Тригонометрические ряды и полиномы с неотрицательными частными суммами

Все три главы, из которых состоит диссертация, посвящены изучению тригонометрических и, более общо, функциональных как рядов, так и полиномов, все или только некоторые частные суммы которых неотрицательны на прямой или заданном заранее промежутке. Изучаются различные вопросы, связанные с поведением частных сумм тригонометрического ряда, и, в частности, тригонометрические ряды, все частные суммы которых неотрицательны на прямой или интервале (0,7г). Ставятся и решаются в точном или порядковом смысле новые экстремальные задачи, связанные с неотрицательными тригонометрическими полиномами. Основное и самое существенное отличие изложенных методов исследования состоит в том, что получаемые результаты неулучшаемы в том или ином смысле.

Результаты, изложенные в диссертации, в большей части уже опубликованы (см. статьи автора [В2 — В21] из списка литературы), в любом случае, основные.

Применяемые обозначения стандартны и напоминаются по ходу изложения. Нумерация обычна и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы.

Теперь перейдем к описанию содержания диссертации и точным формулировкам полученных автором результатов, а также к их обсуждению.

В первой главе диссертации получены оценки как коэффициентов, так и частных сумм тригонометрических и, более общо, некоторых функциональных рядов с неотрицательными частными суммами. Результаты этой главы были опубликованы автором в статьях [В2], [ВЗ], [В4], [В5], [ВТ], [BIO], [В11], [В14], [В17], [В18], [В21].

Пусть / - действительная функция, определенная на сегменте I = [О, А], где, А > 0, и интегрируемая на нем. Будем писать / € Dq (I), если функция / удовлетворяет следующим четырем условиям: а) /(0) = 1- 6) есть такое число s = s/ > 1, что функция / не возрастает на отрезке [0,A/s]- с) есть такое число До € (0,Д), что на интервале (0,До) функция / п.в. неотрицательна, а на интервале (Д0,А) функция / п.в. неположительнаd) функция / положительна в некоторой правой окрестности нуля и на интервале (max{A/s, Д0}, А) функция / не тождественна п.в. нулю.

В § 1.1 доказывается, что если функция / 6 А) (Л > то Уравнение, А t~af (t)dt = 0 (1) имеет единственный корень, а = а/ < 1, fj t~Qf (t)dt > 0 при всех v € (0, А), /0A/s Га f (t) dt > О и, более того, лД.

7-а) / t~1f (t)dt> 0 при всех 7 € (-00, а) U (а, 1). (2).

Jo.

Условие (2) позволяет при заданной функции / легко оценивать и вычислять число а.

С функцией / 6 Dq (I) будет связываться положительная постоянная.

Af = b1-* (1-a)-1 [J S t-" f (t)dty (3).

Кроме условий а), 6), с), d) на функцию / будем иногда накладывать дополнительное условие: существует такое число К — Кf > 0, что.

1/0*1) — /(жг)| < К l^i ~ х2 при всех хг, х2 в [0, A/s]. (4).

Вводится (см. § 1.1) и несколько более общий класс функций / € D (I), который содержит в себе все функции / Е Dq (I). Пока важно только знать, что обозначения (1), (3) и свойство (2) распространяются и на этот более общий класс функций.

Одним из основных результатов § 1.1 является.

Теорема 1.1.2. Пусть функция / G D (I) и удовлетворяет условию (4), п — произвольное натуральное число и действительные числа {Afcj^-o, 5 {(p (m)}m=i таковы, что выполнены условия.

О = А0 < Ai < А2 < • • • < Ап, (5) L т * *.

А, А р (т) + S2 ак /(Afc х) > 0 при п.в. х? (—, — } к=0 Лт+l Лт ' и всех т = 1,., п — 1, m p (m) + ^ ak > 0 при всех m = 1,., n — 1, tfn) + 5>/(Afc*)>0 при n.e. x e.

Тогда справедлива оценка n fe=o n-l.

А/ (1+А'Д (2 — с)" 1) Ajf"? И" 01 («)+ m= 1 A/|a0|(A"/A1)1» °.

6).

Теорема 1.1.2 является довольно общей. Значительная часть главы 1 посвящена различным конкретным частным случаям теоремы 1.1.2. Наиболее важный пример функции / 6 Do (I) получаем в случае, когда f (x) = cosx, Д = Зтг/2, 5 = 3, А0 = тт/2, Kf = 1. (7).

Этот частный случай подробно рассмотрен далее в §§ 1.2 — 1.10. По сути большая часть главы 1 посвящена конкретному случаю (7). Только в §§ 1.2 и 1.11 кратко рассматриваются некоторые другие функции /. Прежде всего это связано со стремлением яснее изложить основные новые идеи, а не гнаться за количеством рассмотренных примеров. Оценка (6) интересна даже в случае.

В этом случае вместо (6) имеем хотя и значительно более простую, но все еще содержательную оценку р (т) = 0 при всех m = l,., n.

8).

Как частный случай общих результатов получена.

Теорема 1.1.3. Пусть функция f? D (I) и последовательность действительных чисел таковы, что afc ^ 0 пРи всех т = 1,2,., и т АЛ д д.

Q>k f (kх) > 0 при п.в. х? (-р—-7 , —) и т > 1 шах{т + 1, ш} га/.

Тогда ац > 0 и для всех натуральных п верна оценка k=Q $>fc< Afa0 п1 Q fc=0.

Из полученных в § 1.1 довольно общих результатов, в частности, из теоремы 1.1.3 в §§ 1.2, 1.3, 1.4 и 1.11 делаются следствия для конкретных функций /, которые существенно обобщают и уточняют результаты А. Сельберга, С. Човла, М. и Ш.-И. Изуми и других.

В § 1.2 более подробно рассмотрен частный случай доказанных теорем для конкретной функции (7). Это один из наиболее важных примеров функции / 6 -Do ([О, Д]) • Обратим внимание, что и в §§ 1.2 — 1.10, и далее во введении при обсуждении результатов этих параграфов число, а Е (0,1) является единственным корнем (см. также [Z1, с. 307]) уравнения г. Зтг/2 t~a costdt = 0. (9) о.

J о.

В этом частном случае положительная постоянная (3) равна.

Л = (1-а)" 1(у) (у Г* costdt). (10).

Таким образом, в случае (7) выполняются все условия а), 6), с), d) и (4). Корень, а 6 (0,1) уравнения (9) удовлетворяет (см. § 1.2) оценкам.

— (П).

Этих простых оценок достаточно для всего дальнейшего изложения.

Хотя оценок (11) для всего дальнейшего изложения будет вполне достаточно, отметим, что, а = 0,30 844 377 956. Эта постоянная Появляется и при изучении некоторых других вопросов теории тригонометрических рядов. Например, постоянная Р = 1 — а — как единственный положительный корень уравнения /Q3tp sin tdt = 0, эквивалентного уравнению (9), введена в 1929 году в работе К. Гран-дьота, В. Ярника, Е. Ландау и Дж. Е. Литтлвуда [G2] при изучении поведения в окрестности нуля суммы тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами. Значение постоянной, а с 15 знаками после запятой приведено в [L2]. Отметим также, что (см. (1.2.5)) для абсолютной положительной постоянной (10) верна оценка 1 < 31-а < А < 4.

Из теоремы 1.1.2 выводится все еще достаточно общая.

Теорема 1.2.1. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа {Afc}?0, > {^(m)}m=i каковы, что выполнены условия (5),.

ГГ1 ср (т) + ^^ ад. cos (Afc х) > 0 при х? {0} U ^ и всех т = 1,., п — 1,.

37 Г 37Г «2Am+i 2Am fc=u.

71″ 37 Г.

2А~'2Л/ ^ к—О.

Тогда справедлива оценка ак < Al ?>(«)+.

А к=0.

71 — 1 — 1 «ттг=1? И» «)! — А? м) + А М (л7) ттг=1 где абсолютные положительные постоянные.

Более того, в частном случае (8), если условие (12) выполнено и при х — 0, можно утверждать, что ао > 0 и верна оценка.

П Д 1 —Q к=О 1.

Из этой теоремы вытекает следующая важная.

Теорема 1.2.4. Пусть п > I — произвольные натуральные числа и действительные числа ао, и {(р (т)}^п=1 таковы, что выполнено условие.

— Зтг у?(ш) + «о + ak cos (k х) > 0 при всех х? к=1 и всех т = /,., п .

SmJ.

Тогда справедлива оценка ао +? < 3 И")| + 5″ 1-* 2 + Л |ао1 (7 ' k—l т=1.

Более того, в частном случае tp (m) = 0 при всех т = 1,., п (13) обязательно ао > 0 и верна оценка.

1 —а ар + У^ ak < Л а0 (у) k=l.

Частным случаем теоремы 1.2.4 является.

Теорема 1.2.5. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа {afc}?=0 таковы, что выполнено условие тп.

Г^Ofc cos (A-х) > 0 при всех х и всех m = l,., n. (14) k=о.

Тогда справедлива оценка п ак<�Аа0п1~а. (15) к=О.

Верна и несколько более общая.

Теорема 1.2.6. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа 6 > О, {"/ь}£0 и {(m)}m=i таковы, что выполнено условие т р (т) + ^^ а/с cos (k х) > О при всех х 6 [—<5, <5] и всех т = 1,., п. к=о.

16).

Пусть п (6) — наибольшее целое число меньшее minjrc + 1, 37г/(2<5)}. Тогда справедлива оценка п 71−1 |, X, п (ё).

31^)1 + 5^" ° (17) к=0 m= 1 к—О.

Конечно, если 6 > 37г/2, то в теореме 1.2.6 число п (б) = 0. Поэтому теорема 1.2.6, как частный случай, содержит в себе вариант теоремы 1.2.4 при I = 1, достаточно взять д = 2тг .

Оказывается, оценка (15) неулучшаема в порядковом отношении. Это будет показано в пункте 1.2.3. Более того, далее в § 1.5 будет доказано, что неулучшаемы в порядковом отношении также и оценки в теореме 1.2.4, а значит и в теореме 1.2.6.

