Выражение дифференциальных уравнений через итерации дифференциальных операторов

В диссертации изучаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными в виде формул, выражающих решения через итерации дифференциальных операторов, входящих в эти уравнения. Рассмотрены, в частности, стационарное уравнение.

Аи0+?ги0 = 1, (1) задача Коши для (нестрого) параболического уравнения.

Э (1>0), (2) и задача Коши для (нестрого) гиперболического уравнения.

Ъ1ига)—Аиг (±), д1и2(0)^О. (3).

Рассмотрены и несколько более общие задачи, чем (2) и (3), подробности см. § 2 главы 2). Наиболее подробно в диссертации рассмотрен случай, когда, А — дифференциальный самосопряженный оператор с областью определения <2)(А) в функциональном гильбертовом пространстве Н «предполагается, что оператор, А неотрицателен.

А V, М^СЪ (А) ¦ (4).

Решения уравнений (1), (2), (3) в этом случае можно выразить через функции оператора, А, примененные к / :

Эффективное вычисление Ы0>и^ и ы2 непосредственно по формулам (5) возможно в тех случаях, когда известен в явном виде полный набор спектральных проекторов Ел оператора, А, а такие случаи редки. В диссертации изучается представление решений 1/0,11, и Ыгзадач (1), (2) и (3) в полиномиальной форме:

Ui^&rn Pnl (A)/ (i= 0, i, 2), (6) где Pn (А) полином от оператора, А степени n. Очевидно, что для вычисления достаточно уметь вычислять лишь А^? , то есть для решения задач (1), (2), (3) по формулам вида (6) требуется знать лишь те данные, которые явно приведены в постановке задачи, а именно, оператор, А и функцию^. В случае, когда, А — ограниченный оператор, представления вида (6) общеизвестны и широко применяются в математическом анализе. Чаще всего для получения представлений вида (6) используется разложение функций (А+рг1)~ё~М и С0&(к№)в ряды по степеням, А «в этом случае роль полинома PnL (A) играет частичная сумма соответствующего ряда. Выражение решений конечномерных систем уравнений вида 6через итерации оператора В (и тем самым, через итерации А-Ь-f I) широко применяется в вычислительной математике, при этом часто используются полиномы Рп, не связанные с разложением в ряды. Например, в чебышев-ском итерационном методе используются полиномы Рп, простым образом связанные с полиномами Чебышева, и минимизирующие на отрезке [f * М] «содержащем спектр В .

Возможность получения представления функций Cf>L от ограниченного неотрицательного самосопряженного оператора, А в полиномиальной форме вида (6) основана на возможности равномерного приближения непрерывной функции С} (Л) полиномами Рп (Я) на отрезке Г О, juj. содержащем спектр оператора, А, в силу оценки.

MA)f-Pn (A)fU мф 1? са)-р"сл)1 Ц/11, (?).

L v, J J.

В диссертации рассматривается случай, когда, А — дифференциальный оператор и, следовательно, А неограничен. Простейшим примером оператора, А является оператор на торе Тт гг.

Ам= -2 д1(ацд1^)+а00и, э^э/э^, (8) где ац (Х)£ (УС (Т&trade-), множество аналитиче7 ских на ¡-Я, периодических по каждой переменной с периодом 25 Т функций,. На главную часть оператора, А накладывается условие неотрицательности.

• (9) ь/-1.

Если, например, Оо0 ^ О,, то оператор, определяемый (8), удовлетворяет (4) (мы везде отождествляем дифференциальный оператор с его расширением Фридрихса). Во второй главе изучаются уравнения (1), (2), (3), где, А определяется (8), а.

Т&trade-). Отметим, что из (9) не следует эллиптичность, А, и рассматриваемые уравнения, вообще говоря^ вырождающиеся. Если Яц (х) — не числа, а матрицы размера, то (8) определяет оператор, действующий на вектор-функции со значениями в С^, и (1), (2), (3) будут системами на Тт (вообще говоря, вырождающимися). Помимо уравнений второго по.

