Алгебры голономии лоренцевых многообразий

Актуальность темы

Понятие группы голопомии впервые было введено в работах Э Картана [22] и [24], в [23] он использовал группы голопомии для классификации римановых симметрических пространсхв.

Группа голопомии может быть определена для произвольного главного или векторного расслоения со связнос1ью, для этого необходимо только по-ня!ие параллельного переноса. Рассмотрим произвольное n-мерное многообразие М с линейной связностью V Зафиксируем точку х G М Группа голопомии Holx для связности V в точке х е М есть под1 руппа Ли группы Ли GL (TXM) ~ GL (n) (все группы и алгебры Ли будем рассматривать над полем М), состоящей из параллельных переносов вдоль всех кусочно-гладких петель в точке х Соо1ветс1вующая алгебра Ли fjol^ С gl (TxM) ~ gf (n) называется алгеброй голопомии в точке х Для связного многообразия группы голономии и алгебры голопомии в различных точках изоморфны, и можно I оворить о группе и алгебре голономии многообразия.

Важность группы голономии состоит в том, что группа голономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии, А именно, имеек’я взаимно-однозначное соответствие между параллельными тензорными полями типа (г, 5) на многообразии и тензорами типа (г, s), заданными на касательном пространстве в произвольной точке многообразия и сохраняемыми 1ензорным продолжением группы голономии, А чакже существует взаимно-однозначное соответствие между параллельным распределениями ранга г на многообразии и подпространсптми касахельного пространства размерности г в некоторой точке многообразия, сохраняемыми 1руппой голономии Таким образом, если мы знаем группу голономии многообразия, то геоме1рическую задачу нахождения параллельных тензорных полей или параллельных распределений на многообразии можно свести к более простой алгебраической задаче нахождения инвариантных элементов или инвариашных подпространств для соответствующих представлений группы голономии Аналогично, алгебра i олономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии, заданных локально.

Поэтому возникает задача классификации групп голономии Прежде всего отметим, что для неодносвязного прос1ранства группа голономии может быть несвязной, и в зтом случае какие-либо результаты отсукчвукн По эюй причине будем рассматривать связную компонешу единицы группы голономии Это равносильно изучению алгебры iолономии В дальнейшем будем рассматривать только связные группы голономии.

В 1965 году Дж Хано и X. Одзеки показали, что всякая связная линейная группа Jin G С GL (n) может быть реализована как группа голономии пространства линейной связности [37]. Эта связность, как правило, имеет ненулевое кручение. Значит для произвольных пространств линейной связности классификации групп голономии быть не можег и нужно вводить дополнительные условия. Таким условием является обращение тензора кручения в ноль, Тог = 0. В этом случае первое тождество Бьянки имеем вид.

R{X, Y) Z + R{Y, Z) X + R{Z, X) Y = 0, для всех X, Y, Z G где R — тензор кривизны многообразия Для произвольной линейной алгебры g с g ((n) рассмофим пространство тензоров кривизны типа д,.

7 г (д) = {R € Нош (Е" А Г д)|R{u A v) w + R (v A w) u + R (w A u) v = 0 для всех u, v, w G и векюрное иодпросчранство.

L{1Z{q)) = span{R{u A v) R G и, v G IT} с g.

Согласно теореме Амброза-Зингера (теорема F) алгебра голономии порождается значениями тензора кривизны в различных точках многообразия Значит для алгебры голономии t) olx С gl (ТХМ) многообразия с линейной связностью без кручения мы имеем L (7l (t)olx)) = t) olx Подалгебры g С g ((n), удовлетворяющие условию L (1Z (q)) = g, можно считать кандидатами в алгебры голономии Отметим, что это условие является достаточно жесчким. В 1955 году М. Верже привел (без подробного доказательства) список неприводимых подалгебр g С g ((ft) (для произвольного п > 1), удовлетворяющих условию L (1Z (q)) — g Поэтому алгебры, удовлетворяющие '-ному условию, принято называть алгебрами Верже. Подробное доказательство (вмесче с исправлениями ошибок в списке) дали недавно С Меркулов и Л. Шваххофер, [51] и [54]. Этот довольно технический результат основан па классификации неприводимых представлений редуктивных ajn ебр Ли (зная неприводимое представление g gl (n), можно проверить равенство L (R (g)) = g в терминах старшего веса представления) Заметим, что для пространств линейной связности переход от общего случая к случаю неприводимой алгебры голономии невозможен, и говорить о классификации в общем случае, видимо, нельзя.