Кратко остановимся на истории теорем, аналогичных теоремам 1.2.4 и 1.2.5, которая подробно изложена в пункте 1.2.2. В 1965 г. С. Човла в работе [С1] поместил доказательство результата, принадлежащего, как он пишет, А. Сельбергу и, по существу, утверждающему, что если последовательность неотрицательных чисел {ofcj^o удовлетворяет условию m.

У" cik cos (kx) > 0 для всех х и m = 1,2,., (18) к=О то п О (п13) для всех (3 > — а. (19) fee 1.

В частности, если неотрицательная последовательность монотонно стремится к нулю и верно (18), то ап = О (п-7) для всех 7 < а. (20).

Конечно, в порядковых соотношениях вида (19) и (20) всегда предполагается, что п стремится к бесконечности.

М. и Ш.-И. Изуми [II] обобщили теорему А. Сельберга, по сути доказав, что если последовательность действительных чисел {ak}^L0 удовлетворяет условию Yl™=i > 0 при всех m = 1,2,., в частности, если она неотрицательна, и для некоторых /3 G [0,1) и С > 0 выполнено условие т ак cos (kx) > — Cm13 для всех х и т = 1,2,., (21) к=1.

ТО п т ah = О (nu+l) для всех у > тах{/3, 1 — а}. т=1 А-=1.

М. И. Дьяченко [D2] другим методом доказал частный случай результата А. Сельберга, показав справедливость оценки (20) при 7 < 2 (2 + Зтг)" 1 < а.

Автор [В2] доказал, что для неотрицательной монотонно невозра-стающей последовательности {dk}kLo из (18) следует оценка (20) при 7 = а. Этот результат, в отличие от предыдущих, точен в порядковом отношении. Затем в работе [ВЗ] автор обобщил этот результат, доказав, что для произвольной последовательности неотрицательных чисел {ajt}bLo из вытекает оценка п.

Як < 4а0 п1~а при всех п = 1,2,., (22) к=О и, в частности, верно (19) при (3 — 1 — а. Этот результат усиливает теорему А. Сельберга и является неулучшаемым в порядковом отношении. Обратим внимание на то, что теорема 1.2.5 обобщает и уточняет последний результат, а теорема 1.2.6 не только содержит в себе последний результат, но и обобщает и уточняет сформулированный выше результат М. и Ш.-И. Изуми: теорема 1.2.6 показывает, что если для некоторой последовательности действительных чисел {ofc}?L0 и некоторых положительных (3 и С верно (21), то ак = 0{W (n)), где функция.

1п1~а, если (3 < 1 — а, l + lnn) n1-a, если /3=1-а, (23) п13, если (3 > 1 — а .

Этот результат, как показано в § 1.2, неулучшаем в порядковом отношении. В возможности получать неулучшаемые в порядковом отношении результаты и состоит основное преимущество нашего метода по сравнению с методами, применяемыми другими названными выше авторами. Таким образом, такие теоремы, как теоремы 1.2.5, 1.2.4 и 1.2.6, являются и обобщениями и уточнениями полученных ранее и указанных выше результатов. Вопросы неулучшаемости по порядку доказанных в § 1.2 результатов рассмотрены в пункте 1.2.3. В частности (см. пример 1,2.1), получена оценка т.

2 + ^^ k~J cos (kx) > 0 при всех х, 7 > а и т > 0, (24) к= 1 которая с абсолютной постоянной А7 вместо конкретного числа 2 хорошо известна (см. [Z1, с. 307]) и, согласно А. Зигмунду (см. [Z1, с. 592]), принадлежит Литтлвуду, Салему и Изуми. Из оценки (24) и вытекает неулучшаемость теоремы 1.2.5 по порядку. Доказана также неулучшаемость теорем 1.2.2 и 1.2.4.

В пункте 1.2.4 получены оценки сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу. Это обобщения теорем пункта 1.2.1, которые позволяют по оценкам снизу частных сумм тригонометрического ряда указывать неулучшаемые по порядку оценки сверху. Например, следующий результат является обобщением и следствием теоремы 1.2.1.

Теорема 1.2.9. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа «{Afc}fc=o ч {Gfc}fc=o i? {^(m)}m=i maковы, что выполнены условия (5) и т р (т) + о, о + (ак cos (^k х) + bk х)) > 0 при всех к=1.

ЗТГ 37 Г.

67 Г 67Г х 6 '0 ~ 2Л~ ' Х° + 2Х~) U m = Тогда справедлива оценка п а0 4- ak cos (Xk х0) + Ьк sin (Afc х0)) < Ах <�р (п)+ к=1 А2 Ajfe J2 (ЛГ1 — АГ+) + Л |а0| (^)1а, т=1 где абсолютные положительные постоянные.

Ч77.

М = Л (1 — З0−1) «A2 = a (I + w—^ те же, что и в теореме 1.2.1. Более того, в частном случае (8) обязательно ао > 0 и верна оценка Л&bdquo- 1-а а0 + cos (Xkx0) + bk sin (Afcx0)) < AaQ ^ J k=l *.

Для формулировки других результатов будем далее обозначать т.

Sibm (x) = а0 + ak cos (кх) + Ьк sin (kx)) при т > I — 1. (25) к=1.

Одним из центральных результатов главы 1 является.

Теорема 1.2.10. Пусть п > I. — произвольные натуральные числа и действительные числа х0, ао, {ajt}?=/, и {^(т)}т=/ таковы, что, в обозначении (25), выполнено условие.

37 Г 37Г.

Х° ~ 2 т ' 2 т / и т = I,., п. Тогда справедлива оценка п-1 я"ы < 3 и"м+5 n1- Е ^+а м (у У~а т=1.

Более того, в частном случае (13) обязательно ао > 0 и верна оценка.

Л 1 —а 1).

Из теоремы 1.2.10 немедленно вытекает один из самых красивых результатов главы 1.

Следствие 1.2.1. Пусть п > I — произвольные натуральные числа и действительные числа a0, {ak)k=i {bk)k=i и {^(m)}m=f таковы, что, в обозначении (25), выполнено условие tp (m) + Siim (х) > 0 при всех х и т — 1,., п. (26).

Тогда справедлива оценка шах $,"(*) < 3 <�р (п) + 5 n1-" J2 ^^ + А |а0| (j У" «• (27) т=1.

Более того, в частном случае (13) обязательно ао > 0 и верна оценка.

1-а.

Л 1 —a т) •.

Таким образом, оценка снизу (26) для сумм (25) позволяет получить оценку сверху (27), неулучшаемость которой доказывается в § 1.5. Для краткости будем (см. (25)) обозначать т.

Sm (x) = 5i, m (or) = ак cos (kx) + bk sin (кх)) при m > 0. (29) к=1.

Из следствия 1.2.1, в частности, вытекает.

Теорема 1.2.11. Пусть п ~ произвольное натуральное число и действительные числа •> {^k}k=i и {^(m)}m=i таковы, что, в обозначении (29), выполнено условие р (т) + Sm (x) > 0 при всех х и т — 1,., п. (30).

Тогда справедлива ог^енка max |5п (х)| <31^)1 + 5^-° У" + А |а0| пх~а. (31) х ' ffl m=2.

Для случая (8) теорема 1.2.11 превращается в.

Следствие 1.2.2. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа {аА?}/?=0, {^e}/?=i таковы, что, в обозначении (29), выполнено условие.

Sm{x) «> 0 при всех х и ш = 1,., п. (32).

Тогда верна оценка max |Sn (z)| <�Аа0п1~а. (33).

Наконец, приведем соответствующий вариант теоремы 1.2.6.

Теорема 1.2,12. Пусть произвольное натуральное число п, действительные числа 6 > О, {"Ar}fc—о ' {WaUi j {р (т)}т=1 и отрезок J = [с*о, А)] ^ /5о, таковы, что, в обозначении (29), выполнено условие р (т) + Sm (x) > 0 при всех х е [<*о — 6 ,/30 + 6] и всех т — 1,., п .

Пусть целое число п (б) определено так эюе, как в теореме 1.2.6. Тогда справедлива оценка.

П-1, / ч| п (б) max Sn (x) < 3 |9(n)| + 5 n1″ *? S + A (? (4 + Я)^) .

X t J lit^. *.

Теорема 1.2.12 показывает, что оценка снизу всех частных сумм (29) на некотором промежутке I = [ ао — 6, /Зо + б ] позволяет получить оценку сверху частных сумм (29) на любом отрезке, лежащем внутри промежутка /. Естественно, что при 6 = 2т: теорема 1.2.12 переходит в теорему 1.2.11.

В § 1.3, используя результаты § 1.2, изучаются тригонометрические косинус-ряды с квазимонотонными коэффициентами и равномерно ограниченными снизу частными суммами. Пусть {dk}kL0 ~ последовательность действительных чисел и п.

Sn (x) = ^ cifc cos (kx) при п ~ 0,1,.. (34) fc=0.

Будем говорить, что частные суммы ряда оо ak cos (kx) (35) к=О равномерно ограничены снизу, если найдется такая вещественная постоянная С, что Sn (x) > —С при всех х и всех п > 0. Если все частные суммы тригонометрического ряда (35) неотрицательны, т. е.

Sn (x) > 0 ПРИ всех х и п = 1,2,., (36) то частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу. Поэтому изучение рядов вида (35) с равномерно ограниченными снизу частными д суммами сводится к исследованию свойств тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами.

Будем писать, что неотрицательная последовательность Е.

М (в), где в — действительное число, если п~в ап > (п + I)-0 an+i при всех п > 1. Напомним, что последовательности из М (0) называются монотонными, а из М (в) — квазимонотонными.

В § 1.3 изучаются свойства тригонометрического ряда (35) с равномерно ограниченными снизу частными суммами, у которого коэффициенты монотонны или, более общо, квазимонотонны. Исследуется вопрос, когда частные суммы ряда (35) с монотонными или квазимонотонными коэффициентами равномерно ограниченны снизу. Основные результаты этого параграфа опубликованы автором в работах [В2] и.