— т-т рядка на I рассмотрены и другие задачи с аналитическими коэффициентами: уравнения в ограниченных и неограниченных областях в, вырождающиеся на границе областизадача Дирихле для эллиптического уравненияуравнения во всем Ш&trade- ;

Тт см. § 3 главы 2).

В теории дифференциальных уравнений с частными производными известны представления в виде (6) решений задач Коши для систем типа Коши — Ковалевской, в частности уравнения (3), где, А определяется (8),^С 01 (Тт), при малых?. В этом случае решение и^(^) допускает разложение в ряд по^, которое одновременно является разложением по степеням, А выражения СМ. Получающийся ряд сходится на Т при малыхЬ в силу теоремы Коши — Ковалевской. Для задач (1) и (2) подобные представления не применялись, так как соответствую.

2 -ЬА щие ряды для (Р ±А) ив расходятся. В диссертации, вместо использования разложений в ряды, для построения^ использованы методы теории весовых приближений функций многочленами на полупрямой. (См. Г1−3] .) Представления вида (6) решений задачи (1) были получены автором в работах [4−8], а задач (2) и (3) в работах [9], [10] (в [4−7] вместо методов теории приближений использовались методы теории функций комплексной переменной).

Покажем теперь, каким образом задачи получения формул вида (6) связаны с задачей весового приближения функций на полупрямой. Отметим, что поскольку дифференциальный оператор, А неограйичен, то его спектр является неограниченным подмножеством полуоси I. Для приближения операторад (А) требуется приблизить функцию ^ (Л) полиномами на)&-+.

Очевидно, что это невозможно сделать в равномерной метрике хотя бы потому, что при Л-^оо, а функции в (5) ограничены. Поэтому вместо оценок вида (7) мы будем применять оценку.

11у (А)*-Рп (А)Ы?у> ^щНАей'ЦИ. сю).

Возможность применять оценку (10) для доказательства (б) основана на том, что если, А определяется (8) и, то при некотором Я>0.

IIА ей I? {А ?11 ^ М^оо (11).

Этот факт можно легко вывести из теоремы Коши — Ковалевской для задачи.

9*utt) = Autt), U (о) =, и '(о) — О, (12) решение которой дается формулой Ы = с/йЛГ)/. Исследование (12) позволяет получить оценку снизу для числа R в формуле (11), так как если решение (12) аналитично not и X на Т при Щ t0, то можно в (11) взять R~-t0 •.

Таким образом, доказательство (6) сведется в силу (10) к построению таких полиномов Рп (А), что.

PЬц1(ллсЬШ)=му аз) при п-*оо, то есть к приближению fiCa) полиномами (Л) на полупрямой 1(4+ с весом Существование таких полиномов доказано С. Н. Бернштейном (см. Г1]). В первой главе диссертации произведено явное построение полиномов Pn? (.Я), и получены оценки скорости стремления к нулю в (13). Основную роль в построении (Л) играет полином Тп+(ъяЛ), I-Wfcr, который мы, следуя методам, изложенным в Г1], определяем формулой.

T"VA)=?en (1-^f (i = fT). да).

Этот полином является, с точностью до постоянного множителя, четным полиномом степени Z п, наименее уклоняющимся от нуля на полупрямой IR+ с весом.

Полином О.(А) — это произведение первых д сомножителей разложения в бесконечное произведение функции. Полином Т^С^Л) имеет п различных положительных корнейЛ^,., Лп. Возьмем в качестве полиномов Рп1 (Л) интерполяционные полиномы! агранжа с узлами интерполяции функций 6¹, определяемых (5). Таким образом, полиномы Р^ построены в явном виде. Главную роль играет оценка сверху величины (Р^, (Ц, 1, Л Р VТ) из формулы (13). Такие оценки проведены в первой главе диссертации. Из полученных там оценок и из (10) следует следущая теорема:

Теорема 1. Пусть выполнено условие (1 1), Ыо,^,^{-решения} задач (1), (2), (3) соответственно, Рп1(Л) интерполяционные полиномы, соответствующие функциям ^¿-(Я) из (5). Тогда.

