Некоторые вопросы граничного поведения голоморфных функций

Изучению вопросов граничного поведения голоморфных функций посвящено большое количество монографий и статей. Среди многочисленных работ, опубликованных по данной тематике, отметим несколько наиболее важных на наш взгляд книг [8], главы 9, 10, [15—16, 19, 34, 50], а также некоторые статьи [7, 9−11, 17, 29, 35, 43, 46−47, 51] и [14].

Объектом исследования в данной диссертации является граничное поведение голоморфных функций одной и нескольких переменных в угле Штольца и в области Кораньи-Стейна, соответственно, а также изучение граничных свойств голоморфных в единичном круге, А = {z: z < 1} функций, имеющих ограниченность порядка р < 0, и, как следствие, граничных свойств полианалитических функций, имеющих ограниченность порядка р < 0 в Д.

Один из вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, связан с проблеммой обращения известного правила Лопиталя, которое утверждает, что если функции f (x) и д (х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки aYimf (x) = Yimg (x) = 0 или оод'{х) ф § и существует предел отношения производных lim (конечный или бесконечный), то существует и предел lim ^7—7, причем справедлива формула х~*а д (х) и шМ = ИтШ х~*а д (х) х~*а д'(х).

Впервые правило раскрытия неопределенности типа 0/0 было опубликовано маркизом М. де Лопиталем (1661—1704) в 1696 году в работе «Анализ бесконечно малых». Однако, вскоре после смерти Лопиталя в августе 1704 года И. Бернулли (1667—1748) выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в «Анализе» методы. Это была заметка «Усовершенствование моего, опубликованного в „Analyse des infiniment petits“ в § 163, метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают». Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил лет 10 назад маркизу Лопиталю, в этой же заметке И. Бернулли «движимый любовью к истине», отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.

Дело в том, что в марте 1694 года И. Бернулли и Лопиталь заключили между собой договор, по которому И. Бернулли передает Лопиталю за 800 ливров авторские права на свои математические открытия, которые будут сделаны с 1694 по 1696 годы. Согласно этому договору Бернулли 22 июля 1694 года написал письмо Лопиталю, в котором информирует его о том как следует поступать, когда возникает неопределенность типа 0/0. Лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа бесконечно малых» и вошли в историю математики под его именем.

Утверждение, обратное правилу Лопиталя, вообще говоря, неверно: из существования предела отношения дифференцируемых функций f (x) и д (х) не следует существование предела отношения производных этих функций.

Задача обращения правила Лопиталя относится к так называемым тауберовым задачам. Если можно найти дополнительное условие, при котором будет справедлива обратная к прямой (абелевой) теорема, то это условие будет называться тауберовым, а обратная теорема называться тауберовой. Более подробные сведения, касающиеся истории тауберовых теорем, можно найти в книгах [18, 44—45], см. также [12—13, 41]. В [18], в частности, описан метод, примененный Харди и Литтлвудом к доказательству тауберовых теорем о сходимости расходящихся рядов, при этом ими доказана такая.

Теорема, А [18, с.215−216]. Если функция f (x) дифференцируема на (0,1), f'(x) возрастает на (0,1), с > 0, и lim f (x)(1 — х) с = А > 0, то существует предел lim f (x)(l — x) c+1 = Ac.

Последнюю теорему можно отнести к утверждениям об обращении правила Лопиталя: в качестве функции д (х) в теореме, А взята функция (1 — х)~с, с > 0, на функцию f (x) наложено дополнительное условие возрастания ее производной.

Вопрос обращения правила Лопиталя на классе выпуклых функций рассматривался в [3—5], в частности, в [5] автором получено такое утверждение: пусть функции f (x) и д (х) определены и дифференцируемы на (a, b), f (x) — неубывающая выпуклая функция, img (x) = +оо, д{х) — наибольшая выпуклая миноранта функции д (х) на (а, 6), для того, чтобы f (x) при К? (0,+00), из существования предела lim— = К вытекало x->b д[х) f'(x) существование предела lim. = К, необходимо и достаточно, чтобы х-*ь д'(х) lim — 1 и для любого г 6 (0,1) x^bg (x) к 1 g (tx) + g'(tx){xtx) lim-—- < 1, x->b X) где tx = max{t: t < x, g'(t) < egf (x)}.

