Применение систем аналитических вычислений к исследованию левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли

Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать масштабные научные задачи.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, широко распространены в России и за рубежом, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Современная геометрия, так же как и другие области математики привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем.

Хорошо известна работа О. Г. Вагиной и М. И. Кабенюка в [2], в которой дано более короткое доказательство теремы о покрытии евклидовой плоскости равносторонними пятиугольниками, которая основана на вычислениях, сделанных с помощью пакета Maple. Отметим также доказательство К. Аппеля (К. Appel) и В. Хакена (W. Haken) знаменитой проблемы топологии о четырех красках [46, 47].

Пакеты аналитических вычислений использовались для исследования однородных римановых пространств. В этом направлении известны результаты Ю. Г. Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий [15, 16] и результаты Е. Д. Родионова и В. В. Славского по классификации локально конформно однородных многообразий [19, 73], а также по оценкам кривизн левоинвариантных римановых метрик на группах Ли [72].

Пакеты аналитических вычислений эффективно используются при исследовании геометрии групп Ли. Известны результаты А. Г. Крем лева и.

Ю. Г. Никонорова [11, 12] по классификации сигнатур кривизны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками. При помощи системы Maple в работах О. П. Гладуновой [6] получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. В работах П. Н. Подкур [17] система MATLAB успешно использовалась для развития теории вейвлетов с коэффициентом масштабирования N >2.

Данная диссертация посвящена применению математических пакетов для исследования левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли. Контактные группы Ли появляются естественным образом во всех областях математики и физики, использующих контактную геометрию или топологию (см. напр. [49], [51], [59], [60], [61], [62]). Энциклопедическим изданием, связанным с понятием контактных многообразий, К-контактных и сасакиевых структур, является книга Д. Блэра [51].

Контактная структура — это структура на гладком многообразии нечетной размерности M2n+1, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих условию максимальной невырожденности (см. ниже). Контактная структура тесно связана с симплектической и является ее аналогом для нечетномерных многообразий [1].

Поле касательных гиперплоскостей (контактное распределение) D на многообразии принято задавать дифференциальной 1-формой г/: D = {X (Е ТМ: г](Х) = 0}. Тогда условие того, что 1-форма ц определяет контактную структуру, заключается в требовании: г) А (dr])n ф 0.

Простым примером контактной структуры на 1R3 является 1-форма г] = dz — xdy. Другие естественные примеры контактных структур связаны с фазовыми пространствами. С геометрической точки зрения фазовое пространство представляет собой кокасательное расслоение Т*М многообразия М. На фазовом пространстве определена каноническая 1-форма 9 следующим образом. Если элемент их? Т*М имеет в локальных координатах (хг) вид их = Pidx то 9W = pidx Тогда Q = dpi A dxl — каноническая симплектическая структура на фазовом пространстве Т*М. Легко видеть, что на многообразии Т*М х R форма г] = dz — pidx1 определяет контактную структуру. Хорошо известны конструкции контактизации симплектического многообразия и симплектизации контактного многообразия.

Контактные структуры находят применения в аналитической механике [1] благодаря тому, что на любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура. Применение контактной геометрии в дифференциальных уравнениях хорошо представлено в работе В. В. Лычагина [13]. В ней даны также приложения контактной геометрии к вариационному исчислению, симмметриям и автомодельным решениям в нелинейной акустике.

Основным вопросом о контактных структурах является их существование на заданном многообразии. Существование контактной структуры накладывает сильные топологические и алгебраические условия на многообразие (например, структурная группа касательного расслоения редуцируется к U (n) х 1). Каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие допускает контактную структуру (Дж. Мартинет, 1971). Несмотря на то, что некоторые ответы были получены А. Вейнстейном (1991) и X. Гейге-сом (1998) на основе использования специальных методов построения вопрос по-прежнему остается открытым в высоких размерностях. Согласно М. Громову, на каждой связной некомпактной группе Ли нечетной размерности существует контактная структура. Но такие контактные структуры не обязательно являются инвариантными относительно левых сдвигов на группе Ли.

Нечетномерные торы среди многообразий имеют наиболее простое глобальное описание, но на них очень сложно задать контактную структуру. Лутц построил [67] контактную структуру на Т5, и это стимулировало интерес к нахождению контактных структур на торах более высоких размерностей. Ф. Бургеоис (Bourgeois) (2002) показал, что на самом деле все нечетномерные торы допускают контактную структуру. X. Гейгес доказал, что каждое многообразие вида М х Е, где М — контактное многообразие и Еповерхность рода как минимум 1, допускает контактную структуру [60].

