К L р-теории задачи обтекания для стационарной и нестационарной систем Стокса

Актуальность темы

В диссертации изучаются задачи обтекания нескольких тел потоком вязкой жидкости в постановке Стокса в^{-пространствах} с полунормой в стационарном и нестационарном случаях. Задачи обтекания тел являются одним из главных объектов исследования в математической гидродинамике. В работе строится Lp-теория, 1 < р < оо, решений систем Стокса и Навье-Стокса путем отбрасывания конвективного члена. В широко известной статье Агмона-Дуглиса-Ниренберга [28] была построена общая теория краевых задач для систем уравнений, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу в пространствах Wlp с полной нормой, а не в Lp с соответствующей полунормой, вследствие чего случай неограниченных областей с различным поведением решений на бесконечности остался по существу не рассмотренным. Заметим, что стационарная система Стокса является эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. В задачах же гидродинамики важно рассмотреть различные течения при —> оо. Отметим, что классические решения и гильбертов случай при р = 2 были изучены в работах Б. В. Русанова [24], Чанг И Де, Р. Финна [29], Р. Финна [30], Р. Финна, В. Нолла [31] и других.

Настоящая работа в основном посвящена рассмотрению случая двух пространственных переменных, хотя некоторые результаты, как теоремы существования, единственности и априорные оценки получены для любого числа п ^ 2 пространственных переменных. Построение же явных общих решений однородных задач обтекания бесконечного кругового цилиндра как в стационарном, так и в нестационарном случаях проведено при п = 2. Случай стационарного обтекания трехмерных тел, и, в частности, трехмерного шара, был изучен в работах В. Н. Масленниковой и М. А. Тимошина [20], [21], [22]. Задачи обтекания в постановке Стокса в Lpпространствах с заданными условиями на бесконечности в пространствах с полной нормой исследовались также в работе Г. П. Галди,.

Х.Г. Симадера [32] и других работах, ссылки на которые приведены в работе данных авторов.

Цель работы состоит в построении явных общих решений обтекания кругового бесконечного цилиндра в I3 с сечением, являющимся кругом В в!2, как для стационарной, так и для нестационарной систем Стоксанахождении размерности ядра порождаемых задачами операторов в функциональных пространствах с полунормой. Задачей, поставленной в работе, является также построение 1/р-теории обтекания нескольких тел потоком вязкой жидкости в пространствах Соболева с полунормой, т. е. доказательство теорем существования решений, а там, где размерность ядра соответствующего оператора равна нулю, доказательство и теоремы единственности в тех же классах, в которых доказывается теорема существованияполучение нужных априорных оценок.

Методы исследования. Для получения априорных оценок используются метод локализации, связанный с разбиением единицы, теоремы об^{-мультипликаторах} преобразования Фурье и неравенства Харди. На основании полученных априорных оценок методами функционального анализа доказывается конечномерность ядра и замкнутость области значений порождаемого задачей оператора в стационарном случае. В нестационарном случае разрешимость задачи доказывается с помощью теоремы о разложении Lp в прямую сумму потенциальных и соленоидальных векторных полей для внешних областей. Для получения общего решения однородных задач используются ряды Фурье и, в нестационарном случае, преобразование Лапласа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. В стационарной задаче обтекания нескольких тел потоком вязкой жидкости в постановке Стокса решение изучается в функциональных пространствах: поле скоростей v (x) Е с соответствующей полунормой, градиент давления Vq{x)? LP (Q,), 1 < р < оо, где Q внешность компактов, f] С 1″. Принадлежность решения этим функциональным пространствам определяет тип потока на бесконечности: изучаются ограниченные, растущие и убывающие при —" оо решения. Доказано, что размерность ядра оператора, порождаемого задачей в вышеуказанных функциональных пространствах, в случае обтекания круга В С М2 и конечного числа плоских компактов (бесконечных цилиндров в IR3) равна пяти. Построено явное решение задачи во внешности круга как для однородных, так и для произвольных граничных условийв явном виде построено и ядро оператора. В нестационарной задаче обтекания построено явное общее решение однородной задачи для внешности круга. При этом удалось найти явно обратное преобразование Лапласа.

2 1.

Если решение v (x, t) Е Lpxt (QT), Vx q (x, t) E LP (QT), где QT = Qx (0, T], то из общего решения доказано, что ядро имеет нулевую размерностьесли рассматривать растущие при —оо классические решения вида.

0(1¹^), то размерность ядра равна 27V—1. В случае обтекания конечного м числа компактов, т. е. в области = М" I [j и>к }, ~ ограниченные к=1) области в Ж&trade-, LJi П Qj = 0 при г ф j, О Е ujj для некоторого j, дшт Е С3, доказаны теоремы существования и единственности решения в пространстве v (x, t) Е Lp2^(Qt), S7xq (x, t) Е Lp (Qt), 1 < р < оо, при этом норма о.

