Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенств

Прочность хрупких тел существенно зависит от имеющихся в реальном твердом теле остроконечных деффектов, таких, как трещины, отверстия, включения инородных материалов и т. п. В процессе деформирования в окрестности таких деффектов возникает значительная концентрация напряжений, что приводит к образованию новых или росту уже имеющихся трещин и, как следствие, к локальному или полному разрушению тела. Исследование проблем теории трещин вызвано требованиями науки и техники и находит большое применение на практике.

В данной диссертации изучаются краевые задачи, описывающие термоупругое деформирование твердого тела, содержащего трещины и взаимодействующего с жестким штампом. Наличие трещины предполагает постановку краевой задачи в области с негладкой границей, состоящей из двух поверхностей, одна из которых ограничивает тело, а другая описывает форму трещины. Поэтому задавать краевые условия необходимо не только на внешней, но и на внутренней границе, которая сответствует берегам трещины.

Классический подход к задачам о трещинах предполагает задание на ее берегах значений функции перемещений точек тела или напряжений (см. [4, 8, 17−20, 24−27, 31−33]). Эти краевые условия имеют следующий вид: f = 9i или щ = /,-, где crtj — компоненты тензора напряжений, щ — компоненты вектора перемещений, vнормаль к поверхности, описывающей форму трещины, /,-, д, — - некоторые заданные функции.

Для исследования задач теории трещин разработано несколько математических методов. К классическим подходам можно отнести применение аппарата теории функций комплексной переменной, который используется в работах Н.И. Мусхели-швили, В. А. Кондратьева, Г. П. Черепанова, В. З. Партона и др. (см. [7, 19, 20,.

28, 29, 31−33]). Исследования в этой области направлены на изучение концентрации напряжений в окрестности кончика трещины. Получен критерий начала распространения трещины. Методом комплексных потенциалов и разложением в ряды Лорана в работе [21] решена задача об упругом равновесии плоскости с круговым включением и двумя симметрично размещенными на продолжении диаметра трещинами. Теория потенциалов, изложенная в монографии Д. В. Купрадзе (см. [11]), также получила применение к задачам о равновесии упругих тел, содержащих трещины. Для широкого класса проблем теории упругости используются методы факторизации и интегральных уравнений, предложенные Хопфом и Винером (см. [27]).

Краевые задачи для эллиптических операторов в областях с коническими и угловыми точками, с ребрами и остриями исследовались С. А. Назаровым, В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневским (см. [15]). В частности, изучены вопросы о гладкости решения в окрестности сингулярных точек и исследована асимптотика решений эллиптических уравнений вблизи вершины трещины.

В статье С. А. Назарова (см. [22]) решена линейная задача о деформации составной анизотропной плоскости с трещиной. Предлагаются два подхода к определению напряженно — деформированного состояния вблизи вершины трещины: силовой и энергетический. Найдены все возможные степенные решения и показана общая связь между обычными и сингулярными решениями. Для случая прямолинейного распространения трещины вычислена асимптотика приращения потенциальной энергии.

В последнее время получили развитие методы, приводящие задачи теории упругости к квазивариационным неравенствам (см. [1, 3, 14, 40]). Рассмотрена контактная задача линейного программирования для нескольких тел (см. [58]).

Определение напряженно — деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек для нелинейных задач теории упругости является достаточно сложным вопросом. Дж. Райсом и Г. П. Черепановым был предложен метод приближенного анализа концентрации напряжений вблизи нерегулярных точек, основанный на введении некоторого криволинейного интеграла, не зависящего от пути итегрирования вокруг сингулярной точки (см. [28, 38, 39]).

В теории упругости часто используются вариационные принципы (см. [31, 33, 46, 50−53]). В частности, проблема о равновесии упругого тела может быть поставлена как задача минимизации функционала потенциальной энергии. Способы и формулировки задач в виде вариационных неравенств в каждом случае различны. В большинстве работ сведение к ним вызвано нелинейностью проблем. Нелинейность может быть связана с видом целевого функционала в задаче равновесия или нелинейными граничными условиями. Методы доказательства регулярности решений вариационных неравенств обусловлены конкретным видом ограничений.