Рассмотрим теперь римановы многообразия Классификация связных групп голономии римановых многообразий является хорошо известным классическим результатом. На всяком римановом многообразии (М, д) имеем связность Леви-Чивита, однозначно определенную условиями Vg = 0 и Тог = О В этом случае Holx С 0(ТхМ, дх) ~ 0(п) и t) olx С so (TxM, gx) ~ so (n). В 1952 году А. Ворель и, А Лихиерович доказали, что всякое римапово многообразие локально является произведением римановыт многообразий с неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии риманова многообразия представима в виде прямого произведения неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L (7?(g)) = g [12] Основная причина заключается в следующем: если подгруппа G С 0(п) сохраняет некоторое векторное иоднрос I ранство U С R™, то G сохраняет также его ортогональное дополнение U1, и мы имеем М" = U ф U1, те группа G вполне приводима В 1955 году М Верже классифицировал связные неприводимые подгруппы Ли G С SO (n), алгебры Ли g С so (n) которых удовлетворяют условию L (7Z (q)) — g. Результат состоит в следующемлибо G является группой голономии симметрического риманова пространства (эги пространства классифицированы в [23], их группа голономии совпадает с представлением изотропии), либо G является одной из следующих групп: SO (n), ?/(§), S?/(§), Sp (*) — Sp (1), Spm{7) (n = 8), G2 (n = 7). Последние 6 групп этого списка называются специальными группами голономии Список Верже представлял собой долгое время список кандидатов в группы голономии, лишь в 1987 году Р. Брайнт привел конструкции, показывающие существование римановых многообразий с каждой из специальных групп из этого списка ([16]) Эю завершает классификацию Римановы многообразия с группами голономии U (n), SU (n), Sp (n), Sp (n) • Sp (1) являются кэлеровыми, специальными кэлеровыми (или многообразиями Калаби-Яу), кватернионно-кэлеровыми и гиперкэлеровыми cooiBeicrBeinio Многообразия с группами голономии SU (|), Sp^), Spin{l) и G2 допускают параллельные спинорные поля ([56]), а потому интересны для физиков Каждое из многообразий с особой группой голономии являе! ся многообразием Эйнштейна или Риччи-плоским Все эти римановы многообразия представляли большой интерес геометров последние 50 лет, подробный обзор можно найти в [7] и [46]. Важным результатом являются конструкции полных и компактных римановых многообразий со специальными группами голономии, полученные Р Брайнтом, С. Саламоном и Дж. Джойсом.

Как показывает случай римановых многообразий, классификация связных групп голономии дает примеры различных важных классов многообразий. Поэтому важно иметь также классификацию связных групп ю-лономии для псевдоримановых многообразий, и в первую очередь — для ло-ренцевых многообразий, поскольку последние важны в физике Например, в последнее время в связи с теорией 11-мерной супергравитции имеются физические работы, в которых изучаются 11-мерные лоренцевы мпогообразия, допускающие параллельные спинорные поля. При этом используются группы голономии ([6, 35, 36, 39, 44]). В настоящее время полная классификация получена только для лорепцевых многообразий (об этом речь пойдет далее) Имеются частичные результаты для многообразий сигнатуры (2,п), [32, 33, 41] и сигнатуры (п, п), [9].

Рассмотрим псевдориманово многообразие (М, д) произвольной сигнатуры (г, 5). Как и в римаиовом случае, на (М, д) имеем связноеп> Леви-Чивита, теперь Holx С 0(ТхМ, дх) ~ 0(r, s) и f) olx С so (TxM, gx) ~ so (r, s). У1верждение теоремы Бореля-Лихнеровича неверно для псевдоримановых многообразий. Действительно, предположим, что подгруппа G С 0(r, s) сохраняет собственное вырожденное подпространство U С Mr’s, тогда UCiU1 ф {0}, и мы не получаем ортогонального разложения Rr’s в прямую сумму С-инвариантных подпространств. Подгруппа G С 0(r, s) называется слабо неприводимой, если она не сохраняет никакие невырожденные собственные подпространства в Mr’s Теорема By утверждает, чю всякое псевдориманово многообразие локально является произведением псевдоримановых многообразий со слабо неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии пеевдориманова многообразия предста-вима в виде прямого произведения слабо неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L (K (q)) = g [57] Если группа голономии ненриводима, то она слабо неприводима В [10] М Берже дал классификацию возможных связных неприводимых групп голономии для псевдоримановых многообразий. В частности, единственной связной неприводимой группой голономии лоренцевых многообразий является В [20] и [15] даны прямые доказательсчва эюго факта Итак, в случае псевдоримановых многообразий основная сложнос1ь связана с тем, что слабо неприводимые, не являющихся неприводимыми, подгруппы в 0(r, s) не являются редуктивными (или вполне приводимыми), и эти группы неизвестны.

