Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве

Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию финансовых рынков, на которых действуют «агрессивные» скупщики акций (их может быть конечное либо бесконечное число).

Теоретическая часть диссертации представляет собой исследование мартингальных вероятностных мер, удовлетворяющих ряду интерполяционных свойств. Рассмотрения проводятся на стохастическом базисе со счетным вероятностным пространством, на котором задан адаптированный случайный процесс Z, понимаемый как дисконтируемая стоимость акции. Интерполяционные свойства мартингальных мер процесса Z вводятся следующим образом. Сначала строятся хааровские фильтрации, интерполирующие исходную фильтрацию стохастического базиса. С помощью решения мартингальной задачи Дирихле по финальному значению процесса Z относительно хааровской фильтрации определяется процесс Y, интерполирующий Z в том смысле, что Y совпадает с Z на исходном множестве временных параметров {0,1,2,3,.} и является оптимальным прогнозом Z на «промежуточных временах», число которых между целочисленными временами может быть конечно либо счетно. Последнее обстоятельство требует.

Введение

J значительно больше технических средств по сравнению с соответствующей теорией, развитой на конечных вероятностных пространствах И. В. Павловым и М. Н. Богачевой (см. [5],[8]).

Если исходная мартингальная мера Р процесса Z становится единственной мартингальной мерой интерполирующего процесса Y, то по определению мера Р удовлетворяет свойству хааровской единственности (СХЕ). Если этот факт справедлив для любой интерполирующей хааровской фильтрации, то мы говорим, что мера Р удовлетворяет свойству универсальной хааровской единственности (СУХЕ). В диссертации в терминах значений процесса Z получены критерии того, что мартингальная мера Р удовлетворяет СХЕ и СУХЕдоказано, что если какая-либо одна мартингальная мера удовлетворяет СХЕ, то и все мартингальные меры удовлетворяют этому свойству, а также получены необходимые условия существования мартингальных мер, удовлетворяющих СУХЕ. Соответствующие достаточные условия получить не удалось, так как задача нахождения таких мер свелась к весьма сложной (и до настоящего момента нерешенной) системе бесконечного числа неравенств с бесконечным числом переменных. В диссертации предлагается следующий способ преодоления этих трудностей. Вводятся в рассмотрение так называемые специальные хааровские интерполирующие фильтрации, являющиеся частными случаями хааровских интерполирующих фильтраций, и относительно этого нового класса фильтраций по тому же принципу, как и ранее, вводятся соответствующие интерполяционные свойства, которые естественным образом названы усиленным свойством хааровской единственности (УСХЕ) и ослабленным свойством универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ).

Остановимся на ОСУХЕ. В диссертации получен критерий того, что фиксированная мартингальная мера удовлетворяет ОСУХЕ, и.

Введение

ш критерий того, что любая мартингальная мера удовлетворяет ОСУХЕ. Важной частью последнего результата является весьма трудная теорема о том, что (при некоторых условиях) если множество мартингальных мер непусто, то в нем всегда существует мера, не удовлетворяющая ОСУХЕ (а, следовательно, не удовлетворяющая СУХЕ).

Отметим, что и для конечного вероятностного пространства понятия УСХЕ и ОСУХЕ являются новыми. Эти понятия весьма продуктивны при моделировании финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке акций.

В диссертации рассмотрена модель (В, S) -рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акций одного типа, подверженных скупке со стороны любого конечного числа г агрессивных скупщиков (г>3). Предположим, что действия скупщиков акций аранжированы во времени: на каждом временном этапе: скупщик № 1 опережает скупщика № 2, который, в свою очередь, опережает скупщика № 3 и т. д. Ранее исследовались аналогичные модели с одним скупщиком (см. [2], [68]) и с двумя скупщиками (см. [9]). Сразу отметим, что при применении метода хааровских интерполяций переход от двух скупщиков к трем и более привносит в процедуру совершенного хеджирования дополнительные трудности (см. [11]). Дело в том, что для широкого класса моделей с двумя скупщиками все мартингальные меры рассматриваемых финансовых рынков удовлетворяют СУХЕ, что позволяет использовать для совершенного хеджирования произвольные хааровские фильтрации, интерполирующие исходную фильтрацию (В, S)-рынка. В рассматриваемых нами аналогичных моделях с г скупщиками (г>з) всегда существуют мартингальные меры, не удовлетворяющие СУХЕ. Оказалось, что для исследования такого рода моделей достаточно, чтобы все мартингальные меры удовлетворяли ослабленному свойству хааровской единственности (в.

Введение

11 случае двух скупщиков СУХЕ и ОСУХЕ совпадают). Доказано (см. § 2.3 настоящей диссертации), что среди мартингальных мер для данных моделей всегда существуют меры, не удовлетворяющие и ОСУХЕ. Поэтому если компромиссная мартингальная мера, соответствующая цене некоторого (не реплицируемого в исходном (J^S)-рынке) финансового обязательства, не удовлетворяет ОСУХЕ, то для применения метода хааровских интерполяций эту меру следует сначала (с необходимой точностью) приблизить мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ, а потом осуществить совершенное хеджирование. Такая методика заложена в основу разработанного в диссертации программного комплекса «Приближенное хеджирование».

В настоящей диссертации также введена и исследована модель (2?, .S)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. Фильтрация.

