Метод редукции: инвариантные поляризации и би-пуассоновы структуры на пространствах инвариантных функций

Основным объектом исследования в работе являются комплексные (?-инвариантные поляризации Р на кокасательных расслоениях Т*(С/К) редуктивных однородных пространств С/К редуктивных групп Ли С и пуассоновы алгебры С-инвариантных функций на Т*(С/К). Среди поляризаций мы особо выделяем два типа:

1) положительно определенные поляризации, т. е. кэлеровы структуры;

2) поляризации, содержащие некоторую структуру Коши-Римана коразмерности два.

Основные применения в данной работе эти структуры имеют в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Основным методом, который используется в работе, есть метод редукции. С его помощью и ввиду инвариантности решение уравнений в частных производных, описывающих эти поляризации, сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и к решению задач теории полупростых групп и алгебр Ли. Развитые в работе методы применены также к описанию инвариантных гиперкэлеровых структур на областях касательных расслоений эрмитовых симметрических пространств.

Группы симметрии и их свойства лежат в основе и квантовой и классической механики. Метод редукции первоначально возник как метод классической механики, позволяющий свести исходную (гамильтонову) динамическую систему на фазовом пространстве (X, О,), при наличии у нее коммутирующего семейства интегралов, к системе с меньшим числом степеней свободы. Позже этот метод (гамильтоновой редукции) был обобщен В. И. Арнольдом, Дж. Марсденом и А. Вейнстейном (см. [Арн79] и [М¥-74]) на случай, когда динамическая система допускает и некоммутативную группу симметрий 5 (метод симплектической редукции). Было введено понятие отображения момента 3 X я* со значениями в дуальном пространстве алгебры Ли группы Ли 5. Основное свойство этого отображения, используемое нами, — это эквивариантность относительно действия группы Ли 5, приводящая к каноничности отображения момента Л как отображения пуассоновых многообразий. В данной работе мы остановимся на обобщениях метода симплектической редукции, связанных со структурами геометрического квантования (поляризациями и кэлеровыми структурами, линейными расслоениями со связностями и частичными плоскими связностями) и с би-пуассоновыми структурами. Метод редукции был применен к кэлеровым структурам на кокасательных расслоениях В. Гийемином и С. Стернбергом [0882] в связи с задачами геометрического квантования, потом обобщен на более широкие классы кэлеровых (комплексных) многообразий (см., например, П. Хайнцнер, А. Хаклберри и Ф. Лоос [ННХ94]). Метод редукции был применен в теории геометрического квантования и к вещественным поляризациям, к металинейным и к метаплектическим структурам, связанных с соответствующими расслоениями реперов М. Готе [Got86], А. Снятицким ршвО, БшвЗ], М. Путой [Р⁸⁴, Р⁹³], Дж. Раунсли и П. Робинсоном [Ш189]. Н. Хитчин и др. применили метод редукции к ги-перкэлеровым структурам [ЬШ87] (см. также Н. Хитчин [НШ)1], Р. Беляв-ски [В1е97, В1е99], С. Дональдсон [Боп88], О. Бикар [В1д96]) как в конечномерном так и в бесконечномерном случае. Эффективное применение отображения момента к действиям алгебраических групп на неприводимых алгебраических многообразиях было найдено Ф. Кирван [Клг84], а потом использовано и другими в этой же области: М. Брионом [Вп87Ь] для задач сферических (торических) вложений алгебраических многообразий, Ф. Кноппом [Кпо90] для введения понятия группы Вей ля действия алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X и эквивариантной теории компактификации X. Идеи этих алгебраических применений мы используем эффективно в четвертой главе диссертации.

Таким образом мы можем с уверенностью сказать, что метод редукции является одним из наиболее широко используемых методов построения геометрических и алгебраических структур, исходя из таких же структур на более простых многообразиях X. Факт усложнения описания этих структур на редуцированном многообразии J, ?i € s*, Sfj, С S неоспорим. Поэтому естественно описывать такие структуры не на редуцированном многообразии, а на многообразии С X, где их описание намного проще как из-за простоты геометрии пространства J-1(м) так и из-за простоты описания структуры на J-1(/i). Таким образом получается метод исследования, обратный методу редукции: исходя из изучаемых структур на многообразии J~l{fj)/S, j, как исходном многообразии, найти соответствующую группу симметрий S и многообразие X и изучать соответствующие S^-инвариантные структуры на многообразии J-1(/i).