15).

1е).

11М2-Рм2(Л)/1кС2.

17) где, С^С^Сг,^ и не зависят от п, в (16) и (17) и^Ы^а), ± - фиксировано.

Таким образом построены представления решений задач (1), (2), (3) в полиномиальной форме (6) и дана оценка скорости сходимости в (6).

Отметим, что в случае, когда коэффициенты оператора, А и/ элементарные функции, вычисление ^(А)^ сведется к дифференцированию, умножению и сложению элементарных функций. Особенно простым является вычисление Р^ (А) % тогда, когда коэффициенты оператора Л, определяемого (8), и функция / -тригонометрические многочлены. Пусть максимальная степень этих многочленов равна су Тогда, очевидно, является многочленом степени не внше, чем (П + ^С^, и формулы (15), (16) и (17) дают оценку скорости приближения функций Ь/о, и многочленами в (Тт) .

К С. Н. Бернштейну восходят обратные теоремы приближения функций, позволяющие по скорости приближения полиномами судить о гладкости функций. В рассматриваемом нами случае естественно применить оценки (15), (16) и (17) для оценки гладкости реI шений рассматриваемых задач. Используя известные результаты теории приближений функций многих переменных (см.ГШ), получаем в качестве следствия из оценок (15), (16) и (17) следующую теорему:

Теорема 2. Если оператор, А определяется (8), где все коэффициенты — тригонометрические многочлены, как и функция? , и выполнено (И), то.

1) Ыо — решение (1)-принадлежит пространству Соболева.

V Л «гДе — максимум тех? , при которых справедливо (11);

2) Ы-1 а) — решение (2) — принадлежит при любом ±>0.

3решение (3) — аналитично на Т при всех Утверждения теоремы 2 были получены автором в работах.

Г9),[10],[73].

В теореме 2 оператор, А — не обязательно скалярный, то еотъ Оц в (8) — матрицы, как всегда предполагается выполненным условие (4). Теорема 2 допускает различные обобщения (см. главу 2).

Важно отметить, что оценки гладкости, данные в теореме 2, — точные. А именно, имеется пример уравнения (1) из рассматриваемого в теореме 2 класса, решение которого Шо не принадлежит ХЛЛ (Тп°)при Л-^р?^ (см. § 7 гл. 2). Имеется также.

— Гж пример задачи (2), решение которой, бесконечно гладкое на / при, не аналитично на Тт по х ни при каком ±>0 .

Более того, оценка роста производных по ос этого решения, данная в пункте 2 теоремы 2, не может быть существенно улучшена (см. § 9 гл. 2 и приложение).

Вопросу о гладкости решений дифференциальных уравнений посвящено огромное количество работ. Здесь будут упомянуты лишь наиболее близкие к полученным в теореме 2 результатам.

Неэллиптические стационарные уравнения вида (1), где оператор, А имеет вид (8) или более общий вид, изучались во многих работах (см.Г12] ,[13] ,[42] и приведенную там литературу)* Большое количество работ посвящено изучению условий на структуру оператора, А, гарантирующих бесконечную гладкость решения. В ряде работ (см. 12], Г14], Г15]) на структуру оператора, А накладывалось, как и в теореме 2, лишь условие (9).

В Г14] ,[12] в скалярном случае указаны условия на оператор, А, 2 гарантирующие принадлежность Ы0 к С если р в (1) достаточно велико, и позволяющие оценить I в зависимости от Р. Эти условия сформулированы в совершенно других терминах, чем условия теоремы 2. Есть примеры, когда пункт 1 теоремы 2 дает более точные оценки гладкости. Случай систем вида (1) рассмотрен в [15], где доказано, что Ы0еА4Л при^-«оо, но нет оценок, А в зависимости от р

Принадлежность решения задачи Коши (2) в скалярном случае к С°° доказана в [14], где, в отличие от п. 2 теоремы 2, не оценена скорость роста производных.

