О распределении целых точек в пространстве Лобачевского

Одной из классических проблем аналитической теории чисел является проблема целых точек в областях евклидова пространства, т. е. задача нахождения асимптотической формулы для количества точек с целочисленными координатами, принадлежащих данным областям. Происхождение этой тематики исследований восходит к поставленному Гауссом вопросу о поведении средних значений арифметических функций.

Центральной проблемой теории целых точек является «проблема Гаусса о числе целых точек в круге». Гауссом для числа N (T) целых точек в круге х2 + у2 ^ Т было получено соотношение.

N (T) = 7tT + R, R = 0(VT), показывающее, что число целых точек внутри круга равняется площади круга с точностью до ошибки, не превосходящей по порядку длины окружности. Дальнейшие уточнения оценок остаточного члена были достигнуты применением элементарного метода, созданного Г. Ф. Вороным. В 1903 г. Г. Ф. Вороной [1] получил результат R = 0(Т* In Г).

Развитие аналитических методов исследования данной задачи содержится в работах Г. Ф. Вороного [2], Г. X. Харди и Дж. И. Литтлвуда [3], И. М. Виноградова [4], JI. К. Хуа [11]. Г. X. Харди и Дж. И. Литтлвудом установлена также^{-оценка} R = П{ТЦпТ)2). Последние достижения в проблеме круга приведены в монографии М. Н. Хаксли [12].

Для числа N'(T) целых точек в трехмерном шаре x2+y2+z2 ^ Т И. М. Виноградов, применяя созданный им метод тригонометрических сумм [5]-[10], получил результат.

N'(T) = + Я', R' = 0(ТЦЫТ)6). о.

Ф. Чамизо и Г. Иванцом [14] установлена оценка R' = 0(ТЩ. Известно, что улучшить оценку R' = 0(T% In Т) нельзя.

Для многомерных рациональных эллипсоидов евклидова пространства размерности m > 4 модификация аддитивного метода Харди-Литтлвуда позволила Э. Ландау и А. Вальфишу [15]—[22] получить неулучшаемые оценки остатка 0(Т?-1), в случае га = 4 известная оценка почти неулучшаема — 0(Т1пТ).

Обобщением указанных проблем является проблема получения асимптотической формулы для числа точек решетки, соответствующей некоторой дискретной подгруппе движений в римановом пространстве, попадающих в шар растущего радиуса. Постановка задачи такова. Пусть d (z, z') — геодезическое расстояние между точками z и z' риманова пространства Г — дискретная подгруппа движений 91, т. е. подгруппа, обладающая следующим свойством: для любой точки z EfH и любой последовательности {7n}n^i различных элементов из Г последовательность {7nz}n>i не имеет точек накопления в 91. Для точек zq G 91 и z? 91 рассмотрим множество.

S{T]zq, z) = ыч е г, фол*) ^ т}, где Т — большое положительное число. Предметом исследования является асимптотическое поведение при Т оо величины.

N (T]Z0,z) = S{T-z0,z)l равной числу точек решетки в шаре радиуса Т, если z не является неподвижной точкой Г, и равной этому числу, умноженному на порядок стабилизатора z в Т, если z — неподвижная точка Г.

Впервые функция N (Tzo, z) для случая пространства Лобачевского была введена Ж. Дельсартом в 1942 г. [23]—[24]. Фундаментальной областью к подгруппы Г будем называть область, удовлетворяющую двум условиям:

1) v 71,72 е Г, 7i Ф 72, 7iffn 72^ = 0;

7бГ.

Ж. Дельсартом был получен следующий результат: для N (Tzq, z) справедливо представление.

N (Tzo, z) = 7tw FI an, fa 2, ~ n=0 ^ где w = 2a2 ^ch^ — — — кривизна плоскости Лобачевского,.

F (a, bс, t) обозначает классическую гипергеометрическую функцию Гаусса, определяемую выражением.

F (a b. ct) — У Па+ть+k) tk ,.

1 ' ' ' > Г (о)Г (6) fr (c + fc) r (fc + l) ' г ' к—О pn (z) — собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа, который в общем случае m-мерного пространства с метрикой т ds2 = 9ik dxidxk i, k=1 может быть определен как.