Существование и гладкость решений краевых задач теории упругости с нелинейными граничными условиями исследованы A.M. Хлудневым (см. [30, 44−51]). В работах В. А. Ковтуненко (см. [49]) и Я. Соколовского (см. [50, 51]) решены неклассические проблемы для упругих и вязкоупругих тел и оболочек в областях с негладкими границами и ограничениями на решение. Основной особенностью этого класса задач является краевое условие типа неравенства, налагаемое на перемещения берегов трещины и обеспечивающее их взаимное непроникание друг в друга. В качестве эквивалентной формулировки задачи о равновесии предлагается постановка проблемы в виде вариационного неравенства. Получены результаты о регулярности решений вблизи вершины трещины. Исследованы проблемы оптимального управления вариационными неравенствами и вопросы выбора экстремальных форм разрезов в пластинах.

В.И. Козловым и И. А. Мотовиловцем изложены аналитические и численные методы решения задач термоупругости в статической и динамической постановке (см. [20]). Напряженно — деформированное состояние исследуемых тел вызывается как механическими факторами, так и тепловыми (внешний нагрев, внутренние источники тепла). Распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений исследовано с учетом взаимовлияния полей деформации и температуры. При рассмотрении нестационарных задач теплопроводности применяются явные и неявные разностные схемы.

Существование обобщенного решения линейной краевой задачи о равновесии N.

— мерного термоупругого тела с гладкой границей исследовано в работе И. Зуазуа (см. [63]). Доказана теорема об однозначной разрешимости проблемы, получены оценки на функцию перемещений точек тела и температуру. Рассмотрены вопросы о регулярности и асимптотике решения.

В работе В. Г. Савченко и Ю. Н. Шевченко (см. [34]) на основе моделей, описывающих сложные неизотермические процессы нагружения упруговязкопластичного нелинейного материала, разработаны методы решения плоских и пространственных задач термовязкоупругости, развита теория тонких оболочек. Приведены различные способы линеаризации определяющих уравнений, идентичная форма которых позволяет построить единый алгоритм решения различных классов задач термовяз-копластичности. Решение задач получено на основе соответствующих вариационных уравнений для определения температурных полей и полей напряжений и деформаций методом конечных элементов.

Способы решения двумерных линейных задач термоупругости для однородных пластин с трещинами при произвольных силовых и температурных нагрузках изложены в работах М. Г. Кривцуна и Г. С. Кита (см. [9, 10]). С помощью гармонических потенциалов рассматриваемые граничные задачи сведены к интегро-дифференциальным уравнениям, для решения которых в общем случае используются численные и асимптотические методы. Изучены вопросы об интенсивности напряжений в окрестности трещины. В частности, решается задача термоупругости для свободной от внешних усилий полосы с продольной трещиной, когда на ее берегах, не контактирующих в процессе деформации, заданы температура и тепловые потоки, а на гранях полосы поддерживается некоторая температура. Трещина имитируется непрерывно распределенными источниками тепла, плотность которых определяется из сингулярного интегрального уравнения. Для случая, когда ширина полосы больше длины трещины, получено фундаментальное решение задачи термоупругости.

Нелинейная краевая задача о равновесии двух взаимодействующих термоупругих стержней с условием трения на границе рассматривалась в статьях [35−37, 59−61] А. Амасадом, К. Андрэусом, М. Софонея, П. Ши и М. Шиллором. Граничные условия контактной задачи имеют вид системы уравнений и неравенств. Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства. Доказана разрешимость задачи в смысле обобщенных функций. Получены результаты о гладкости решения.

Задача о равновесии N — мерного термоупругого тела с краевыми условиями типа Синьорини была исследована в работах М. Шиллора и П. Ши (см. [42, 52−56, 62]). Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства, причем решение на части границы удовлетворяет ограничению ип > д, где и — вектор перемещений точек тела, п — внутренняя нормаль к границе, адфункция, которая задает форму жесткого штампа. Предложен способ доказательства разрешимости такого типа задач. В основу метода легла теория псевдомонотонных операторов.

A.M. Хлудневым и Д. Хембергом решена нелинейная задача о равновесии тер-мовязкоупругой электропроводимой пластины, содержащей вертикальную трещину (см. [43]). Полный набор краевых условий на внутренней границе, соответствующей трещине, имеет вид системы уравнений и неравенств. Доказано существование обобщенного решения в случае малых значений параметра S, пропорционального коэффициенту температурного расширения пластины. Рассмотрены вопросы о гладкости решения вблизи нерегулярных точек.

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих пластин, содержащих трещины, A.M. Хлудневым было предложено граничное условие, которое имеет вид неравенства (см. [51]):

W] и> дш.