2 1 2 1 Lp^tiQr) эквивалентна полной норме пространства Соболева Wpx’t (Qt), при рассмотрении задачи с нулевым начальным условием.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в математической гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. Эти результаты, включая и полученный явный вид общих решений в стационарной и нестационарной задачах обтекания бесконечного цилиндра, могут быть использованы как в дальнейших теоретических исследованиях, так и в численных расчетах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных конференциях.

РУДН, Москва (1997, 1998 гг.) — на Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания, РУДН, Москва (1999 г.) — на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», МГУ, Москва (1998 г.) — на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН под руководством проф. В. Н. Масленниковой, проф. М. Ф. Сухинина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11] - [13], [18], [19].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. В конце диссертации приводится список литературы из 33 наименований, а также список обозначений. Диссертация изложена на 102 страницах (не считая списка литературы и списка обозначений).

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. I. — М.: ИЛ, 1962. — 205 с.

2. Боговский М. Е. К Lp-теории системы Навье-Стокса для неограниченных областей с некомпактными границами // Докл. АН СССР.- 1980. Т. 255, № 6. — С. 1296−1301.

3. Боговский М. Е. К .Z^-теории системы Навье-Стокса для неограниченных областей с некомпактными границами // Дис.. канд. физ.-мат. наук. М., 1984.

4. Боговский М. Е. Разложение Ьр (0,-Ш.п) в прямую сумму подпространств соленоидальных и потенциальных векторных полей // Докл. АН СССР. 1986. — Т. 286, № 4. — С. 781−786.

5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

6. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962. 895 с.

7. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. — 467 с.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Иностранная литература, 1950. — 828 с.

9. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

10. Кузнецов М. В. Решение задачи обтекания бесконечного цилиндра потоком вязкой жидкости в постановке Стокса. М., 1999. — 27 с. -Рус. — Деп. в ВИНИТИ РАН, 09.12.99, № 3673-В99.

11. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. — 716 с.

12. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. — 288 с.

13. Масленникова В. Н., Боговский М. Е. Пространства Соболева солено-идальных векторных полей векторных полей // Сибирский математический журнал. 1981. — Т. 22, № 3. — С. 91−118.

14. Масленникова В. Н., Боговский М. Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей // Сибирский математический журнал. 1983. — Т. 24, № 5. — С. 149−171.

15. Масленникова В. Н., Кузнецов М. В. Решение стационарной задачи обтекания в постановке Стокса в пространствах L2p (Vt) // Сибирский математический журнал. 1998. — Т. 39, № 4. — С. 908−930.

16. Масленникова В. Н., Тимошин М. А. К Lp-теории в задаче обтекания для системы Стокса // «Применение новых методов анализа к дифференциальным уравнениям». Сборник научных трудов. Воронежский Гос. университет. Воронеж. — 1989. — С. 63−77.

17. Масленникова В. Н., Тимошин М. А. К Хр-теории для задачи Стокса в неограниченных областях с компактной границей // Докл. АН СССР. 1990. — Т. 313, № 6. — С. 1341−1345.

18. Масленникова В. Н., Тимошин М. А. Обобщенные решения с первыми производными из Lp в задаче обтекания для системы Стокса // Сибирский математический журнал. 1994. — Т. 35, № 1. — С. 135−162.

19. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

20. Русанов Б. В. Медленное неустановившееся обтекание кругового цилиндра вязкой жидкостью // Вестник Ленинградского университета. Серия математики, физики и химии. Раздел «Механика». 1955. -вып. 1, № 2. — С. 81−106.

21. Соболев С. J1. Об одной новой задаче математической физики // Известия АН СССР. 1954. — Т. 18, № 1. — С. 3−50.

22. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

23. Трибель X. Теория интерполяции: Функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

24. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for the solution of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II // Comm. Pure Appl. Math., 1964, vol. 17, № 1, pp. 35−92.

25. Chang I-Dee, Finn R. On the solution of a class of equations occuring in continuum mechanics with applications to the Stokes paradox // Arch. Rat. Mech. Anal., 1961, vol. 7, № 5, pp. 388−401.

26. Finn R. On the exterior stationary problem for the Navier-Stokes equations and associated perturbation problems // Arch. Rat. Mech. Anal., 1965, vol. 19, № 5, pp. 363−406.

27. Finn R., Noll W. On the uniqueness and non-existence of Stokes flows // Arch. Rat. Mech. Anal., 1957, vol. 1, № 2, pp. 97−106.

28. Galdi G.P., Simader Ch.G. Existence, uniqueness and L^-estimated for the Stokes problem in an exterior domain // Arch. Rat. Mech. Anal., 1990, vol. 112, № 4, pp. 291−318.