J от Q / т д на компактной фундаментальной области плоскости Лобачевского при авто-морфных граничных условиях (т. е. порождаемом условием автоморфности соотношением между значениями непрерывной функции в паре граничных для фундаментальной области точек, переводимых друг в друга преобразованием подгруппыв случае дифференцируемой функции условие автоморфности влечет за собой соответствующее соотношение между первыми производными функции в такой паре граничных точек), Ап — соответствующие им собственные значения, an,/3n — корни квадратного уравнения.

А2 — А — Апа2 = 0.

Ж. Дельсартом было также показано, что в пределе при кривизне пространства, равной нулю, данная формула превращается в классическую формулу Вороного для числа целых точек в круге.

X. Хубером [25]-[27] был исследован случай фуксовых подгрупп с компактной фундаментальной областью. В работе [26] доказано следующее соотношение:

— ibbr1, j• оо, д > 1 — род гиперболического пространства в модели Клейна как ориентируемого замкнутого многообразия.

Аналогичная задача при предположении о конечности кообъема фундаментальной области в гиперболическом пространстве произвольного количества измерений изучалась А. Сельбергом [28]—[30]. Его работа содержит также оценку остаточного члена асимптотической формулы. Метод исследования использует специальный класс интегральных операторов, коммутирующих с неевклидовыми движениями.

На основании идей X. Хубера Ф. Фрикером [31] в случае трехмерного гиперболического пространства в модели Пуанкаре был получен следующий результат. Пусть группа Г является кокомпактной, т. е. обладает компактной фундаментальной областью Для каждого собственного значения Л трехмерного оператора Бельтрами-Лапласа рассмотрим ортонормированный базис {м Р.

Тогда при Т со для величины N (T, z) = iV (Tz, z) справедлива асимптотическая формула.

ЩТ, z) = JLe2T + у Ыг) (iwizafr + 0(е1г), где — кообъем фундаментальной области.

JI. Берар-Бержери [32]—[33] выделил главный член асимптотики в более общем случае, чем X. Хубер, а именно для всех дискретных кокомпактных групп движений гиперболического пространства без кручения.

П. Гюнтер обобщил результат Ф. Фрикера на случай произвольной размерности [34]—[35].

П. Тёрнер [36]-[37] для случая трехмерного пространства Лобачевского получил следующие результаты. Пусть группа Г кокомпактна. Рассмотрим суммы Рисса.

Nk (T-z0,z)= Y, (T~d (jz, z0)) k^O.

7&euro-Г dbz, z0KT.

Определяя т из условия Ari ^ 1 < Аг, положим а*.

1 — Лп)2 ^ 0 для п < т, (1 — an)5 = «а»" а" > ат > о для п ^ т. Обозначим.

Q*(T- *) = *T (k + 1) Е 2тгГ (Аг + 1) ет{Тк- 1) ?

А&bdquo-=1.

Тогда для величины.

Я*(Т- 2D, z) = NT- *ь, г) — Qfc (Tг), к^О, справедливы следующие оценки: 0(Тке^), 0 < А < 1, 0(ет), jfc > 1, равномерные при (z, zq) 6 # х Отметим также полученную П. Тёрнером оценку Г2-типа, составляющую гипотезу о правильном порядке остаточного члена для числа точек в шаре гиперболического пространства:

Rk (T-z0,z) = Q±(eT), к ^ 0.

При этом, если.

Rk (T-, z0, z) = O (e^T) для любого? > 0, то liminf —— = -оо, 0 ^ к ^ 1. т-юо е1.

Число перемен знака функции Rk{X zo, z) на интервале 0 ^ X ^ Т, обозначаемое через Wk (Tzq, z), стремится к оо при Т —оо, а именно.

Wk (T', z0, z)>^T-dk, к>0,.

Rk{T-, z0) z) = < dk — некоторые величины, не зависящие от Т. П. Тёрнером доказано также следующее утверждение: для почти всех (по мере, индуцированной метрикой гиперболического пространства) точек z Е $ и произвольного положительного 5 справедливы оценки.

В работе П. Д. Лакса и Р. С. Филлипса [38] рассмотренные выше результаты распространены на случай фундаментальной области бесконечного ко-объема с конечным геометрическим свойством, т. е. области, допускающей полигональное представление с конечным числом сторон. Авторами работы доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА I. Положим t 2 т — 1.