Группы Ли с левоинвариантными симплектическими структурами широко изучаются в последнее время многими авторами (среди которых А. Медина, М. Гозе, А. Лихнерович, Э. Б. Винберг, К. Накайяма). Однако контактные группы Ли все еще остаются малоизученными. В настоящее время известны примеры контактных групп Ли размерности > 3, которые имеют центр (недискретный) размерности 1. В работе [66] решен вопрос существования левоинвариантных контактных форм на филиформовых группах Ли (то есть, с нильпотентной алгеброй Ли 0, у которой нильин-декс равен dim (g) — 1) и классификации всех контактных структур на таких группах Ли. В работе [57] А. Диатты приведены построения, которые позволяют получать многие контактные группы Ли (особенно такие, которые имеют дискретный центр) в любой нечетной размерности.

Обобщая результаты Дж. Грея, Бузби и Янг в работе [54] доказали, что единственные полу простые группы Ли, которые несут левоинвариантную контактную структуру — только те, которые локально изоморфны SL (2) или 50(3). В статье [53] Д. Блэр в своем основном результате (см. также [51]) доказал, что контактная метрическая структура на контактном многообразии М размерности > 5 не может быть плоской. В работе [57] показано, что в случае контактных групп Ли размерности > 5 не существует плоской левоинвариантной римановой метрики, даже если бы такая метрика никак не была бы связана с заданной контактной структурой. Известно [57], что если dim (G') > 5, тогда не существует левоинвариантной контактной структуры в следующих случаях: 1) G обладает свойством, что каждая левоинвариантная метрика имеет секционную кривизну постоянного знака- 2) G — разрешимая 2-степенная группа Ли отрицальной кривизны- 3) G имеет левоинвариантную риманову метрику с отрицательной секционной кривизной такую, что связность Леви-Чивита V и тензор кривизны R удовлетворяют условию Vi? = 0. Помимо этого в [57] доказано, что в случае dimG > 3 не существует левоинвариантной /^-контактной метрической структуры, имеющей кривизну Риччи постоянного знака. В частности, не существует К-контактных-эйнштейновых и тем более сасаки-эйнштейновых, левоинвариантных структур на группах Ли размерности > 5. В любой размерности 2п + 1 > 7 существует бесконечно много локально неизоморфных разрешимых контактных групп Ли ?57].

Проблема нахождения групп Ли, допускающих левоинвариантную контактную структуру (контактные группы Ли), все еще остается открытой.

Классификация пятимерных разрешимых и неразрешимых контактных групп Ли получена в работе Диатты [57]. Разложимая (произведение двух идеалов) 5-мерная контактная алгебра Ли является или прямым произведением g = aff (Ж) х а, где, а — любая трехмерная алгебра Ли, отличная от х Ж2, или прямым произведением точной симплектической 4-мерной алгебры Ли и К. [57]. Классификация трехмерных алгебр Ли представлена в работах [7], [68]. Среди всех неразрешимых пятимерных групп Ли контактными являются только такие, у которых алгебра Ли является одной из следующих: разложимые: aff (Ж) х 5/(2), aff (Ж) х so (3) и неразложимые: sl (2) хрМ2 [57]. Классификация симплектических и точных симплектических четырехмерных алгебр Ли получена в работах [69], [70]. Почти кэлеровы структуры на четырехмерных алгебрах Ли изучались в диссертации Е. С. Корнева [10]. В частности, в статье [63] приведены исследования четырехмерных групп Ли. Классификация пятимерных алгебр Ли получена Г. М. Мубаракзяновым [14]. Эта же классификация приведена в [71]. Пятимерные группы Ли, наделенные структурой Саса-ки, классифицированы в работе [48].

Цели диссертационной работы:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для построения ассоциированных контактных метрических структур и определения их свойств.

2. Исследование левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие задачи:

1. Построение контактных алгебр Ли.

2. Создание математической модели задач построения и исследования ассоциированных левоинвариантных контактных метрических структур.

3. Исследование контактных метрических структур на разрешимых и неразрешимых алгебрах Ли.

4. Вычисление геометрических характеристик контактных метрических структур.

Выполнение задач диссертационного исследования осуществляется на основе комплексного использования методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римановой и псевдо-римановой геометрии и тензорного анализа.

Основные результаты работы:

1. Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ в системе компьютерной математики Maple для построения ассоциированных структур Сасаки, ассоциированных контактных метрических структурвычисления основных тензоров и геометрических характеристик контактных метрических структур.

2. С использованием систем аналитических вычислений получены явные многопараметрические выражения левоинвариантных контактных метрических структур на всех пятимерных контактных группах Ли.