Цель работы. Целью работы является получение классификации ал-I ебр голономии лоренцевых многообразий. Постановка задачи.

С учетом вышесказанного, проблема классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий сводится к проблеме классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, алгебр голономии лоренцевых мноюобразий Последняя проблема может быгь разделена на следующие 3 проблемы.

1) Получи I ь список слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so (l, п + 1).

2) Для подалгебр g С so (l, n + 1) пункта (1) проверить равенс1во L (R,(q)) = g, то есть получить список связных слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр Берже в so (l, n + 1).

3) Для каждой подалгебры g С so (l, n + 1) пункта (2) найти пример ло-ренцева многообразия с алгеброй голономии д.

Основные задачи, решенные в диссертации:

1) Получено геометрическое доказа1ельс1во результата JI Берарда.

Бержери и, А Икемакхена о слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so (l, п + 1). Попупю получена классификация связных групп преобразований подобия евклидовых пространств и классификация связных транзитивных групп движений пространств Лобачевского.

2) Для слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подал! ебр g С so (l, 7i + 1) описаны пространства тензоров кривизны Проблема классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подал1ебр Берже g С so (l, n + 1) сведена к проблеме классификации неприводимых слабых подалгебр Берже f) С so (п). Для п < 9 получена классификация слабых подалгебр Берже f) С 50(п).

3) Посi роены метрики, реализующие все кандидаты в ал1ебры голономии лоренцевых mhoi ообразий.

Теоретическое и практическое значение работы. Резулыаш данной рабо i ы могут быть применены для дальнейшего исследования геометрии лоренцевых многообразий с каждой из возможных алгебр голономии, для нахождения локальных параллельных геометрических объекюв на лоренцевых многообразиях Результаты работы могут быть применены также в физике, например, в связи с общей теорией относительности и в теории супергравитации.

Содержание работы.

В главе I излатются некоторые известные результаты о группах голономии псевдоримановых многообразий. В пункте 1 1 приводятся определения и основные факты, связанные с группами голономии псевдоримановых многообразий. Даны примеры и идеи доказательств некоторых теорем, показывающие технику применения групп голономии В пункте 1.2 приводится классификация М. Берже связных неприводимых групп голономии римановых и псевдоримановых многообразий и ее следствия.

В пункте 1 3 излагается решение проблемы (1), полученное в 1993 юду Л. Берардом-Бержери и А. Икемакхеным ([8]) Они разделили слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры g С so (l, n + 1) на 4 типа и ассоциировали с каждой такой подалгеброй подалгебру I) С so (n), называемую ортогональной частью алгебры Ли g Более подробно, обозначим через M1, n+1 (п + 2)-мерное пространство Минковского, то есть векторное пространство Мп+2 с мефикой т] сигиатуры (1, п + 1). Зафиксируем базис р, е,., еп, q пространства R1'" *1, относительно которого метрика г] имеет матрицу Грама формы 0.

0 Еп 0.

V1 0 °/ Обозначим через Е евклидово пространство, порожденное векторами е, ., еп Иногда вместо Е будем писагь.

R" Обозначим через so (l, п + 1) кр подалгебру в во (1, п + 1), сохраняющую изотропную прямую Шр. В базисе р, е,., еп, q алгебра Ли $о (, п + 1) rp имеет следующий мафичный вид 1 аX1 0Х.

50(1,П+ 1) Мр = <

I.

О АХ 0 0 -а аеШ, Хе Rn, А е зо (п).

Всякая слабо неприводимая, не являющаяся неприводимой, подалгебра g С so (l, n + l) сохраняет некоторую изотропную прямую, поэюму g сопряжена некоторой слабо неприводимой подалгебре в 5о (1, n-f- 1) rp Напомним, что для всякой подал1ебры f) С so (n) имеем (j = fj' ф 3(f)), где f)' - коммутант I) и 3(f)) — центр f). Л Берард-Бержери и А. Икемакхен показали, что подалгебра g С5о (1,гс+1)кр является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда g является алгеброй одного из следующих типов:

U аX1 0Х.