ВЗ].

Отметим, что если при некотором натуральном п сумма n.

Sn (x) — а0 + (ак cos (kx) + Ьк sin (кх)) (37) к= неотрицательна, т. е.

Sn{x) > 0 при всех х, (38) то.

1 J / 2жк а0 + ап cos (пх) + bn sin (ni) = - > Sn ix ±J > 0 при всех х.

ТЬ V ТЬ ' к=О и, значит,.

К|2 + 1Ы2)½<�ао. (39).

Поэтому, если верно (36), то а&bdquo-| < а0 при всех п > 1. (40).

В частности, последовательность коэффициентов ряда (35) с равномерно ограниченными снизу частными суммами ограничена.

Если функция / €^2тг, 1 < Р < °о? то, как обычно, обозначаем.

11/11, = = Г m]Pdt)1/P при (41) и.

Цоо = = ess sup f{t). (42) t.

Если верно (36), то норма || Sn ||j — Qq не зависит от п. Поэтому по-известному результату Хелсона (см. [HI], [В1, с. 236], [Z1, с. 453, теорема 8.4], [Е1, с. 100−101, пункт 12.7.9]), если частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу, то его коэффициенты стремятся к нулю, а по результату Салема и Зигмунда (см. [Z1, с. 456, теорема 8.11]) 1 i ак I = О (п/In п). Из теоремы 1.2.5 вытекает.

Теорема 1.3.1. Пусть все частные суммы тригонометрического ряда (35) неотрицательны. Тогда справедлива оценка п а/с < Лаonl~a при всех п> 1. (43) к—0.

Обратим внимание, что если последовательность неотрицательна, то оценка (43) не только значительно сильнее оценки Салема и Зигмунда, но, как показывает ряд (см. (24)) с положительными частными суммами оо.

2 + к~а cos (b) > (44) к=1 а она неулучшаема по порядку.

Из теоремы 1.3.1, в частности, вытекает.

Следствие 1.3.1. Пусть неотрицательная последовательность {afc}fcLi? М (в) при некотором 0 > 0, и выполнено условие (36). Тогда верна оценка ап < А (1 4- в) а0 п~а при всех п> 1. (45).

В частности, если неотрицательная последовательность не возрастает и выполнено условие (36), то ап < А а0 п~а при всех п > 1. (46).

Ряд (44) показывает, что оценки (45) и (46) неулучшаемы. Из сформулированных результатов следует.

Теорема 1.3.2. Пусть — квазимонотонная последовательность неотрицательных чисел. Тогда для того чтобы частные суммы ряда (35) были равномерно ограничены снизу, необходимо, чтобы последовательность { ап па была ограничена, и достаточно, чтобы последовательность { ап па была невозрастающей.

Из следствия 1.3.1 выводится.

Следствие 1.3.2. Если неотрицательная последовательность {afc)b=i квазимонотонна и частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу, то ряд (35) для любого? € (0,7г) сходится равномерно на промежутке [е, 2ж — е] и является рядом Фурье своей суммы f{x) = 'Y^kLo ak cos (kx), причем верна оценка |/(я)| ^ !°о) + 8(1 + 160)2 (ао + С) (7г/х)1-а при всех х 6 (0, 7г]. В частности, функция при всех (0, (1-е*)-1). (47).

В силу (24) все частные суммы ряда (44) положительны на прямой. По теореме Харди и Литтлвуда ([В1, с. 657]) сумма ряда (44) при р = 1/(1 — а) не принадлежит пространству. Поэтому утверждение (47) при р = 1/(1 — а) уже не обязано быть верным.

Теорема 1.3.3. Пусть последовательность неотрицательных чисел {flfc}^-! квазимонотонна и ап = 0(п~1) при п —> оо. (48).

Тогда частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу.

Отметим, что в § 1.6 будет доказано, что порядок в условии (48) теоремы 1.3.3 улучшить нельзя. Одной из основных в § 1.3 является.

Теорема 1.3.5. Если все частные суммы и все коэффициенты тригонометрического ряда (35) неотрицательны, то для любых целых чисел 0 < га < п справедлива оценка п т п + I)" «1 ]Г ak < А (т + l)01» 1 к=0 к=О U п т.

Ш (n + 1) а1 У" ак < A inf (га + l)0″ 1 V ак. п—>оо ^—т> О z—' к=О ~ к=О.

Из нее вытекает.

Следствие 1.3.3. Если последовательность коэффициентов ряда (35) с равномерно ограниченными снизу частными суммами неотрицательна, то либо ак — о (п1~а), либо есть такие положительные постоянные С и Ci, что.

Ст1-а<�уП ak.

Следствие 1.3.6. Пусть неотрицательная последовательность не возрастает. Тогда для того чтобы частные суммы ряда (35) были равномерно ограниченны снизу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие «/ пк ml > ак cos — > —<

П>1 V 2п J.

— ос.

Таким образом, следствие 1.3.6 дает необходимое и достаточное условие равномерной ограниченности снизу частных сумм тригонометрического ряда (35) с монотонными коэффициентами. В § 1.3 найдены и более простые условия равномерной ограниченности снизу частных сумм ряда (35).

По своему содержанию одним из основных в главе 1 является § 1.4. В нем изучаются тригонометрические ряды с неотрицательными частными суммами общего вида. Пусть оо ао 4- ^ (ak cos (kx) + bk sm (kx)) (49) к=1 тригонометрический ряд с действительными коэффициентами и т.

Sm (x) = ар + (ak cos (кх) + Ък sin (fcx)), т> 0, (50) к=1.

— его частные суммы, а т.

Sm (x) = ^^ (ак sin (A-x) — Ьк cos (kx)), т> 0, (51) к= частные суммы сопряженного ряда.

Пусть, как и раньше, aG (0,1) — (единственный) корень уравнения (9). Будем также использовать обозначение (10).

Основные вопросы, которые рассматриваются в § 1.4, можно сформулировать следующим образом.

Пусть для некоторого натурального числа п выполнено условие 0 при всех х и m = l,., n. (52).

Что тогда можно сказать о коэффициентах суммы Sn (x)? Если выполнено условие.

Sm{x) > о при всех х и т = 1,2,., (53) то что тогда можно сказать о коэффициентах ряда (49) и о самом ряде (49), а также его сопряженном ?

Результаты, изложенные в § 1.4, дают ответы на эти вопросы. Основной в § 1.4 является следующая.

Теорема 1.4.1. Пусть п — любое натуральное число, {(^(т)}^^ произвольные неотрицательные числа и выполнено условие.

Sm (%) > — 9{т) при всех х и т = 1,., п. (54).

Тогда верны неравенства п-1.

Р (т) т=1 U l|Sn|U<5(V (n) + n1-°? ^l) + Aa0In1″ m= 1 1 — а /.

Из этой теоремы вытекает также одна из основных.

Теорема 1.4.2. Для каждого натурального числа п, для которого выполнено условие (52), справедливы неравенства.

Sn|U = maxSn (x) < Аа0пх~а, (55) X.

Sn||eo = max Sn (x) < A (P^-) aQnl~a, (56) x l — а/.

HSnllp < a0(An1~a)1~1/p при всех pG[l, oo), n.

2al + Y/(al + bl)<2Aa20n1-«, fc=l k-1 k-'ial + bl)1'2 <9V2Aa0. k= 1.

Напомним, что постоянная A € (1,4). Заметим также, что порядок п1~а в оценках (55) и (56) улучшить, как показывает ряд (44), нельзя. Из теоремы 1.4.2 будет получено.

Следствие 1.4.1. Если все частные суммы ряда (49) неотрицательны на прямой, то (+ |bjt|)/к < оо и ряд (49) является рядом Фурье-Стилтьеса непрерывной функции ak sin (кх) — bk cos (кх) F (x) =а0 х + ————1, (57) к=1 причем и функция F (x) — ао х, и функция ос^ak cos (kx^+ bk sm (kx) ^.

А/ k=i принадлежат классу Lip, а на прямой.

Отметим, что ряд (44) показывает неулучшаемость следствия 1.4.1, поскольку тогда и модуль непрерывности функции F (x) — а0 х, и модуль непрерывности функции Ф (ж) эквивалентны модулю непрерывности ш (6) = min{6a, 7га }, S > 0. Поэтому в терминах модуля непрерывности при условии (53) сказать о гладкости функций (57) и (58) ничего больше нельзя.

Следующие результаты о поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами дополяют теорему 1.4.2.

Теорема 1.4.4. Пусть все частные суммы тригонометрического ряда (49) с вещественными коэффициентами неотрицательны. Тогда для любых целых чисел 0 < т < п справедливы оценки Sn — Sm ||оо < А || Sm ||оо ^ У" 0 '.

59) Sn + iSn Цос / / 3 — 2a || Sm + iSm ||oo (n+ !)!-" + (raf-1)1a • { }.

II Sn || оо < С 4 4. M II Srn II oo (n + 1)1″ 0 > {m + iy~".

В частности, и HSnlloo <(А+1) inf 11 n + l)1-av m>0 (m + 1)1-а lim п—*оо sn + iSn II lim / н м п-юо (п + 1)1 оо, а inf 1-а /) т>о.

II Sm + iSm II оо m + l)1 а.

Из теоремы 1.4.4, например, вытекает.

Следствие 1.4.2. Если все частные суммы тригонометрического ряда (49) с вещественными коэффициентами неотрицательны, то выполнены либо условия г llSnlloo п V 11 Sn + iSn Hoc n. lim —-r^—- =0 U lull —-—j- = 0 n-юо (П + 1)1-a ti > oo (n+l)1-a либо условия n ^ • rⁿ oo ^ Sn oo.

0 < mf —-—-X— < sup —iJ— '' ^ < oo n>0 (n + iy~a — n>0 (n + 1 y~a и.

0 < inf.

Sn + iSn || oo ^ || sn «H iSn ||.

• с Jn ~r tJn oo ^ °n T oo ^ mf -— < sup -—-r-^— < oo. n>0 (n+l)1^ n>0 (n + 1)1″ «.