I на Г, где и — нормаль к поверхности Г, описывающей форму трещины- 21 — толщина пластины, [и] = и+ — и~ - скачок функции и на берегах трещины, W, и — функции, задающие горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластины. Это условие интерпретируется как взаимное непроникание берегов трещины друг в друга для линейной модели упругой пластины. Наличие граничного условия типа неравенства приводит к использованию вариационного неравенства в качестве эквивалентной формулировки проблемы. Постановка краевой задачи с условием такого вида отражает суть явления более точно, поскольку исключает взаимное проникание берегов трещины.

В настоящей работе исследуются нелинейные краевые задачи для термоупругих пластин и тел с негладкими границами и граничными условиями типа неравенств.

В первой главе изучается проблема о равновесии термоупругой пластины, которая подчиняется закону Дюгамеля — Неймана. На части границы Г перемещения точек срединной поверхности пластины удовлетворяют краевому условию типа Синьорини: дш.

Wn > дп где п — внутренняя нормаль к части незакрепленной границы Г1? 21 — толщина пластины, (I — область, занимаемая пластиной, Q = Q х (О, Г).

При нестационарном температурном поле мы имеем дело с задачей об одновременном изгибе и сжатии пластины, поскольку нестационарное температурное поле, даже при отсутствии внутри пластины источника тепла, вызывает плоское напряженное состояние. Если условие свободного расширения пластины и ее плоскости не будет выполнено, то одновременно возникают изгиб и сжатие (растяжение) пластины. В модели, выведенной В. Новацким (см. [23]), предполагается, что температурное поле аппроксимируется зависимостью.

0(а-ь х2, х3, t) = 0o (zi, х2, t) + ®3 0i (®ij х2, t), тогда уравнение теплопроводности и условие равновесия разделяются на систему выражений, описывающих квазистатическое деформирование термоупругой пластины (см. [23, 30, 59]) — Д0 + S'^idWW — Да-) = /, (1).

— aijj + S2 0, t- = 0, i = 1, 2, (2).

Д2ш + 52Д©- = 0. (3).

Здесь S — положительный параметр, характеризующий температурное расширение пластины. В уравнении (2) производится суммирование по повторяющимся индексам и (Tij = aij (W) определяются следующим образом: on = £п + ке22, 022 = ?22 + кеп, <т12 = (1 — k) ei2, к = const € (0, ½).

Компоненты тензора деформации срединной поверхности пластины задаются формулой (дш{ ди>. ., ft.

Задача (1)-(3) является связанной, поэтому возникает необходимость совместного решения уравнений описывающих распространение тепла и деформирования пластины. Определим оператор А, который действует по формуле.

А (0,х),(©, х)} = / (^ + S2jt{divW-Au)QdQ + J VOVOcт.

Q Q т J (в (w, w)+b{ш, ш) + 82 (О, AuJ) — S2 (©, divW}) dt. о.

Билинейные формы.

Ь (ш, Ш) = J (wxxUJxx + ШууШуу + кшххпуу + кшууШхх + 2(1 — к) и>хуЫху) сШ, п.

B{W, W) = (спЛЮ, ?ij (W)), характеризуют изгибные свойства и энергию деформирования пластины, через (•, •) обозначено скалярное произведение в пространстве Ь2(П). Проблема о равновесии термоупругой пластины с краевым условием типа Синьорини формулируется в виде вариационного неравенства.

А (0,х),(0,х)-(0,х)} > //(0 — Q) dQ. (4) Q.

Доказано, что оператор, А является линейным, ограниченным и обладает свойством псевдомонотонности (см. [6]). Выведены оценки на решение, установлена дополнительная гладкость функции х = {W, ш) по переменной t. Существование единственного решения вариационного неравенства (4) получено в случае достаточно малых значений параметра 6 с помощью неклассических методов выпуклого анализа.

Граничное условие типа Синьорини не является единственным краевым условием. Из вариационного неравенства (4), в предположении о достаточной гладкости решения, вытекает система уравнений (1)-(3) и полный набор краевых условий на границе, взаимодействующей с жестким штампом ди>

Wn > дп.

0 = 0, (*,!/,<) &euro-Г{, n{W) < 0, as{W) = 0, {x, y, t) G rf, ол.

М{и) = О, Я (си) — = 0, (x, y, t) G Г[, ffnWkn ди дп 0, (x, y, t) € Г[.

Здесь {cr, j =.