Тип 1. д1^ = <

I.

— подалгебра;

0 АХ 0 0 -а, а е R, X G Шп, А Е f) где f) С so (n).

Г / QX1 0 х.

Тип 2. д2'^ = <

0 А X 0 0 0.

Г /.

I V.

X ешп, А е).

Тип 3. g3, f}^ = <

I V ip{A) -X1 0 0 А X 0 0 -ip{A).

X G Mn, A? t) где f) с so (ri).

— подалгебра с условием 3(f)) ф {0} и ip: f) отображение со свойством <�ру = 0- ненулевое лииеииое /ОX1 -ф{АУ о ^.

Тип 4. 0.

4 ,*), т, ф.

I V.

О, А О О О О о о о ф (А) О.

X <= IRm, А е ь где.

О < т < п — некоторое целое число, f) С so (m) — подалгебра с условием dim^f)) > п — т, а ф: —> Mnm — сюрзективное линейное отображение со свойством фу = О.

Подалгебра I) С so (/г), ассоциированная выше со слабо неприводимой подалгеброй g с so (l, n + называется ортогональной частью алгебры Ли д.

Доказательство этого результата было алгебраическим В главе II мы приводим геометрическое доказательство эюго результата. Мы рассматриваем векторную модель (п + 1)-мерного пространства Лобачевского.

Ln+1 с Ri, n+i и его абсолют dLn+l, который диффеоморфен п-мерной единичной сфере. Имеем естественные изоморфизмы.

0'(1, п + 1) ~ I&om Ln+1 ~ Conf 8Ln+1 и 50(1, п + 1) Нрг Sim Е, где 0'(1, n +1) есть подгруппа Ли в 0(1, n +1), сохраняющая пространство Ln+1, IsomL" +1 — группа всех движений пространства Ln+1, Conf<9L" +1 -группа коггформггых преобразований dLn+1, 50(1, п + 1) rp — подгруппа Ли в 0'(l, n + 1), сохраняющая изотропную прямую Шр, и Sim Е — группа преобразований подобия Е Мы отождествляем множество dLn+1{Rp} с евклидовым пространством Е. Тогда всякая подгруппа G С 50(1, n + 1) rp действует па Е, более того, G С Sim Е Мы доказываем, чю связная подгруппа G С 50(1, п + 1) кр является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа G С SlmE при изоморфизме 50(1, п+ 1) кр ~ Sim Е действует транзитивно в Е. Это дает взаимно однозначное соответствие между связными слабо неприводимыми подгруппами в 50(1, п + 1) кр и связными транзитивными подгруппами в SтЕ.

Используя описание связных транзитивных подгрупп в SimЕ, данные в [2] и [3], мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Связная подгруппа G С Sim Е транзитивна тогда и только тогда, когда G сопряжена группе одного из следующих типов.

Тип 1. G = (А х Я) X Е, где, А = - компонента единицы группы гомотетий Е с центром О, Я С SO (n) — святая подгруппа Ли и Е.

— группа сдвигов;

Тип 2. G = Я X Е;

Тип 3. G = (Аф х Я) X Е, где Ф: А —" SO (n) есть гомоморфизм и {Ф (а) • аа е А} С SO{n) х А.

— группа винтовых гомотетий Е;

Тип 4. G = (Я х UX W, где имеем ортогональное разложение E = U®W, Н С SO (W), Ф: U SO (W) — гомоморфизм (U рассматриваем как группу переносов в Е на векторы из U), и.

U* = {Ф (ад) • ии eU] С SO (W) х U.

— группа винтовых движений Е.

Соответствующие подгруппы в 50(1, п + 1) кр при изоморфизме SO (l, n + 1) кр ~ SimЕ исчерпывают все связные слабо неприводимые подгруппы в S0(1, п + 1) ир и их алгебры Ли имеют тот же тип, определенный Л. Берардом-Бержери и, А Икемакхеным.

Одним из применений теоремы 2 является классификация транзитных группы движений пространства Лобачевскою Ln+1.

Теорема 3. Пусть G С 50°(l, n + 1) — связная подгруппа, действующая тпранзитивно в пространстве Лобачевского Ln+1. Тогда, либо G = 50°(l, n + 1), либо G сохраняет изотропную прямую I С IR1, rl+1, и существует базис р, е, ., en, q пространства Е1'" «1» 1, как и выше, такой, что I = Шр и G является одной из следующих групп.