Отметим, что, как уже говорилось выше, для ряда (44) условие (53) выполнено и (п+1)°-1 || 5П ||оо ж 1. Поэтому оценки (59) и (60) по порядку ((n + l)/(m + l))1-a неулучшаемы. Конечно, теорема 1.4.4 обобщает теорему 1.3.5, а следствие 1.4.2 содержит в себе следствие 1.3.3.

В § 1.5 доказывается неулучшаемость полученных в §§ 1.2,1.3 и 1.4 оценок в самом общем случае. Как и в § 1.4, рассматривается тригонометрический ряд с действительными коэффициентами (49) и используются обозначениями (50) и (51) для его частной суммы и частной суммы сопряженного ряда соответственно. Так же как и раньше, число, а 6 (0, 1) обозначает единственный корень уравнения (9).

Для действительной функции / будем использовать обозначения (х) = max{ f (x), 0}, /-(*) = .- min{ f (x), 0} для ее, соответственно, положительной и отрицательной частей. Для непрерывной периодической функции / (см. (42)), очевидно, ||/||оо = max* |/(ж)|.

Из теоремы 1.4.1 легко выводится.

Теорема 1.5.1. Пусть п — произвольное натуральное число, {<£>(т)}^=1 — любые действительные неотрицательные числа и выполнено условие (54). Тогда справедливы оценки l|5"|U<5(9(n) + n1-<�" J2 ^1)+4|а0|п1-° (61).

771= 1.

• и 1 ll^lloo < 18 Ып) + nl~a ]Г ^) + 10 М п1~а ¦ (62).

72 /.

772=1.

Поскольку числа неотрицательны, то условие (54) эквивалентно условию.

Sm ||оо < <�р (т) при всех m = l,., n.

Поэтому теорема 1.5.1 и следующая теорема равносильны.

Теорема 1.5.2. Для каждого натурального числа п справедливы неравенства.

S"||" < 5 (US" |U + п1'" ?) + 4|а0| п1−0 (63) т=1 U llSnll" < 18 (КIU + ?) +10 М п1~а • («) т=1 -26.

Хотя теоремы 1.5.1 и 1.5.2, по существу, одно и то же, но для обсуждения удобны обе эти формулировки. Цель § 1.5 — доказательство неулучшаемости по порядку теоремы 1.5.1, а значит, и теоремы 1.5.2 для любой неубывающей последовательности { ip (m). Основной в этом параграфе является следующая.

Теорема 1.5.3. Пусть п — любое натуральное число,.

7 > 0 и 0 = (р (0) < <р (1) < < <�р (п) (65).

— произвольные действительные числа. Пусть к ао = 7, ак = 1 к-а (27 +? (.

— y?(m) при всех х и т = 1,., п,.

А:=0 U т Л т ак> — kak> 2″ 37 ml~Q + t-—^ т -< т, fc=i fc=i m—1 2 7 ^.

Пусть n — натуральное число, a 7 и { ip (m) — произвольные действительные числа. Через М (п, j ,<р) обозначим совокупность всех тригонометрических полиномов (37) с действительными коэффициентами, которые удовлетворяют условию а0 = 7 и условию (54), где, конечно, Sm{x) — частные суммы полинома (37), которые задаются равенством (50).

Следствие 1.5.1. Пусть п — произвольное натуральное число и выполнены условия (65). Тогда для любой точки хо на прямой верны оценки: suplHSnlloo: Sn € M (n, 7,^)} > sup{5n (^0): Sn € M (n, 7, v)} > n-1.

2~3 7 n1-* + 2″ 7 (.

SUP{ ll5n|| oo • Sn 6 M (n, 7, v?) } > sup { Sn (xo): Sn e M (n, 7, } > n-1.

2−37nbe +2″ 7 (v9(n) + n1-a • (67) j=1.

Отсюда и из теоремы 1.5.1 вытекает.

Следствие 1.5.3. Пусть п — произвольное натуральное число, и пусть выполнены условия (65). Тогда верны порядковые соотношения: п-1 supjl^lU: Sn + j=1.

68) и n-1 sup { Halloo: 5n € M (n, 7,9) } x.

69) причем соответствующие положительные постоянные в порядковых соотношениях (68) и (69) являются абсолютными.

Обратим внимание, что следствие 1.5.3 дает порядковое решение соответствующих экстремальных задач, которые выписаны в левых частях соотношений (68) и (69), а также порядковое решение экстремальных задач, которые выписаны в средних частях соотношений (66) щ и (67) для любой произвольно взятой и фиксированной ТОЧКИ #0 •.

В случае неубывающей последовательности неотрицательных чисел { <�р (т) порядковое соотношение (68) показывает неулучшаемость по порядку оценки (61), а значит, и неравенства (63) на совокупности полиномов Sn € М (п, 7, у?). Аналогично, порядковое соотношение (69) показывает неулучшаемость по порядку оценки (62), а значит^ и неравенства (64) на совокупности полиномов Sn Е М (п, 7, <р).

В связи со следствием 1.3.1 и теоремой 1.3.3 возникает вопрос о том, для каких положительных последовательностей {cn}?L0 останется верной теорема 1.3.3, если условие (48) заменить на условие ап = 0(сп) при п —> оо. (70).

Оказывается, если последовательность положительных чисел {cn}?L0 удовлетворяет условию п сп —> оо при п —> оо, (71) то условие (48) в теореме 1.3.3 заменить на условие (70) нельзя. Это показывает следующая (см. [ВЗ, теорема 6]).

Теорема 1.6.3. Для любой последовательности положительных чисел {сп}£°=0, которая удовлетворяет условию (71), можно построить монотонно стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {ап}^0 так> что ап < сп при всех п > 0, (72) функция.

1 v^ f (x) = -а0 +22 ап cos (пх) (73).

1 П=1 на интервале (0,2ж) непрерывна и неограничена ни снизу, ни сверху, и G при всех р G (0, оо). (74).

В частности, частные суммы ряда.

— flo + cos (nx) п= 1 we являются равномерно ограниченными снизу. Пусть, как обычно,.

Аап = А1 ап = ап — an+i, Aj ап = an — AJ1 an+i, n = 0,1,., j = 2,3,. 1.

Напомним, что последовательность {an}?L0 называется выпуклой, если А2 ап > 0 при всех п > 0. Если последовательность {an}?L0 выпукла и стремится к нулю, то она монотонно не возрастает и для функции (73) справедливо представление.

В частности, в этом случае функция (73) неотрицательна на прямой. Поэтому возникает вопрос о том, можно ли ослабить условие (48) в теореме 1.3.3, заменяя его на условие (70), если заранее предполагается, что последовательность {ап}^0 является выпуклой. Оказывается, этого также сделать нельзя, поскольку верна (см. [В4, теорема 1]).

Теорема 1.6.4. Для любой последовательности положительных чисел {cn}?L0, которая монотонно стремится к нулю и удовлетворяет условию snp{ псп: п > 1 } = оо, можно построить монотонно стремящуюся к нулю выпуклую последовательность положительных чисел {ап}^=о так> что выполнено (72), функция (73) положительна на прямой, f (x) —> оо при х —" 0, и справедливо (74), но частные суммы ряда (75) не являются равномерно ограниченными снизу.

Цель § 1.6 — доказательство следующего, основного результата.

Теорема 1.6.5. Для любой последовательности положительных чисел {cn}?L0, которая удовлетворяет условию (71), можно построить монотонно стремящуюся к нулю выпуклую последовательность положительных чисел^ак, что.

А3 ап > 0 при всех j > 1 и п > 0.

76) выполнено (72), функция (73) положительна на прямой и аналитична на интервале (0,27т), справедливо (74), но частные суммы ряда (75) не являются равномерно ограниченными снизу.

Таким образом, даже если предполагать заранее, что коэффициенты ряда (75) удовлетворяют условию (76), то условие (48) в теореме 1.3.3 нельзя заменить на условие (70) так, чтобы выполнялось (71).

В § 1.7 речь идет о тригонометрических рядах с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега.

Штейнгаузом (см. [ТЗ], [HI], [В1, с. 236]) и Литтлвудом (см. [W1], [К2], [Е1, с. 100]) был возбужден интерес к следующему вопросу: обязан ли тригонометрический ряд, у которого все частные суммы неотрицательны на прямой, быть рядом Фурье? Поэтому в [Е1, с. 100] эта задача названа проблемой Штейнгауза-Литтлвуда.

В 1953 г. Туран [ТЗ] (см. [В1, с. 239−242]) построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. В связи с этим отметим (см. (24)), что все частные суммы ряда положительны на прямой, но этот ряд не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом.

С другой стороны, в 1954 г. Хелсон [HI] (см. также [В1, с. 236−239]- [Z1, с. 453]) доказал, что если частные суммы тригонометрического ряда ограничены в метрике пространства Z^*-, то коэффициенты этого ряда стремятся к нулю. Более того, в этом случае Салем и Зигмунд (см. [Z1, с. 456 и 597]) получили также неулучшаемую в порядковом отношении оценку роста 0(n/lnn) для суммы модулей первых тг коэффициентов тригонометрического ряда. В 1959 г. М. Вейс [W1] показала, что существует тригонометрический ряд, который не является рядом Фурье, т. е. Фурье-Лебега, но частные суммы которого ограничены в метрике пространства Li*. Отметим, что если все частные суммы тригонометрического ряда неотрицательны на прямой, то его частные суммы ограничены в метрике пространства Ьъ-к, но обратное не всегда верно. Наконец, в 1965 г. Катцнельсон [К2] дал отрицательное решение оо.

77).

П— 1 проблемы Штейнгауза-Литтлвуда: он построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но кото-• рый не является рядом Фурье. Заметим, что среди коэффициентов. построенного им ряда бесконечно много и положительных и отрицательных. Отметим также, что все коэффициенты косинус-ряда (77) положительны. В связи с этими результатами автор [ВЗ, с. 18] поставил вопрос:

Обязан или нет тригонометрический ряд вида (35), у которого все частные суммы неотрицательны на прямой и все коэффициенты также неотрицательны, быть рядом Фурье?

