С со, со, со, оо — на подмногообразии Уц сЕ5 = EsUE*. К подмногообразию Vl? присоединен подвижной psnep R = {А, А, А5» U=vO, AeV4, (АА.) касательные к линиям данной сети, А5 лежит на нормали к подмногообразию в точке.

А, {А-, А5| Е*.

Vh.

Точки Al, А 5, в общем случае, описывают 4-мерные плоские сети линий (и/1, сог, ио, со4). Имеет место теорема: если подмногообразие /ц —^{-сопряженная} система относительно сети линий (со1, ol^HaUiU (stJ-V^ > то точки A-l также описывают 4-сопряженные системы относительно плоской сети линии С со, оо, со, оо У этой системы фокусы К*, на касательных (А^А*) к линиям to' ъ точке А, совпадают соответственно с точками, А *. и.

§, 4 2. J L ~.

2 изучается плоская сеть линий С^, u), оо, оо j, описанная точкой, А 5 • Справедлива теорема: если, то плоская сеть линий (оо'1, оой), описанная точкой, является циклически сопряженной системой ^ рода, тогда и только тогда, когда подмногообразие V^ - 4-сопряженная система относительно сети (со1, coz, со*, со**) линии кривизны.

В § 3 мы изучаем случай ортогональности плоской сети линий 4 2- * к Л со, со, со, со), описанной точкой A L. Доказана теорема: пусть сеть линий (ооА, сoz, ооъ, со*) на подмногообразии Vi, является сетью линий кривизны. Тогда плоская сеть линий (со-1, со2″, соъ, со^), описанная точкой А^, будет ортогональной, тогда и только тогда, когда 211 «fj а^ = О С L, j л vc, р = V^ > j j М’О.

В § 4 рассматриБаются фокусы на, прямой (AlAj) в прост-с* ранстве t ^.

В § 5 показано, что если подмногообразие V^ - 4-сопря-женная система (тогда сети, описанные точками А-и — также 4-сопряженные системы), то сети описанные точками А-, в пространстве Е*, являются преобразованиями Лапласа одна в другую. В § б изучаются некоторые случаи, когда dim (А-,) <Ц, где Г А-) — подмногообразие в пространстве Ьц, описанное точкой д / J2. Ц N Справедливо следующее: если сеть линии С со, со, со, со) на подмногообразии Vq сопряженная и 1⁰, то.

1)olim (A,) =3 тогда и только тогда, когда ранг|| С (Д|| = 3, cUlla|*J=0 (L = Vi J t, J =2, Ъ^)', при движении^точки, А вдоль линий семейства fl i оо = О, оог= cUt Ц СЯ^, , а? ц110, сог = М11а}4, а-, о4и (c)5 со* = где Q — параметрическая форма, точка Ал неподвижна, л.

2) dlimCAi) =2 тогда и только тогда, когда рангII 0(1* = ^ ч «» «» 1 раиг\ aJL\-1 (Л = j t, j при движении точки.

А вдоль двумерного распределения (A Q^ Q^), где точки С^ и 02 порождены Еекторами (?,=- а*3 + - оЦц/Ц + а, соответственно, точка Ал неподвижна,.

3) Ы ¡-ум С, А ^) = 4, тогда и только тогда, когда 0(^=0 л 1 ° к псеЕДофокусы ^ (и, 3=2,3,чз о * J — на касательной С, А А ^) к линии со1 сети линий (со1, оог, со5, со^) — несобственныепри движении точки, А едоль трехмерного распределения (ААгА^Ац), точка Ал неподвижна.

О^тСАО =0 тогда и только тогда, когда семейство линии оо содержится е сеязкс прямых.

В последнем параграфе (§ 7) диссертации рассмотрено аналогичное построение для подмногообразия Vа с. Е5. Доказаны следующие теоремы:

1) Если подмногообразие — 2-сопряженная система, ф О, то подмногообразие (А-с) — 2 — сопряженная система.

2) Пусть сеть линий (со" 1, сог) на подмногообразии является сетью линий кривизны относительно средней нормали 5.

А, М] = [А, АЬ]. Если и «у.

5 П5 ' II *> ч!

Ф 0, «?1=^=0(1⁵.

Р5 р.5 Зл 5), то на подмногообразии (А-с) сеть линий (оо* ,.

2. ' Ь со) оудет полугеодезическои Слиния со — геодезическая-.

Основные результаты предлагаемой работы опубликованы в статьях [33] - [Зб]. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре по дифференциальной геометрии в МГШ им. З. И. Ленина.

1.B. — Некоторые вопросы геометрии V — сопряженных сетей. Сб." «Дифференц.геометрия многообразии фигур». Калининград. 1978, № 9, с.5−10.

2. Акивис М. А. 0 строении сопряженных систем на многомерных поверхностях. Изв.высш.учебн.завед.Математика, 1970, № 10, с. 3-Й.

3. Акивис М. А. Об инвариантном оснащении поверхности"несущей сеть сопряженных линий. Уч.зап.МГШ им. В. И. Ленина. 1970,374, т.1, с.18−27.

4. Базылев В. Т. К геометрии сетей в расширенном пространстве. Сб. «Геометрия погруженных подмногообразий» М., 1978, с.3−9.

5. Базылев В. Т. 0 многомерных сетях и их преобразованиях. Сб."Геометрия, 1963 (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР)" М., 1965, с.138−164.