Ъ = уХз + ~Т~) ' ^ =.

Aj — собственные значения оператора Бельтрами-Лапласа. Определим Е (Тz, zq) формулой.

Е (Тz, zq) =.

— ш? т+1 сот — площадь поверхности сферы радиуса 1. Тогда при Т —оо |iV (T-z, z0) — = О (т^е^КН^)^ для т > 2, iV (T-^o) — S (T-z, 2d)| = О (т§ е (*+!)г) для 771 = 2.

Оценка остаточного члена в асимптотической формуле для N (T] zq, г) основывается на принципе сохранения энергии для волнового уравнения. Другим результатом работы П. Д. Лакса и Р. С. Филлипса является доказательство наличия на промежутке.

Ч?)2.о) точек только дискретного спектра в том случае, когда фундаментальная область обладает конечным геометрическим свойством. В [38] приведен также евклидов аналог для кристаллографических групп.

ТЕОРЕМА II. Пусть Г — кристаллографическая группа. Для т > 2 число точек решетки iV (Tz, zq) в m-мерном шаре радиуса Т с центром в точке zq равно.

ЛГ (Тz, z0) = Vm (T) + О (Т^) где.

Для m = 2.

7гт2.

N (T-, z, zo) = *-щ + 0(тЦаТ)1).

На основании метода Ж. Дельсарта и оценки спектральной функции эллиптического оператора Б. М. Левитаном для случая, когда фундаментальная область имеет конечный кообъем (коконечной группы), были получены следующие результаты [41].

Теорема III. Обозначим через А0 < Ai < А2 < • • • ^ Ajv < О.

1 2 m — 1.

V 2 собственные значения оператора Бельтрами-Лапласа л/ д2 д2 2д т+2д (т — \2 на интервале J-, и через.

А (Тzo, = iH1^"), j=0 2 ' где fij = y/Xj. Тогда имеет место следующая асимптотическая формула ЛГ (Г- 2d, z) = А (Тъ, z) + 0 (е2^) .

В работе [41] приведено также обобщение формулы Ж. Дельсарта на случай т-мерного пространства Лобачевского, кривизна которого выбирается равной —1. Пусть 0(zo, zА) — спектральная функция оператора Бельтрами-Лапласа на фундаментальной области пространства Лобачевского, при авто-морфных граничных условиях, по определению равная выражению.

0(zo, zА) = <�А сумма в котором распространена на собственные значения оператора Бельтра-ми-Лапласа. Асимптотическая формула в данном случае принимает следующий вид: т 00 (kw) Я" Г /1. гг 1. Гт +2 U/. л/ 1Ч ь z) = J + iy/x, —, — -Jdx9(z0, zA), 2 где w = 2(chT — 1), F (a, bc, t) — гипергеометрическая функция Гаусса.

С проблемой оценок остаточного члена в асимптотической формуле для числа точек решетки, образованной дискретной подгруппой движений, внутри шара растущего радиуса тесно связана задача получения оценок первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа. Для случая двумерной плоскости Лобачевского оценка Ai ^ — jj* была анонсирована А. Сельбер-гом в 1965 г. ([30], [43]). Напомним определения конгруэнц-подгрупп полной модулярной группы SL^Z). Пусть q — положительное целое число. Положим.

Чя) = <, € SL2(Z) a = d= l (mod q), 6 = с = 0 (mod q).

Подгруппа T (q) называется главной конгруэнц-подгруппой уровня q. Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой уровня q, если она содержит Г (д), Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой, если существует такое целое положительное q, что эта подгруппа является конгруэнц-подгруппой уровня q. А. Сельберг в работе [30] также выдвинул гипотезу об отсутствии исключительных собственных значений для группы PSL^Z) и всех ее конгруэнц-подгрупп, т. е. о выполнении оценки Ai ^ 0.

В. Рёльке [49] и Ж.-М. Дезуйе и Г. Иванец [50] показали справедливость гипотезы Сельберга для полной модулярной группы. Для конгруэнц-подгрупп с = 0 (mod q) гой) = < л е psl2(z) гипотеза Сельберга доказана М. Н. Хаксли [13] при q ^ 17.