Оказывается, не обязан. Доказательство этого и является основной целью § 1.7. В частности, будет доказана.

Теорема 1.7.1. Можно построить тригонометрический косинус-ряд с положительными коэффициентами вида (35), у которого все частные суммы положительны на прямой и который не является рядом Фурье-Лебега.

В связи с этим результатом обратим внимание на то (см. следствие 1.3.2), что если коэффициенты ряда (35) неотрицательны и монотонно не возрастают и все его частные суммы неотрицательны на прямой, то он является рядом Фурье функции / 6 L^ при всех р € (1,1/(1 — а)), где, а = 0,308. — корень уравнения (9). Таким образом, коэффициенты ряда, который удовлетворяет теореме 1.7.1, не могут, начиная с некоторого места, быть монотонными.

В § 1.7 будет доказана даже более общая, чем теорема 1.7.1,.

Теорема 1.7.2. Можно построить тригонометрический ряд с неотрицательными коэффициентами вида (35), у которого все частные суммы положительны на прямой и который сходится к нулю i почти всюду.

Теорема 1.7.2 и является основным результатом § 1.7. Довольно легко (см. пункт 1.7.1) видеть, что теорема 1.7.1 вытекает из теоремы 1.7.2. Подробное доказательство теоремы 1.7.2 и является основной целью § 1.7.

При наложении условий на некоторые параметры, которые используются в доказательстве теоремы 1.7.2, будет заложен определенен ный произвол в их выборе. Если эти параметры выбрать более специальным образом, то получится.

Теорема 1,7.3. Пусть (р — произвольная неотрицательная неубывающая функция, определенная на (0, +оо), такая, что.

Ч-оо при v —> +оо. Тогда можно построить такой ряд вида (35), который удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.7.2 и card{ п > 1: п < v, ап ^ 0} <

0.

В § 1.8 речь идет о тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега. Полученный здесь результат дополняет теорему 1.7.3. Будем тригонометрический ряд записывать в комплексной форме ос Cfce 1: к < v, |с*,| + |cfc| > 0 } <

0.

В § 1.8 будет доказана довольно несложная теорема 1.8.2, которая дополняет теорему 1.7.3, показывая, что даже в случае редкой заранее заданной лакунарности не всегда возможно построить тригонометрический ряд с неотрицательными частными суммами, который обладает этой лакунарностью и который не является рядом Фурье-Лебега.

Теорема 1.8.2. Пусть при некотором натуральном q все, кроме конечного числа, коэффициенты ряда (78), индексы которых кратны q, равны нулю. Тогда, если у ряда (78) бесконечное число частных сумм неотрицательно на прямой, то тригонометрический ряд (78) является рядом Фурье неотрицательной ограниченной функции.

В § 1.8 также показывается, что теорема 1.8.2 и ее доказательство легко переносятся и на кратные тригонометрические ряды вида (78), но в этом случае векторный индекс к считается кратным q, если все компоненты индекса к, как вектора, кратны q. Более того, вместо частных сумм в теореме 1.8.2 можно брать, если угодно, и средние произвольного метода суммирования Теплица.

Результаты § 1.8 опубликованы в работе автора [В 18].

В § 1.9 следствие 1.2.2 переносится на кратные тригонометрические ряды, т. е. в § 1.9 будет получен кратный аналог следствия 1.2.2 из пункта 1.2.4.

Сначала введем соответствующие обозначения: Z — множество всех целых чиселZ+ = {0,1,2,.}- к — натуральное числоесли т = (m 1 ,., гпк) 6 Zj и n = (ni ,., п^) Е Z+, то запись т < п означает, что mj < nj при всех j = 1,., к — — п = (—пi ,. , — п^) — если, кроме того, х = {хг ,., Xk) Е Шк, где Ш. — множество действительных чисел, то (пх) = ПХ + • • • + rikXkПп = п. Пк] п = max{ni, 1}. .тах{тг/-, 1}. Пусть О' ег0х).

— кратный тригонометрический ряд с комплексными коэффициентами Cj такой, что cj = cj при всех j Е Ък. Тогда при всех т Е Z+ определен вещественный полином rn.

Кратным аналогом следствия 1.2.2 является следующая.

Теорема 1.9.1. Для каждого п Е Z+, для которого выполнено условие.

Sm (x) > 0 для всех х £Жк и всех 0 < т < п справедлива оценка max { Sn (x) :хе Rk } < Ак с0 (П+гс)1″ «», где, а 6 (0,1) — корень уравнения (9), а абсолютная положительная постоянная, А определяется формулой (10).

Отметим также, что индукцией по величине кратности можно получить и кратные аналоги следствия 1.2.1 и даже теорем 1.2.10, 1.2.11 и 1.2.12, но формулировки будут уже более громоздкими, а новых идей по сравнению с теоремой 1.9.1 не требуется. Поэтому мы ограничиваемся в § 1.9 только доказательством теоремы 1.9.1.

В § 1.10 предыдущие результаты рассматриваются как решения соответствующих экстремальных задач, т. е. приводятся новые трактовки. Доказывается также, что теорема 1.2.5 и следствие 1.2.2, по существу, равносильны.

В § 1.11 даются оценки коэффициентов конкретных функциональных рядов с неотрицательными частными суммами.

В §§ 1.2 -1.10 рассмотрен достаточно подробно частный случай (7). В § 1.11 кратко рассмотриваются другие частные случаи теорем из § 1.1.

Прежде всего в § 1.11 доказывается.

Теорема 1.11.1. Пусть Д > 0, сегмент I = [0, Д], функция f € D (I), п — произвольное натуральное число и действительные числа {Afc}fc=o 1 {Qfc}fc=o удовлетворяют условиям (5) и т. д. д ак /(к х)>0 при всех х Е { 0 } U (-г-, —).

4 Аш+1 лт J и всех т = 1,., п — 1, ак /(Ад. х) > 0 при всех х? { 0 } U (-у-, ~~^. sn лп / к~0.

Тогда ао > 0 и верна оценка п ч 1-е* ак Ъ. ао I fc=о п д. ак < Afdo (д^") где число, а = aj < 1 — единственный корень уравнения (1) и использовано обозначение (3).

Например, возьмем в теореме 1.11.1, что ч, W V л 3 0 л 1 2 In 3 — 3 In 2 s) = l-4<*>, Д = -, s = 3, A0 = i9 or"^-^-—, A = (2 — a) 31Q!, (79) где (x) — расстояние от x до ближайшего целого числа. Тогда функция / 6 Do ([О, Д]). Получим (см. также [ВЗ, следствие 8- В5, следствие 3.1]).

Следствие 1.11.1. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа удовлетворяют условиям т.

У^ ah > 0 при всех т = 1,., п к=0 U.

1 13 а* (Ь) < -? а* привсех хв (— , —) к=О к=О и всех т = 1,., п .

Тогда ао > 0 и, в обозначениях (79), верна оценка п.

Y^ak.

Теперь в теореме 1.11.1 возьмем /(я:) = 1 — 6ж (1 -х), A=i + -^=, 5 = 2 + v/3, A0 = i- 1.

2 2%/3' 2 2ч/з' а = 2->/3, i (2 + /3 (81).

Тогда также функция / G D0([О, А]). В результате получим (см. также [В5, следствие 3.2]).

Следствие 1.11.2. Пусть п — произвольное натуральное число и действительные числа {afc}fc=0 удовлетворяют условиям А.

2, ак f (kx) > 0 при всех х € 0 , — к=О и всех т = 1,., п. Тогда ао > О и, в обозначениях (81), верна оценка (80).

Отметим, что следствие 1.11.2 уточняет утверждение, приведенное С. Човла в конце его статьи [С1], где дополнительно предполагается неотрицательность чисел {afc}JL0 и утверждается только (19) в обозначениях (81).

Уже приведенные следствия 1.11.1 и 1.11.2 достаточно хорошо показывают, как применяется теорема 1.11.1 к конкретным функциям.

В главе 1 в §§ 1.2, 1.3 и 1.4 получены необходимые условия на коэффициенты тригонометрического ряда для того, чтобы все его частные суммы были неотрицательны. В главе 2, к описанию содержания которой мы теперь переходим, получены достаточные условия для того, чтобы все частные суммы тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами были неотрицательны. По сути здесь разработан новый метод, который позволяет не только получать новые результаты и передоказывать единым образом уже известные, а дает возможность получать неулучшаемые в некотором смысле результаты. В этом одно из основных отличий предлагаемого нами подхода от ранее применяемых другими авторами.

Сформулируем сначала основной результат главы 2. Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел • При всех целых неотрицательных п и действительных х через п п.

Sn (x) = ^ ak cos (kx), Sn (x) = ^^ ак sin (fex) (82) fc=0 fc=о будем обозначать частные суммы, соответственно, косинус-ряда оо y^Qfc cos (kx) (83) fc=0 и синус-ряда оо.

У^ sin (кх). (84) к=1.

Основным результатом главы 2 является следующая.

Теорема 2.0.1. Пусть {ап}^0 — монотонная последовательность неотрицательных чисел и, а > 0. Тогда, если п.

У (—ка/с > 0 при всех п > 1, (85) fc=i то справедливы следующие неравенства:

Sn (x) > 0 при всех х € (0,7г) и п > 1, (86) и.

Sn (x) > 0 при всех х е [0, тг) и п > 0. (87).

Обратно, если $ 2п{х) > 0 при всех х? (0,7г) и п > 1, (88) то выполнено условие (85).

Заметим, что Для неотрицательной последовательности условие (85) эквивалентно условию п.

У^ ((2& - l) a2fc-i — 2ка2к) > 0 при всех п > 1, (89) fc=i которое совпадает с условием > 0 при всех п > 1.

Поэтому в теореме 2.0.1 вместо (85) можно взять (89).

Теорема 2.0.1, в частности, утверждает, что из (88) вытекает (86). Поэтому утверждение (86) для монотонной последовательности {an}?Li эквивалентно утверждению.