7Х моделируемого (B, S) -рынка задается следующим образом: сг-алгебра порождена разбиением множества Q на атомы = (0,^-1)), где событие 4*+1(1<|<оо) означает, что акция скуплена / -м скупщиком, а событие заключается в том, что акция оказалась нескупленной. Схема дробления атомов аалгебр ^ изображена на рис. 0.1.

В программном комплексе «Приближенное хеджирование» разработана методика замены (на каждом шаге) бесконечного числа скупщиков конечным числом «приоритетных» скупщиков. В результате вычисление совершенных хеджей в данной модели сводится к вычислению приближенных хеджей в модели с конечным числом агрессивных скупщиков. к = к-2 к = 3.

Введение

u.

Исторический обзор. Расширение и усложнение финансовых рынков ведет к тому, что используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. При этом изменение процентных ставок и доходностей на рынках стохастические, а математические модели этих изменений — случайные процессы. Поэтому основная задача участников финансовых рынков — определение цен финансовых инструментов — может быть решена только с привлечением теории вероятностей.

Выделяют три главные задачи финансовой математики, так называемые «три колонны теории финансов» (см. [12]):

1) оптимальное размещение ресурсов;

2) нахождение стоимости активов;

3) управление риском.

Первое математическое описание цены акции как случайного процесса, называемого процессом броуновского движения, дано JI. Башелье [89] в докладе, представленном им Парижской академии в 1900 году. Работу Башелье (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением) можно считать предвестником современной стохастической теории определения цен финансовых активов. Однако первый серьезный вклад в развитие этого направления можно отнести лишь к середине прошлого столетия — работам Г. Марковитца 1952 г. [105] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), М. Кендалла в 1953 г. [101], У. Шарпа 1964 г. [117] (теория САРМ — модель преобразования основных фондов).

Одной из основных проблем современной теории финансов является определение стоимости потока доходов, порождаемого инвестициями в виде покупки активов. Главным результатом в этой области оказались теоремы Ф. Модиглиани и М. Миллера 1958 г.

Введение

14.

108] о том, что на равновесном рынке пакеты финансовых исков (которые, в естественном смысле, эквивалентны) должны характеризоваться одинаковой ценой.

Одновременно с работой Модиглиани и Миллера значительное продвижение в определении стоимости опционов на акции, сделали П. Самюэльсон [114] 1965 г. и другие авторы. Они заменили обычное броуновское движение, введенное Башелье геометрическим броуновским движением.

Следующим важным достижением являются работы Ф. Блэка, М. Шоулса [90] и Р. Мертона [107], опубликованные в 1973 г. В этих работах авторы находят рациональную (называемую также справедливой) цену опциона-колл, предполагая, что цена акции образует геометрическое броуновское движение (т.е. экспоненту от броуновского движения со сносом).

Весомый вклад в развитие стохастической финансовой математики был внесен С. Россом [113] в 1976 г. В его работе для описания равновесности состояния рынка впервые использовалась идея арбитража. Затем эта идея была развита Дж. Харрисоном и Д. Крепсом [98] 1979 г. и Дж. Харрисоном и С. Плиской [99] 1981 г. в терминах эквивалентных мартингальных мер. Стало понятно, что отсутствие на финансовом рынке арбитражных возможностей равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры. Этот факт известен как первая фундаментальная теорема определения цены актива.

Расширенные варианты первой и второй фундаментальных теорем и многие другие важные результаты из этой области содержатся в монографии А. Н. Ширяева (см. [82]), который вместе со своими учениками внес важную лепту в развитие стохастических методов в теории финансов.

Введение

15.

В 1987 году в работе М. Такку и В. Виллингера [119] была рассмотрена задача преобразования неполных рынков в полные, где переход от неполных рынков к полным осуществлялся заменой исходной мартингальной меры неэквивалентной ей мартингальной мерой. Однако, полученная таким образом единственная мартингальная мера не связана с ценами контрактов, справедливыми для изначально рассматриваемого финансового рынка. Указанная проблема была преодолена А. В. Мельниковым и К. М. Феоктистовым в 2001 году в работе [67] (см. также [81]), где пополнение финансового рынка проводилось посредством добавления к акциям исходного рынка дополнительных рисковых активов, функционально зависимых с изначальными.

В работах И. В. Павлова и М. Н. Богачевой (см. 5],[8]), была заложена основа принципиально другого метода перехода от неполных рынков к полным — метода интерполяции. Суть данного метода состоит в следующем.

Рассмотрим на конечном измеримом пространстве (Q,^) хааровскую фильтрацию Н = (<Лп (<Л0 ={Q, 0},<.,.< к < N).

Предположим, что Р — мартингальная мера некоторого адаптированного к F процесса Z = (Zt,^)" =0 и Н — х.и.ф. фильтрации F. Рассмотрим случайную величину Yn=EpZN сЯп и процесс Y = (Yn, Jin)'^0, интерполирующий процесс Z в том смысле,.

Введение

10 что Yn =Zk. Работы ([5],[8]) в большой степени посвящены ответу на вопрос, когда вероятностная мера Р является единственной мартингальной мерой процесса Y.

Настоящая диссертация является развитием работ И. В Павлова М. Н. Богачевой ([5−8]). Существенным отличием является то, что (Qявляется счетным вероятностным пространством и, следовательно, ст-алгебры исходной фильтрации содержат бесконечное число различных событий. Это обстоятельство порождает дополнительные технические и идейные трудности в развитии соответствующей теории и в процессе моделирования исследуемых финансовых рынков.