Полезность метода (*) состоит еще и в том, что на многообразии J1(/i) зачастую существуют глобальные структуры, которые не проектируются на Jтак как не являютсяинвариантными, но могут быть использованы для исследования других, проектируемых структур. Этот метод мы повсюдно применяем в диссертационной работе. Он был хорошо известен и ранее. М. А. Ольшанецкий и A.M. Переломов [ОП76] с помощью этого метода в гамильтоновой механике исследовали динамику движения гамильтоновых систем, Д. Каждан, Б. Костант, С. Стернберг [KKS78] исследовали динамику движения частиц: на прямой — под действием обратного квадратного потенциала, на окружности 9.

— под действием потенциала sin .

В работе исследуются геометрические структуры, возникающие в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Наибольшее внимание уделяется исследованию и построению комплексных поляризаций, инвариантных относительно потока гамильтоновой динамической системы на фазовом пространстве (X, Q). С вычислительной точки зрения (для геометрического квантования) наиболее предпочтительным является случай, когда такая комплексная поляризация F оказывается положительно-определенной, т. е. определяет кэлерову структуру на (Х, 0.) с кэлеровой формой Тогда, в частности, Р Г Р = 0, т. е. .Р — комплексная структура на X. Очевидно, что если динамическая система допускает группу симметрий С, то естественно требовать такого же свойства инвариантности и от поляризации F. Существование таких кэлеро-вых поляризаций накладывает различные геометрические ограничения на характер движений динамической системы, так как соответствующий поток порождает однопараметрическую группу би-голоморфных преобразований, коммутирующую с С. Таковым является, например, нормализованный геодезический поток стандартной би-инвариантной метрики на компактных симметрических пространствах ранга одинвсе траектории этой динамической системы замкнуты и имеют постоянный период. Доказательство этих фактов имеет длинную историю, начавшуюся в 70-х годах. Остановимся на них более подробно.

Пусть М = О/К — симметрическое пространство с полупростой группой Ли й и компактной подгруппой К. Стандартная (3 -инвариантная риманова метрика gм на (?/К определяет геодезический поток с гамильтонианом Н на касательном расслоении X = Т (С/К), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплектической 2-формой О, (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики).

Комплексные структуры, определенные на выколотом касательном расслоении Т°(0/К) = Т{С*/К) — {нулевое сечение}, естественно возникают как результат геометрических конструкций метода геометрического квантования. Такую структуру Js для сферы Б" = 5'0(п + 1)/5,0(п) обнаружил Дж. Сурио в работе [8ои74]. Позже Дж. Раунсли [11ау77а] заметил, что функция длины является строго плюрисубгармонич-ной относительно упомянутой выше комплексной структуры Зэ и, таким образом, определяет кэлерову метрику на Т°Зп с О как кэлеровой формой. Он также заметил, что Js инвариантна относительно гамильтоно-ва потока Xфункции длины л/Я (нормализованного геодезического потока) и использовал кэлерову структуру (Г2) для геометрического квантования нормализованного геодезического потока [11аэд-77а, Ыау79Ь].

Впоследствии К. Фурутани и Р. Танака рТ94] определили кэлеро-ву структуру (75,0) с аналогичными свойствами на выколотых касательных расслоениях комплексного и кватернионного проективных пространств СРп, ШРп, а позже К. Фурутани и С. Йошизава [РУ95] использовали ее для геометрического квантования на Г°(СРП). Только недавно в работе [Риг02] К. Фурутани применил метод геометрического квантования к этой положительно-определенной поляризации на выколотом касательном расслоении к проективному кватернионному пространству Т°(ШРп). В работе [1М99] К. Ии и Т. Морикава описали эту структуру на выколотых касательных расслоениях классических компактных симметрических пространств ранга один в терминах геометрических структур, ассоциированных с метрикой gм на М = О/К (связности Леви-Чевита, ассоциированной с метрикой). В работе [БгбЭЭ] Р. Шоке исследовал связь между Js и так называемой адаптированной комплексной структурой За на соответствующем касательном расслоении Т (С/К). Он показал, что для всех компактных симметрических пространств ранга один семейство комплексных структур, являющихся образами адаптированной комплексной структуры относительно подходящего семейства диффеоморфизмов, имеет границу и эта граничная комплексная структура совпадает с </<?. В работе [БгбЭЭ], кроме всего прочего, Р. Шоке построил структуру (</5,0) на выколотом касательном расслоении проективной плоскости Кэли СаР2 = /<4/5ргп (9). Эту же структуру в других терминах описал К. Фурутани в работе [Риг04], которая вскоре должна выйти из печатиего подход основан на описании Фрейденталя проективной плоскости Кэли.