1) (Ах Н) X Е, где Н С SO (n) — подгруппа;

2) (Аф х Я) X Е, где Ф: А —> SO (п) — нетривиальный гомоморфизм и.

Аф = (Ф (а) • аа Е А) С SO{n) х А.

Более того, группы вида АЛЕ и Аф X Е исчерпывают все связные подгруппы в SO°(l, n + 1), которые действуют просто транзитивно в Ln+1.

Геометрическое доказательство результата JI Берарда-Бержери и А. Икемакхена дает также идею для классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подгрупп в U (l, n+1) С SO (2,2n + 2), для этого нужно использован) комплексное пространство Лобачевского [26, 32) Перейдем теперь к рассмотрению проблемы (2). В главе III мы описываем пространства 7£(д) для слабо неприводимых подшиебр g С 5о (1, n + 1) rp в терминах их ортогональной части f) С so (n). Мы сводим классификацию слабо неприводимых подалгебр Верже g С во (1,п + 1) мр к классификации неприводимых подалгебр f) С во (п), обладающих некоторым алгебраическим свойством (слабые алгебры Верже).

Более точно, для всякой подалгебры f) С so (n) определим пространство.

Щ) = {Ре Hom (En, f))| ri (P (u)v, w) + T]{P (v)w, и) + r]{P (w)u, v) = 0 для всех u, v, w G E" } и векторное подпространство.

L{V (f))) = span{P («)|P G P (f)), и G Ert} С J), порожденное тензорами P G V (l)) Мы называем V (§) пространством слабых тензоров кривизны типа fj Подалгебра I) С so (n) называется слабой алгеброй Берже, если L (V (t))) = f).

В следующей 1еореме мы даем описание пространсш шгеоров кривизны 7£(д) для алгебр каждою типа с произвольной ортогональной частью f) С 5о (п) в терминах пространства V{}).

Теорема 4. Для всякой подалгебры f) С so (n) имеемi) щ^) = я (д2>") е ще, Ж) © щш, щ,.

II) тг (д2'") = П (Ъ) 0 ЩЕ, f)) ф Щр, А Е), где.

ЩЕ, Щ ~ Нот (.Е, Е), изоморфизм имеет следующий вид: всякое линейное отображение L: Е —> Е соответствует тензору кривизны, определяемому следующими условиями RL Е ЩЕ, Ш), RL (qAu) = L (u)pAq, RL (apAq) = pAL*(a), RL (pAu) = 0, RL (uAv) = О для всех, а Е Е, и, v Е Е;

ЩЖ, Е) ^ Е, всякое, А Е Е соответствует тензору кривизны Rx Е ЩЖ, Ш), определяемому следующими условиями R*(p a q) = р A q, Rx{p, А и) = 0, Rx{q, А и) = О, ДА (и Л v) = 0 для всех и, v Е Е;

ЩЕ, I}) ~ 'P (f)) — всякий элемент Р Е «Р (()) соответствует тензору кривизны Rp Е ЩЕ, 1}), определяемому следующими условиями Rp (q Л и) = Р{и), Rp (u A v) = -Цр, А Р*{и A v)), Rp{p A q) = 0, Rp (p Л и) = 0 для всех u, v Е Е;

Щр, А Е) ~ S2(E), всякое линейное отображение Т: Е —> Е, такое что Т* = Т, соответствует тензору кривиз71ы R1 Е ЩрАЕ), определяемому следующими условиями RT (qAu)=pAT{u), Rr (uAv) = 0, RT (p A q) = 0- RT (p, А и) = 0 для всех u, v Е Е.

III) Если з (()) ф {0}, то для любого линейного отображения ip: f) —> Е с условием ipy = 0 имеем Щкег ip) ф ЩЕ, I), у) ф Щр, А Е), где.

ЩЕ, t),(p) ~ V{}), произвольный элемент Р Е V (l)) соответствует тензору кривизны Rp Е И (Е, f), ip), такому что Rp{q Ли) = Р{и) + 4>{P{u))p Л q, Rp{u Л v) = -{р Л Р*(и Л и)), Rp (apAq) = -рЛ Р*((р*(а)), Rp (pAu) = 0 для всех, а ЕШ, u, v е Е,.