3. Построенные контактные метрические структуры исследованы с использование систем аналитических вычислений. Найдены алгебры Ли, допускающие: i^-контактные структурыструктуры Сасакиэйнштейновы и^{-эйнштейновы} структурыпсевдоримановы ii-контактные-эйнштейновы и сасаки-эйнштейновы структуры.

4. С использованием систем аналитических вычислений исследованы свойства /С-контактных метрических структур, связанные с римано-вой субмерсией.

5. С использованием систем аналитических вычислений исследованы взаимосвязи между почти кэлеровыми (кэлеровыми) и К-контактными (сасакиевыми) структурами.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для построения ассоциированных контактных метрических структур, нахождения основных тензоров и всех геометрических характеристик контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории контактных метрических структур на группах Ли. Впервые:

1. Получены явные многопараметрические выражения ассоциированных левоинвариантных метрик на пятимерных группах Ли, найдены их геометрические характеристики.

2. Найдены в явном виде i^-контактные, сасакиевы, эйнштейновы, г]-эйнштейновы структуры на пятимерных группах Ли.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях левоинвариантных контактных структур на группах Ли и однородных пространствах. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псев-до)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют решать вопросы существования структур Сасаки на пятимерных группах Ли, определять компоненты связности, тензора кривизны Римана, секционной кривизны, тензора Риччи, оператора Риччи, скаляной кривизны, квадраты норм тензоров Римана и Риччи, главные кривизны Риччи, а также компоненты основных тензоров контактной метрической структуры.

Полученные теоретические и практические результаты могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на ряде конференций: Региональной научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 24 ноября 2006 г.) — II.

XXXIV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации — вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2007 г.) — Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН. (г. Новосибирск, 1723 сентября 2007 г.) — Международной научно-практической конференции «Математическое образование в регионах России», посвященной 65-летию кафедры «Высшая математика» АлтГТУ (г. Барнаул, 26 октября 2007 г.) — Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2007» (г. Казань, 16−19 декабря 2007 г.) — III (XXXV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации — вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2008 г.) — Всероссийской конференции по математике и механике (г. Томск, 22−25 сентября 2008 г.) — Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 21 ноября 2008 г.) — Седьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2008» (г. Казань, 1−3 декабря 2008 г.) — Двенадцатой региональной конференции по математике «МАК-2009» (г. Барнаул, 19−22 июня 2009 г.) — Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (г. Новосибирск, 14−20 сентября 2009 г.) — Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (г. Казань, 1−6 ноября 2009 г.) — Межрегиональной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 4−8 октября 2010 г.) — Международной научно-практической Интернет-конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития, 2010» (г. Одесса, 4−15 октября 2010 г.) — Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19−26 июня 2011 г.) — Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2011», посвященной 50-летию кафедры геометрии и топологии НГУ (г. Новосибирск, 1−4 сентября 2011 г.) — Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае-2011» (г. Барнаул, 8−11 ноября 2011 г.).

Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на научном семинаре по геометрии и анализу кафедры математического анализа КемГУ, г. Кемерово.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы [20] - [43]. Три работы [37], [41], [42] опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая — номер раздела, третья — номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы и таблицы.

Заключение

.

С помощью методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, тензорного анализа, (псевдо)римановой геометрии и информационных технологий в диссертации получены следующие результаты:

1. Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ в системе компьютерной математики Maple для построения ассоциированных структур Сасаки, ассоциированных контактных метрических структурвычисления основных тензоров и геометрических характеристик контактных метрических структур.

2. С использованием систем аналитических вычислений получены явные многопараметрические выражения левоинвариантных контактных метрических структур на всех пятимерных контактных группах Ли.

3. Построенные контактные метрические структуры исследованы с использование систем аналитических вычислений. Найдены алгебры Ли, допускающие:

К-контактные структурыструктуры Сасаки;

— эйнштейновы и эйнштейновы структурыпсевдоримановы i^-контактные-эйнштейновы и сасаки-эйнштей-новы структуры.

4. С использованием систем аналитических вычислений исследованы свойства К-контактных метрических структур, связанные с римано-вой субмерсией.

5. С использованием систем аналитических вычислений исследованы взаимосвязи между почти кэлеровыми (кэлеровыми) и К-контактными (сасакиевыми) структурами.

Успешное применение систем компьютерной алгебры зависит, в первую очередь, от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверить возникающие гипотезы и, что более примечательно, указать путь к математически строгому доказательству.

Вышеуказанные результаты, полученные с привлечением средств и методов систем символьных вычислений, показывают целесообразность применения подобных систем к исследованиям в области однородной (псев-до)римановой геометрии.

Следовательно, можно сделать вывод об эффективности дальнейшего использования систем компьютерной математики для получения новых результатов в решении геометрических задач.