В диссертационной работе (глава 1) мы, используя методы теории алгебр Ли, описываем все (?-инвариантные кэлеровы структуры (Р, О) (с О как кэлеровой формой) на выколотых касательных расслоениях Т°(С/К) римановых симметрических пространств С/К, которые инвариантны относительно нормализованного геодезического потока X^. Мы показываем, что такие кэлеровы структуры (Р, О) существуют только на выколотых касательных расслоениях компактных симметрических пространств ранга один. Они параметризуются одним функциональным параметром — комплекснозначной функцией Л: Е+ С с положительной вещественной частью, причем найденная ранее структура ^ соответствует параметру (функции) А (£) =t.

Но, как хорошо известно, Т (в/К) = З^^/К, где Л: ТС -«• Готображение момента, ассоциированное с правым действием группы К на симплектическом многообразии Т*0 ~ ТО = х д. Тут д и Еалгебры Ли групп Ли С и К соответственно, д = шф!, Примененный нами метод (*) к многообразию уровня Л-1(0) = (?хт позволяет нам в главе 1 сделать большее:

2) описать все Оинвариантные кэлеровы структуры (.Р, П) на областях симплектических многообразий Т (0/К), где О/К — риманово симметрическое пространство ранга один размерности > 3 с полупростой группой Ли С (не обязательно компактной);

3) показать, что этот класс {(Р, Г2)} кэлеровых структур инвариантен относительно процедуры кэлеровой редукции Гийемина-Стерн-берга[С882];

4) найти Ли-алгебраический метод описания С-инвариантных кэлеровых структур (Р, О) на касательных расслоениях симметрических пространств С ¡-К — в терминах гомоморфизмов из алгебры Ли группы Ли в конечномерную алгебру Ли комплексных векторных полей на Л1(0) = Схт.

Этот Ли-алгебраический метод оказался эффективным и применительно к другой задаче: описания гиперкэлеровых структур специального вида на Т*{р/К), где О/К — эрмитово симметрическое пространство компактного типа полупростой группы Ли О, которое, в частности, является орбитой присоединенного представления С в алгебре Ли д. Касательное пространство Т (0/К) ~ Т*(0/К) (2-эквивариантно диффео-морфно комплексному фактор-многообразию <3С/Кс, благодаря диффеоморфизму Мостова [МовббЬ, Мовбба], причем это верно для произвольной компактной подгруппы Ли К С О. Поэтому решенная нами задача является частью более общей задачи — описания гиперкэлеровых структур на орбитах присоединенного представления комплексной полупростой группы Ли Gc, инвариантных относительно компактной формы G С Gc.

Напомним, что гиперкэлеровость многообразия X означает наличие на X трех попарно антикоммутирующих комплексных структур J1} J2, J3 = JJi и римановой метрики g, которая является кэлеровой относительно этих трех комплексных структур одновременно. П. Кронхеймер в работе [КгоЭОа] доказал, что регулярные орбиты oc = Gc/Kc присоединенного представления полупростой комплексной группы Ли Gc являются гиперкэлеровыми многообразиями, причем.

1) эти структуры параметризуются «регулярной» тройкой элементов (ti, -7−2″ подалгебры Картана f) компактной алгебры Ли д в том смысле, что этой тройке векторов соответствуют три класса кого-мологий трех фундаментальных (кэлеровых) форм;

2) если комплексный вектор 72+гтз регулярен в f) c, то орбита Ос (как вещественное многообразие), снабженная комплексной структурой Ji, изоморфна комплексной орбите Ос со стандартной комплексной структурой.