IV) Если существует ортогональное разложение Е = Е $ Е2, такое что 1){Е2) = {О} (те f) С so{E)), dim^lj) >п — т, гдет = dim2? i, то для любого линейного сюръективного отобраэюения ф Е2 с условием ф |t)' = О имеем.

4,W) = ^(ker ф) ф ЩЕи Ь, Ф)@ЩрА Ег), где.

ЩЕ,), ф) ~ ^ib), произвольный элемент Р Е соответствует тензору кривизны Rp Е 7i (Ei, Ь, ф), такому что Rp{q Л щ) = Р{щ) +рЛ ф{Р{щ)), Rp{u 1 Л ы) = -{р Л Р*{щ Л Vi)), RP (p, А и2) = -р Л Р*(ф*{и2)), Rp{p Л q) = О, Rp (p Л и) = О, Rp (u2 Л и) = О для всех щ, v Е Е, и2 Е .Е^, и Е Е.

Следствие 1. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С во (1, п+1)кр является алгеброй Берже тогда и только тогда, когда ее ортогональная часть С so (rc) является слабой алгеброй Берже.

Следствие 2. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С 5о (1, п + l) ip, такая что ее ортогональная часть f) С 5о (п) является алгеброй голономии риманова многообразия, является алгеброй Берже.

Следствие 1 сводит проблему (2) к проблеме классификации слабых алгебр Берже f) С 5о (п). Далее мы изучаем их свойсхва.

Теорема 5. (I) Для всякой слабой алгебры Берже f) с 5о{п) существует ортогональное разложение Rn = Жп° 0 МП1 ф • • • ф МПг пространства Мп и разложение алгебры Ли {) в прямую сумму идеалов.

Ь = {0} Ф f) i ® •" Ф f) rщи этом = 0 при г ф j,)г с 5о{пг) и представление f) z неприводимо в Еп'.

II) Предположим что дана подалгебра f) С so (n), для которой существует ортогональное разложение М&trade- = ф К" 1 ф • • • ф Wlr пространства Rn и разложение алгебры Ли) в прямую сумму идеалов f) = {0} Ф f) i ф • • • Ф i) r, при этом f) j (Rnj) = 0 при г ф j, I), С $о (пг) и представление) г неприводимо в М" 1. Тогда имеет место равенство.

Следствие 3. При тех же предположениях, что и в пункте (II) теоремы 5, f) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда алгебра) г является слабой алгеброй Берже при всех г — 1, ., г.

Используя теорию представлений компактных алгебр Ли, мы получаем список неприводимых подалгебр I) С so (n) для п <9. С помощью программы Mathematica 4 0 мы находим пространства V{)) как решение системы линейных уравнений Доказываем следующую теорему.

Теорема 6. Для п < 9 неприводимая подалгебра fy С so (n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Следующая теорема, доказанная Т Лейстнером, обобщает этот результат для произвольных п.

Теорема О. Всякая неприводимая подалгебра f) С so (n) является слабой алгеброй Берэюе тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Доказахельство этой теоремы изложено на более чем 100 страницах, оно использует классификацию неприводимых представлений компактных алгебр Ли В [47] эта теорема была доказана для f) С и (|) С so (n) Теорема б была получена независимо и помещена в математический архив (arXiv math DG/304 407,[30]) После эюго появились работы [48] и [49], где теорема О была доказана для простых () С во (n), f) .

Теперь решение проблемы (2) можно сформулировать следующим образом:

Теорема 7. Подалгебра g С so (l, п + 1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй Берже тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр gi. fj^g4,f), m, t/> с 50(1)П4- fj q so (n) — алгебра голономии риманова многообразия.

1. Алексеевский Д В Римановы пространства с необычными группами голономии / Д В Алексеевский // Функциональный анализ и его приложения — 1968. — Т. 2., Выи 2-С. 1−10.

2. Алексеевский Д В. Однородные римановы многообразия отрицательной криви-шы / Д В Алексеевский // Мат. сборн 1975. — N° 1 — С. 93−117.

3. Алексеевский Д В Геометрия пространств постоянной кривизны / Д В Алексеевский, Э Б. Винберг, А. С. Солодовников // Итоги науки и техники / ВИНИТИ Т. 29. Совр. пробл. маг. Фунд напр — М., 1988 — С 5−146.

4. Ambrose W A theorem on holonomy / W. Ambrose, I M Singer // Trans Amer. Math Soc 1953 — Vol. 79. — Pp. 428−443.

5. Астрахапцев В В О группах голономии чешрехмерных псевдоримановых пространств / ВВ. Астрахапцев / / Маг заметки. 1971 — Т 9 — № 1. — С 59−66.