Sn (x) > 0 при всех х € (0,7г) и п > 1. (90).

Обратим внимание на то, что в случае монотонной неотрицательной последовательности {ап}(£=1, а >0, теорема 2.0.1 дает необходимое и достаточное условие (85) для выполнения утверждения (86), причем условие (85) оказывается также необходимым и достаточным и для выполнения утверждения (90). Таким образом, условия п, а > 0 и ^^ (—l)fc1 ka, k > 0 при всех п > 1 к= 1 необходимы и достаточны для того, чтобы все частные суммы тригонометрического синус-ряда (84) были положительны на интервале (0,7г).

Следует иметь в виду, что для любого натурального п из условия Sn (x) > 0 при всех х? (0,7г) условие > 0, вытекает всегда, поскольку Sn (7r — х)/х —" Ylk=i^ак при х +0.

Заметим также, что если монотонная неотрицательная последовательность {ап}^.]^ удовлетворяет условию (85), то она, очевидно, не возрастает.

В главе 2 получены также новые условия на коэффициенты тригонометрического косинус-ряда (83) для того, чтобы все его частные суммы были положительны на прямой. На основе доказательства теоремы 2.0.1 излагаются основные идеи применяемого метода и, в основном, только та его техническая часть, которая требуется для доказательства теоремы 2.0.1 и показа возможностей предлагаемого метода. Конечно, возможности предлагаемого метода значительно шире и он применим не только для доказательства теоремы 2.0.1. Но уже приведенные в главе 2 результаты достаточно хорошо, на наш взгляд, показывают силу изложенного метода.

Всюду в диссертации квадратные скобки обозначают целую часть.

При всех натуральных п будем пользоваться обозначением тп п—1 ^ ^ ^ Ylak ~ ак ~ Q (6ш + 1 ~ 2n) arn, где т = —-. (91) т п—1 к—0 к=т.

Отметим, что ^ = а0/3 и 2 vn+1 — vn = - а[(п+1)/з] - ап при всех п > 1. (92).

Равенство (92) полезно при исследовании поведения чисел (91). При всех х > 0 определим функцию.

Г 2а0 при х 6 [0,½), а (х) = < (93).

I ап при х Е [п — ½, п + ½), п > 1.

Важную роль при изложении метода будут также играть функции.

Зтг/(2х).

М (х) = м2(х) = / a (t) cos (tx)dt, х>0 (94).

Jo и л7тг/(2х).

М4(х)= / a (t) cos (tx)dt, х > 0. (95).

Jo.

При всех целых п > 0 и действительных х используем обозначения: Аап = aTl — an+i, п J.

Уп (х) = а0 sin (|) + XI sin (+ 2) ~ an+1' ^ k=0.

Обозначения (82), (93), (94), (95) и (96) используются на протяжении всей главы 2.

В § 2.4 будет получена.

Теорема 2.1.5. Пусть последовательность удовлетворяет условиям ап > 0 и ап> an+i при п > 1, 2ао > «1, «о > 0, (97) условиям а0 > ai, 2a0 + ai > 4a2, (98) и условию vn > 0 npw ecez гг > 5. (99).

Тогда верны утверждения.

М (х) > 0 при всех х е (0, тг), (100) и.

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА.

Sn (x) > О при всех х 6 [0,7г) и п > О (Ю1).

37 Г.

Vn (x) > 0 при всех хв —о^) и п>1. (Ю2).

2п о '.

В частности, если невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {an}^L0 удовлетворяет условиям ао>0, 2а0 + а> > 4а2, а0 + > а2 + аз + а4 (ЮЗ) и.

2ап > Зазп1 при всех п> 2, (Ю4) то верны утверждения (100), (101) и (102).

Прежде, чем перейти к обсуждению этих и других результатов главы 2, многие из которых получаются по ходу доказательства теоремы 2.0.1 и представляют самостоятельный интерес, остановимся на довольно богатой истории утверждений вида (86) и (87), которую принято начинать с 1910 года, когда JI. Фейер, как предположение, высказал утверждение:

V 8Ш (Ь) > 0 при всех a: G (0, тг) и п > 1. (105) ы к.

В 1911 году Д. Джексон [J1] и в 1912 году Т. X. Гронуолл [G2] опубликовали доказательства этого утверждения. Затем появилось довольно много различных доказательств утверждения (105) разных авторов: см. JI. Фейер [Fl], Е. Ландау [L1] (см. также [Z1, гл. 2, теорема 9.4, с. 106]), П. Туран [Т1] и [Т2], Р. Аски, Ж. Фитч и Г. Гаспер [А2]. В 1912 году У. X. Юнг [Y1] доказал, что при /3 = 0 сумма k —— 1.

У. Рогозинский и Г. Сегё [R1] в 1928 г. установили (106) при (3 G (-1,1] и заметили, что есть такая постоянная (30 > 1, что (106) верно при всех (3 € (—1, (Зо), а при (3 > (30 найдется номер п и точка х такие, что.

Sn ((3,x) < 0. При (3 = /30 можно лишь утверждать, что 5&bdquo-(/3,х) > 0 при п > 0. Г. Гаспер [G1] в 1969 г. определил константу (30 как корень «алгебраического уравнения и вычислил, что /30 = 4,5678. По поводу оценок (105) и (106) можно также посмотреть [Р1, с. 89−90, 290−292].

В 1958 году J1. Вьеторисом [VI] (см. [A3]) доказана теорема, обобщающая некоторые из приведенных выше результатов и утверждающая, что если невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {flfcjfc^o ' > 0, удовлетворяет условию.

2ка2к < (2к — l) a2fc-i при к > 1, (107) то в обозначениях (82) верны утверждения (86) и (87).

Из условия (107) немедленно следует условие (89). Поэтому из теоремы 2.0.1 теорема Вьеториса получается очевидным образом. Заметим, что из теоремы Вьеториса, а тем более и из теоремы 2.0.1, вытекает и (105), и (106) при всех (3 € (— 1,0]. Сразу обратим внимание на то, что из теоремы 2.1.5 получается (106) при всех (5? (—1,2], по-# скольку условия (103) и (104) в этом случае выполнены.

В 1984 году Г. Браун и Е. Хьюитт [В23] обобщили теорему Вьеториса, доказав, что если невозрастающая последовательность неотрицательных чисел > ао > 0, удовлетворяет условию.

2к + 1) cb2k < 2к a2k-i при к > 1, (108) то в обозначениях (82) верно утверждение (87) — если же, кроме того, выполнено условие а2к — G2M-1 ПРИ всех к >, (109) то.

52п-i (x) > 0 ПРИ всех х € (0,тг) и п > 1, (110).

И ~ / JT1 0 при всех И п — *' (Ш).

Следует отметить, что в работах [В23] и [А1] в формулировке этой теоремы отсутствует условие (109). Поэтому обратим внимание на то, что без условия (109) неравенства (110) и (111) могут не выполняться.

Применяемый в упомянутых выше работах метод доказательства утверждений вида (86) и (87) (см. [В1, с. 239−242], [A3], [В23]) использует или специфический вид сумм (82), или знание поведения суммы ряда (83) или (84) для некоторых имеющих специфический вид коэффициентов, а также преобразование Абеля. Различные приложения утверждений вида (86) и (87) имеются, например, в [SI], [Т2], [G1], [A3], [В23], [А1], [В 18].

В главе 2 излагаются основные идеи развитого в работах автора [В13] и [В12] (см. также [BIO], [В11], [1319]) нового метода доказательства утверждений вида (86) и (87), в котором не требуется находить ни сумму ряда (83), ни сумму ряда (84). Метод позволяет с единых позиций доказать все известные автору утверждения вида (86) и (87) для случая монотонных коэффициентов, включая результат Гаспера [G1], и даже обобщить их. Он, например, позволяет доказать (см. [В18]), что если в сформулированной выше теореме Брауна и Хьюитта условие (108) заменить на условие.

2к +)а2к < (2кl + A) a2fc-i при fc>l, (112) то при, А? (-1, А+ ] выполнены и условия (87) и (110), и условие ~ (^ 1.

S2n (x) > 0 при всех х 6 (0,7 Г — —- и п > 1, (113).

V 2п + 1 где А+ = 2,3308. — является корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Более того, при любом, А > А+ сформулированное утверждение теряет силу. Таким образом, метод позволяет обобщить результат Брауна и Хьюитта до неулучшаемости. Однако в главе 2 мы ограничиваемся, в основном, доказательством теорем 2.0.1 и 2.1.5, поскольку основная цель главы 2 — изложить идеи нового метода исследования частных сумм тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами на неотрицательность. Одним из основных результатов, лежащих в основе метода, является.

Теорема 2.1.1. Пусть последовательность {"n}^Lo удовлетворяет условиям (97). Тогда, если выполнено условие (100), то выполнены и условия (101) и (102). Более того, теорема останется верной, если одновременно в (100), (101) и (102) знак «>» заменить на знак и «.

Теорема 2.1.1 будет доказана в § 2.3. В § 2.4 будут даны достаточные условия на последовательность {ak}kLo Для того, чтобы вы-• полнялось условие (100). Значение утверждения (102) будет ясно из дальнейшего изложения в главе 2.

Еще один существенно важный результат, лежащий в основе метода, получен в § 2.3 и формулируется следующим образом.

Теорема 2.3.4. Пусть выполнены условия (97) их 6 (0,7г]. Тогда, если.

МА{х) > 0 (114) и.

— V/2*1 (*) > о, (115) то справедливо утверждение.

Sn (x) > 0 при всех п >0. (Иб).

При этом теорема останется верной, если одновременно в (114), (115) и (116) знак «> «заменить на знак «>» .

Теоремы 2.1.1, 2.3.4 и еще несколько аналогичных теорем и составляют основу применяемого метода. Техническая часть метода состоит в различных способах доказательства утверждений типа (100), (114) и (115) в некоторой правой окрестности нуля, т. е. при всех х? (0, xq), где: r0 ~ некоторая точка из промежутка (0, 7 Г ].