К. Моззочи [51] показал, что при условии справедливости гипотезы Сельберга имеет место неравенство х 475 0 ^ Al ^ ^ • log q.

Для групп PSL, 2(Z[/—2]) гипотеза Сельберга доказана Ф. Грюневальдом, Й. Меннике и Ю. Эльстродтом [47].

В случае групп PSL^Q), где О — кольцо целых мнимого квадратичного поля, П. Сарнаком [52] было доказано, что Ai ^ —.

Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым ([53], [54]) был найден ряд новых подходов к решению задач рассматриваемой проблематики, созданных на основе методов аналитической теории чисел. Разработанная техника оценок первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа базируется на сочетании элементарных методов и метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова.

Использование данных приемов дало возможность М. Суги [55] получить новые асимптотические формулы для числа точек решетки в круге растущего радиуса на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре под действием конгруэнц-подгрупп Г0(д), определенных выше, и конгруэнц-подгрупп.

Г1(?) = { | ll | € Г0(в) а = d = 1 (mod q).

М. Суги показано, что для величин.

N0(T-, z, z0-, q) = |Ы7 € ГоИ. фьл*) ^ Т} и.

Ni (T-z, zo-, q) = {jzj € г^фол*) ^ Т]| справедливы следующие соотношения:

No (Tz, q) = — + 0(Г3е" + т^аМд^тЩ,.

ЩТz, .оq) = ^ + 0(Т*аф)Я-1еЧ + тЩ.

Настоящая работа также посвящена исследованию свойств распределения орбит точек под действием целочисленных матриц в двумерном и трехмерном пространстве Лобачевского в модели Пуанкаре. Устанавливаемые нами утверждения относятся к количественной характеристике обнаруживаемого эффекта близости орбит точек под действием целочисленных матриц больших по абсолютной величине определителей. В определенном смысле наши предложения описывают свойство плотности орбит точек в пространстве.

Постановка задачи принадлежит Е. В. Подсыпанину. Изучение рассматриваемой проблематики и аналогичных вопросов начато в работе [56].

Пусть Н обозначает плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре, т. е. верхнюю полуплоскость комплексной плоскости m = {z = x + iy G С I 2/ > 0} с метрикой dg2=d^+di Г.

Группа собственных движений SO+(l, 2) на плоскости Лобачевского изоморфна группе.

PSL2(M) = SL2(M)/{±I}.

Действие элемента 7 = I й ^ I G SL, 2(M) на точку z Е И определяется с d формулой az + Ь lz =-7 • cz + d.

Расстояние между точками z и z2 может быть выражено формулой u (zh z2) + 2 + y/u2(zi, z2) + 4u (zhz2) d{zh z2) = In—где функция u (zi, z2) (фундаментальный инвариант пары точек на плоскости Лобачевского), определяемая выражением является инвариантной относительно группы движений PSL^R), т. е. для любого элемента у € SL2(M) имеем и (jzi, /yz2) = u (zi, Z2). Метрика пространства Н порождает меру также инвариантную относительно группы движений PSL^M). Пусть точки z и z2 принадлежат Н, и символ обозначает множество целочисленных матриц заданного определителя q. Е. В. Подсыпаниным было установлено, что.

Одним из известных приложений данной задачи является исследование аппроксимаций гексагональной решетки на плоскости целочисленными решетками. Использование результатов спектральной теории автоморфных функций позволило В. А. Быковскому [57] применить оценку порядка сближения орбит точек под действием целочисленных матриц на двумерной плоскости Лобачевского для получения оценки определителя решетки, служащей для решения прикладных задач теории вычислительной математики. Были получены следующие результаты.

1. Справедлива оценка mmu{yzhz2) 0 — любое фиксированное число.

2. Пусть имеет место оценка fjtj (n) .

7 &euro-Д, mmu (4zhz2) 0 6(mod d) при n = 1,2,.. Тогда min и (721,г2) <елл теД, е > 0 — любое фиксированное число.

М. Суги, используя новый, элементарный метод, установил оценку теД".