Финансовый рынок: основные понятия. Понятие рынка ассоциируется обычно с пространством торговли теми или иными ценностями. Если активы — это ценные бумаги, то рынок называют фондовым, или рынком ценных бумаг. Его участниками являются банки, фирмы, инвестиционные компании, страховые общества, пенсионные фонды и другие структуры, в том числе индивидуумы.

Все имеющиеся на рынке активы принято делить на основные (первичные) и производные (вторичные) финансовые инструменты. К основным причисляются акции, облигации (или бонны), банковский счет. Производные инструменты строятся на базе основных и включают в себя опционы, фьючерсы, свопы, индексы, спрэды, комбинации, варранты, сочетания и т. д. (см. [13], [14], [82], [100]).

Дадим краткую характеристику интересующих нас в дальнейшем понятийматериал, касающийся не затронутых в данной работе финансовых инструментов может быть найден в [72], [82], [84], [116].

Акции — это долевые ценные бумаги, выпускаемые в целях аккумулирования капитала компании для ее успешного.

Введение

17 функционирования. Акционер при этом приобретает права на участие в управлении компанией и на получение дивидендов (естественно, в том объеме, каким количеством акций он владеет). Чаще всего выпускают акции двух типов: обыкновенные и привилегированные. Они различаются выплатой дивидендов, степенью риска вкладывания в них финансовых средств, участием их обладателей управлением компанией и другими чертами.

Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций.

Облигации — это долговые обязательства государства или компании, выпускаемые для привлечения капитала, реструктуризации долга и т. д. В отличие от акций облигации по истечении заранее установленного срока изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Существенные характеристики облигаций — время погашения, стоимость погашения (номинал), выплаты до погашения (купоны). Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке.

Банковский счёт может рассматриваться как ценная бумага, близкая к облигациям, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по вашему счёту определённый процент от суммы счёта. В дальнейших рассмотрениях банковский счёт будет возникать не раз, что во многом объясняется его универсальностью. Он является удобной «единицей измерения» стоимости разнообразных ценных бумаг.

Опционы — производные ценные бумаги некоторого актива. Такая ценная бумага дает ее обладателю право (но не обязанность) продать (купить) некоторую ценность (валюту, акции и т. д.) на оговариваемых условиях. Чтобы стать держателем такой бумаги, нужно заплатить некоторую премию эмитенту. При этом приобретается право предъявить данную бумагу к исполнению в.

Введение

18 оговоренный срок и получить выплату в фиксированном размере. По времени погашения опционы делятся на два основных типа. Европейский тип имеет фиксированную дату погашения. Опционы американского типа могут быть представлены к исполнению в любой момент до фиксированной даты. Опцион на покупку (call-option) даёт право его владельцу (держателю опциона) купить актив по фиксированной договором цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Владелец опциона может отказаться от указанной покупки актива без всяких штрафов. Аналогично, опцион на продажу (put-option) даёт право его владельцу продать актив по фиксированной цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион).

Пример. Компании необходимо через 6 месяцев купить $ 100 тыс. Текущий курс $ — 29 руб.

Компания заключает с банком договор, в котором фиксируются курс $ (30 руб.), дата расчетов (через 6 месяцев), цена опциона (1% от объема валюты — 1 тыс. $). Компания уплачивает цену опциона $ 1000 и через б месяцев по установленному в договоре курсу 30 руб. имеет право купить у банка $ 100 тыс.

Если курс $ вырастет на 3 руб. и составит 32 руб., то компании выгоднее будет исполнить опцион и купить у банка $ по курсу 30 руб., что с учетом цены опциона — $ 1000 будет выше примерно на 1%, и составит 30,29 руб. Т.о. этот курс будет выгоднее текущего (32 руб.) на 1,71 руб.

Если же курс окажется ниже 30 руб., компания сможет отказаться от исполнения опциона и потеряет только цену опциона — $ 1000, или 1%.

Инвестор — участник финансового рынка, помещающий свободные капиталы в те или иные активы. Совокупность.

Введение

1V принадлежащих инвестору активов принято называть инвестиционным портфелем. Инвестор должен уметь правильно и динамично формировать свой портфель инвестиций (управлять портфелем): покупать и продавать активы, хранить активы, давать взаймы. Уменьшению риска той или иной сделки, например покупки или продажи акций, служит перераспределение содержимого портфеля. В таком случае говорят о защите своих инвестиций хеджировании), а соответствующий динамический портфель называют хеджирующим портфелем.

Основные понятия стохастической финансовой математики.

Стохастический базис. Под стохастическим базисом понимается фильтрованное вероятностное пространство где N — финальный момент времени (горизонт), определяющий верхнюю границу изменения временного параметра. При этом Q — пространство, состоящее из элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка- — салгебра подмножеств пространства элементарных событийпоток сг-алгебр F = (^)" =0 интерпретируется как «поток информаций», доступных на рынке до момента к включительноР — вероятностная мера на J. (В, Б)-рынок. Последовательность (Sk^{-измеримых} строго положительных с.в. Sk будем интерпретировать как последовательность цен акций, а другую адаптированную к *Jk последовательность (Вк строго положительных с.в. — как стоимость банковского счёта в момент времени к. В большинстве случаев последовательность (Вк)ык=0 считается детерминированной или, по крайней мере, предсказуемой. Рынок, определяемый последовательностями Sk и Вк, будем называть (2?, £)-рынком.