Отметим также, что в силу (92) условия типа (99) для последовательности (91) доказываются довольно несложно. Например, пусть а0 = 1, ап = (2/3)* при (3fc — 1)/2 < п < (3*+1 — 1) и к > 0. Тогда условия (99), (ЮЗ) и (104) выполнены, и, значит, утверждение (101) верно в этом случае.

• В § 2.5 изучаются ряды (83) и (84) при условии (109). Здесь предполагается, что последовательность действительных чисел {cn}^L0 удовлетворяет условиям сп > 0 и сп > сп+1 при п> 0, со > 0 (И7) и.

2п = 0−211+1 — Сп при всех п > 0. (118).

Ясно, что тогда условия (97) также будут выполнены.

При целых п > 0 воспользуемся обозначением т п ^ [П + 1-].

In = Ск ~ Y1 Ск + 3 ~ Ст ' где m = —. (119) с=0 к~т.

Одним из основных следствий теоремы 2.1.1 является.

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия (117) и (118). Тогда, если справедливо (100), то верно (101), (110) и (113). Более того, теорема останется верной, если одновременно в (100), (101), (110) и (113) знак «> «заменить на знак «>» .

Из теоремы 2.1.3 будет получена.

Теорема 2.1.4. Пусть выполнены условия (117), (118) и уп > 0 при всех п > 1. (120).

Тогда верны утверждения >0 при всех п > 2 ,.

100), (101), (110) и (ИЗ).

Например, если взять сп = 22и (п)2/(2п + 1)! при всех п > 0, то, как нетрудно доказать, верно (120). Поэтому теорема 2.1.4 содержит в себе упомянутый выше результат Брауна и Хьюитта (см. [В23]).

На основе теоремы 2.1.4 и будет получена теорема 2.0.1.

Отметим также, что теорема 2.1.3 является весьма сильной. Например, если выполнены условия.

2к +)ск < (2к — 1 + X) ck-i при к > 1, то в случае Л G (— 1, Хм ] теорема 2.1.3 применима и будут выполнены и условия (101) и (110), и условие (113), где, Ам = 2,3306. является корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Более того, при любом, А > Хщ сформулированное утверждение теряет силу. Доказательство этого в главе 2 мы не приводим только потому, чтобы не отвлекаться от изложения основных идей метода. Хотя (см. лемму 2.4.9) некоторые простые примеры применения метода, не связанные непосредственно с доказательством теоремы 2.0.1, в главе 2 приводятся.

Пусть п — натуральное число и п g (ai,., an) = -min ак cos (kx) при (аь ., а&bdquo-) G Еп. (121).

X ' * к= 1.

При действительных я, ,., ап, а ,., а* имеем n n п к= 1 fc= 1 fc=l Поэтому всегда п ^(«i,., ап) — д (а,., а*п) < ак — а*к. к= 1.

Таким образом, функция д удовлетворяет условию Липшица на Rn и, в частности, непрерывна. Очевидно, что функция д выпукла на IRn. Будем рассматривать тригонометрические полиномы вида п тп (х) = ак cos (kx) (122) к=О с действительными коэффициентами.

Условимся говорить, что коэффициенты полинома (122) монотонны, если.

2"о > > '' ¦ > ап > 0.

Будем говорить, что коэффициенты полинома (122) удовлетворяют условию выпуклости, если.

2ао — 0*1 > CL — CL2 > • • • > — «п •.

Через Т+ обозначим множество всех тригонометрических полиномов вида (122), которые удовлетворяют условию.

Тп (х) > 0 при всех х, (123) т. е. неотрицательных на всей прямой. Ясно, что условие (123) можно через функцию (121) записать в виде ао > д (аи. ., ап). (124).

Пусть Вп — произвольное непустое замкнутое подмножество Мп. Нас будет интересовать экстремальная задача вида.

D{Bn, п) = min { g (ai,., an): (аь., а") е Вп }. (125).

Поскольку из условия (123) или, что-то же самое, из условия (124) следует, что 2ао > max { |"fc|: к = 1,., тг }, то всегда д (сц,., ап) > i max |afc|. (126).

Z k=l,., n.

Из (126) и непрерывности функции д немедленно вытекает, что образ д (Вп) —- замкнутое и ограниченное снизу множество на прямой. Поэтому минимум в (125) существует. Отметим, что экстремальная задача (125) может быть записана в виде.

D (Bn, п) = min{ cio: Тп е Т+ ,(аь., а&bdquo-) е Вп } .

Экстремальные задачи вида (125) являются классическими (см. [Р1, отдел 6, §§ 3, 5, 7]). Например, если Вп = {(ai,., an) G: ох -)———ап = 1}, то по известному результату Фейера (см. [Р1, отдел.

6, § 7, задача 50]) величина D (Bn, n) = l/п и единственный экстремальный полином в этой задаче — это полином с монотонными коэффициентами Г"(:г) = 2Fn (x)/n, где Fn (x) = + (1 —) cos (кх) ядро Фейера. Если же взять Вп = { (ai,., ап) 6 1″: ai = 1}, то (см. [Р1, отдел 6, § 7, задача 52]) известен результат Фейера, что в этом случае величина D (Bn, п) = 1/(2 cos (7r/(n+2)), и можно показать, что экстремальный полином единствен и имеет монотонные коэффициенты.

Интересна также экстремальная задача (125) и в случае, когда Вп.

— это множество всех точек Еп с натуральными координатами.

Решить точно экстремальную задачу (125) — это найти значение величины D (Bn, п) и все соответствующие экстремальные полиномы, а также исследовать множество всех этих экстремальных полиномов: единствен ли экстремальный полином, есть ли среди экстремальных полиномов хотя бы один с монотонными коэффициентами и так далее. Если точное решение найти сложно, то становится интересной задача определить порядок роста величины D (Bn, п) с ростом п и указать полиномы, на которых реализуется этот порядковый рост — это порядковое решение экстремальной задачи (125).

В главе 3 диссертации рассматривается экстремальная задача (125) в случае п)? ]R > 1, .. ., °те > 1} (127) и дается ее точное решение в описанном выше смыслев частности, находится экстремальный полином, который оказывается единственным, изучаются его свойства, например, доказывается, что он имеет монотонные коэффициенты, причем для краткости в случае (127) мы пользуемся обозначением М (п) = D (Bn, п).

Изложим теперь полученные в главе 3 результаты более подробно.

Для удобства обозначим при каждом натуральном п через Wn совокупность всех тригонометрических полиномов Тп е Т+ таких, что afc > 1 при всех к = 1,., п. Тогда.

М (п) = min{ а0: Тп € Wn }. (128).

Ясно, что экстремальная задача (128) — это задача (125) для множества (127). Поэтому минимум в (128), как доказано выше, существует, т. е. существует экстремальный тригонометрический полином вида (122), на котором минимум в задаче (128) достигается.

С.В. Конягин [К5, с. 47−49] доказал, что М (п) х Inп при п > 2. Заметим сразу, что этот результат будет уточнен в главе 3 (см. далее следствие 3.1.1).

В главе 3 излагается решение экстремальной задачи (128), а именно: Для всех натуральных п находится точное значение величины М (п) доказывается единственность экстремального тригонометрического полинома вида (122), на котором минимум в задаче (128) достигаетсясоответствующий экстремальный полином, который далее обозначается через Vn (x), находится. Более того, изучаются некоторые свойства этих экстремальных полиномов. Изложены также некоторые приложения основного результата (см. далее следствия 3.1.1 и 3.1.2, а также теорему 3.1.4). Содержание главы 3 почти полностью опубликовано в работе автора [Вб] (см. также [В17, § 1, с. 590], [В7], [В9]). Для формулировки основных результатов главы 3 положим.

Ск = 2~2к (к)~2 (2к), к> 0.

129).

Для каждого натурального п введем обозначение п 2 п к- 0 k—Q где.

1 n = 9 Cmin{fc,?i-fc> '.

131) fc=0 и n — k ак=^1 Cmin{j>-j} + ПрИ fc = 1,. .. , П. (132) j=0.

Введенные обозначения используются на протяжении всего дальнейшего изложения.

Сначала в § 3.1.2 на основе формул (131) и (132) доказывается.

Теорема 3.1.1. Для каждого натурального п полином (130).

Vn? Wn.

133) и, более того,.

2aS > а? > • • • > < = <С+1 = ••• = < = !,.

134) где т = п — [тг/2], причем.

2aj — а? > а? — а? > ¦ • • > - = ¦ • • = - < = 0, (135) при всея п > 2.

Из теоремы 3.1.1, а именно, из (134) и (135), в частности, вытекает, что полином (130) имеет монотонные коэффициенты, которые удовлетворяют условию выпуклости. В главе 3 (см. лемму 3.2.1) также доказывается, что т — к~ 1 aJJ = l + 2 X cj (cj+k ~ cn-j-k) при всех к = 1,., j=o.

Г («+ 1)1.

Условие (133) означает, что полином (130) является допустимым в экстремальной задаче (128).

Основным результатом главы 3 является.

Теорема 3.1.2. Для каждого натурального п справедливо равенство п-1)/2] [п/2].

M (n) = aJ.= ±(? cl+Y^cl) (136) fc=0 fc=0 и полином Vn является единственным соответствующим экстремальным полиномом задачи (128), т. е. для любого полинома Тп Е Wn вида (122), который отличен от полинома Vn, справедливо неравенство ао > М (п).

Положим п.

М^(п) = min| — min^ afc cos (kx): > > • ¦ ¦ > On > 1}, (137) fc=l т. е. рассматрим экстремальную задачу (125) с вп = { («1, • ¦ •, On) е ai > «2 > • ¦ • > ап > 1} .

Из теорем 3.1.1 и 3.1.2 вытекает, что экстремальный полином в задаче (128) имеет монотонные коэффициенты, т. е. экстремальный полином в задаче (137) тот же, что и в задаче (128), и М (п) = М^(п) при всех п > 1. Порядок величины М (п) дает следствие 3.1.1, которое утверждает, что.

М (п) 1.

