Топологические характеристики случайных алгебраических поверхностей

0.0. Предмет работы.

Топология вещественных алгебраических многообразий — один из основных разделов вещественной алгебраической геометрии. Ею занимались многие известные математики, среди них — Клейн, Гильберт, И. Г. Петровский, А. О. Олейник, Р. Том, В. А. Рохлин, В. И. Арнольд, Д. А. Гудков, О. Я. Виро, В. В. Никулин, В. М. Харламов и другие. Круг возникающих здесь вопросов весьма широк ([6], [28], [2], [4], [17]). Это и топологические характеристики вещественных алгебраических многообразий, и возможное расположение их в (аффинном или проективном) пространстве (классическая шестнадцатая проблема Гильберта), и проблема жесткой изотопности, и вопросы, касающиеся «средних значений» топологических характеристик алгебраических многообразий.

В шестнадцатой проблеме Гильберта особо выделены поверхности степени 4 — квартики. Окончательно жесткая изотопическая классификация квартик была получена Никулиным и Харламовым в [14], [16], [25]. Для этого потребовалось доказать незеркальность некоторых квартик, что потребовало применения весьма нетривиальной техники, включая глобальную теорему Торелли и теорему об эпи-морфности отображения периодов. Для части этих квартик Харламовым были предложены элементарные доказательства, использу2 ющие аналогию между поверхностями и конфигурациями точек и прямых в пространстве. Виро в [3] предложил изучать такие конфигурации сами по себе. В настоящий момент теория подобных конфигураций (в том числе старших размерностей) представляет собой самостоятельный быстро развивающийся раздел вещественной алгебраической геометрии (см. [5], [23], [11], [27], [26], [21], [22]).

С другой стороны, особенно в последнее время, внимание привлекают вопросы, касающиеся «средних значений» топологических характеристик алгебраических многообразий. Один из первых результатов в этом направлении был получен М. Кацем, который нашел математическое ожидание числа корней вещественного многочлена с независимыми стандартными нормальными коэффициентами ([24], см. также [10]). В работах И. А. Ибрагимова и Н. Б. Масловой [7], [8], [9], [12], [13] изучалось распределение числа корней многочлена большой степени с независимыми одинаково распределенными коэффициентами. Также изучалось распределение значений корней случайного многочлена ([18]). В дальнейшем Ибрагимов оценил математическое ожидание числа компонент случайной вещественной гиперповерхности ([III]).

Предлагаемая диссертация посвящена именно этим вопросам. Виро и Ю. В. Дроботухина поставили вопрос о том, сколько точек и прямых может быть в зеркальной конфигурации. Частичные результаты в этом направлении были получены самим Виро и А. Боробиа. 3.

В диссертации дается полный ответ на этот вопрос (теорема 0.1.1 и комментарий к ней).

На основе полученных результатов дается элементарное доказательство результата Харламова о незеркальности нестягивающихся квартик (теорема 0.1.3).

В главе 2 изучаются случайные многообразия. Главный результат здесь — вычисление математического ожидания эйлеровой характеристики гиперповерхности пространства КР^, определяемой случайным многочленом степени т, имеющим нормальное распределение со средним 0, инвариантное относительно действия ортогональной группы 0(с?+ 1) (теорема 0.2.5).

Структура диссертации.

Основные результаты и комментарии приводятся в параграфах 0.1 и 0.2, доказательства — в главах 1 и 2, соответственно.

0.1. Конфигурации точек и прямых. Поверхности степени 4.

Конфигурации точек и прямых.

Виро в [3] рассматривал конфигурации точек и конфигурации прямых в пространстве КР3 и ввел понятие зеркальности таких конфигураций. Виро и Дроботухина в [5] предложили рассматривать смешанные конфигурации точек и прямых.

Пусть ЕС?! обозначает пространство прямых в пространстве КР3. 4.

Определение. Конфигурацией т точек и п прямых называется набор

Р15 • • • > Рт, ,. .. , 1п), р{ е МР3, Ц е. Конфигурация называется неособой, если выполнены следующие условия: ее точки попарно различныникакие три ее точки не лежат на одной прямойникакие четыре ее точки не лежат в одной плоскостиникакие две ее прямые не пересекаютсяникакая ее точка не лежит ни на какой ее прямойникакие две ее точки не лежат в одной плоскости ни с какой ее прямой.

Определение. Жесткой изотопией т точек и п прямых называется такой набор (Рь ., Рт, ., Ьп) путей Р: [0,1] -)¦ ЖР3, Ьу: [0,1] —>•, что при каждом Ь? [0,1] конфигурация.

Рг (г),., Рт (?), ?1 (г),., Ьп (г)) неособа.

Фиксируем зеркальную симметрию в: ЕР3 —> ЖР3. Пусть г: Ж (?3 —> Ж (73 — инволюция, индуцированная симметрией в .