Введение

zv.

Портфель. Обозначим через количество единиц банковского счета, а через ук — количество акций в момент времени к.

Инвестиционная стратегия или портфель п определяется как двумерная предсказуемая последовательность (Р*, у*)*=0 (то есть рА и ук являютсяизмеримыми).

Капитал портфеля п — это случайная последовательность.

X* = (Xnn)lQ, задающаяся равенством: ол) где (hk)к=0 — некоторая адаптированная к (*Jk) последовательность. Во все промежутки между моментами к — 1 и к капитал Хкх изменяется на значениеизмеримой случайной величины gk и происходит перераспределение портфеля так, что.

0.2).

Если при этом портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала, не учитываются дивиденды и т. д. (т.е. hk=0Vk и V&), то такой портфель назовём самофинансируемым.

Арбитражем называется наличие возможности получения прибыли без риска. Арбитражная стратегия — стратегия, приносящая прибыль при нулевых начальных затратах. По определению самофинансируемый портфель п реализует арбитражную возможность, если Х£ = 0, Р (Х" >о)=1 и P{xKN >0)>0. (B, S)-pbiHOK, на котором отсутствуют арбитражные возможности, называется безарбитражным.

Хедж. Самофинансируемый портфель п = фк, ук) кт0, такой, что в момент времени N его капитал мажорирует некоторое платёжное обязательство fN> 0, являющеесяизмеримой случайной.

Введение

21 величиной (т.е. для которого X* > fN Р-п.н.), называется хеджирующим портфелем. Процедура построения такого портфеля называется хеджированием данного обязательства. Если при этом Р-п.н. XI = fN, то хедж называется совершенным. (B, S) -рынок называется полным, если для любого платёжного обязательства fN существует совершенный хедж.

Sk.

Дисконтироеаннои ценой акции называется отношение —- цены.

Вк акции к банковскому счёту. Основой для анализа различных стохастических моделей (В, S) -рынка является предположение о наличии мартингальной меры Р. Мартингальной мерой называется такая вероятностная мера Р, эквивалентная исходной мере Р записывают Р ~ Р), относительно которой процесс f N езг р

Dkкш0 является мартингалом.

Для исследований (B, S) -рынков особо важны такие их качества, как полнота и безарбитражность. Именно эти эконометрические характеристики связаны с понятием мартингальной меры. Именно, справедливы следующие две основные теоремы финансовой математики.

Теорема 0.1. (В, 8)-рынок является безарбитражным тогда и только тогда, когда существует мартингальная мера Р.

Теорема 0.2. (B, S)-pbiHOK является полным тогда и только тогда, когда мартингальная мера Р существует и единственна.

Обзор главы 1 диссертации. Основным результатом первой главы диссертации является теорема 1.1, представляющая собой критерий удовлетворения мартингальной мерой свойства хааровской единственности. Это свойство дает возможность строить безарбитражные и полные хааровские интерполяции исходного.

Введение

22 безарбитражного (В, S)-рынка, определенного на стохастическом базисе где Q — произвольное множество пространство элементарных событий) — F = (^)L>— фильтрация на Q, в которой любая су-алгебра порождена разбиением пространства Q на не более чем счётное число атомов, причём.

7O = {Q, 0}, = и = Р — вероятностная мера из множества вероятностных мер <Р на (Q, j),.

30 нагружающих все события из .

4=0.

Пусть Z = {Zk,*JkX=0 — F-адаптированный случайный процесс- ?P (Z, F) — множество таких мер Ре? Р, для которых процесс Z = является мартингаломZPN (N <оо) — множество всех вероятностных мер Р на (Q,^), нагружающих все атомы из.

Z, F)(iV.

A = jBt, l< к < оо), В, — атом в, и обозначим a:=Zbl>b':=ZkXr (0.4).

Пусть 0 < Nx <оотакой момент времени, что при 0 < к < Nx а-алгебры ^ конечны, а ст-алгебра бесконечна. Далее, пусть.

Nx (nx < Nx < оо) таково, что при переходе от момента к к моменту к +1, где k = Nx —, NX,., NX -2, в множестве имеется бесконечное число элементов, не содержащихся в, а отличается от х на конечное число элементов. Аналогично, пусть.

N2 (n{ < N2 < oo) таково, что при переходе от момента к к моменту к+, где k-N{ -, N]f., N2 -2, множество отличается от на конечное число элементов, а в имеется бесконечное число элементов, не содержащихся в, и т. д. Введём дополнительное обозначение: N0 :=1.

Рассмотрим на фильтрацию H = (<^f)J, к>0, п>0, удовлетворяющую условиям: a) п = 0=>к = 0 nt (Q0) =0- b) при Nt-<.< к < -1 выполняется к < t[k) < t (k) <. < t (k) = к +1- d) <Л0 = {Q, 0} и при фиксированном к у сзг-алгебры какой-то один атом равен объединению двух атомов а-алгебры, а остальные атомы этих ст-алгебр совпадают (таким образом, Л п e) <Л (1) при всех допустимых значениях k, i, j. i 'J.