Предлагаемый для решения данной задачи метод является обобщением метода, применяемого в работе М. Суги [55]. Наш подход основывается на реализации следующих двух идей. Первая — использование явной формулы для функции 11(721,22) и решение двухпараметрической задачи геометрии чисел в классической формулировке [72]. Вторая — применение алгоритма приближений заданного числа двумя квадратами целых чисел.

Перейдем к формулировке основных результатов работы. В первой главе содержатся элементарные доказательства следующих оценок.

ТЕОРЕМА 1. Пусть z, 22 е Н-? QТогда справедлива оценка mmu (jzhz2) Z2 q~ yeAq.

Иррациональное число и будем называть числом типа < ф, если неравенство vllvouW > ф (у) справедливо при всех положительных целых v, ф (у) — неубывающая положительная функция, определенная по меньшей мере для всех положительных целых аргументов.

ТЕОРЕМА 2. Пусть zi, z 0 — любое фиксированное, ш = — иррациональное число типа < с (ш) ln1+? 2v, где с (ш) — положительная постоянная, зависящая от и. Тогда min u (jzh z2) | (2 + e)..

В случае трехмерного пространства Лобачевского получены аналогичные результаты. Пусть Н3 обозначает трехмерное пространство Лобачевского в модели Пуанкаре, т. е. верхнее полупространство.

E* = {z = {xhx2,y)eR3y>0} с метрикой.

2 dx + dx + dy2 ds = ——-, y> 0..

У2.

Группа собственных движений SO+(l, 3) в пространстве Н3 изоморфна группе.

PSL2© = SL2(C)/{±I}, действующей над телом кватернионов. Действие элемента группы движений.

7 = | ^ 1? SL^C) на точку z = х + х2г + yj + 0 • к определяется cd формулой.

7 z = (az + b)(cz + d)'1..

Расстояние между z = хц + х2г + уj и z2 = xi2 -1- x22i + y2j может быть выражено формулой ч, Фъ ъ) + 2 + y/u2(zh z2) + Au (zh z2) d{zu z2) = In—-, где X (®11 — Я12)2 + (®21 — Я22)2 + Ы — У2)2.

U = U[Z, z2) = - ..

У1У2.

Метрика пространства И3 порождает меру dxdx2dy dfj,(z) — yz также инвариантную относительно группы движений PSL^C)..

Пусть точки z и Z2 принадлежат Н3, и символ a, b, c, d € G-ad — be = q, q ^ 1 обозначает множество матриц заданного определителя д, коэффициентами которых являются элементы кольца G целых гауссовых чисел. Во второй главе устанавливаются следующие оценки..

Теорема 3. Пусть z = хп + x2ii + yij, z2 = хп + x22i + У2З G Н3- Щ? Q..

Тогда справедлива оценка minw (7zi, z2).

ТЕОРЕМА 4. Пусть z = х\ + a?2i* + Ш" z2 = xi2 + x22i + y2j 6 i3,? > 0 -любое фиксированное, ш = ^ — иррациональное число типа < где c (w) — положительная постоянная, зависящая от ш. Тогда.

1 x min u (jzh z2) | (2 + е)..

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. Н. Чубарикову и доктору физико-математических наук, профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание и помощь в работе..

1. Voronoi G. Sur un ргоЫёте du calcul des fonctions asymptotiques //J. fur Math. 1903. 126. 241−282..

2. Voronoi G. Об одной трансцендентной функции и ее приложениях к суммированию некоторых рядов // Ann. Ecole Norm. Sup. (3) 1904. XXI. 207−267..

3. Hardy G. H., Littlewood J. E. The trigonometrical series associated with the elliptic •& function // Acta Math. 1914. 37. 193−239..

4. Виноградов И. M. О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя // Сообщения Харьк. Матем. об-ва. 1917..

5. Виноградов И. М. Число целых точек в шаре // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1935. 9. 17−38..

6. Виноградов И. М. К вопросу о числе целых точек в шаре // Изв. АН СССР. 1963. 27. 957−968..

7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.:Наука, 1982..

8. Виноградов И. М. Избранные труды. М.:Изд-во АН СССР, 1952..

9. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.:Наука, 1980..

10. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976..

11. Ниа L. К. The Lattice points in a circle // Quart. J. Math. Oxford, 1942. 13. 18−29..