Во второй главе исследуется третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей вертикальную трещину. На внешней границе области Qc заданы условие жесткого защемления края пластины и температура 0. Предполагается, что на внутренней границе Гс, соответствующей берегам трещины, выполнены следующие краевые условия.

W]u> дш ди д&ди.

— Q0 = 0.

Л1(0,х),(в, 5с)} = / (^ + 62jt (divW-Au)^J QdQc + J VQ4QdQc+.

Проблема формулируется в виде вариационного неравенства с оператором, А д&-. г-у д.

Qc «Qc Т J [a QQ]dS + J [В (W, W) +Ъ {и, ш) + б2 (0, Дат) — д2 (в, divF)) dt.

Гт О.

В области Qc получены оценки на функции 0, W и ш. Установлена дополнительная регулярность по переменной t функций W и to. Доказана теорема об однозначной разрешимости проблемы (5).

5).

T"(W) — 0) [W] и + (M (w) + 0) 0, {x, y, t) 6 if.

В предположении о достаточной гладкости решения, на внутренней границе найдены естественные краевые условия.

MW) — 0] = 0, as{W) = 0, (x, y, t) G if,.

М (ы) + 0] = 0, R (w) + Q0 = 0, (x, y, t) Е if,.

МН + 0| < 0 — au (W), (х, т/,*) € if, ди>

Установлена эквивалентность формулировки задачи в виде вариационного неравенства (5) и постановки проблемы в виде системы уравнений (1)-(3) с полным набором краевых условий.

Третья глава посвящена изучению задачи о равновесии трехмерного термовяз-коупругого тела, содержащего трещину. Неизвестными функциями краевой задачи являются температура в, перемещения точек тела и и компоненты тензора напряжений aij. Предполагается, что рассматриваемое тело занимает ограниченную область Л, форму трещины описывает достаточно гладкая поверхность £с. Задача равновесия рассматривается в области Qc = flc х (0, Т), где fic = Q? c. Основной особенностью проблемы является граничное условие типа неравенства (см. [49, 51]) и] и > 0 на Sc, где функция u (xi, x2, x3,t) = (щ, U2, из) задает малые перемещения точек тела, инормаль к поверхности £с. Для описания квазистатического деформирования термо-вязкоупругого тела Д. Хембергом, A.M. Хлудневым и Я. Соколовским была предложена модельная система уравнений (см. [43]): aij, j = fii г = 1,2,3, (6) t e"(u) = оы + 82 p{j0 + J Ъ (т) stJ®dr, i, j = 1,2,3, (7) о гч.

9t-Ав + 82 — di vu = g. (8).

Здесь S — положительный параметр, характеризующий температурное расширение тела. В (6) суммирование производится по повторяющимся индексам. В уравнении (7) постоянными величинами являются коэффициенты еда характеризуют упругие свойства материала и удовлетворяют условиям симметричности и положительной определенности. Функция b является элементом пространства С1 [О, Г]. Через {s, j} обозначен девиатор тензора напряжений {<т,•,•}. На внутренней границе выполнены следующие краевые условия дв =0, <7″ <0, crs = 0, [<т&bdquo-] =0, *"¦["] •!/ = (), (x, y, z, t) е Sc х (0,Г), где {aij = cra + crv = crijUj Ui — нормальные напряжения, crs — касательная составляющая. На внешней границе заданы температура и перемещение.

0 = 0, и = 0, (x, y, z, t) G Г х (0, Т).

Кроме того, выполнено начальное условие на температуру.

0(0, х, у, z) = в0(х, у, г), {x, y, z) € Пс.

Задача о равновесии формулируется в виде вариационного неравенства. Доказательство существования решения проводится в несколько этапов. На первом шаге предполагается, что в — заданная функция. Компоненты тензора напряжений J fb (uu), W € K,.

Пс fic ft^ Uki — +? Pi At) + / 4) = 0. € L2(Q). fic О /.

Для регуляризованной проблемы получены оценки и доказана теорема о существовании обобщенного решения. Предельный переход влечет равномерные по параметру регуляризации, а оценки на решение. При помощи разностных отношений установлена дополнительная гладкость функций (uj, и2, из) и aij по переменной t. На втором шаге доказано существование решения задачи и выведены оценки на в в предположении о том, что (ui, if 2, U3) и cr, j являются заданными функциями.

На третьем шаге изучается проблема о равновесии термовязкоупругого тела. Неизвестными функциями этой задачи являются в, (щ, и2, щ) и.

Заключение

.

