Когомологии Хохшильда ассоциативных конформных алгебр

Актуальность темы

Структурная теория конформных алгебр — сравнительно новая и активно развивающаяся область алгебры. Интерес к этой теории обусловлен тем, что она связана с математической физикой. Одним из направлений изучения конформных алгебр является исследование расширений конформных алгебр. В данной диссертации рассматриваются расширения ассоциативных конформных алгебр.

Формальное определение конформной алгебры было сформулированно В. Г. Кацем в работе [9] как аксиоматическое описание сингулярной части разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) киральных полей в конформной теории поля. Киральные поля (или формальные распределения) представляют собой бесконечные в обе стороны ряды nez с коэффициентами в некоторой алгебре, А (обычно в качестве алгебры, А рассматривают алгебру Ли Ql (V) линейного пространства V над полем комплексных чисел С). Произведение формальных распределений не всегда определено, так как может приводить к бесконечным суммам в коэффициентах. Для взаимно локальных формальных распределений вводится операция OPE, которая позволяет заменить умножение рядов счетным набором билинейных операций оп, п € Z+.

Сингулярная часть операторного произведения описывает коммутационные соотношения взаимно локальных формальных распределений, которые приводят к понятию конформной алгебры Ли. Ассоциативные конформные алгебры возникают как модули конформных линейных отображений.

Другой подход в теории конформных алгебр связан с понятием псевдотензорной категории, которое было введено A.A. Бейлинсоном и В.Г. Дрин-фельдом в работе [3]: конформная алгебра — это алгебра в псевдотезор-ной категории М.(Н), ассоциированной с полиномиальной алгеброй H = k[D] (см. [1]). Объектами в этой категории являются левые унитальные Я-модули, и алгеброй в М (Н) называется модуль С € М{Н) с H ® Н-линейной операцией *: С <8> С —" (H Я) ®# С. Преимуществом данного языка является то, что ассоциативность, коммутативность и другие тождества имеют в нем естественную интерпретацию. Заметим, что обычная алгебра над полем к — это алгебра в псевдотензорной категории Л4(к).

Таким образом, последний подход представляется наиболее естественным для обобщения понятия алгебры линейных преобразований End U конечномерного линейного пространства U. А именно, если V — конечно-порожденный Я-модуль, то все его конформные эндоморфизмы (см. [1, 6, 9]) образуют ассоциативную конформную алгебру, которую обозначают Cendl/.

В работе А. д’Андреа и В. Г. Каца [6] были описаны простые и полупростые лиевы конформные алгебры конечного типа. В работе Е. Зельманова [17] был доказан аналог «основной» теоремы Веддерберна об отщеплении радикала для ассоциативных конформных алгебр конечного типа. В более широком классе ассоциативных конформных алгебр, имеющих точное представление конечного типа, аналоги структурных теорем были доказаны П. С. Колесниковым [10, 11].

Одним из главных результатов теории конечномерных алгебр является классическая теорема Веддерберна о строении сепарабельных алгебр.

Пусть, А — конечномерная ассоциативная алгебра с радикалом R = Rad (A). Если А/ Rad (A) — сепарабелъная алгебра, то существует подалгебра S С, А такая, что, А равна прямой сумме пространств S фИж1(Л).

В 1945 г. Г. Хохшильд ввел понятие когомологий для ассоциативных алгебр и доказал теорему о тривиальности группы когомологий для (по-лу)простых алгебр этого класса [7]. Он также показал, что теорема Веддерберна является следствием тривиальности второй группы когомологий алгебры матриц над полем.

Подход к теории когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр был предложен Б. Бакаловым, В. Г. Кацем и А. Вороновым [2]. В определении когомологий авторы использовали так называемые А-произве-дения. Однако этот подход не был развит в должной мере. Также в этой работе сформулирована задача вычисления группы когомологий Хохшильда конформной алгебры Cendl^.

Таким образом, основные цели данной работы:

• разработка другого подхода к построению конформных когомологий Хохшильда, который использует язык псевдоалгебр;

• исследование связи между расширениями ассоциативных конформных алгебр и их второй группой когомологий;

• применение предложенного подхода к изучению расширений алгебры Сепс1п конформных линейных преобразований свободного п-порожденного к [О]- модуля.

Методы исседования. При получении основных результатов широко используются методы теории ассоциативных конформных алгебр и псевдоалгебр.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и получены автором лично.