Аналитичность решения (3) следует в скалярном случае из результатов Г16], [17] (не охватывающих случай систем).

Условие (И) теоремы 2 означает, грубо говоря, что.

АкЛиСЙ'2К (2К)! (18).

В значительном числе работ (см. [18 — 211) при различных условиях на структуру оператора, А доказаны теоремы о том, что наличие оценки вида (18) эквивалентно аналитичности % (а следовательно и, А V, так как АКА? = Эти теоремы применялись и для изучения свойств решений задач вида (2) и (3) (см. Г20]). Теорема 2 показывает, что использование полиномиальных представлений (6) позволяет выводить из (18) нетривиальные оценки гладкости решений и в случае, когда оператор, А вырождается произвольным образом, подчиненным лишь условию (4).

В отличие от методов работ [12 — 21, 42] в теореме 2 утверждения о гладкости выведены путем исследования формулы (6), дающей представление решений. (1), (2), (3) в явном виде. Факт различной гладкости Ыо, и допускает при помощи теорем 1 и 2 простое объяснение. А именно, функции (Р*+Я)" '[в IX имеют различную регулярность в €. Большей регулярности соответствует большая скорость приближения полиномами и, как следствие, более высокая гладкость решения.

Когда коэффициенты оператора, А и функция / - полиномы, вычисление Рп (А)£ особенно просто и сводится к чисто алгебраическим операциям и легко реализуется на ЭВМ. Это позволяет использовать формулы (6) для численного решения задач (1), (2) или (3). При решении стационарных уравнений вида (1) скорость сходимости приближений к точному решению, как видно из (15), степенная с показателем степени, сильно зависящим от числа. Число? в свою очередь сильно зависит от аналитических свойств коэффициентов оператора, А. Сравнение числа арифметических действий, нужных для вычисления и0 с заданной точностью с применением разностных методов и с применением (6) показывает, что при малых разностные методы эффективнее (в тех случаях, когда они могут быть применены, то есть в случае гладких решенийподчеркнем, что мы не требуем аналитичности решений, а требуем лишь аналитичность правых частей уравненияпоэтому в неэллиптическом случае решения могут быть негладкими). При больших применение формул типа (6) для решения указанных уравнений оказывается эффективнее. Подробности см. § 11 главы 2, а также Г46], где указаны также примеры уравнений с большим значением).

При решении нестационарных уравнений по формуле (6) скорость сходимости приближений к решению, в силу формул (16) и (17) выше, чем степенная. Показатели^ и в (16) и (17) зависят от 1 Й, Если к не слишком велико по сравнению с Я., то и не малы и скорость сходимости высокая. Поэтому применение формулы (6) может оказаться полезным для численного решения нестационарных уравнений (см. § И гл. 2).

Изучению полиномиальных представлений вида (6) решений линейных самосопряженных уравнений с аналитическими коэффициентами посвящены первые две главы диссертации. В последующих главах исследуется вопрос о том, насколько существенны условия аналитичности, самосопряженности и линейности.

В третьей главе изучается вопрос о том, насколько можно ослабить условие аналитичности. Рассматривается скалярное уравнение вида (1), где, А — оператор вида (8) с коэффициентами из класса бесконечно дифференцируемых функций С (И (К)). Напомним, что если М (к), к-0,1,. — заданная положительная последовательность, то С (М (К)) — это множество таких.

— г т бесконечно гладких функций на I, что для каждой из них найдутся такие константы С и X, что лир лсор ?^?(х)1 $сг'ШМ (к) УК&euro-1+.(18) кик хет^.