6. Batrachenko A Generalized holonomy of M-theory vacua Электронный ресурс] / A Batrachenko, M. J. Duff, J. T. Liu, W. Y Wen. Режим доступа. http://arXiv:hep-th/312 165, свободный.

7. Becce А. Многообразия Эншгейна / A Becce Пер с англ. — Т. 2. — М Мир, 1990. — 384 с.

8. Berard-Bergery L On the Holonomy of Lorentzian Manifolds / L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Proceeding of symposia in pure math. 1993 -Vol 54. — Pp 27−40.

9. Berard-Bergery L. Sur l’holonomic des varietes pseudo-riemannicnnes de signature (n, n) / L Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Bull Soc Math France 1997 — Vol 125 — F.l. — Pp 93−114.

10. Berger M. Sur les groupers d’holonomie des varietes acormexion affine et des varietes riemanniennes / Berger M. // Bull. Soc. Math. France — 1955 -Vol 83. — Pp 279−330.

11. Berger M. Les espace symetriques non compacts / Berger M // Ann Sci Ecole Norm. Sup 1957 — Vol. 74. — Pp. 85−177.

12. Borel A Groupes d’holonomie des varietes riemanniennes / A Borel, A. Lichnerowicz // C. R Acad. Sci. Paris. — 1952. — Vol. 234. — Pp. 279−300.

13. Boubel Ch. Sur 1'holonomie des varietes pseudo-riemariniennes. / Ch Boubel PhD thesis Umversite Henri Poincare. — Nancy. — 2000. — 218 p.

14. Boubel Ch On the holonomy of Lorentzian metrics / Ch. Boubel // Publication de TENS. Lyon. — 2004 — no 323. — 34 p.

15. Boubel Ch Dynamics of some Lie subgroups of 0(n, 1), applications / Ch Boubel, A Zeghib // Prepublication de TENS. Lyon. — 2003 — no 315.

16. Bryant R Metrics with exceptional holonomy / R. Bryant // Ann. of Math. 1987 — Vol 126(2) Pp 525−576.

17. Bryant R Recent advances in the theory of holonomy / R. Bryant // Semmaire Bourbaki 51 eme annee. 1998 — 99. — no. 861 — 24 p.

18. Винберг Э В Строение групп и алгебр Ли / Э. Б. Винберг, В. В. Гор-бацевич, А Л Онищик // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 41: Совр пробл мат Фунд напр — М., 1990. — С. 8−248.

19. Винберг Э. Б. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам / Э Б Винберг, А Л Онищик М • УРСС, 1995 344 с.

20. Di Scala A J. The geometry of homogeneous submamfolds of hyperbolic space / A J Di Scala, C. Olmos // Math. Z, 2001 Vol 237 — Pp 199 209.

21. Дьедонне Ж Линейная алгебра и элементарная геометрия / Ж. Дье-донне М Наука, 1972. — 336 с.

22. Cartan Е Les groupes reels simples finis et contmus / E Cartan // Ann Scient Ecol Norm Sup 1914. — Vol. 31. — Pp 263−355, ou Oeuvres completes T III. — Pp 659−746 et Pp 799−824.

23. Cartan E. Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann / E Cartan // Bull Soc math France, 1926. — Vol. 54. — Pp. 214−264, 1927 — Vol 55 — Pp. 114 — 134, ou Oeuvres completes Т. I, Vol 2 — Pp 587−659.

24. Cartan E. Les groupes d' holonomie des espaces generalises / E. Cartan // Acta. Math. 1926. — Vol. 48 — Pp. 1−42, ou Oeuvres completes T III, Vol 2 — Pp. 997−1038.

25. Галаев А. С. Слабо неприводимые подгруппы в SU (l, n +1) /АС Галаев // Матемахика Механика: Сб науч тр. Сараюв: Изд — во Сара г ун-та, 2004. — Выи.6. — С. 27−30.

26. Галаев А. С. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы голономии лореицевых многообразий / А. С. Галаев // Известия Сарат ун-ia. Мате-машка. Механика Информатика 2005. — Т 5, Вып 1 — С. 3−12.

27. Галаев, А С Алгебры голономии лоренцевых многообразий /АС Галаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006 — № 3, Вып. 1. — С. 5−9.