Основная идея доказательства П. Кронхеймера состоит в отождествлении точек орбит присоединенного представления с некоторыми ограниченными решениями уравнений Нама (Nahm's equations). А. Г. Ковалев [Kov96] обобщил этот результат П. Кронхеймера на все полупростые орбиты полупростых комплексных групп Ли. П. Кронхеймер в следующей своей работе [Kro90b] доказал гиперкэлеровость нильпотентных орбит присоединенного представления полупростых комплексных групп Ли. О. Бигар [Biq96] и А. Г. Ковалев в работе [Kov96], упомянутой нами выше, одновременно доказали существование гиперкэлеровых структур на всех орбитах, используя для доказательства подход, связанный с уравнениями Нама. Но как мы уже отмечали выше, полупростые орбиты Gc/Kc диффеоморфны касательному расслоению T (G/K), причем однородное компактное пространство G/K является эрмитовым однородным пространством, т. е. его касательное расслоение наследует некоторую комплексную структуру из й/К, а, значит, на комплексной орбите.

0с уже существуют две существенно различные комплексные структуры: относительно первой, естественной, нулевое сечение С/К С Т (С/К) является тотально вещественным подмногообразием в Ос ~ Т (С/К), относительно второй многообразие (?/К комплексно. Причем кокасательное (касательное) расслоение Т*(С/К) является относительно второй структуры голоморфным симплектическим многообразием.

Ситуация, описанная выше, не оставалась незамеченной и рассматривалась разными математиками в более общем случае. Так Ф. Фейх [РеЮ1] доказано, что в некоторой окрестности нулевого сечения М кокасатель-ного расслоения Т*М вещественно-аналитического кэлерова многообразия М существует гиперкэлерова структура, согласованная с каноничной голоморфно-симплектической структурой на Т*М. Этот же результат содержит и более ранняя работа (препринт) Д. Каледина [Ка197].

Но из этих работ нельзя получить явного описания ни тройки комплексных структур 71, </3, ни гиперкэлеровой метрики §. Такое описание для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром пока что известно только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами или же для орбит, которые можно приблизить такими «симметрическими» орбитами [ВС98]. Нужно отметить, что все эти структуры глобальны, т. е. определены на всем (ко)касательном расслоении. Мы в главе 2 обобщаем эти результаты, рассматривая не только глобальные (7-инвариантные гиперкэлеровы структуры. Чтобы перейти к описанию этих структур, конкретизируем задачу.

Пусть С/К — неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа с однородной метрикой gм • Так как С/К — однородное комплексное многообразие, то его кокасательное расслоение Т*(С/К) имеет естественную комплексную структуру. Используя метрику мы можем отождествить кокасательное и касательное расслоения и таким образом получим комплексную структуру на Т{(2/К), относительно которой нулевое сечение С/К С Т (С/К) комплексно. Эта комплексная структура, как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры на Т{С/К), индуцированной исходной комплексной структурой на С/К. С другой стороны, кокасательное расслоение Т*{С/К) ~ Т (С/К) является симплектическим многообразием с канонической симплектической формой П. В главе 2 явно описаны все (?-инвариантные кэлеровы структуры (7, О,) (с кэлеровой формой О) на С-инвариантных областях В С Т (С/К) антикоммутирующие с комплексной структурой «/». Фактически каждая полученная гиперкомплексная структура вместе с соответствующей метрикой g определяет гиперкэлерову структуру на Б.