12. Huxley M. N. Area, Lattice Points, and Exponential Sums // Oxford, London Math. Soc. Monographs (new ser., no. 13). 1996..

13. Huxley M. N. Introduction to Kloostermania // Elementary and Analytic Theory of Numbers. Banach Centre Pub. 1985. 17. 217−306..

14. Chamiso F., Iwaniec H. On the sphere problem // Revista Mat. Iberoamericam 1995. 11. 2. 417−429..

15. Landau E. Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen // Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Mathematisch-physikalische Klasse. 1912. 687−771..

16. Landau E. Uber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden // Mathema-tische Zeitschrift. 1924. 21. 126−132..

17. Landau E. Uber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. Zweite Abhandlung. // Mathematische Zeitschrift. 1925. 24. 299−310..

18. Landau E. Vorlesungen uber Zahlentheorie. I-III. Leipzig, 1927..

19. Walfisz A. Uber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden// Mathematische Zeitschrift. 1924. 19. 300−307..

20. Walfisz A. Uber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. Sechste Abhandlung. // Casopis pro pestovani matematiky a fysiky. 1936. 66.1−19..

21. Вальфиш А. Абсциссы сходимости некоторых рядов Дирихле // Труды Тбилисского Математического Института им. А. М. Размадзе. 1956. 22. 33−75..

22. Вальфиш А. Целые точки в многомерных шарах. Тбилиси, 1960..

23. Delsarte J. Sur le gitter fuchsien // C. R. Acad. Sc. 1942. 214. 147−149..

24. Delsarte J. Le gitter fuchsien // CEuvres de Jean Delsarte. II. Paris, 1971. 829−845..

25. Huber H. Uber eine neue Klasse automorpher Funktionen und ein Gitterpunktproblem in der hyperbolischen Ebene I // Comment. Math. Helv. 1956. 30. 20−62..

26. Huber H. Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen // Math. Ann. 1959. 138. 1−26..

27. Huber H. Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen II // Math. Ann. 1961. 142. 385−398- Math. Ann. 1961. 143. 463−464..

28. Selberg A. Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series //J. Indian Math. Soc. 1956. 20. 47−87..

29. Сельберг А. О дискретных группах преобразований симметрических пространств большой размерности // Математика (период, сб. переводов). 1962. 6. 3. 3−15..

30. Selberg A. On the estimation of Fourier coefficients of modular forms // Proc. Symp. Pure Math. 1965. 8. 1−15..

31. Fricker F. Ein Gitterpunktproblem im dreidimensionalen hyperbolischen Raum // Comment. Math. Helv. 1968. 43. 402−416..

32. Berard-Bergery L. Laplacien et g? odesiques fermees sur les formes d’espace hyperbolique compactes // Seminaire Bourbaki. 24e annee. 1971/72. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. Lect. Notes Math. 1973. 317. 107 122..

33. Gunther P. Probleme de reseaux dans les espaces hyperboliques // C. R. Acad. Sc. Paris, Ser. A. 1979. 288. 49−52..

34. Gunther P. Gitterpunktprobleme in symmetrischen Riemannschen Raumen vom Rang 1 // Math. Nachr. 1980. 94. 5−27..

35. Thurnheer P. Le terme de reste dans un ргоЫёте de reseau hyperbolique 11 C. R. Acad. Sc. Paris, Ser. A. 1980. 290. 581−583..

36. Thurnheer P. Zu einem hyperbolischen Gitterpunktproblem // Comment. Math. Helv. 1981. 56. 240−271..

37. Lax P. D., Phillips R. S. The asymptotic distribution of lattice points in euclidien and non-euclidien spaces // J. of Funct. Anal. 1982. 46. 3. 280−350..

38. Лаке П. ДФиллипс Р. С. Теория рассеяния для автоморфных функций. М.:Мир, 1979..

39. Левитан Б. М. О разложении по собственным функциям оператора Лапласа // Матем. сб. 1954. 35(77). 2. 267−316..

40. Левитан Б. М. Асимптотические формулы для числа точек решетки в пространствах Евклида и Лобачевского // Успехи матем. наук. 1987. 42. 3. 13−38..