Известны и другие результаты, связанные с обращением правила Лопиталя. Например, в [42] (см. также [36]) в этом направлении доказан такой результат: пусть D = (а, Ь){хо}, где xq — предельная точка (а, Ь), и предположим, что вещественнозначные функции f (x) и д (х) дифференцируемы на D. Если д'(х) ф 0 для любого х б D и lim f (x) = lim g (x) — 0, +oo, или — oo,.

Г ^ ?C Q X ' %C Q mo ыт<�ыт<�шт<�ш!Щ. w x-*xo g'[x) x->x0 g (x) g{x) x^x° g'{x).

Оценки противоположного смысла, чем (1), при дополнительных условиях получены в [2] и [31]: если функции f (x) и д (х) дифференцируемы f (x) и выпуклы на [0, оо), х = о (д (х)) при х —" +оо- 0 < t = lim f (x) Т = lim mo.

->+00 g (jx).

Г- №. r f'(x) f'(x) f (x) ai lim -7—f < lim -77-r, lim -—- < a2 lim —r-r,.

Ж-++00 g (x) x—"+oo g x) x-^+oo g'(rc) x-++oo g[x) где a и a, 2 — решения уравнения < ai < 1 < <22,), J™ T g (tx) + ag'{x){x — ?x) x-«+oo tx = sup{?: g'(t) < ag'(x)} (если множество в фигурных скобках пусто, то положим tx = 0).

Для комплекснозначных функций правило Лопиталя, конечно, не выполняется. Например, пусть функции f (x), д (х): (0,1) —> С, /(х) = f (ft (х, д (х) = х2ег1×2. Тогда lim = оо, но lim ,) ! = 0. Однако, аналогично тому, как это делается в вещественном случае, можно доказать, что если функции /(я), д (х): (0,1) —> С дифференцируемы на (0,1), Шп f{x) = Шп д (х) = 0, Дт/'М = А, Дт/М = В ф 0, то.

V /0*0 у /'(*) Л существует lim.. = lim. = —. д (х) ж—>+0 д'(х) В.

Годуля Я. и Старковым В. В. в [7] изучалось граничное поведение голоморфных в единичном круге функций при стремлении точки к границе круга Д в угле Штольца. Авторами доказан следующий аналог теоремы, А для голоморфных функций.

Теорема В [7]. Пусть f{z) голоморфная вД = {, г:|-г|<1} функция, Г)? (0, 7г/2), сбС, Wrj — угол Штольца величиной 2г] с вершиной в точке z = 1, и существует конечный предел vto^i[f (z)(l-z)c] = A. (2).

Тогда для любого е € (0, rf) существует предел.

Теорему В можно рассматривать как теорему типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в Д функции / и д, в частном случае g (z) = (1- z)~c, с Е С.

В [40] теми же авторами изучалось граничное поведение голоморфных функций п комплексных переменных в области Кораньи-Стейна, доназывалась теорема D — обобщение теоремы В на случай п—мерного комплексного пространства. Прежде чем теорему D сформулировать, введем некоторые обозначения и дадим определение области Кораньи-Стейна, которая часто играет роль угла Штольца в вопросах граничного поведения функций в Сп.

Пусть Сп — п-мерное комплексное пространство векторов z = (zi, 22,., zn), где zi, Z2, • • •, zn G С, со скалярным произведением {z, w) = zW +. -f znwnBn = {z: \z\ < 1} — евклидов шар в пространстве Cn,.

Если, а > 1,? = е = (1,0,., 0) G Сп, то областью Кораньи — Стейна Qa = с вершиной в точке е назовем множество всех z? Вп таких, что.

Теорема D. Пусть f (z) голоморфная в Вп функция, с? С, Qa ~ область Кораньи — Стейна с вершиной в точке е и существует.

1. для каждого к = 2, ., п существует, а < а такое, что выражение i-*ii.

Qa3z—"ei lim [f (z)(1 — zj — 4 —. — zlY = А ф oo.

3).