На последовательность М (к) наложено условие регулярности роста:

М (К) М (Л) < г М (КЧ-Л) К! Л! (к+А)! гарантирующее замкнутость С (ММ) относительно умножения функций. Через Е (М (Ю) обозначен класс эллиптических уравнений вида (1): Аи0, где Р>0, оператор, А определяется формулой (8), где ац С С (М (к))}^сС (ММ).

Изучается следующий вопрос: для каких классов С (М (К)) решение любого уравнения из Е (М (к)) представимо формулой вида (6). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, являющаяся основным результатом главы 3:

Теорема 3. Решение любого уравнения из Е (МШ представимо в виде (6) в том и только том случае, когдаС (М (Ю)~ квазианалитический класс функций.

Теорема S доказана в работе автора Г 22]. Необходимость условия квазианалитичности легко увидеть из следующих соображений. Выражение решения 1Л№)по формуле (6) локально, то есть правая часть (6) при х лежащих в некоторой окрестности Ш точки х0, в силу локальности дифференциального оператора, А, не зависит от значений f (oc) для xicu. Не-квазианалитический класс ССНСк)) содержит финитные функции. Поэтому в неквазианалитическом случае удается изменить функцию fe) вне UO, не изменяя ее в СЮ. Вместе с тем значения U (ос) t ре шения уравнения A в а) У зависят от поведения i (ос) не.

— r-m только в сю, но и в I, а это противоречит локальности формулы (6).

Доказательство достаточности более сложно и основано на глубоких результатах теории весовых приближений полинонами на прямой (cm.II-8], [23]) и теории квазианаяитических функций (см. [23]).

В четвертой главе рассмотрены несамосопряженные системы первого порядка на торе I вида по Т’ajdju + a0u =? , (го) где C/j, j — кг? — эрмитовы матрицы размера эехэе с элементами из Ot (T^), вектор / принадлежит (Ot (Т" «))^, эе. Предполагается, что оператор A i обратим и обратный оператор ограничен: ilAjVll^ClluH, С>0. (21).

Изучается вопрос о возможности представления решения этого уравнения в виде (6). Обратимости Ai для этого недостаточ.

I ^ но, например, в случае уравнения е и = 1, являющегося простейшим примером уравнения (20), где rn=i, ае-1, ctj=0 C?*o)t i-* x.

00 = e. Справедливость формулы (6) означает в этом случае возможность приблизить u (x.)~e~LX i ОС. я полиномами от е = /и «а это невозможно, так как гг. f. .

J eLXPn (eLX)cfx=o) JeLXe’LXcfx=2^.

О С.

Этот пример показывает, что на оператор А^ требуется наложить дополнительные условия. Как известно, спектр оператора Ал, определяемого формулой (20) на гладких функциях в пространстве Соболева, лежит в полосе и согласно предположению спектр не содержит нуль.

Теорема 4. Если спектр, А не окружает нуль, то решение уравнения (20) представимо в виде (6).

Приведенный выше пример показывает, что условие на спектр нельзя отбросить). Отметим, что доказательство теоремы 4 проводится в два этапа. Сначала задача выражения И=А1 ^ по формуле (6) сводится к задаче приближения функции Л в.

А ~кШЯ окрестности спектра оператора н многочленами с весом е Затем эта задача в неограниченной области сводится к задаче равномерного приближения функций полиномами на компакте, после чего используется теорема Мергеляна.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [6,7]. В пятой главе рассмотрены нелинейные эллиптические дифференциальные уравнения на торе вида.

F (и) = *.

Мы будем понимать формулу (6) в ослабленной форме. А именно, если полиномы Pn (F) в формуле (6) записываются в виде (22) И * > a (j — функционал (нелинейный) на банаховом пространстве Е в котором действует оператор Р, то положим и будем называть уравнение (21) полиномиально разрешимым на множестве Ус Е, если V найдется такая последовательность полиномов ^(Р), что для полной системы функционалов.

24).