Если область И содержит нулевое сечение М = С/К, то ограничение гиперкэлеровой метрики § на М есть данная однородная метрика gм с точностью до постоянного множителя (можно сделать этот множитель равным 1, используя для отождествления Т*(С/К) и Т (С/К) однородную метрику на О/К пропорциональную к дм). Такие глобальные гиперкэлеровы структуры были построены: в работе [Виг86], используя твистор-метод и шаг за шагом классификацию симметрических пространствв работе рЕ⁹⁶], используя уравнения Нама, и в рБ97] (для пространств классических групп), используя деформацию так называемой адаптированной комплексной структуры на Т (Ст/К). В работе рЕЮ96] О. Бигар и П. Гадюшон нашли явную формулу для этих гиперкэлеровых метрик в терминах некоторых оператор-функций Р: т —> Епс1(т) на пространстве т с±Т0(С/К), о = {К}. Там же они доказали, что для метрики Киллинга дм на (?/К существует единственная гиперкэлерова метрика g на всем Т (С/К), совпадающая с дм на С/К с Т (С/К) и такая, что ^ =, а фундаментальная (кэлерова) форма кэлеровой структуры совпадает с канонической 2-формой Эти гиперкэлеровы структуры являются глобальными. Наши дополнительные гиперкэлеровы структуры не определены на нулевом сечении М = С/К. Так что мы не можем говорить об ограничении соответствующих гиперкэлеровых метрик на нулевое сечение С?/К как в работе [ВС96]. Тем не менее, полученные нами в главе 2 выражения для Р и потенциальных функций, обобщают соответствующие формулы работ [ЕЮЭб, ВС98].

Отметим также, что все цитированные выше авторы [0897, ВС96, ВС98] для доказательств используют один и тот же стандартный геометрический прием: работают на многообразии Т (С/К) с разложением векторного расслоения Т (Т (0/К)) в суму горизонтальной и вертикальной составляющих, индуцированным связностью Леви-Чивита на й/К. Мы же существенно упрощаем все вычисления, решая уравнения в частных производных, работая на тривиальном векторном расслоении Схт, которое является поверхностью уровня Л-1^) отображения момента Л, и используя естественное однородное разложение векторного расслоения Т (Схш) ~(?хдхтхт, обычное для теории алгебр Ли. Как приложение, в главе 2 получено новое простое доказательство хорошо известной теоремы Хариш-Чандры-Мура об ограниченных системах корней эрмитовых симметрических пространств, а также описание этих корневых систем в терминах, адекватных поставленной задаче о ги-перкэлеровых структурах. Отметим, что теорема Хариш-Чандры-Мура достаточно груба, чтобы быть использованной для решения этой задачи в случае локальных гиперкэлеровых структур, в то время как для описания глобальных структур она являлась основным инструментом в доказательстве О. Бигара и П. Гадюшона [В096].

В последние три десятилетия использование дифференциально-геометрических методов в математической физике постоянно возрастало. Возможно наиболее интенсивно развивались геометрические теории связанные с симплектической (или пуассоновой) формулировкой классической механики и с проблемами квантования. Так как основатели квантовой теории, к сожалению, не дали формального определения квантования, то параллельно возникло много геометрических, функционально-геометричеких и алгебраических теорий квантования. Среди них следует упомянуть геометрическое квантование (Дж. Сурио [8ои70], Б. Ко-стант [Ков70]), деформационное квантование (см. [Bat89, В-878, Реё9б]), асимптотическое квантование (М. Карасев, В. Маслов [КМ84]). Теория геометрического квантования стремительно развивалась до конца девяностых годов и наиболее значительные приложения она нашла в построении геометрических реализаций неприводимых унитарных представлений групп, встречающихся в физике. Нужно отметить, что эта сторона теории тесно примыкает к методу орбит Кириллова [Кир74]. В главе 3 работы рассмотрен метод геометрического квантования Костанта-Сурио применительно к динамическим системам классической механики. Предгильбертово пространство, конструируемое с помощью этого метода, состоит из? -горизонтальных сечений некоторого линейного расслоеният.е. сечений, которые ковариантно постоянны вдоль векторных полей комплексной поляризации Р. Причем, чтобы проквантовать заданную гамильтонову систему, необходимо, чтобы ее гамильтоново векторное поле сохраняло эту поляризацию. В противном случае квантовый оператор, действующий в пространстве всех сечений, не сохраняет подпространство %'. Чтобы обойти это препятствие, было построено множество модификаций теории геометрического квантования. Среди них укажем только две модификации, наиболее употребляемые в статьях: Чижа-Гесса [Сгу77, Нез81] (вообще не использующей понятие поляризации) и использующую метаплектические структуры (см. Гийемин-Стернберг [ГС81], Робинсон-Раунсли [М189]). В главе 3 мы предлагаем метод, который позволяет находить инвариантные поляризации относительно гамильтонова потока Xf с функцией Гамильтона / на сим-плектическом многообразии (X,. Метод состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Ха = {х? X: /(х) = а} гамильтониана / и ищем согласованные вложения <ра многообразий Ха в модельное симплектическое многообразие Т*ШМ такие, что орбитам (траекториям) потока Х^Ха соответствуют в (ра (Ха) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на Т*!^ (здесь 2Ы > сНтХ). Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие 1ра (Ха) С Т*ШМ, структуру Коши-Римана, а, значит, и структуру Коши-Римана (?а,(ЭаГ)(2а = 0 на Iй. Необходимо, чтобы полученное таким образом одно параметрическое семейство (Ха, (¿-а) вместе с гамильтоновым векторным полем порождало поляризацию.

