Применение метода контурного интеграла к изучению одномерных задач с обратным течением времени для параболического уравнения

Известно, что задача Коши для уравнения параболического типа в смысле И. Г. Петровского с обратным течением времени является неустойчивой к малым изменениям начальных данных. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным условиям. Подобные задачи часто встречаются при описании различных физических явлений. Однако до сравнительно недавнего времени большинство математиков считали эти задачи неинтересными. Необходимость рассмотрения «некорректных» задач математической физики и правильная их постановка была впервые указана А. Н. Тихоновым в 1943 году [21] .

Для устойчивого решения задач с обратным течением времени разработан метод квазиобращения [в]. Идейно метод квазиобращения весьма близок к методу регуляризации по А. Н. Тихонову [24] .

Наиболее простым примером задач с обратным течением времени является задача об определении начальной температуры <�р (Х) стержня, на концах которого поддерживается нулевая температура, а при этом требуется, чтобы к заданному моменту времени Т температура стержня И (х, Т) была близка к наперед заданной температуре (X). Вообще говоря, невозможно подобрать начальную температуру ср (зй) так, чтобы <�И (х, Т)= Э?(эс). Это связано с необратимостью данной задачи по времени. Однако для всякого *?>0 можно найти такое ф (сс), чтоиСя^Т) приближает 68(х) с точностью 2 • Тогда можно поставить задачу об определении некоторой функции ^(•Ц), реализующей такое приближение. В нашем примере процесс описывается оператором теплопроводности Л.

ГЪХ ¿-ъ ос? и на первый взгляд казалось бы естественным поставить задачу r3uk. tr) =Г), ал л"*1 и (о$-и.(1 $-о, (3) С4).

Но эта задача некорректна, и идея метода квазиобращения состоит в замене оператора теплопроводности (I) оператором го & «о! ль О)** (где ?>0) корректным для обратного направления времени.

Заменяется задача (2)-(4) следующей корректной задачей: ъХ ~ сь^ ' (5) refit 1 ое2ос=о о.

I '.

6) после решения которой налагается.

Методом квазиобращения доказано, что для любых функций и числа ^>0 существует такое семейство (ос,^ решений уравнения теплопроводности (2) с начальными условиями и обращающиеся в нуль на концах стержня, которые удовлетворяют условию: сходится в среднем к 260х) при? ->0 При этом существенно использована специфика гильбертова пространства.

В работе [з] в отличие от метода квазиобращения к решению задачи с обратным течением времени душ параболического уравнения второго порядка применен более рациональный метод, в сущности, представляющий собой комбинирование метода контурного интеграла М. Л. Расулова [17* и метода регуляризации А. Н. Тихонова [22], 23 .

Отметим, что этим методом можно решить задачи с обратным течением времени для параболических уравнений в банаховом пространстве.

Настоящая диссертация посвящена применению этого метода к изучению одномерных задач с обратным течением времени для параболического уравнения высокого порядка.

В первой главе применен метод контурного интеграла к изучению одномерных задач с обратным течением времени для параболического уравнения в неограниченных областях. Схема метода контурного интеграла в общих чертах заключается в следующем.

Данной задаче Коши (смешанной задаче), сопоставляется некоторое вспомогательное уравнение (вспомогательная граничная задача) с комплексным параметром. Далее, с помощью решения этого вспомогательного уравнения (вспомогательной задачи) составляется интегральное представление решения рассматриваемой задачи Коши (смешанной задачи).

В связи с этим в § 1.1 для всех Л из специальной области «Б ^ методом Леви-Карлемана строится фундаментальное решение РС00"^,^ для уравнения видагее») <8> к=о о У.

Отметим, что при применении метода контурного интеграла к задачам с обратным течением времени выбор области ^ зависит не только от порядка уравнения, но и от аргумента старшего коэффициента уравнения (8>.

При ограничениях, наложенных на АкСрь), доказывается, что является аналитической функцией параметра ^ в области Ц ^ и имеют место оценки:

Окр (х е*р (-5Ы1ос-?1), (9).

В § 1.2 с помощью полученной в § 1.1 оценки (9) доказывается, что задача Коши с обратным течением времени для параболического уравнения вида vn.

ТЯ—^ - (ю) имеет решение, представимое в виде интеграла по бесконечному разомкнутому контуру Э (теорема 1.2):

— VOO &.

В связи с применением метода контурного интеграла к решению смешанных задач с обратным течением времени в § 1.3 дается решение (вспомогательной задачи) уравнения (8) при граничных условиях.

Ьс=о 10с=о где и выводится оценка этого решения. Доказывается, что для всех из области существует аналитическое по X решение задачи (8),(II), представимое в виде: вч о и имеют место оценки: гЭсс*.

К-1Л4−4 ехр (-$иос-|0, (12).

С13) фэс.

О^Г ос ,+">)), где.

0(«Л, Х)» (=*С", ТД) — РОд".