Для случая b) полагаем также.

Все возможные варианты дробления атомов изображены на рис. 1.1−1.3 и на соответствующих схемах (см. глава 1).

Определение 1.1 Фильтрацию Н будем называть хааровской интерполирующей фильтрацией (х.и.ф.) фильтрации F, если V* (0 ). и.

Пусть Н — хааровская интерполирующая фильтрация фильтрации F. Если N< со и Pe??>(Z, F), то определим с.в.

Vr=EP[ZN где t может принимать любые значения t (k) < N, а также значения 0,1,2.N. Процесс У (А° ={YtNинтерполирует процесс Z (N) ={Zk,.

V* = 0,1,2,., ЛГ.

Предположим теперь, что Pe? P (Z, F). Тогда для ViV< оо Р е? a^(Z, F). Определим процесс Yt = lim Yt (N), где t может принимать уже любые значения t (nk) и все натуральные значения. Имеем: Yk = Zk, V? = 0,1,2,. .

Определение 1.2 Будем говорить, что мера P<=.

Аналогичным образом СХЕ определяется для меры Р е? P (Z, F). Теорема 1.1 1) Если какая-нибудь мера Pe

I <*<.m Шит ' 4 ' а при m = 1 выполняется равенство min bt=a = max b, (0.6).

J< i < т следует читать как 1 < i < оо).

2) Если Vk = 0,1,2,. и для любого атома при т > 1 выполняется неравенство (0.5), а при т = 1 — равенство (0.6), то любая мера P<=<PN (Z, F) удовлетворяет СХЕ.

Введение

23.

Покажем теперь, как изложенная выше идеология может применяться к исследованию финансовых рынков. На фильтрующемся пространстве 0 рассмотрим (2?,£)-рынок, где положительные процессы В = (Вк,<^кУЫ0 и S = {Sk3^Jk)^ отражают эволюцию соответственно цены банковского счета и цены акции. g.

Обозначим Zk=—. Предположим, что данный (B, S)-рынок.

Bt безарбитражен, то есть 0. В большинстве случаев такие рынки неполны, то есть |?p (Z, F)| = oo. Хорошо известно, что все расчеты (вычисление цен опционов, расчет хеджирующих стратегий и т. д.) в рамках неполных рынков значительно сложнее, чем в полных. Приведенная выше теорема указывает один из возможных путей сведения неполного рынка к полному. Именно, процесс F = интерполирует дисконтированный процесс Z на «промежуточные времена». Так как мы считаем, что в промежуточные времена проценты в банке не начисляются, то естественно положить:

Bt=Bk при ?</<? + 1 (0.

St=BtYtnPKt = C Итак, если мы имеем дополнительную информацию о поведении финансового рынка в промежутках между объявлением цен на акции, то при выполнении некоторых условий мы можем «упорядочить» во времени события, происходящие на рынке, в результате чего полученный «расширенный» рынок оказывается полным.

Отметим, что сфера применения теоремы 1.1 достаточно обширна. Она неприменима лишь в случае, когда 3k (0?k 1 и выполняется равенство (0.6).

Введение

2Ь.

На языке финансовой математики это означает, что если совершилось событие А, то при переходе от момента времени к к моменту к +1 дисконтированная цена акции не меняется, несмотря на то, что биржевая ситуация эволюционирует, так как в рамках события, А возникает много новых событий (а именно, В1, В2,.).

Следующая теорема дает достаточное условие выполнения СХЕ.

Теорема 1.2 Если фильтрация F определяется формулой = a{Z0,Zl, Z2,., Zt} (т.е. F — естественная фильтрация процесса Z), то любая мера Р е? P (Z, F) удовлетворяет СХЕ. ^.

Как показывает пример 1.1 диссертации, условие теоремы 1.2 не является необходимым. В связи с этим обстоятельством отметим, что если {В, S)-рынок безарбитражен и полон, то фильтрация по отношению к которой он рассматривается, всегда совпадает с естественной фильтрацией (см. [82]).

Рассмотрим теперь следующее свойство, усиливающее СХЕ.

Определение 1.3 Будем говорить, что мера PeZP (Z, F) обладает свойством универсальной хааровской единственности (СУХЕ), если для любой хааровской фильтрации Н, интерполирующей фильтрацию F, соответствующий интерполирующий процесс Y допускает единственную мартингальную меру (совпадающую с исходной мерой Р).

Оказалось, что СУХЕ тесно связано со следующим, на наш взгляд, весьма важным свойством.

Определение 1.4 Пусть {bx, b2,.) — не более чем счетный набор действительных чисел, снабженных, соответственно, весами {Р>Рп—}" г<*е 0 < р, < 1, V/ = 1,2,. Будем говорить, что этот набор удовлетворяет условию несовпадения барицентров (УНБ), если.

Введение

27.

00 <�" 1) ряд YjPi сходится, а ряд blpi абсолютно сходитсяi=i.

2) для любых двух непересекающихся подмножеств индексов I = {/i,/2,-} «J = {Лмножества индексов {l, 2,.} (при числах bt) выполняется неравенство:

Ipu HbjmpJm т м т т т.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 13 Мера Pe.

Естественно возникает вопрос: при каких условиях на исходный (В, S)-рынок существуют мартингальные меры Р, удовлетворяющие СУХЕ, или, что-то же самое, когда реализуются условия несовпадения барицентров. Частичным ответом на этот вопрос являются теоремы 1.4 и 1.5.