Г на (X,. Ее инвариантность относительно потока следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с од-нопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для некоторых гамильтоновых систем, для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Таковыми гамильтоновыми системами, как показано в главе 3 работы, являются многомерная проблема Кеплера и проблема М1С-Кеплера. Сразу заметим, что для последней системы конструкция применяется не на прямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме М1С-Кеплера. Тут также уместно отметить, что найденные поляризации и метод (*) позволяют нам эффективно исследовать все производные структуры геометрического квантования этих систем (голоморфные линейные комплексные расслоения, расслоения полу-форм), что как показывает практика, случается очень редко при использовании других методов.

Эти две гамильтоновы системы рассматривались разными авторами. Гамильтонова система, описывающая трехмерную проблему Кеплера, была проквантована Д. Симмсом ([8ип72]), который применил теорию геометрического квантования Костанта-Сурио к комплексному многообразию в2 х Э2 орбит этой динамической системы, принадлежащих поверхности уровня гамильтониана. Он вычислил кратности собственных значений квантового оператора с помощью теоремы Римана-Роха-Хирцебруха для комплексных поверхностей. В ([М1а85]) И. Младенов применил модифицированную схему геометрического квантования Чижа [Сгу77] и Гесса [Нез81] к многомерной проблеме Кеплера. Проблеме квантования системы М1С-Кеплера посвящены работы И. Младено-ва [М1а87, М1а89а, М1а89Ь], в которых он применил модифицированную схему Чижа-Гесса к расширенному фазовому пространству этой системы. Бейтс ([Bat89]) проквантовал эту систему используя алгебраическое представление системы, Одзиевич и др. ([0896]), используя отображение когерентных состояний ([Ос1г88], [ОсЬ92]) — т. е. отображение из классического фазового пространства в комплексное проективное гильбертово пространство (квантовое фазовое пространство). Ни в одной из этих работ не была применена процедура геометрического квантования из-за отсутствия инвариантной поляризации.

Вторая проблема, возникающая в теории геометрического квантования, состоит в том, что может не существовать глобальных Р-горизонтальных сечений линейного расслоения из-за препятствий топологического характера, связанных с поляризацией, а, значит, стандартная процедура геометрического квантования становится невозможной. Мы в главе 3 работы решаем эту проблему для широкого класса поляризаций: вводим структуру гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений таким образом, что произвольная вещественная функция с полным гамильтоновым векторным полем, касающимся некоторого распределения в X (в большинстве случаев оно совпадает с распределением Е, где Ес = Р+Р) порождает однопараметрическую группу унитарных операторов. Это обобщает конструкцию Гавендски [Са^Тб] для гладких сечений.

Пусть X — симплектическое многообразие. Гамильтонову систему на X называют вполне интегрируемой, если она допускает максимальное число независимых интегралов в инволюции (сИт Х/2 функций коммутирующих относительно скобки Пуассона на X). Обозначим через (2 вещественную связную редуктивную группу Ли, которая действует на X гамильтоновым образом, через К замкнутую связную редуктивную подгруппу в (?. Пусть Л: X —> д*, где д — алгебра Ли группы Ли С?, соответствующее отображение момента. Функции вида к о 3, Н: д* —К, называются коллективными. Эти функции являются интегралами для произвольного гамильтонова потока на X с С-инвариантным гамильтонианом Н. Возникает вопрос: для каких симплектических многообразий X все С-инвариантные гамильтоновы системы на X вполне интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов, порожденных группой симметрий (?.