Множество {$?-1 функционалов называется полным на V, если для любых уг? V, Щ 4- 1Гг, найдется такой функционал из этого множества, что Ф (^¿-(Т/^)). Очевидно, что в случае, когда оператор р-А — линейный и формула (24) является непосредственным следствием формулы (6). Заметим, что формула (24) позволяет выразить значение функционала на неизвестной функции через известные, легко вычисляемые величины.

М), —,. (25).

Заметим, что переход от вычисления решения к вычислению некоторых функционалов на решении широко применяется в нелинейном анализе. Обычно отыскиваются такие функционалы, значение которых на неизвестном решении просто определить по известным данным. Примером являются интегралы (Ц>(и) нелинейных нестационарных уравнений, которые постоянны на зависящем от{ решении этого уравнения и тем самым позволяют по известной величине (?(и (о)) на начальном значении Ы (О) найти значение С^Ш Ш) этого интеграла — функционала С^ - на неизвестном решении и (1) при любом? .

Мы рассматриваем стационарный случай, и вначале также рассмотрим случай такого выбора (fy, когда по (25) наиболее легко найти. В линейном случае это легче всего сделать когда линейный функционал Cf< - собственный функционал линейного оператора F*, сопряженного к F, то есть F уЯCj> или, что эквивалентно у (Ff) VtcSHF). (26).

В этом случае последовательность (25) примет вид: y (f), if ({),.,. — (zv) очевидно, что • (28).

Г *.

— линейный дифференциальный оператор на торе, то Fтакже линейный дифференциальный оператор и задача о существовании полной системы собственных векторов оператора F*- это классическая задача спектральной теории линейных дифференциальных уравнений.

В главе 5 доказана теорема существования полной системы функционалов оператора F *, сопряженного к нелинейному дифференциальному оператору вида.

FW = dj (aj (djU))+Clo (U)], (29) где ty>0 — число, 61 j f ГШ — вещественные аналитические функции,.

Cl)'(v)bC>0 uj (0)^0 .

Теорема 5. Пусть p>m, оператор F определен на вещественном пространстве Соболева RzWfi (Тт) формулой (29), где — достаточно велико. Тогда на U/p™ определен полный набор нелинейных аналитических на.

Rg Wp (Т фу нк ци она л ов, собственных для оператора F* (т.е. удовлетворяющих (26).

Для построения [.

30) где L — дифференциал оператора F в нуле (нуль — неподвижная точка F), т. е. проведена замена переменных в банаховом пространстве, после которой нелинейный оператор F превратился в линейный оператор L. Задача линеаризации в конечномерном случае глубоко исследована (см. С24], [25]). В бесконечномерном случае ранее рассматривались лишь ограниченные аналитические операторы F (см. Г26], [27]). Линеаризация операторов сдвига (ограниченных), порожденных нестационарными уравнениями, осуществлялась в работах Г28 — 30]. При решении задачи линеаризации, особенно когда отображение, А порождено динамической системой, часто возникают трудности, связанные с «малыми знаменателями» (см. [25], [37]). При линеаризации оператора (29) малых знаменателей удается избежать за счет выбора достаточно большого ty. Основные трудности при линеаризации дифференциальных операторов и, в частности, оператора (29), связаны с тем, что дифференциальные операторы не переводят пространства Соболева в себя и их нельзя рассматриI вать как ограниченные аналитические операторы, действующие внутри пространств Соболева. Линеаризация оператора F, определяемого (29), а также некоторых других дифференциальных операторов, проведена в работах автора Г31 ], [32].

Заметим теперь, что нахождение собственных функционалов г*.

Ь в явном виде представляет из себя весьма сложную задачу как в линейном, так и в нелинейном случае. Поэтому естественно пытаться получить выражение ^ ГР V) через (25) для классов функционалов ^ более широких, чем класс собственных функционалов оператора Р. В линейном случае это удалось сделать при помощи формулы (6) для. любого, без ограниI ч (c)ния, линейного непрерывного функционала. При этом дополнительные ограничения на / свелись к сравнительно малоограничительному требованию аналитичности 4.