Тогда ограничено в Qai, при z —" e, но ни для какого ai не существует предел при с Ф 0;

2. существует, а < а такое, что lim.

SlaiBz-*ei 2 сА. dz.

Возникает естественный вопрос: при каких дополнительных условиях теоремы В и D останутся верными, если вместо конкретных функций g (z) = (1 — z) c, с € С, в пределе (2) теоремы В и g{z) = (1 — z — Z2 —. — ~c, с G С, в пределе (3) теоремы D рассмотреть произвольные голоморфные функции одной и нескольких переменных, соответственно? То есть речь идет о получении теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных функций одной и нескольких переменных. Эта задача решена в первой и второй главе данной диссертации.

В исследованиях граничного поведения голоморфных функций видное место занимает изучение граничного поведения голоморфных функций класса Блоха: голоморфная в, А функция принадлежит классу Блоха В, если sup [|/'(2)|(1 — z2)] < оо. Исследованию класса Блоха В ze, А посвященны сотни статей, см., например, обзор [29], а также работы [30, 32−33, 37−39, 48−50, 53−55] и др.

Как оказалось, существует связь между голоморфными функциями Блоха и голоморфными функциями, имеющими ограниченность порядка {—р), р G N, в единичном круге А. Понятие ограниченных порядка р, р 6 R, функций ввел Е. П. Долженко в [10]: при р < 0 функция f (z), локально ограниченная в G, называется ограниченной порядкар, если f (z) = 0(ff) при р = p (z, dG) —" 0. Класс функций, имеющих ограниченность порядка р в, А обозначим Шр.

Так как класс голоморфных функций Блоха В хорошо изучен, то установление связи между классами В и 9ЛР, р < 0, позволило бы с помощью известных свойств класса В изучать граничные свойства голоморфных функций класса Шр.

Функции ограниченного типа рассматривались в [10] в связи с изучением граничного поведения полианалитических функций и их голоморфных компонент. Функция f (z), z = x + iy, имеющая в области.

G С С непрерывные частные производные по х и у до порядка п > 1, называется полианалитической порядка п в G, или п—аналитической в G, если она удовлетворяет обобщенному уравнению Коши—Римана dnf (z) 0. Класс n-аналитических в единичном круге, А функций обозначим через Ап. Всякую полианалитическую порядка п в области G функцию f (z) можно единственным образом представить в виде f{z) = (p0{z) + zip^z) +. + zn~lipnx (z), (4) где функции (fk{z), к = 0,., n — 1, голоморфные в G (см., например, [1]).

В единичном круге Д представление (4) функции / G Ап приводится к следующему виду: f (z) = P (z, z)+go (z) + (1 — +. + (1 — И2)"-1^*),.

P (z, z) = m (z) +. +^iViW, Z6A, где Pk при к > 1 — полином от z степени < (к — 1), gk{z) голоморфные в Д функции. Функции (fik (z) и 9k (z) называются голоморфными компонентами полианалитический функции f{z).

Граничные свойства полианалитических функций из класса Шр, как это показано в [10], зависят от граничных свойств их голоморфных компонент, а свойства последних, как уже было сказано, можно получить из их связи с классом В. Этому посвящена глава 3 настоящей работы.

Целью данной диссертации являются исследования граничного поведения в угле Штольца функций, голоморфных в области с достаточно произвольной границей, а именно получение утверждений типа обращения правила Лопиталя для голоморфных функций при некоторых дополнительных предположенияха также граничного поведения в области Кораньи-Стейна функций нескольких переменных, голоморфных в единичном евклидовом шаре, в том числе получение обобщения теорем В и D, и, как и для случая функций одной переменной, получения теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций при некоторых дополнительных предположениях. Цель третьей главы диссертационной работы — исследование граничного поведения голоморфных в единичном круге, А и имеющих ограниченность порядка р < 0 функций и полианалитических функций ограниченного типа в А, а именно, установление связи между голоморфными функциями Блоха и голоморфными функциями ограниченного типа р < 0 в А, получение из этой связи новых свойств голоморфных функций, имеющих ограниченность порядка р < О, как следствие, получение свойств полианалитических функций, имеющих ограниченность порядка р < 0.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Граничное поведение голоморфных функций одной переменной исследуется в первой главе. Результаты этой главы формулируются в первом параграфе, доказываются в § 2, в третьем параграфе приводятся примеры применения полученных теорем.