В § 1.4 с помощью полученных в § 1.3 оценок (12), (13) доказывается, что смешанная задача с обратным течением времени для параболического уравнения (10) имеет решение Л^С^Д)" представимое в виде интеграла по бесконечному разомкнутому контуру 5 (теорема 1.4) О где ?>0 .

Вторая глава посвящена применение метода контурного интеграла к изучению одномерных задач с обратным течением времени для параболического уравнения в ограниченной области.

В § 2.1 дается решение вспомогательной задачи для уравнения и выводится подходящее асимптотическое представление дои этого решения. С помощью такого представления при некоторых условиях гладкости данных и регулярности граничных условий соответствующей вспомогательной задачи доказывается, что смешанная задача с обратным течением времени для уравнения.

14) при граничных условиях 0, (15).

16) при граничных условиях имеет решение представимое формулой: а где функция Грина задачи (14), (15), ?>0.

В конце диссертации дается литература. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах отдела дифференциальных уравнений в частных производных, на общеинститутском семинаре Института математики и механики АН Азерб. ССР, на научных конференциях молодых ученых АН Азерб. ССР 1982 г. и опубликованы в работах автора^27, 28,29,30] .

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моим научным руководителям академику Ж Азерб. ССР Ф. Г. Максудову и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику И. С. Зейналову за полезные замечания и советы.

1. ГУРСА Э. Курс математического анализа, т. Ш, чД, Гостех-издат, 1933.

2. ЗЕЙНАЛОВ И. С. Новые интегральные преобразования. Дифференциальные уравнения, 1970, т.1У, № 9.

3. ЗЕЙНАЛОВ И. С. Применение метода контурного интеграла к изучению некорректных задач для параболических систем второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1980, т. ХУТ, № 6.

4. ЗЕЙНАЛОВ И. С. Некорректная задача для параболической системы. ДАН Азерб. ССР, 1980, т. ХХХУТ, № 3.

5. ИВАНОВ В. К. Задача квазиобращения для уравнения теплопроводности в равномерной метрике. Дифференциальные уравнения, 1972, т. УШ, 1 4.

6. КАРЛЕМАН Т., Uber die asimptoti-sche verTeilung der Eigenwerte parti 11er Dif? ereritialgieichung der, Berichte Sachs. A cad. Wiss. zu Leipzing, Math., Phys., Kiasse 88 (1936), 1X9 134 .

7. КУРОШ А. Г. Курс высшей алгебры, M., Наука, 1975.

8. ЛАТТЕС Р., ЛИОНС Ж.2л. Метод квазиобращения и его приложения. М., Мир, 1970.

9. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, М., Наука, 1965.

10. ЛЕВИ Э.Э. 0 линейных эллиптических уравнениях в частных производных. УМН, 1941, вып.8.

11. МЕЛЬНИКОВА И. В. Методы решения условно корректных задач. Сб.статей. Свердловск, 1970.

12. НАЙМАРК М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

13. ПЕТРОВСКИ И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюллетень МГУ, секция, А, 1938, т.1, № 7.

14. ПРИВАЛОВ И.И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М., Наука, 1977.

15. РАСУЛОВ М. Л. Метод контурного интеграла. М., Наука, 1964.

16. РАСУЛОВ М.Л., МАМЕДОВ Ю. А. Решение одномерных задач для параболической системы второго порядка в неограниченных областях. Дифференциальные уравнения, 1971, т. УП, № 7.

17. РАСУЛОВ М. Л. Применение метода контурного интеграла. М., Наука, 1975.

18. СТЕПАНОВ В. В. Курс дифференциальных уравнений. М-Л., Гостехиздат, 1950.

19. ТАМАРКИН Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложение произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

20. ТИХОНОВ А.Н., АРСЕНИН В. Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979.

21. ТИХОНОВ А. Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, 1943, т.39, В 5.

22. ТИХОНОВ А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. ДАН СССР, 1963, т.151, № 3, 501−504.

23. ТИХОНОВ А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, т.153, В I, 49−52.

24. ТИХОНОВ А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. ДАН СССР, 1965, т.162, В 4, 762−765.

25. ФИХТЕНГОЛЬЦ Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. П, М., Наука, 1970.

26. ФИХТЕНГОЛЬЦ Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. Ш, М., Наука, 1970.

27. ФЕЙЗУЛЛАЕВ H.A. Задача Коши с обратным течением времени для параболического уравнения высокого порядка.Деп. в ВИНИТИ от 09.ХП.1982, В 6062−82, 12 стр.

28. ФЕЙЗУЛЛАЕВ H.A. Решение смешанной задачи с обратным течением времени для параболического уравнения. Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1983, J6 4, с.32−37.

29. ЗЕЙНАЛОВ И.С., ФЕЙЗУЛЛАЕВ H.A. Об одной некорректной задаче для параболического уравнения высокого порядка. -Деп. в ВИНИТИ от 02.ХП.1983, № 6519−83.

30. ФЕЙЗУЛЛАЕВ H.A. Решение смешанной задачи с обратным течением времени для параболического уравнения произвольного порядка. Деп. в ВИНИТИ от 06.П.1984, & 690−84.