В нелинейном случае уравнений типа (29), где все функции оу — целые, также удалось ослабить условия на ^ и получить формулы вида (24) для более широкого, чем собственные, класса функционалов. Условия на / и ^ имеют вид.

Щ> 1а (Рк+^))и ск2К (2К)!, к*, (31).

III 6 комплексные степени нелинейного оператора Р, коэффициенты которого — целые функции построены в главе 5 при помощи формулы (30)). Условие (31) в линейном самосопряженном случае аналогично условию /? (к'^Т)) при некотором '. Однако в линейном случае условие (31) легко проверяется, а в нелинейном случае явно указать / и, для которых справедлива оценка (31), не намного легче, чем найти собственный для Р* функционал^. Некоторые примеры, а также результаты, позволяющие ослабить требование (31), приведены в заключительных параграфах главы 5. Отметим, что выражение ^(Р'1^) через (25) при условии (31) получено как решение задачи экстраполяции целой функции ^(Р2^) с целых неотрицательных чисел 2 = К= О, и — • • на число — 1. Решение этой экстрапо-ляционной задачи основано на результатах первой главы. Результаты главы 5 получены автором в работе Г31] .

Нумерация формул и утверждений в каждой главе независима. При ссылке на формулу или утверждение из другой главы указывается эта глава. Обозначения в каждой главе в основном независимые, но одинаковые объекты по возможности обозначаются одинаково.

1. Бернштейн С-.Н. Экстремальные свойства полиномов. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.

2. Ахиезер Н. И. О взвешенном приближении непрерывных функций на всей числовой оси. Успехи матем. наук, 1956, т. 11, В 4, с. 3−43.

3. Мергелян С-Н. Весовые приближения многочленами. Успехи матем. наук, 1956, т. И, 5, с.107−152.

4. Бабин A.B. Формула, выражающая решение дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами на многообразии без края через данные задачи. Матем.сб., 1976, т.101(143), № 4, с.610−638.л -1.

5. Бабин A.B. Выражение А^ через итерации оператора, А, действующего в банаховом пространстве. Функц. анализ, 1978, т.12, вып.4, с. 77−78.

6. Бабин A.B. О выражении решения уравнения Аы = Ь через итерации неограниченного оператора, А и весовом приближении функций. Успехи матем. наук, 1979, т.34, вып. З, с. 189.

7. Бабин A.B. Решение задачи Коши при помощи весовых приближений экспонент многочленами. Функц. анализ, 1983, т.17, вып.4, с. 75−76.

8. Бабин А. В. Представление решений дифференциальных уравнений в полиномиальной форме. Успехи мат ем. наук, 19 83, т.38, гё 2, с. 228−229.

9. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

10. Олейник О .А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки, Математический анализ, 1969, М.- 1971.

11. Егоров Ю. В. Субэллиптические операторы. Успехи матем. наук, 1975, т. 30, Л? 3, с. 57−104.

12. Олейник О. А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. ДАН СССР, 1965, т. 163, № 3, с. 577−580.

13. Кон Дж. Дж., Ниренберг Л, Некоэрцитивные краевые задачи. -В сб. «Псевдодифференциальные операторы» .- М.: Мир, 1967, с. 88−165.

14. Хюпб, J.X. ei ТПсиршС. ЁъМтл awx, umlteA поп ксгпгсп^гш, t. 3. Валил:68.21. enzotcmck Ж 1, Шшж fy, dnalytu: ytciaiA oj bjf^reMLpiuc upjmittyiA of pxincipa/ CLmm. J TYlcM ¦, 4982, V. 104, Л£ 2, р. Ш-319.

15. Бабин A.B. 0 полиномиальной разрешимости дифференциальных уравнений с коэффициентами из классов бесконечно дифференцируемых функций. Матем. заметки, 1983, т. 34, $ 2, с. 249−260.

16. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применение. М.: И I, 1955.

17. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. >

18. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

19. ЮЬм ?-, SUipAwte склъш^оПа1 гге/глшьА crfЬию ikwurriA ojjСол! Ztiyd. ?^M. Отш. Пай. #76, ?/3−6/5.27. 5majjc&i VJ., (Injcdc^ic So&LticmA of ^^скплЛлwaJlcrn, QuM. ШМ. Зг&гсел, v. гб, 3-V, р. M9−153.

20. Николенко H.B. Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера. ДАН СССР, 1976, т. 227, $ 4, с.235−238.

21. Седенко В. И. 0 нормальной форме нелинейных уравнений в частных производных на вещественной оси. Матем. сб., 1978, т.105(147), с. 121−127.

22. Николенко H.B. О приводимости нелинейных эволюционных уравнений к линейной нормальной форме. ДАН СССР, 1982, т. 268, 13, с. 545−547.

23. Бабин A.B. Дробные степени нелинейного аналитического дифференциального оператора. Матем. сб., 1979, т.109(151), Л 1, с. 12−45.

24. Бабин A.B. Аналитическая линеаризация и комплексные степени нелинейного дифференциального оператора. Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 3, с. 61−62.

25. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.- М.: Наука, 1965.

26. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. М.: Наука, 1967.

27. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967.

28. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. М.: Наука, 1S69.

29. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. Успехи матем. наук, 1968, т. 23, J§ 4, с. 179−238.

30. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.-Л.: Гостехиздат, 1956.

31. Данфорд Н. и Шварц Дж. Т. Линейные операторы, т. 2, Спектральная теория. М.: Мир, 1966.40. йосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

32. Ерейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

33. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

34. Вишик М.й. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Матем. сб., 1954, т. 35(77), с. 513−568.

35. Адамар Я. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

36. Бони Н. М., Шапира П. Существование и продолжение решений уравнений с частными производными.- Сб. переводов Математика, 1973, т. 17:1, с. 162−171.

37. Бабин A.B. Итерационный метод, применяемый непосредственно к дифференциальным уравнениям. I. Выч. матем. и мат. физики, 1983, т. 23, Л 4, с. 771−784.

38. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

39. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

40. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

41. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

42. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.51Берс I., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

43. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: И1, 1957.

44. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

45. Данфорд Н. и Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. -М.: ИЛ, 1962.

46. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т. 2. -М.: Наука, 1968.

47. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир, 1970.

48. Сили Р. Т. Степени эллиптического оператора. Сб. перев. Математика, 1968, т. 12, & 1, с. 96−112.

49. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

50. Псевдодифференциальные операторы. (Сб.статей). М.: Мир, 1967.

51. ШО1ЬоуШ Р., cfxal^m^JKULA З’еяЖъа-?хоШш. Oda, mcdbi95fp у, дз, ЫвЗ-Ч?р. W-ZS5.

52. Хрыптун В. Г. Классы функций, квазианалитические относительно линейного гиперболического оператора второго порядка. Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т. 34, Ж 5, с.1127−1141.

53. Чернявский А. Г. Об операторной квазианалитичности для функций нескольких переменных. ДАН СССР, 1979, т. 244, Ш 2, с. 296−299.

54. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.

55. Солонников В. А. Об оценках в Lp решений эллиптических и параболических систем. Труды Матем. ин-та им. В.А.Стекло-ва АН СССР, 1966, т. 102, с.137−159.

56. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

57. Вишик М. Й., Фурсиков A.B. Некоторые вопросы теории нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Матем. сб., 1974, т. 94(136), с. 300−334.

58. Скрыпник И. В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. Итоги науки и техники, серия «Современные проблемы математики», т. 9, М.: ВИНИТИ, 1976.

59. Бабин A.B. Построение и исследование решений дифференциальных уравнений методами теории приближения функций. -Матем. сб., 1984, т. 123, ." 2, с. 147−173.*.