Наличие краевых условий типа неравенств на внутренней или части внешней границы приводит к постановке проблемы в виде вариационного неравенства. При определенной гладкости решения эта постановка эквивалентна краевой задаче, где полный набор граничных условий имеет вид системы уравнений и неравенств, в частности, условие непроникания является одним из них. Исследуя соответствующие вариационные неравенства можно получить свойства решения задачи о равновесии. В данной работе получены результаты о существовании и регулярности решений для нелинейных задач термоупругости.

В главе 1 исследуется задача о равновесии термоупругой пластины с краевым условием типа Синьорини. Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства. Оператор, А вариационного неравенства обладает свойством псевдомонотонности, но не является коэрцитивным. Поэтому применяются неклассические методы выпуклого анализа. При доказательстве существования решения выведены оценки как на температуру в, так и на полный вектор перемещений точек срединной поверхности пластины хОграничения на решение влекут неравенство для параметра 5, пропорционального коэффициенту температурного расширения. Следует отметить, что это условие не означает малости решения. Норма функции 0 зависит от геометрии области О, а также от норм функций / в пространстве L2(QC) и в0 в H1,0(QC). При помощи подстановки в вариационное неравенство пробных функций специального вида получен полный набор краевых условий. Установлено, что формулировка проблемы в виде вариационного неравенства и постановка задачи в виде системы уравнений с полным набором краевых условий, в предположении о достаточной гладкости решения являются эквивалентными. Теорема о единственности решения проблемы равновесия термоупругой пластины установлена для любых значений параметра 8.

В главе 2 изучается третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей вертикальную трещину. Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства. Наличие трещины приводит к тому, что область определения имеет негладкую границу. При помощи аппарата теории псевдомонотонных операторов установлено существование обобщенного решения задачи в случае малых значений коэффициента температурного расширения. Найдены естественные краевые условия на берегах трещины. Оценки на решение получены как для положительного так и для отрицательного коэффициента третьего краевого условия. Вывод ограничений на решение краевой задачи основан на свойствах дифференциальных неравенств и на оценках, которые следуют из теорем вложения. Доказана дополнительная гладкость по переменной t функции перемещений точек срединной поверхности пластины х-Теорема о единственности решения установлена при помощи априорных оценок (в случае отрицательных значений параметра, а использован пошаговый метод). Отметим, что исходную задачу можно формулировать двояко. С одной стороны ее можно ставить в виде вариационного неравенства, тогда все краевые условия являются формальным следствием такой формулировки в предположении о достаточной гладкости решения. С другой стороны, задачу можно сформулировать в виде системы модельных уравнений и полного набора краевых условий как на внешней, так и на внутренней границе. Доказано, что эти постановки являются эквивалентными в предположении о достаточной гладкости решения.

В главе 3 изучается задача о равновесии термовязкоупругого тела, содержащего трещину. В трехмерной области модель описывается квазистатическими уравнениями термоупругости. На внутренней границе, соответствующей берегам трещины, на перемещения точек тела наложено ограничение типа неравенства. Доказательство существования решения проводится в несколько этапов.

На первом этапе предполагается, что температура в Е L2(0,TЯ1,0(Г2С)) является фиксированной функцией и удовлетворяет начальному условию 9 — 0Q при t — О, а также 0* 6 L2(fic). Исследуется регуляризованная задача с неизвестными функциями (ui, U2, из) и сг, j. Проблема формулируется в виде вариационного неравенства с монотонным, коэрцитивным оператором. Установлено существование единственного решения и получены оценки для функций и и ст. При помощи разностных отношений доказано, что решение (tti, и2, из), dij обладает дополнительной гладкостью по переменной t. Предельный переход по параметру регуляризации влечет равномерные оценки на функции (itx, и2, и3), crij и разрешимость исходной задачи в пространстве ЯЧО^Я1−0^)) х L2(?lc).

На втором этапе доказано существование решения в G £2(0,ТH1,0(QC)) проблемы о равновесии. В предположении о том, что заданными функциями являются и € Ях (0, ТЯ1,0(Ос)) и, а € £2(ПС), выведены оценки на в.

На третьем этапе рассматрена задача о равновесии термовязкоупругого тела, содержащего трещину, сформулированная в виде вариационного неравенства. Неизвестными функциями этой проблемы являются 9, (и1} и2, и3) и. Получено свойство псевдомонотонности оператора вариационного неравенства. С помощью неклассических методов выпуклого анализа установлена однозначная разрешимость проблемы в случае малых значений параметра 5.