1 + In п 7 Г при п —> оо.

Более того, в главе 3 доказывается (см. формулы (3.8.7) и (3.8.37)) больше, а именно.

MW = Iln («+i)+C. + 0(i), где абсолютная постоянная Со = 0,845. связана с известной постоянной Эйлера формулой 1 к Cq — In 8 = lim ^? ~ In11) • Для 7 > 1 обозначим оо.

К (у) = inf| - min ak cos (kx) |, (138) fc=i где нижняя грань берется по всем действительным {^fc}^! таким, что-либо ак = 0, либо ak > 1 и ak = 7 • Величину (138) рассматривал Одлыжко [01], который показал, что К (у) = О ((71П7)¼).

Будем также при у > 1 рассматривать функцию (функции такого вида введены автором в работе [В 17]) оо.

А'^7) = inf| - min ^ ak cos (kx) j, (139) x k= 1 где нижняя грань берется по всем действительным {с**-}^ таким, что-либо ак = 0, либо ак > 1, YlT-л ак = 1 и ai > а2 > «з > ¦ • • • Ясно, что K (l) ПРИ всех 7 > 1 •.

Очевидно также, что.

А'*(7) = К (у) = 7 ПРИ всех 7 € [1,2), поскольку в этом случае и в сумме (138), и в сумме (139) будет только одно слагаемое с коэффициентом 7.

Из основного результата, т. е. теорем 3.1.1 и 3.1.2, будут получены описываемые далее результаты.

Следствие 3.1.2. Существуют положительные абсолютные постоянные С и С2 такие, что.

Ci (1 + In 7) < К (у) < К Чу) < i (1п7 Ч-С2) при всех у > 1, (140).

7 Г причем наилучшая постоянная С2 = 27 г — In 2. В частности,.

X К (у) X 1 + In 7 при у > 1. Более того, справедливо предельное соотношение к Hi) 1 — при у —> оо .

1 + In 7 7 Г.

Отметим, что оценка снизу для величины (138) получается из положительного решения гипотезы Литтлвуда Конягиным С. В. [КЗ] и Мак Геем, Пино и Смитом [М1].

Напомним, что Т+ - множество всех неотрицательных, т. е. удовлетворяющих условию (123), тригонометрических полиномов вида (122).

Теорема 3.1.3. Для любого натурального п и любого полинома Тп 6 Т+ вида (122) верно неравенство min Qfc < ,}, xQo- (141) l 0.

Теорема 3.1.3 — это, по существу, другая эквивалентная формулировка теоремы 3.1.2. Из теоремы 3.1.3 немедленно вытекает.

Следствие 3.1.3. Для любого натурального п верно равенство max{min{aAr: k = 1,. ., n}: Тп е Т+, a0 = 1} = —т-т, (142).

М[п) где максимум берется по всем неотрицательным тригонометрическим полиномам вида (122) таким, что «о = 1 ¦ При этом максимум в (142) достигается на единственном экстремальном полиноме вида (122) Vn (x) = Vn (x)/M (n).

Довольно очевидно, что следствие 3.1.3 — это еще одна эквивалентная формулировка теоремы 3.1.2.

Напомним, что вещественный тригонометрический полином п.

Sn (x) = ао + ^ (afc cos (kx) -f sin (kx)) (143) fc=i называется неотрицательным, если.

Sn (x) > О при всех X. (144).

Используя известный результат Фейера (см. [Р1, отдел б, § 5, задача 40]) о представлении неотрицательных тригонометрических полиномов, из теоремы 3.1.3 в § 3.9 будет получена (см. также теорему 3.9.1) Теорема 3.1.4. Пусть п — произвольное натуральное число. Тогда для любого неотрицательного тригонометрического полинома (143) справедливо неравенство min (а + Ъ2к)½ < —1— а0, (145).

1 0, превращаются в равенство.

Таким образом, неравенство (145) является точным и обобщает неравенство (141) с полиномов вида (122) на полиномы вида (143).

Отметим также, что интерес к тригонометрическим полиномам (143), которые удовлетворяют условию (144), возник довольно давно (см. [Р1, отдел б, §§ 3, 5, 7]). Например, хорошо известен результат Фейера, что для неотрицательного тригонометрического полинома (143) всегда верно неравенство а1 + Ъ1У'2<�па0, k= 1 которое для ядра Фейера превращается в равенство. Неравенство (145) — это новый точный результат в этой классической теме.

Укажем одно из приложений теоремы 3.1.4. Пусть п — произвольное натуральное число и.

— многочлен степени п с комплексными коэффициентами такой, что.

Через 1(Р) обозначим множество значений, которые многочлен Р принимает на окружности { г: z = 1 }, т. е. 1(Р) — { P (z): z = 1}. Как непрерывный образ окружности, т. е. компактного множества, множество 1(Р) является компактным, а значит его выпуклая оболочка на плоскости, которую мы будем обозначать через 1(Р), также (см. [R3, гл. 3, теорема 3.25]) является компактным множеством. В § 3.9 доказывается, что справедливо такое.

Следствие 3.9.1. Пусть п — произвольное натуральное число и коэффициенты многочлена (146) удовлетворяют условию (147). Тогда множество 1(Р) всегда содержит в себе круг { z: z < М (п) }. Однако для любого 7 > М (п) множество 1{Р) не обязано содержать в себе круг { z: z < 7 } .

Доказательство основной теоремы 3.1.2 основано на изучении некоторых свойств полиномов (130), т. е. полиномов Vn. В частности, доказана.

Лемма 3.3.2. Для каждого натурального п полином Vn имеет на сегменте [0,7г] роено т = тг — [тг/2] нулей п.

146) 1 при всех k = 1,., п .

147).

О < X™ < • • ¦ < Хпт < 7 Г причем каждый из этих нулей двойной кратности. Более того, при п = 2 т — 1 нуль хг71п = 7 г, а при п = 2 т нуль х^ < ж .

Заметим, что из леммы 3.3.2 при всех п > 1 вытекает представление 2П 1 Y[(cosx — cosx^.ln{k n+1k}). fc= i.

В силу леммы 3.3.2 для каждого натурального п существуют однозначно определенные (см. [Z2, гл. 10, § 1, с. 8]) числа где т = п-[п/2],.

148) которые в дальнейшем будем называть сопутствующими полиному Vn множителями, такие, что m, 1.

J>?cosU*t) = п к= 1 ^ при при j = 0, j = l,., m- 1.

Отметим, что А} = 1, А2 == 1. Положим т — 1.

У^ 2cjt sin ((m — ½ — /г)х) при п = 2m — 1, дп (х) = < к=0 т — 1.

149).

У 2cfc sin ((m — fe) a:) при п = 2 т. к=0.

В этих обозначениях имеет место.

Лемма 3.3.3. Для каждого натурального п верно неравенство.

1)J1 дп (х™) > 0 при всех j = 1,., m = п — [п/2], дп определяется формулой (149), причем'.

150).

В § 3.5 доказывается, что соответствующие полиному Vn множители (148) всегда положительны, т. е. будет доказана.

Лемма 3.3.4. Для каждого натурального п сопутствующие полиному Vn множители А£ > 0 при всех k = 1,., п — [п/2].

Для каждого j = 0,1,. определим числа т со80'*2Ь гда гп = п-[п/2]. (151) к= 1.

Из определения соответствующих полиному Vn множителей (148) следует, что /3q = 1 и /3″ = 0 при j = 1,., m — 1. В § 3.6 доказывается.

Лемма 3.3.5. Для каждого натурального п числа № < 0 при всех j = п — [п/2],., п .

В § 3.7, существенным образом используя леммы 3.3.2−3.3.5, мы и докажем теорему 3.1.2, которая является основным результатом этой главы. В доказательстве теоремы 3.1.2 также важно представление 2 Vn (x) = | fn (x) |2, где г m —1.

У^ 2ck cos ((m — ½ — k) x) при n = 2m — 1, fn{x) = < k=0.

• m —1 cm + 2c^cos ((m — k) x) при n — 2m. k=о.

Отметим также, что в § 3.8 получаются различные оценки, связанные с полиномами Vn. Например, положим ф (п) =? а% к=1.

В § 3.8 доказана (см. формулу (3.8.34)), оценка ф (п) = in-ibn + C + 0fiV.

7 Г 7Г П / где С — некоторая абсолютная постоянная.

В заключении обзора результатов главы 3 кратко поясним значение чисел (151) и суть леммы 3.3.5. Для этого рассмотрим функцию Лагранжа экстремальной задачи (128): п.

L (ax,., ап- /Зь. ,/Зп) = д (аи ., ап) + ^ (Зк (ак — 1), к=1 определенную при всех действительных ai,., an- /3i,., /Зп. Для экстремальной задачи (128) условие регулярности Слейтера, очевидно, выполнено и, как уже доказано выше, экстремальный полином существует. Поэтому по известной теореме Куна-Таккера функция Лагранжа имеет в замкнутой выпуклой области.

Я = {(аь., /Зп) € М2п: А < 0,., /Зп < 0 } седловую точку. В главе 3 по сути доказывается, что точка а&trade-,., а" - /3™,., /Зп) является седловой точкой функции Лагранжа на Е. Действительно, поскольку /3? (aJ — 1) = 0 при всех к = 1,., п, то из теоремы 3.1.1, оценок (3.7.3), а также из теоремы 3.1.2 и ее доказательства следует, что.

Z (a?,.X-/3b.,/3n) при всех (аь ., ап- /Зь .,/Зп)? i?. Таким образом, /3™,. ,/3? — это множители Лагранжа экстремальной задачи (128).

Обратим также внимание на то, что некоторые свойства полиномов Vn, например, границы расположения нулей-(150) могут быть уточнены, но в стремлении к большей ясности изложения мы ограничились только свойствами, которые нужны для доказательства теорем 3.1.1 и 3.1.2.

Добавим, что излагаемый в главе 3 подход к точному решению экстремальной задачи (128) может быть применен и к некоторым другим экстремальным задачам вида (125), которые остались вне рамок нашего изложения.