В первой главе диссертации обобщается теорема В: для голоморфных функций доказывается обращение правила Лопиталя — теорема 1.1 — когда из существования предела отношения двух голоморфных функций при стремлении z в угле Штольца с вершиной в граничной точке области голоморфности при выполнении некоторых дополнительных условий, наложенных на функции, вытекает существование предела отношения производных этих функций в меньшем угле Штольца.

Теорема 1. 1 [25]. Пусть В — область, которая имеет на своей границе открытую аналитическую дугу Жордана 7-? — внутренняя точка кривой 7, не являющаяся предельной для граничных точек, не принадлежащих 7- Vn — такой угол Штольца величиной 2г] с вершиной в точке? (биссектриса угла Vq ортогональна касательной к 7 в точке что Vq С Вфункции f (z) и g (z) голоморфны в Ви существует предел lim vn3Z-+Z g{z) А ф оо.

Если значения функции.. (? — z) отделены от нуля в V" при z —>

9W то для любого е? (0,77) существует предел lim, V4-e3z^t g'(z) A.

Если lim v49z->e ш aV) 0, то для любого? 6 (0,77).

7'W lim.

Vn-eB[ g (z) 0.

В первом параграфе показано, что условия теоремы 1.1 являются существенными: если они не выполняются, то теорема 1.1 неверна. В теореме 1.2, также доказанной в первой главе, рассматривается случай, когда из существования предела произведения f{z)G'(z) следует существование предела f'(z)G (z).

Во второй главе диссертации исследуется граничное поведение в области Кораньи-Стейна голоморфных в единичном шаре функций. Данная глава имеет такую же структуру, что и глава 1: в четвертом.

параграфе результаты главы формулируются, доказываются в параграфах 5−7.

Следующая теорема 2.2 обобщает теорему D. Теорема 2. 2 [28]. Пусть f (z) голоморфная в Вп функция, Qa — область Кораньи — Стейна с вершиной в точке ei, точка, а = (а2,., ап) G С" -1 и число с G С фиксированы, ||а||2 < maxjl, ——— }, и существует, а 1 lim [f (z)(l — 4 — 44 —. — a2nz2ny] = А ф оо.

Qa3z—"ei.

Тогда.

1. для каждого к = 2, ., п такого, что 0, существует, а < а ао^о —. — а22−2)' ' ограничена в такое, что функция ^^ (1 Па1 при z —> е, но ни для какого c^i не существует предел.

2 «2² «2 «2^+5 lim ei.

Mf).

1 — zl — 44 -. — 4*2)04 при с ф 0 и, А ф 0, если, А = 0 или с — 0, или а^ = 0, то существует а. < а такое, что df (z) lim.

1 -А- 44 — - а^Г1 0- существует а. < а такое, что lim.

Mfl dzi a 2 2 2 — zf — ф2 anZn) 2c A.

Как показано в § 4, константа ½ в формулировке теоремы 2.2 является точной. В § 5 доказывается сформулированная в четвертом параграфе теорема 2.3, которая является обобщением теоремы 1.1 на случай п—мерного комплексного пространства: при некоторых дополнительных условиях на голоморфные в шаре функции из существования предела отношения функций в области Кораньи-Стейна вытекает существование предела отношения частных производных этих функций.

Теорема 2. 3 [28]. Пусть f{z), g (z) — голоморфные в Вп функции, область Кораньи — Стейна с вершиной е и существует lim Щ- = А ф оо, тогда.

1. если для некоторого натурального ki, 2 < k < п, значения функции d9{z) zkl, n отбелены от нуля при z —> е в1а, то существует, а < а dzkl g (z) такое, что если же lim.

ПаЭг—>ei lim df (z)/dzkl па1эг->е1 dg (z)/dzk1 dg (z) zh dzkl g{z) lim 0, то существует < а такое, что df (z) zkl dzkl g (z) 0- dg (z) (1 — zi).