6. Базылев В. Т. Квазилапласовы преобразования рмерных поверхностей У — мерного проективного пространства. Уч. зап.Моск.гор.пед.ин-та им. Потемкина, кафедра геометрии, т.35, вып.4, 1955, с.261−322.

7. Базылев В. Т. 0 многомерных сетях в евклидовом пространстве. Литовский математический сборник, У1, № 4, 1966, с.475−490.

8. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей. Уч. зап. МГПИ им. В. И. Ленина, т.243, 1965, с.29−37.

9. Базылев В. Т. Основы теории многомерных сетей. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Москва, 1967, с. 132.

10. Базылев В. Т. О V — сопряженных сетях в пространстве аффинной связности. Изв.высш.учебн.завед. Математика.5(144), 1974, с.25−30.

11. Гейдельман Р. М. К метрической теории гиперповерхности в четырехмерном неэвклидовом пространстве. Сб." «Некоторые вопросы современной математики и их приложения». Труды МИИТа, вып. 230, 1966, с.141−179.

12. Гудзь Л. П. 0 некоторых свойствах трижды сопряженных систем в четырехмерном евклидовом пространстве. Сб." «Геометрия» «, вып.3.Л.1975, с.26−35.

13. Гудзь Л. П. Об одном классе ортогональных сетей на гиперповерхности четырехмерного евклидова пространства. Сб.'Теомет-рия погруженных многообразий". М., 1972, с.39−45.

14. Есин В. А. К геометрии сетей на поверхностях коразмерности два. Сб." «Геометрия погруженных многообразий», М., 1980, с.29−32.

15. Камаев В. А. К теории сетей двумерной поверхности. Науч.тр.Свердл.гос.пед.ин-та, сб.184, 1973, с.55−75.

16. Кузьмин М. К. 0 сетях, определяемых распределениями в евклидовом пространстве Е*,. Сб.'Теометрия" «, вып.4, Л.1975, с.95−106.

17. Кузьмин М. К. Сети определяемые распределениями в евклидовом пространстве Ел. и их обобщения. Сб." «Проблемы геометрии. Т.7. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)» М., 1975, с.215²²⁹.

18. Лаптев Г.(В. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Тр.Моск.мат.о-ва. № 2. 1953, с.275−382.

19. Денёв B.C. 0 проективно-дифференциальной геометрии двумерных сетей Д,. Изв.высш.учебн.завед.Математика. № 7, 1974, с.53−59.

20. Ленёв B.C. 0 проективно-дифференциальной геометрии двумерных сетей Д. Изв. вцсш.учебн. завед. Математика, № 8, 1974, с.52−57.

21. Норден А. П. Пространства аффинной связности. Наука. М., 1976.

22. Сельдюков Е. К. Некоторые сети на двумерных поверхностях в пятимерном евклидовом пространстве. Сб." «Геометрия погруженных многообразий» М. 1978, с.62−69.

23. Смирнов Р. В. Преобразование Лапласа рсопряженных систем. ДАН СССР т.71 № 3. 1950, с.437−439.

24. Столяров A.B. Об инвариантном оснащении гиперповерхности, порождаемом сопряженной сетью. Волж.мат.сб., вып.23, 1973, с.66−70.

25. Столяров A.B. 0 двойственной геометрии сетей в полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности. Изв. высш. учебн.завед.Математика, № 4, 1972, с.109−119.

26. Схоутен И. А., Стройк Д.Дж.

Введение

в новые методы дифференциальной геометри. Т. П. ГЖП. М., 1948.

27. Тихонов В. А. Ступенчато-чебшевские сети на многомерных поверхностях аффинного пространства. Сб." «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», вып.7. Калининград, 1976, с.119−129.

28. Тихонов В. А. Сети, определяемые гиперраспределениями в аффинном пространстве и их обобщения. Сб." «Проблемы геометрии.- 122 T.8 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)», M. 1977, с. 197 -223.

29. Тихонов В. А. О плоских сетях, присоединенных к гиперраспределениям в аффинном пространстве. Сб.'Теометрия" «, вып.5. Л., 1976, с.131−134.

30. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. ГИТТЛ. М., 1948.

31. Хабурдзания Р. Т. О сопряженных сетях в расширенном пространстве. Сб." «Современная геометрия», Л., 1981, с.137−140.

32. Хабурдзания Р. Т. К геометрии сопряженных сетей. Сообщения АН ГССР. т.100, № 2, 1980, с.289−291.

33. Хабурдзания Р. Т. 0 трехмерных сетях в расширенном евклидовом пространстве Е. Сообщения АН ГССР, т.108, № I, 1982, с.25−27.

34. Хабурдзания Р. Т. 0 сетях в расширенном евклидовом пространстве Е5. Сообщения АН ГССР, т.108, № 2, 1982, с.24 5247.

35. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная гео-метря. Физматгиз. M., 1963.38., Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. ГИИЛ. M., 1948.

36. Vttvgeldere JRacberchers sur la ge’ome-tri? projective olifferewtielle. des V5 de Mem: Soc.roj.Sei. Li? ge, i SM J HO^ Ml pp.

37. Vangeldere. JQuatrellrieore’mes generaux relorbfs aux oloueles sjS-Ume$ conjugues de premiere espace, d’une V3 c^uelconc^ue oie Sg • BullSoc. roySoi. Liege, 496^ ь^ Л/ог5−6, 299−305.

<"