Теорема 1.4 (необходимое условие существования мартингалъных мер, удовлетворяющих СУХЕ). Если существует вероятностная мера Ре£P (Z, F), удовлетворяющая СУХЕ, то V&- О.

Следствие 1.1 Если существует мера Pe? P (Z, F), удовлетворяющая СУХЕ, то фильтрация F — естественная фильтрация процесса Z.

Введение

г*.

Как показывает пример 1.2 диссертации, из того, что фильтрация F — естественная фильтрация процесса Z, не следует существования меры Р е? P (Z, F), удовлетворяющей СУХЕ.

Схема возможных соотношений между СХЕ, СУХЕ представлена на рис. 1.18.

В заключительном параграфе главы 1 рассматривается стохастический базис с потоком конечных ст-алгебр и бесконечным горизонтом и на него обобщается результат о существовании мартингальных мер, удовлетворяющих свойству универсальной хааровской единственности. В случае конечного горизонта такого рода результат получен в работах [5, 8].

Теорема 1.5 Пусть для любой последовательности атомов Ак е удовлетворяющих условию Ах гэ А2 з А3 о., выполняется: 00.

Р| Ак*0. В множестве? P (Z, F) существует мера Р, О удовлетворяющая СУХЕ тогда и только тогда, когда VAe!2^ числа a, bl, b2>., bm различны. Чк (0<£<оо).

Обзор главы 2 диссертации. Данная глава посвящена изучению одного интерполяционного свойства теории мартингалов, применимого при моделировании и исследовании финансовых рынков. Это свойство названо ослабленным свойством универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ). Оно накладывается на мартингальные меры заданного процесса с дискретным временем, определенного на счетном вероятностном пространстве. ОСУХЕ является менее ограничительным, чем введенное ранее свойство универсальной хааровской единственности, так как оно связано не со всеми хааровскими интерполяциями изначально заданной фильтрации, а только с их подклассом, названным «специальные хааровские интерполяции».

Основными результатами данной главы являются теоремы 2.2 и 2.3, которые дают необходимые и достаточные условия того, что все мартингальные меры Р е? p (Z, F) удовлетворяют СУХЕ.

Во второй главе используются обозначения, введенные в параграфе 1.1.

Определение 2.1 Х.и.ф. Н фильтрации F называется специальной хааровской интерполирующей фильтрацией (с.х.и.ф.), если для любых кип при переходе от п к п + l в результате дробления атома из <^i (t)) является атомом из. щ.

Различие между х.и.ф. и с.х.и.ф. продемонстрировано на рис. 2.1 и 2.2 параграфа 2.1.

Следующие два определения являются ослабленными версиями определений 1.3 и 1.4.

Определение 2.2 Будем говорить, что мера Pe.

Определение 2.3 Пусть — счётный набор действительных чисел, снабжённых, соответственно, весами {Pi>Рг"—}, где 0 < pt < 1, V/ = 1,2,. Будем говорить, что этот набор удовлетворяет ослабленному условию несовпадения барицентров (ОУНБ), если оо оо.

I) ряд J]/?, сходится, а ряд ]>]btpt абсолютно сходится;

Введение

30.

2) V/ = 1,2,. и для любого набора индексов I = {/, г2,.}, не содержащего i и такого, что дополнение I множества I конечно, выполняется неравенство:

2Ад. -а те/.

Модификация определения 2.3 для конечного набора bx, b2,., br} очевидна (см. параграф 2.2 настоящей диссертации).

Справедлив следующий критерий выполнения ОСУХЕ в терминах ослабленного условия несовпадения барицентров.

Теорема 2.1 Мера (Z, F) удовлетворяет ОСУХЕ тогда и только тогда, когда V? = 0, l,., iV-l и для М е набор чисел из (1.2), снабжённых весами {р, = Р (Вур2 = Р (В2),.}, удовлетворяет ОУНБ. щ.

Так же, как и для мартингальных мер, удовлетворяющих СУХЕ, важно иметь условия, при которых существуют меры Pe.

Определение 2.4 Будем говорить, что число Ь, входящее в последовательность имеет кратность I (I может быть как конечно, так и бесконечно), если в этой совокупности оно присутствует I раз.

Теорема 2.2 Пусть? P"(Z, F)*0 и fk{Q.

Введение

31.

1) т<3, причем при т-2 b{^b2, а при т = 3 числа a, bl, b2, bi различны;

2) т = со и последовательность содержит лишь два различных числа, каждое из которых имеет бесконечную кратность.

Тогда все меры из ZPN (Z, F) удовлетворяют ОСУХЕ.

Тот факт, что теорема 2.2 в описанном выше смысле неулучшаема, вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.3 Если <7>(Z, F)*0 и 3k (Q.

Доказательство теоремы 2.3 базируется на довольно трудоемких леммах 2.6−2.8, в которых решаются специальным образом подобранные системы уравнений с бесконечным числом неизвестных. Специфика конструирования этих систем связана с количеством различных значений, наличествующих в последовательности {б,}.

Обзор главы 3 диссертации. В третьей главе построены и исследованы три взаимосвязанные модели (В, S)-рынков, подверженных целенаправленной скупке акций со стороны не более чем счетного числа скупщиков.