Определение. Неособая конфигурация (рх,. ., 1п) называется зеркальной, если существуют такие жесткая изотопия (Рь., Рт, 1/1,., Ьп) и перестановки /: {1,., т} ->> {1,., га}, д: {1,., п} {1,., п}, что Р<(0) = з (р{), 1^(0) — г (1,) и Рг{ 1) = Pf{i) > = 1д{з) •.

В диссертации доказывается следующая теорема. Она обобщает результаты Виро о конфигурациях точек и конфигурациях прямых.

0.1.1. Теорема. Зеркальные конфигурации из т точек и п прямых существуют, если и только если либо т < 4, п ее 0 или 1 (mod 4), либо т = 0 или 1 (mod 8), п = 0 (mod 2) .

Виро и Дроботухина в [5] определили также зеркальность конфигурации точек и прямых в пространстве R3. Для таких конфигураций утверждение теоремы остается справедливым, и это следует из ее доказательства. Это дополняет результаты Боробиа о таких конфигурациях ([19], [20]).

Доказательство запретов на возможное число точек и прямых зеркальной конфигурации использует введенное Виро понятие коэффициента зацепления тройки прямых и следующее предложение.

0.1.2. Предложение. Пусть даны неособая конфигурация точек (pi,., рт) и такие жесткая изотопия (Pi,., Рто) и перестановка /: {1,., т} ->• {1,., га}, что Р"(0) = s (pi) и Р*(1) = • Тогда если т ^ б, то все циклы перестановки f имеют длины d = 4 (mod 8), кроме, возможно, одного цикла длины d = 1 .

Замечание. Я не знаю примеров того, чтобы перестановка / имела цикл длины d > 4 .

Поверхности степени 4.

Определение. Семейство У (£) с ЕР3, ? е [0,1], неособых поверхностей степени т называется жесткой изотопией степени т, если существует такая изотопия Н{{): ЕР3 ЕР3, ? е [0,1], что я (0) — 1с1 и я (*)(У (о)) = у (г), г е [о, 1].

Напомним, что фиксирована зеркальная симметрия й .

Определение. Неособая поверхность X С ЕР3 степени т называется зеркальной, если существует такая жесткая изотопия У (£) с ЕР3, Ь Е [0,1], степени т, что У (0) = в (Х) и У (1) = X .

Харламов в [16], [25] завершил жесткоизотопическую классификацию поверхностей степени 4. В частности, он нашел ряд запретов на изотопический тип зеркальной поверхности. Для некоторых из них он дал элементарное доказательство, и он предложил найти такое доказательство для остальных.

Определение. Поверхность X С ЕР3 будем называть нестягива-ющейся, если она не стягивается по пространству ЕР3 в точку.

В диссертации дается элементарное доказательство следующего утверждения.

0.1.3. Теорема (Харламов). Неособая поверхность степени 4, нестягивающаяся и имеющая М ^ 5 компонент, незеркальна. 7.

Харламов нашел аналогию между такими поверхностями и конфигурациями т = М — 1 точек и одной прямой и дал элементарное доказательство для случаев М — 5, б, 7,8. Приводимое доказательство охватывает оставшиеся случаи М = 9,10 (не используя результат Харламова о том, что М ^ 10 ([15])). Оно использует конструкцию и рассуждение Харламова и для М — 5,6 повторяет его доказательство, а для М ^ 7 опирается на предложение 0.1.2.

0.2. Случайные алгебраические гиперповерхности.

Когда X — случайный элемент, принимающий значения в измеримом пространстве ф, будем использовать запись X? .

Пусть ит (Мй+1) — векторное пространство однородных многочленов степени т на пространстве. На пространстве^т (Жсг+1) очевидным образом действует ортогональная группа 0(с? + 1) .

Координаты точки х Е будем обозначать хо,. ¦ Пусть = {ж? Е¹ | х = 1} — единичная сфера. Пусть х° = (1, 0,., 0) 6Е б'6* — отмеченная точка.

Определение. Случайный многочлен Р е НТП (М.<1+1) будем называть благородным, если он имеет нетривиальное нормальное распределение со средним 0, инвариантное относительно действия группы.

0(с1 + 1), при этом параметром случайного многочлена .Р будем 8 называть число.

Г 'EF (x0)2 '.

0.2.1. Утверждение. Значения параметров благородных случайных многочленов F Е Hm (M, d+1) заполняют отрезок.

1- (-l)m m (m + d- 1).

2 d '.

0.2.2. Пример. Определим случайный многочлен F? Нт (Rd+1) формулой ^ ^ -^то.-.т^о ° • ' ' Xd d 1 Ж G R, т-оН——-b md=m гдеFmo.m.

Т-, 2 m°-md = m0!.md!" Тогда случайный многочлен F благороден, его параметр г — т.

0.2.3. Пример. Введем в пространстве Hm (Kd+1) скалярное произведение.

Л, /2)= f h (x)f2(x)dx. Jx? Sd 9.

Пусть F ё ffm (Rd+1) — такой нормальный случайный многочлен, что.

E ((f1,F)(f2,F)) = (Д,/2), /ь/2 G.

Тогда случайный многочлен F благороден, его параметр г = т (т + df 1) d + 2.