2. если значения функции ———— отделены от нуля при z —> е в ozi g (z).

Q, a, то существует, а < а такое, что.

Ию если же lim la3z—"ej па1эг->в! dg (z)/dz dg (z) 1-zi dzi g (z) lim.

Па1Эг->е! 0, то существует a < а такое, что 'df (z) l — *Г = a dzi g (z).

В § 4 показывается, что условия последней теоремы существенны. Многомерным аналогом теоремы 1.2 является, доказанная в шестом параграфе теорема 2.4.

Третья глава этой диссертации посвящена исследованию граничных свойств голоморфных функций, принадлежащих классу Шр, р < 0. В данной главе устанавливается связь между голоморфными функциями класса Блоха В и голоморфными функциями класса Ш~р, р € N, из установленной связи получаются граничные свойства голоморфных функций ограниченного типа р < 0 в Д. Исходя из свойств последних устанавливаются граничные свойства полианалитических функций из класса Шр, р < 0, имеющих голоморфные компоненты ограниченного типа.

Третья глава диссертации состоит из двух параграфов: восьмого и девятого. § 8 носит вспомогательный характер, в нем формулируются некоторые определения и уже известные свойства функций Блоха.

В § 9 в теоремах 3.1—3.7 формулируются и доказываются свойства полианалитических функций из класса Ш1р, р < 0, и их голоморфных компонент. В частности, показано, что если / € Ап П 9Jls, s G {0} U Л — z.

N, ф (z) = -—j-, — конформный автоморфизм единичного круга А, Д (А, г) = ф (гА), 0 < г < 1, тогда для любых фиксированных 0 < г < 1, / = 0,1,., р > 0 при |А| 1—- см. теоремы 3.1 и 3.2 и [26]).

Если голоморфные компоненты gk (z) п-аналитической функции (5) представлены в Д рядами: д оо, ч.

9k (z) =? а V, к = 0,., п — 1, к) J.

1=0 тогда f{z) = P{z, z) + tbi{z)zl,.

1=0 bl (z) = а) + аг (1)(1 — z2) +. + a{n1)(l — z2) n~ z <Е Д.

Для коэффициентов bi (z) в теореме 3. 4 получена точная оценка, зависящая от порядков ограниченности голоморфных компонент полианалитической функции.

Теорема 3.4 [26]. Пусть f G Ап П 9Я~Р, р > 0, записана в виде (5), Mgk = sup (gk (z)(l — z2) v+k) (Мдк < оо), к = 0,., п — 1, тогда для z€ А любых z 6 А, I Е N справедлива точная оценка.

В данной главе исследуются также условия, при которых голоморфные компоненты полианалитических функций раскладываются в лакунар-ные ряды, и свойства самих полианалитических функций, которые отсюда вытекают.

Таким образом основными результатами данной диссертации являются:

1. доказательство теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в плоской области функций, при некоторых дополнительных условиях;

2. доказательство теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в единичном шаре функций, получение достаточных условий при которых утверждения имеют место;

3. установление связи между классом голоморфных функций Блоха и голоморфными функциями, принадлежащими классу р < О, получение свойств голоморфных компонент полианалитических функций и самих этих функций из класса Шр, р < 0.

Основные результаты дисссертации опубликованны автором в десяти работах [20—28, 52], из них одна статья в Сибирском математическом журнале [25], две статьи в сборнике трудов Петрозаводского государственного университета [20, 26], статья в журнале «Известиях вузов. Математика» [28], шесть тезисов докладов на конференциях [21—24, 27, 52], в том числе тезисы международных конференций [22, 24, 52]. Полученные результаты докладывались на Eleventh summer St. Petersburg meeting in mathematical analysis (Санкт-Петербург, 2002), 12-й и 13-й Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004, 2006), Международной школе-конференции по теории функций комплексного переменного (Петрозаводск, 2004), Воронежской зимней школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005), Международной школе-конференции «Комплексный анализ и его приложения», посвященной памяти профессора И. П. Митюка (Краснодар, 2005), в Саратовском государственном университете на научном семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (2006 г., научный руководитель профессор Прохоров Д. В.) и на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, вычислительной математики и математической физики, теории функций и приближений, математической экономики (2006 г., научный руководитель профессор Хромов А. П.), в Казанском государственном университете на семинаре по геометрической теории функций (2006 г., научный руководитель профессор Аксентьев JL А.), на научных семинарах по теории функций комплексного переменного в Лодзинском университете (2003 г., Лодзь, Польша, научный руководитель профессор 3. Якубовский), в Ягелонском университете (2003 г., Краков, Польша, научный руководитель профессор Я. Шичак), в Петрозаводском государственном университете (2004 г., 2006 г., научный руководитель профессор Старков В. В.).