28. Galaev A.S. The spaces of curvature tensors for holonomy algebras of Lorentzian manifolds / A.S. Galaev // Differential Geometry and its Applications 2005 — Vol. 22 — Pp. 1−18.

29. Galaev A S. Metrics that realize all Lorentzian holonomy algebras / A S Galaev // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 2006 — Vol 3. — Nos. 5−6 — Pp. 1025−1045.

30. Galaev A S. Classification of holonomy groups for pseudo-Kahlerian manifolds of index 2 Электронный ресурс] / A. S. Galaev Режим доступа: http://arXiv:math.DG/405 098, свободный.

31. Galaev A S Remark on holonomy groups of pseudo-Riemannian manifolds of signature (2, n + 2) Электронный ресурс] /AS Galaev Режим доступа: http: //arXiv:math.DG/406 397, свободный.

32. Goldman W. M. Complex hyperbolic geometry / W M GoldmanClarendon Press, Oxford, 1999 316 p.

33. Figueroa-O'Farull J Maximal supersymmetnc solutions of ten and elevendimensional supergravity Электронный ресурс. / J. Figueroa-O'Farrill, G Papadopoulos. Режим доступа, http: //arXiv:hep-th/211 089, свободный.

34. Figueroa-O'Farrill J Supersymmetry and homogeneity of M-theory backgrounds Электронный ресурс] / J. Figueroa-O'Farrill, P. Meessen, S Philip Режим доступа http'//arXiv:hep-th/409 170, свободный.

35. Hano J. On the holonomy group of linear connections / J. Hano, H Ozeki // Nagoya Math. J. 1956. — Vol. 10. — Pp. 97−100.

36. Helgason S Differential geometry and symmetric spaces / S. Helgason. -Academic Press New York and London, 1978. 487 p.

37. Hull C. Holonomy and symmetry in M-theory Электронный ресурс] / С. Hull. Режим доступа: http: //arXiv:hep-th/305 039, свободный.

38. Ikemakhen A Examples of indecomposable non-irreducible Lorentzian manifolds / A Ikemakhen // Ann. Sci Math. Quebec. 1996. — Vol. 20. -N 1 — Pp 53−66.

39. Ikemakhen A Sur l’holonomie des varietes pseudo-riemanniennes de signature (2,2 + n) / A Ikemakhen // Publ Mat 1999 — Vol 43. -no. 1. — Pp 55−84.

40. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Т. 1,2. — М Наука, 1981. — Т. 1 — 334 е., Т. 2 -415 с.

41. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б А. Розенфельд. М.: Наука, 1966. — 648 с.

42. Sfetsos К Supersymmetry and Lorentzian holonomy in various dimensions / K. Sfetsos, D. Zoakos // J. of High Energy Physics 2004 — Issue 9 -Pp 10−27.

43. Желобенко Д. P. Представления групп Ли / Д. Р. Желобенко, А И Штерн М: Наука, 1983. — 357 с.

44. Joyce D. Compact manifolds with special holonomy / D Joyce. Oxford University Press, 2000 — 480 p.

45. Leistner T Berger algebras, weak Berger algebras and Lorentzian holonomy / T Leistner // Berlin, 2002. — sfb — 288 — Preprint, — no 567.

46. Leistner T Towards a classification of Lorentzian holonomy Groups Электронный ресурс] / T Leistner Режим доступа http. //arXiv math DG/305 139, свободный.

47. Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups Part II: semisimple, non-simple weak Berger algebras Электронный ресурс] / T Leistner — Режим доступа: http. //arXiv.math DG/309 274, свободный.

48. Leistner T Holonomy and parallel spmors in Lorentzian geometry / T Leistner PhD thesis, Humboldt — Universitat zu Berlin., 2003. — 173 p.

49. Simons J On the transitivity of holonomy systems / J Simons // Annals of Math. September 1962 — Vol 76(2). — Pp 213−234.

50. Schwachhofer L. On the classification of holonomy representations / L Schwachhofer // Habihtationsschrift, Mathematisches Institut der Universitat Leipzig, 1999.

51. Walker A. G On parallel fields of partially null vector spaces /AG Walker // Quart J of Math September 1949 — Vol 20 — Pp. 135−145.

52. Wang M Y. Parallel spinors and parallel forms / M. Y Wang // Ann Global Anal Geom 1989 — Vol 7(1). — Pp 59−68.

53. Wu H Holonomy groups of indefinite metrics / H Wu // Pacific J of Math. 1967. — Vol 20. — Pp 351−382.