В первом параграфе изучена модель с произвольным конечным числом г агрессивных скупщиков, анализ которой производится приближением мартингальных мер мартингальными мерами, удовлетворяющими свойству универсальной хааровской единственности. Именно, компромиссная мартингальная мера Q, по которой рассчитывается цена финансового обязательства, приближается с нужной степенью точности мартингальной мерой Q*,.

Введение

32 удовлетворяющей СУХЕ, усреднениями по которой строится совершенный хедж.

Опишем конструкцию модели с г скупщиками аналитически.

1 шаг — это построение стохастического базиса, на котором определен исходный (В, S) -рынок. Пусть а-алгебра порождена разбиением Q на атомы Al, A2,., Ark, Brk, где событие Агк+{ (? = 0,1,., ДГ-1) означает, что при переходе от момента к к моменту к+1 акция скуплена первым скупщиком, Агк+1 — акция скуплена вторым скупщиком, Аг (к+1^ — акция скуплена r-м скупщиком, а событие Вг (к+1) заключается в том, что акция оказалась нескупленной (рис. 3.1). Для удобства полагаем Aq = 0, B0-Q. Построим следующие ст-алгебры событий: <=Нп=а{А1,А2,., Ап}, п = 1,2,., г//. Мы получили специальную хааровскую фильтрацию.

Хо (смРис- 3.2), интерполирующую исходную фильтрацию к) Г=о'таккак <=^гк=%>к = ОДv", N.

2 шаг — задание исходного (В, S) -рынка следующим образом.

Пусть F-адаптированная случайная последовательность {.

Построим следующие а-алгебры событий: <Лп =а{А1,А2,., Ап}, n = l, 2,., rN. Мы получили специальную.

Введение

33 хааровскую фильтрацию (<J{(см. рис. 3.2), интерполирующую исходную фильтрацию так как.

3 шаг — построение интерполирующего (/?,"£)-рынок при некоторых специальных предположениях.

Рассмотрим шкалу основных и интерполяционных моментов времени, и зафиксируем соответствие между основными моментами времени и узловыми интерполяционными моментами:

Ь (Рк>&кУк=о.

О l 2 3 Аг ?+1 N п.

О г 2r кг (fc + l) r Nr.

Введем в рассмотрение Н-адаптированную случайную последовательность (<=?", и детерминированную N последовательность, удовлетворяющую условиям:

1)в узловые времена значения цен акций и банковских счетов совпадают со значениями в основные времена, т. е. при 0< к.

2)в промежуточные интерполяционные моменты времени проценты на банковские счета не начисляют, поэтому они совпадают со значениями в основные времена, т. е. = 4*+з = - = %+i) = ^ при к = 0,1,., N-I;

3)значения цен акций .

Введение

J4.

Во втором параграфе рассматривается модель {B, S)-рынка с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций и построение совершенных хеджей методом «усечения» финансового рынка. Применение этого метода предполагает несколько этапов. Сначала с помощью произвольной мартингальной меры Р исходный рынок аппроксимируется некоторым (B, S)-рынком с конечным числом состояний, для которого выполняются условия существования мартингальных мер, удовлетворяющих свойству универсальной хааровской единственности (СУХЕ). При этом мера Р приближается мартингальной мерой Q полученного рынка (соответствующего модели 1), которая, в свою очередь, приближается мартингальной мерой Q*, удовлетворяющей СУХЕ. По мере Q' посредством мартингального решения задачи Дирихле относительно произвольной хааровской фильтрации, интерполирующей фильтрацию полученного {В, S) -рынка, строится процесс, интерполирующий с заданной точностью дисконтированную стоимость акции исходного рынка. В результате этой процедуры интерполирующий {в, S)-рынок (снабженный хааровской фильтрацией) приобретает свойство полноты (Q' будет единственной мартингальной мерой этого рынка). Таким образом, если fN — произвольное финансовое обязательство на исходном (B, S)-рынке, а Р — мартингальная мера, с помощью которой вычисляется компромиссная цена этого финансового обязательства, то на интерполирующем (В, S) -рынке всегда можно по хорошо известным формулам построить совершенный хедж, реплицирующий некоторое финансовое обязательство, приближающее fN с заданной точностью. В результате вычисление совершенных хеджей в данной модели свелось к вычислению приближенных хеджей в модели с конечным числом агрессивных скупщиков.

Введение

35.

В третьем параграфе исследована модель (B, S)-рынка (типа.

Кокса-Росса-Рубинштейна) с бесконечным числом скупщиков акций, в рамках которой построение совершенных хеджей происходит методом специальных хааровских интерполяций. Рассмотрим стохастический базис (q,^J,< / < оо) означает, что акция скуплена /'-м скупщиком, а событие А**1 заключается в том, что акция оказалась нескупленной. Стоимости активов данного финансового рынка задаются формулами: Вк=В0(1 + г) к, Sk=Zk-Bk, ZM=Zk (1 + ам), где с.в. at+I может принимать три значения: 0, а, Ь, где а<0<�Ь. Именно, at+1(/4/)=0, j = 1-к, i = 1-оо, ai+, (Af+l)=а или b, / = 1-оо, причем для бесконечного множества индексов i принимается и значение а, и значение Ъ. На каждом шаге к iй скупщик скупает акции по цене, соответствующей дисконтированной процентной ставке, а или b (событие Af) — остальные акции остаются нескупленными (событие Акт).