41. Левитан Б. М., Парновский Л. Б. Об асимптотике дискретного спектра задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа-Бельтрами на регулярном многограннике в пространстве Лобачевского // Функциональный анализ и его приложения. 1990. 24. 1. 21−28..

42. Vigneras M.-F. Quelques remarques sur la conjecture Ai ^ | // Prepr. 1981..

43. Hejhal D. A. The Selberg trace formula and the Riemann zeta function // Duke Math. J. 1976. 43. 3. 441−482..

44. Hejhal D. A. The Selberg trace formula for PSL (2,R). Lect. Notes Math. 1001. 1983..

45. Грюневальд Ф., Меннике Й., Элъстродт Ю. Разрывные группы в трехмерном гиперболическом пространстве: аналитическая теория и арифметические приложения // Успехи матем. наук. 1983. 38(1). 119−147..

46. Грюневальд Ф., Меннике Й., Эльстродт Ю. Некоторые замечания о дискретных подгруппах SL^fC) // Зап. науч. семин. Ленинградского отделения Матем. института АН СССР. 1987. 162. 77−106..

47. Грюневальд Ф., Меннике Й, Эльстродт Ю. Группы, действующие на гиперболическом пространстве. М.-МЦНМО, 2003..

48. Roelcke W. Uber die Wellengleichung bei Grenzkreisgruppen erster Art. Abhandlung (1956) // Sitzungsber. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Natur-wiss. Kl. 1953;1954. 4. 1−109..

49. Deshouillers J.-M., Iwaniec H. Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms // Invent. Math. 1982. 70. 219−288..

50. Mozzochi C. J. An upper bound for Ai for T (q) and Го (д) // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1990. 33. 241−250..

51. Sarnak P. The arithmetic and geometry of some hyperbolic three manifolds // Acta Math. 1983. 151. 253−295..

52. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О числе точек решетки в шаре в трехмерном пространстве Лобачевского // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. 2. 24−27..

53. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Оценка снизу первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа в трехмерном пространстве // Труды семинара имени И. Г. Петровского. 2002. 22. 22−36..

54. Суги М. Целые точки в областях на плоскости Н. И. Лобачевского // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1994. 207. 299−325..

55. Подсыпании Е. В. Распределение целых точек на детерминантной поверхности // Исследования по теории чисел. 6. Зап. науч. семинаров ЛОМИ. Л.:Наука, 1980. 93. 30−40..

56. Быковский В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках// Матем. сб. 1988. 136(178). 4(8). 451−467..

57. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.:Мир, 1972..

58. Ленг С. SL2®. М.:Мир, 1977..

59. Вердон А. Геометрия дискретных групп. М.:Наука, 1986..

60. Коблиц Н.

Введение

в эллиптические кривые и модулярные формы. Новокузнецк.:Новокузнецкий Физико-математический институт, 2000..

61. Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы. М.:Наука, 1983..

62. Кубота Т. Элементарная теория рядов Эйзенштейна. М.:Наука, 1986..

63. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.:Наука, 1983..

64. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.:Наука, 1987..

65. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.:Высшая школа, 1999..

66. Гашков С. БЧубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.:Высшая школа, 2000..

67. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.:Наука, 1985..

68. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.:Наука, 1978..

69. Koksma J. F. Diophantische Approximationen. Erg. Math. Grenzgeb. 4. 4. Berlin: Springer, 1936..

70. Шмидт, В. Диофантовы приближения. М.:Мир, 1983..

71. Касселс Дж. В. С.

Введение

в геометрию чисел. М.:Мир, 1965..

72. Касселс Дж. В. С.

Введение

в теорию диофантовых приближений. М.:ИЛ, 1961..

73. Касселс Дж. В. С. Рациональные квадратичные формы. М.:Мир, 1982..

74. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.:Наука, 1989..

75. Петриков А. В. О сближении орбит точек на плоскости Лобачевского под действием целочисленных матриц заданного определителя // IV Междунар. конф. по теории чисел. Тула, 2001. 94−95..

76. Петриков А. В. Оценка близости орбит точек на плоскости Лобачевского под действием целочисленных матриц // Евразийский математический журнал. Астана, 2005. 3. 85−98..

77. Петриков А. В. Об орбитах точек на плоскости Лобачевского под действием целочисленных матриц // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. 6. 50−53..