В 2002 г. и в 2004—2005 гг. диссертационные исследования были поддержаны Конкурсным центром фундаментального естествознания: гранты М02−2.1Д-244 и А04−2.8−719, соответственно. В марте 2003 г. работа отмечена грантом Ягелонского университета, Краков, Польша.

Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях граничного поведения голоморфных функций одной и нескольких переменных, граничного поведения полианалитических функций и их голоморфных компонент, имеющих ограниченность порядка р, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Диссертация состоит из 101 страницы, содержит введение, три главы, каждая из которых разбита на параграфы, список литературы из 55 наименований, список основных обозначений. Нумерация параграфов сквозная. Для теорем, следствий, определений, замечаний и формул используется двойная нумерация: первым указывается номер главы, затем — порядковый номер теоремы (соответственно следствия, замечания, определения или формулы) в этой главе.

1. Балк М. Б. О полианалитических функциях / М. Б. Балк, М. Ф. Зуев // Успехи мат. наук. 1970. Т. XXV. Вып. 5(155). С. 203−226.

2. Брайчев Г. Г. О функции, связанной с ростом отношений производных / Г. Г. Брайчев // Тез. докл. 13-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов, 2006. С. 34−35.

3. Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя и целые функции / А. В. Братищев // Тез. докл. Всесоюзного симпозиума по теории апроксимаций функций в комплексной области. Уфа, 1980. С. 21—22.

4. Братищев А. В. Об обращении правила Лопиталя / А. В. Братищев // Механика сплошной среды. Сб. под ред. И. И. Воровича. Ростов-на-Дону, 1985. С. 28−42.

5. Братищев А. В. Базисы Кете, целые функции и их приложения: Докт. дисс. / А. В. Братищев. Ростов-на-Дону, 1993.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт. М.: Мир, 1984. 469 с.

7. Годуля Я. О граничном поведении в угле Штольца аналитических в круге функций / Я. Годуля, В. В. Старков //Мат. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 5. С. 652−661.

8. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. М.: Наука, 1966. 628 с.

9. Долженко Е. П. Граничные свойства произвольных функций / Е. П. Долженко // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Математическая. 1967. Т. 31. С. 3−14.

10. Долженко Е. П. О граничном поведении компонент полиаиалити-ческой функции / Е. П. Долженко // Матем. заметки. 1998. Т. 63(6). С. 821−834.

11. Лаврентьев М. А. Граничные проблеммы в теории однолистных функций / М. А. Лаврентьев // Мат. Сб. 1936. Т. 1. С. 815—844.

12. Милин И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы / И. М. Милин. М.: Наука, 1971. 256 с.

13. Милин И. М. Теорема регулярности Хеймана для коэффициентов однолистных функций / И. М. Милин // Докл. Акад. Наук СССР. 1970. Т. 192. С. 738−741.

14. Привалов И. И. Интеграл Коши. Докт. дисс. / И. И. Привалов. Саратов, 1919.

15. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций / И. И. Привалов. М—Л.: Гостехиздат, 1950. 336 с.

16. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп / У. Рудин. М.: Мир, 1984. с. 456.

17. Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейно-инвариантных семейств функций / В. В. Старков // Болгарский мат. ж. «СЕРДИКА». 1985. Т. И. С. 299−318.

18. Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. 504 с.

19. Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 435 с.

20. Шишкина А. В. О граничном поведении функций, голоморфных в шаре / А. В. Шишкина // Труды ПетрГУ: Сер. математика. Вып. 9. 2002. С. 43−53.