Ясно, что построенный нами (В, S)-рынок допускает бесконечное число мартингальных мер^Pn (Z, F) c:^Pn. Из теоремы 2.2 вытекает, что каждая мера из fPN (Z, F) удовлетворяет ослабленному свойству универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ), которое определяется с помощью специальных хааровских интерполяций (см. параграф 2.1) процесса Z = (Zt,^)f=0. Этот факт означает, что построенный по любой мартингальной мере Pe.

Введение

36 допускает единственную мартингальную меру: именно ту, с помощью которой он был определен. То есть построенный нами интерполирующий (B, S)~рынок будет полным.

Четвертый параграф содержит программный комплекс «Приближенное хеджирование», в котором разработаны и реализованы процедуры расчетов в рамках рассмотренных моделей (В, S)-рынков. Программный комплекс создан в среде Visual Basic 6.0 и предназначен для:

1) построения компромиссных мартингальных мер как основы вычисления стоимости контракта и (в случае реализации контракта) построения совершенного хеджа для разных типов финансовых обязательств;

2) приближения компромиссной мартингальной меры мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ (при этом возможен выбор из нескольких вариантов такого приближения: генератором случайных чисел, поиском оптимального решения и вручную);

3) решения одношаговой задачи, подразумевающей кроме обычного ручной ввод параметров, в том числе и мартингальной меры, и финансового обязательства;

4) определения количества приоритетных скупщиков, участвующих на рынке акций;

5) определения компонентов самофинансируемого портфеля, вычисления справедливой цены финансового обязательства.

Системные требования к программному комплексу: Win98SE или выше, Ехсе12 000,1Mb свободного дискового пространства.

В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту, которые приведены в начале автореферата.

Введение

37.

В приложении представлен код программного комплекса «Приближенное хеджирование» в среде Visual Basic 6.0, дано полное описание программного комплекса.

Основные результаты диссертации содержатся в 15 публикациях: [31] - [45]. В совместных работах на долю соискателя приходится 75%. Основные результаты диссертации докладывались:

1) на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам и Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2003, 2004, 2005 гг.- г. Кисловодск, 2004 г.);

2) на Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (г. Москва, 2003 г.);

3) на четвертых и пятых межвузовских научных чтениях при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2003, 2004 гг.);

4) на Международных научно-практических конференциях «Строительство» при РГСУ (г. Ростов-на-Дону, 2003, 2004, 2005 гг.);

5) на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004 г.);

6) на XIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Дюрсо, июнь, 2005 г.).

7) на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Дюрсо, сентябрь, 2005 г.);

8) на межкафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедрах высшей и прикладной математики РГСУ (рук. — проф. И. В. Павлов и проф. Г. И. Белявский).

9) на семинаре по вероятностным методам геометрии и анализа при РГУ (рук. — проф. С.Б. Климентов).

Введение

38.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному1'руководителю д.ф.-м.н., проф. Павлову И. В. за оказанную помощь и ценные советы.

Заключение

.

В заключении приведем список основных результатов, выносимых на защиту.

В соответствии с поставленной перед нами задачей и в результате анализа возникших теоретических проблем нам удалось получить результаты, которые сводятся к следующему:

1. Построены и исследованы три взаимосвязанные модели (В, S)-рынков, подверженных целенаправленной скупке акций со стороны не более чем счетного числа скупщиков: a) модель с произвольным конечным числом г агрессивных скупщиков, анализ которой производится приближением мартингальных мер мартингальными мерами, удовлетворяющими свойству универсальной хааровской единственностиb) модель {B, S)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций, исследование которой производится её сведением к модели а) методом «усечения» финансового рынкаc) модель (В, S)-рынка (типа Кокса-Росса-Рубинштейна) с бесконечным числом скупщиков акций, в рамках которой построение совершенных хеджей происходит методом специальных хааровских интерполяций.

2. Развита теория хааровских интерполяций финансовых рынков со счетным числом состояний, основанная на методе интерполяций мартингалов.

3. Введены и изучены специальные хааровские интерполяции мартингалов на конечном и счетном вероятностных пространствах и связанное с ними ослабленное свойство универсальной хааровской единственности.

4. Получены алгоритмы расчетов аппроксимаций совершенных хеджей, основанные на методе специальных хааровских интерполяций. Соответствующие вычислительные процедуры разработаны и реализованы в виде программного комплекса «Приближенное хеджирование».

5. Получены теоретические результаты, обосновывающие методы хааровской и специальной хааровской интерполяций: a) критерий удовлетворения мартингальной меры свойству хааровской единственности (теорема 1.1) — b) критерий удовлетворения мартингальной меры свойству универсальной хааровской единственности (теорема 13) — c) критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности: случай потока конечных а-алгебр и бесконечного горизонта (теорема 1.5) — d) условия, обеспечивающие удовлетворение ослабленного свойства универсальной хааровской единственности всеми мартингальными мерами (теоремы 2.1, 2.2) — e) теорема о неулучшаемости этих условий (теорема 23).

Таким образом, наше исследование позволяет преобразовывать неполные и безарбитражные рынки со счетным числом состояний в полные безарбитражные рынки, и как следствие, производить все расчеты необходимые для оптимального поведения инвесторов финансовых рынках расчеты.