Многообразие X обладает этим свойством тогда и только тогда, когда на X существует вполне интегрируемая система, состоящая из вещественноаналитических функций типа ИоЗ (так называемая коллективно вполне интегрируемая система [С884а]). Все симметрические пространства полупростых групп Ли <2/К допускают существование коллективно вполне интегрируемых систем на фазовом пространстве Т*(0/К) (см. [Тпп81, Мищ82, Мик83, С884а] и [Г№ 84]). Более того, если группы Ли в и К компактны, то следующие условия эквивалентны [Мищ82, С884а, Мик8б]:

1) на фазовом пространстве Т*(С/К) существует коллективно вполне интегрируемая система;

2) коразмерность д (Сс, Кс) орбиты максимальной размерности подгруппы Бореля В С (?с в комплексном аффинном алгебраическом многообразии Сс/Кс равна 0;

3) подгруппа Кс группы Ли С0 сферична, т. е. квазирегулярное представление группы Ли (?с в пространстве С[Сс/Кс] регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии Сс/Кс имеет простой спектр;

4) алгебра Синвариантных функций на симплектическом многообразии Т*(й/К) коммутативна.

Некоторые обобщения свойств (1)-(4) на случай вещественных некомпактных групп Ли были получены М. Чумаком [Чум86]. Многие другие аспекты данной проблематики отражены в обзоре [Вин01]. Классификация сферических подгрупп полупростых комплексных (связных) групп Ли была получена в работах [Кга79, Мик86, Вп87а]. Так как пуассонова структура на симплектическом многообразии X невырождена, то в случае существования коллективной вполне интегрируемой системы на X, произвольная гамильтонова система с С-инвариантным гамильтонианом Н локально имеет вид /г о Лт.е. для интегрирования мы не используем эффективно сам гамильтониан Н. Этот факт был замечен в нашей работе [МБОО] и использован для получения новых классов однородных пространств О/К, для которых каждая С-инвариантная гамильтонова система на Т*{0/К) интегрируема в классе вещественно-аналитических интегралов. Перейдем к более точным формулировкам.

Пусть Nmax (X) — максимальное число независимых вещественно-аналитических функций в инволюции на X вида h о J. Если Nmax (X) = (dimX/2) — 1 мы будем называть соответствующую систему функций почти-коллективно вполне интегрируемой системой, а, если, дополнительно, X = T*(G/K), где G, K — редуктивны, мы будем называть пространство G/K почти сферическим пространством [MS00]. В главе 4 мы изучаем эти пространства как с точки зрения пуассоновой геометрии, так и с чисто алгебраической точки зрения, перечисляем их в случае, когда группа G простая. Мы доказываем, что компактное пространство G/K является почти сферическим тогда и только тогда, когда комплексное аффинное алгебраическое многообразие Gc/Кс имеет сложность один, т. е. d (Gc, Кс) = 1. Тут нужно отметить, что комплексные аффинные пространства Gc/Кс как сложности 1 так и произвольной сложности алебраическими методами изучал Д. Панюшев в работе [Рап90], в следующей своей работе [Рап92] он получил список всех редуктивных пространств Gc/Kc сложности 1, когда группа Ли Gc простая. Мы в главе 4, используя иной подход, основанный на изучении алгебры Gинвариантных функций на T*(G/K) как пуассоновой алгебры, получаем этот же список несколько другим методом. Недавно в работе [АЧОЗ] И. Аржанцев и О. Чувашова перечислили все аффинные пространства Gc/Кс сложности 1 с полупростой группой Ли Gc. Принципиальная возможность такой классификации была отмечена раньше Э. Б. Винбергом в работе [Вин01].

Как мы отметили выше, для редуктивного пространства G/К можно определить неотрицательное целое число e (G, К) положив e (G, К) = dim{G/K)-Nmax{T*{G/K)). В главе 4 мы доказываем, что S{GC, Кс) = s (G, К), т. е., что так определенное число e (G, К) равно сложности пространства Gc/Kc.

Таким образом редуктивные пространства Gc/Kc сложности 0 или 1 — это примеры пространств, для которых все G-инвариантные га-мильтоновы потоки на кокасательном расслоении T*(G/K) ~ T (G/K) интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов. Но на каждом однородном пространстве G/K с редуктивными G и К есть потоки, вещественно-аналитическая интегрируемость которых вызывает постоянный интерес. Это гамильтоновы потоки на T*(Q/K), определенные G-инвариантными (псевдо)римановыми метриками на G/K. Такие вполне интегрируемые потоки существуют на следующих однородных пространствах.