Определение. Многочлен /? Нт (Ша+1) будем называть регулярным., если не существует таких точек х е Жсг+1 0, что одновременно нулей. Если многочлен / регулярен, то множество V/ есть гладкая гиперповерхность.

0.2.4. Утверждение. Благородный случайный многочлен почти наверное регулярен.

В диссертации получен следующий результат.

Для d = 1 (mod 2) определим многочлен Id и функцию М^ на полуоси формулами.

0*0 = 0 и grad/(z) = 0.

Для многочлена / G Hm (M.d+1) пусть Vf С KPd — множество его о 1 s е м,.

0.2.5. Теорема. Пусть d= 1 (mod 2). Пусть F G Ягп (Мо!+1) — благородный случайный многочлен с параметром г. Тогда.

Е x (VF) = Md®.

1. Конфигурации точек и прямых.

1. В. И. Арнольд, Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского — Олейник и смешанные структуры Ходжа, Функцион. анализ и его приложения 12 (1978), № 1, 1 — 14.

2. О. Я. Виро, Успехи последних 5 лет в топологии вещественных алгебраических многообразий, Proc. Intern. Congr. Math., Warszawa, 1983, vol. 1, 595−611.

3. О. Я. Виро, Топологические задачи о прямых и точках трехмерного пространства, Доклады Академии наук СССР 284 (1985), № 5, 1049 — 1052.

4. О. Я. Виро, Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние 6 лет, Успехи мат. наук 41 (1986), № 3, 4567.

5. О. Я. Виро, Ю. В. Дроботухина, Конфигурации скрещивающихся прямых, Алгебра и анализ 1 (1989), № 4, 222 — 246.

6. Д. А. Гудков, Топология вещественных проективных алгебраических многообразий, Успехи мат. наук 29 (1974), № 4, 3 — 79.

7. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. I. Коэффициенты с нулевым средним, Теория вероятностей и ее применения 16 (1971), № 2, 229 — 248.

8. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. II. Коэффициенты с ненулевым средним, Теория вероятностей и ее применения 16 (1971), № 3, 495 — 503.

9. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, Среднее число вещественных корней случайных полиномов, Доклады АН СССР 199 (1971), № 1, 1316.

10. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, М., Мир, 1965.

11. В. Ф. Мазуровский, Многочлены Кауффмана неособых конфи42гураций проективных прямых, Успехи мат. наук 44 (1989), № 5, 173 — 174.

12. Н. Б. Маслова, О дисперсии числа вещественных корней случайных полиномов, Теория вероятностей и ее применения 19 (1974), № 1, 36 — 51.

13. Н. Б. Маслова, О распределении числа вещественных корней случайных полиномов, Теория вероятностей и ее применения 19 (1974), № 3, 488 — 500.

14. В. В. Никулин, Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения, Известия АН СССР. Сер. мат. 43 (1979), № 1, 111 — 177.

15. В. М. Харламов, Максимальное число компонент поверхности 4~й степени в МР3 — Функцион. анализ и его приложения 6 (1972), № 4, стр. 101.

16. В. М. Харламов, К классификации неособых поверхностей степени 4 в МР3 относительно жестких изотопии, Функцион. анализ и его приложения 18 (1984), № 1, 49 — 56.

17. В. М. Харламов, Топология действительных алгебраических многообразий, И. Г. Петровский, Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия, М., Наука, 1986, 465 — 493.

18. Д. И. Шпаро, М. Г. Шур, О распределении корней случайныхмногочленов, Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика, механика431 962), № 3, 40 — 43.

19. A. Borobia, Mirror property for nonsingular mixed configurations of one line and К points in R3, M. Coste, L. Mahe, M.-F. Roy (Eds.), Real Algebraic Geometry, Proceedings, Lecture Notes in Math. 1346 (1988), 349−356.

20. A. Borobia, Mirror property for nonsingular mixed configurations of lines and points in R3, Discrete Comput. Geom. 11 (1994), 311−320.

21. H. Crapo, R. Penne, Chirality and the isotopy classification of skew lines in projective three-space, Adv. Math. 103 (1994), 1−106.

22. F. Deloup, The monodromy group of a configuration of lines, Алгебра и анализ 8 (1996), № 6, 1 — 25.

23. S. M. Finashin, Configurations of seven points in MP3, О. Ya. Viro (Ed.), Topology and Geometry—Rohlin Seminar, Lecture Notes in Math. 1346 (1988), 501−526.

24. M. Kac, On the average number of real roots of a random polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 314−320.

25. V. M. Kharlamov, Non-amphicheiral surfaces of degree 4 in MP3, O. Ya. Viro (Ed.), Topology and Geometry—Rohlin Seminar, Lecture Notes in Math. 1346 (1988), 349−356.

26. V. F. Mazurovskii, Configurations of at most six (2n — 1) -dimensional subspaces of RP471″ 1, Adv. Sov. Math. 18 (1994), 209−222.

27. G. Wilson, Hilbert’s sixteenth problem, Topology 17 (1978), 53−73.Публикации по теме диссертации.