Основные результаты диссертации:

1. Дано определение когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр.

2. Получена теорема о связи элементов второй группы когомологий ассоциативной конформной алгебры и ее сингулярных расширений.

3. Доказана тривиальность второй группы когомологий Хохшильда конформной алгебры Вейля IV.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейшем изучении ассоциативных конформных алгебр и их когомологий Хохшильда, а также при чтении спецкурсов по структурной теории колец.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории колец им. А. И. Ширшова (ИМ СО РАН), семинаре «Алгебра и логика» (НГУ), Международной конференции «Маль-цевские чтения» в 2005;2007 гг. (Новосибирск), Международной конференции «Алгебра и ее приложения» в 2007 г. (Красноярск), Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева в 2007 г. (Санкт-Петербург).

Структура работы. Диссертация содержит 51 страницу, состоит из введения, 5 глав, которые разбиты на 16 параграфов, и списка литературы.

1. Bakalov В., D’Andrea А., Кас V. G. Theory of finite pseudoalgebras // Adv. Math. 2001. V. 162, N. 1. P. 1−140.

2. Bakalov В., Кас V. G., Voronov A. Cohomology of conformai algebras // Comm. Math. Phys. 1999. V. 200. P. 561−589.

3. Beilinson A., Drinfeld V. Chiral algebras. Providence, RI: AMS, 2004. (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 51).

4. Bokut L. A., Fong Y., Ke W.-F. Composition-Diamond lemma for associative conformai algebras // J. Algebra. 2004. V. 272, N. 2. P. 739−774.

5. Bokut L. A., Fong Y., Ke w.-F., Kolesnikov P. S., Grobner and Grobner-Shirshov bases in algebra and conformai algebras (Russian) // Fundam. Prikl. Mat. 2000. V. 6, N. 3. P. 669−706.

6. D’Andrea А., Кас V. G. Structure theory of finite conformai algebras // Selecta Math. New Ser. 1998. V. 4. P. 377−418.

7. Hochschild G. On the cohomology groups of an assotiative algebra // Ann. of Math. 1945. V. 46, N. 1. P. 58−67.

8. Кас V. G. Formal distribution algebras and conformai algebras // Proc. / Xllth International Congress in Mathematical Physics. Brisbane, 1997 / Cambridge, MA: Internat. Press, 1999. P. 80−97.

9. Кас V. G. Vertex algebras for beginners. Second edition. Providence, RI: AMS, 1998. (University Lecture Series, vol. 10).

10. Kolesnikov P. S. Associative conformai algebras with finite faithfull representation // Adv. Math. 2006. V. 202, N. 2. P. 602−637.

11. Kolesnikov P. S. On the Wedderburn principal theorem for conformai algebras // J. Algebra Appl. 2007. V. 6, N. 1. P. 119−134.

12. Lambek J. Deductive systems and categories. II // Standard constructions and closed categories. Berlin: Springer-Verl., 1969. P. 76−122. (Lecture Notes Math., vol. 86).

13. Retakh A. Associative conformai algebras of linear grow // J. lgebra. 2001. V. 237, N. 2. P. 769−788.

14. Roitman M. On free conformai and vertex algebras //J. Algebra. 1999. V. 217, N. 2. R 496−527.

15. Sweedler M. E., Hopf algebras. New York: W.A. Benjamin, Inc. 1969.

16. Zel’manov E. I. Idempotents in conformai algebras // Proc. / Third Internat. Alg. Conf. in Taiwan. June 16-July 1, 2002. / Ed. by Y. Fong et al. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 257−266.

17. Долгунцсва И. А. Когомологии Хохшильда для ассоциативных конформных алгебр // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, N. 6. С. 688−706.

18. Долгунцева И. А. Тривиальность второй группы когомологий конформных алгебр Сепс1п и Сигп // Алгебра и анализ. 2008. (Принято к печати).

19. Долгунцева И. А. Тривиальность второй группы когомологий конформных алгебр Сепс1п и Сигп. Новосибирск, 2008. 13 с. (Препринт / РАН. Институт математики- № 213).

20. Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Материалы ХЬУ Международной студенческой конференции «Студент и начно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2007. С. 8−9.

21. Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Международная конференция «Алгебра и ее приложения». Красноярск, 12−18 августа 2007 года. Красноярск, 2007. С. 49−50.