• компактных группах Ли (A.C. Мищенко, А. Т. Фоменко [МФ78]);

• сферических пространствах [Мик86], включающих симметрические пространства (А. Тимм [Tim81], A.C. Мищенко [Мищ82, Мищ83], A.B. Браилов [Бра83а, Бра86Ь]);

• пространствах сложности 1 [MykOlbj, включающих многообразия Штифеля SO{n)/SO{n-2) (А. Тимм [Tim81]), SU (3)/{U (l)xU{l)) (Г. Патернайн, Р. Спатцер [PS94]);

• многообразиях Штифеля SO (n)/SO (k), G/T, где Т-максимальный тор компактной группы Ли G (А. Болсинов, Б. Йованович [БЙ01]);

• орбитах присоединенного представления классических полупростых групп Ли, а также SO{n)/{SO{kl)xSO{k2)), U (n)/(U{l)kl xU{k2)x U{k3)), U (n)/SO (k), SO (ni)xSO (n2)/dM0(5O (fc)xSO (AO), U{ni)x.

U{n2)/diag{U{k) x U (к)) (А. Болсинов, Б. Йованович [BJ04]).

В работе [БЙ01] А. Болсинов и Б. Йованович для произвольных однородных пространств компактной группы Ли G доказали так называемую некоммутативную интегрируемость [МФ78а] геодезического потока би-инвариантной метрики на G/K в классе вещественно-аналитических интегралов. В следующей работе [BJ03] они для этих же однородных пространств и для этих же потоков доказали их вполне интегрируемость, но уже в классе гладких интегралов. Тут нужно отметить, что в общем случае из гладкой интегрируемости геодезического потока не следует его вещественно-аналитическая интегрируемость из-за препятствий топологического характера (см., например, [Тай94]). В главе 4 мы устанавливаем вещественно-аналитическую интегрируемость для широкого класса однородных пространств, содержащего пространства не представленные в приведенном списке. Перейдем к более точным формулировкам.

Пусть G/K — полу простая орбита присоединенного представления полупростой вещественной связной группы Ли G, т. е. G/K = Ad (G!) • а, где, а — полупростой элемент алгебры Ли 0 группы Ли О. Обозначим через К1 произвольную замкнутую подгруппу в К, содержащую коммутант К' компоненты единицы группы Ли К. В главе 4 мы доказываем, что геодезический поток на симплектическом многообразии Т*(С/К), соответствующий С-инвариантной (псевдо)римановой метрике на С/К, индуцированной би-инвариантной (псевдо)римановой метрикой на группе Ли О, является вполне интегрируемым в классе вещественно-аналитических интегралов. Если группа Ли (? компактна, то эта метрика риманова. Более того, в главе 4 мы, кроме упомянутых би-инвариантных метрик на О/К, рассматриваем Оинвариантные метрики, построенные с помощью секционных операторов (ра, ь, о Мищенка-Фоменка [МФ78], и доказываем вполне интегрируемость соответствующего геодезического потока с помощью того же набора интегралов. Некоторые из этих метрик являются римановыми даже тогда, когда группа Ли (? некомпактнасоответствующий пример завершает главу 4. Здесь уместно сказать несколько слов об тех дополнительных е ((7, К) интегралах к интегралам вида /г о J, которые мы находим. Это С-инвариантные функции на Т ((?/К), однозначно определяемые Ас^Кх) -инвариантными функциями /А (ж) == /(¡-г + Да) на Шх = Т0{С/К), где / - Ас^С?) -инвариантный полином на алгебре Ли д. Эти же функции использовались в качестве дополнительных интегралов в работе [ВЛ04].

Структура и содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Номера всех утверждений (теорем, лемм,.) и формул состоят из двух чисел, первое из которых — это номер параграфа текущей главы. Исключение составляют следствия: так как большинство из них не являются самостоятельными утверждениями, то их номер состоит из номера утверждения, к которому они относятся, и номера самого следствия. При ссылке на утвеждения из другой главы мы впереди их номера ставим еще и номер главы.