21. Шишкина А. В. Об обращении правила Лопиталя для аналитических функций / А. В. Шишкина // Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов, 2004. С. 210−211.

22. Шишкина А. В. Некоторые вопросы граничного поведения голоморфных в шаре функций / А. В. Шишкина // Материалы Международнойшколы-конференции по теории функций комплексного переменного. Петрозаводск, 2004. С. 17−18.

23. Шишкина А. В. О полиаиалитпических в круге функциях класса Ш1Р (А) / А. В. Шишкина // Материалы Воронежской зимней школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2005. С. 254.

24. Шишкина А. В. Одна задача о граничном поведении голоморфных в шаре функций / А. В. Шишкина // Тез. докл. Международной школы-конференции «Комплексный анализ и его приложения», посвященной памяти профессора И. П. Митюка. Краснодар, 2005. С. 107−108.

25. Шишкина А. В. Об обращении правила Лопиталя для аналитических функций /А. В. Шишкина // Сиб. матем. журнал. 2005. Вып. 5. С. 1190−1196.

26. Шишкина А. В. О связи полианалитических функций и функций Блоха / А. В. Шишкина // Труды ПетрГУ: Сер. математика. Вып. 12. 2005. С. 36−50.

27. Шишкина А. В. Обращение правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций А. В. Шишкина // Тез. докл. 13-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов, 2006. С. 196.

28. Шишкина А. В. Обращение правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций / А. В. Шишкина // Изв. вузов. Математика. 2006. No 6. С. 79−85.

29. Anderson J. М. On Block functions and normal functions / J. M. Anderson, J. Clunie, Ch. Pommerenke // J. Reine Angew. Math. 1974. V. 270. P. 12−37.

30. Anderson J. M. The boundary behaviour of Bloch functions and univalent functions / J. M. Anderson, L. D. Pitt // Michigan Math. J. 1988. V. 35. P. 313−320.

31. Braichev G. G. On comparative increase of relations of convex functions and their derivatives / G. G. Braichev // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan. 2002. V. XVII (XXV). P. 38−50.

32. Bishop С. J. Bounded functions in the little Block spase / C. J. Bishop // Pacific J. Math. 1990. V. 142. P. 209−225.

33. Campbell D. M. Linear spaces and linear-invariant families of locally univalent analytic functions / D. M. Campbell, J. A. Cima, J. A. Pfaltzgraff // Manuscripta Math. 1971. V. 4. P. 1−30.

34. Duren P. L. Theory of Hp Spaces / P. L. Duren. Academic Press: New York, 1970.

35. Fatou P. Series trigonometriques et series de Taylor / P. Fatou // Acta Math. 1906. V. 30. P. 335−400.

36. Gajek L. An improper Cramer-Rao lower bound / L. Gajek // Zastosovania Matematyci Applicationes Mathematicae. 1987. V. XIX (2). P. 241—256.

37. Girela D. On Block Functions and Gap Series / D. Girela // Publicacions Matematiques. 1991. V. 35. P. 403−427.

38. Godula J. Applications of idea of Mobius invariance to obtain equivalent definitions of Block functions / J. Godula, V. V. Starkov // Annales UMCS. 1994. V. 49. P. 41−58.

39. Godula J. On Block functions and univalence of the integral of (h!)x / J. Godula, V. V. Starkov // XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium. Eds.: Laine/Martio, Walter de Gruyter к Co. Berlin, New York, 1996. P. 31−37.

40. Godula J. On the boundary behaviour of functions of several complex variables / J. Godula, V. V. Starkov // Annales UMCS. 2002. V. 3. P. 31−45.

41. Hayman W. K. Tauberian theorems for multivalent functions / W. K. Hayman // Acta Math. 1970. V. 125. P. 269−298.

42. Hobson E. W. Theory of functions of a real variable and the theory of Fourier’s series / E. W. Hobson. Cambridge University Press: Cambridge, 1927.

43. Keldysh M. V. Sur la representation conforme des domaines limites par des courbes rectifiables / M. V. Keldysh, M. A. Lavrentev // Ann. Ecole Norm. sup. 1937. V. 54(3). P. 1−38.