Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях

Актуальность темы

работы определяется широким применением резин и резиноподобных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) и возможное разрушение элементов конструкций, изготовленных из этих материалов (резинометаллические амортизаторы, шины и ДР-)> с использованием методов математического моделирования. Такие элементы конструкций обычно эксплуатируются в условиях многократного деформирования, при этом деформации в них не малы (например, деформации в шинах достигают 50%) [12]. При таких деформациях существенное влияние на НДС оказывают эффекты геометрической и физической нелинейности. Зависимость долговечности высокоэластичных материалов от напряжений является нелинейной. Например, при изменении напряжений на 30−40% долговечность может измениться в несколько раз. Поэтому важно с максимально возможной точностью учесть нелинейные эффекты при математическом моделировании НДС изделий из таких материалов.

В процессе деформирования и разрушения резиноподобных материалов и композитов на их основе микроструктура этих материалов может существенно меняться [8, 103]. Разрушение сопровождается образованием микрополостей. Деформирование резин и других полимеров сопровождается их частичной кристаллизацией. Кристаллизация резин представляет собой фазовый переход первого рода, при котором меняется плотность материала, а также существенно меняются его упругие свойства: жесткость кристаллической фазы на 2−3 порядка превосходит жесткость аморфной фазы. С учетом этого при математическом моделировании НДС резин в процессе их кристаллизации можно рассматривать области, в которых материал находится в кристаллическом состоянии, как жесткие включения. Изменение плотности материала приводит к тому, что размер этих включений меняется в процессе кристаллизации.

Образование микрополостей или жестких включений приводит к перераспределению деформаций и напряжений в материале. Поэтому необходимо при построении моделей, описывающих эти явления, учесть эффекты, связанные с перераспределением конечных деформаций.

При построении математических моделей НДС изделий из резиноподобных материалов эти материалы обычно рассматриваются как нелинейно-упругие или вязкоупругие. Учет вязкоупругих свойств важен в случае, когда период времени, в течение которого происходит нагружение, сопоставим со временем релаксации. Вязкоупругие процессы сопровождаются переходом части энергии деформации в тепловую энергию, что может быть важно при анализе теплового состояния элементов конструкций. Для моделирования вязкоупругих свойств материала могут быть использованы определяющие соотношения с экспоненциальными или слабосингулярными ядрамипри этом определяющие соотношения со слабосингулярными ядрами позволяют более точно описать механическое поведение резиноподобных материалов.

В связи с вышеизложенным возникает необходимость в решении следующей научной задачи: построение и исследование математических моделей, описывающих НДС в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах с жесткими включениями и полостями (в том числе и возникающими в процессе нагружения) при конечных деформациях и их перераспределенииразработка методов, алгоритмов и программного обеспечения для расчета НДС таких тел.

Необходимость в решении такой задачи подтверждается также и тем, что до настоящего времени не были разработаны приближенные аналитические методы расчета НДС тел, содержащих жесткие включения для случая конечных плоских деформаций. Ранее математические модели для описания НДС нелинейно-упругих и вязкоупругих тел при конечных деформациях были развиты в работах Дж. Адкинса, А. Грина [15], А. И. Лурье [46, 47], Н. Ф. Морозова [49], Ф. Мурнагана [104], В. В. Новожилова [53], Л. И. Седова [80]—[82], К. Ф. Черных [90]. Теория наложения больших деформаций была предложена Г. С. Тарасьевым и обобщена на случай многократного наложения (перераспределения) больших деформаций В. А. Левиным [40, 44, 100]. Математические модели для описания механического поведения нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях предложены в работах А. А. Адамова [1, 2], Ю. А. Гамлицкого [12, 96], Д. В. Георгиевского [57, 98, 99], А. А. Ильюшина [23, 24], М. А. Колтунова [31]—[33], В. А. Левина [40], А. Лиона, Б. Е. Победри [56], Ю. Н. Работнова [58]. Физико-механические свойства резин, особенности кристаллизации резин рассмотрены в работах Л. Трелоара [86, 87, 105], М. Ф. Бухиной [5]-[7]. Аналитические и численные методы расчета НДС структурно-неоднородных упругих и вязкоупругих тел развиты в работах В. И. Воровича [11], В. И. Горбачева, Л. М. Зубова, В. П. Матвеенко, С. В. Шешенина. Методы расчета НДС шин развиты в работах А. Е. Белкина, В. Л. Бидермана, Б. Л. Бухина, О. Н. Мухина. Приближенные аналитические методы широко применяются при решении различных классов задач матеметической физики и механики [2]-[4], [10, 15, 16, 17, 22, 34, 39], [48]-[51], [78], [81]-[83]. Возможности их применения существенно возросли с появлением развитых систем компьютерной алгебры, реализованных для персональных ЭВМ. Например, в работах В. П. Цветкова и его учеников [9, 89) рассмотрено применение приближенных аналитических методов к исследованию вращательного движения намагниченной гравитирующей конфигурации. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных тел, содержащих отверстия различной формы, при конечных плоских деформациях и их перераспределении были разработаны К. М. Зингерманом [18, 42, 43,101]. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении ранее не были разработаны.

Цель работы: разработка математических моделей, описывающих НДС в бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах, содержащих жесткие включения круговой формы и другие концентраторы напряжений, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. Разработка методов расчета НДС, алгоритмов и программного обеспечения, реализующих эти методы на основе указанных моделей.

Методы исследований. Построение моделей осуществляется на основе уравнений нелинейной теории упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения в случае многоэтапного нагружения. Все задачи решены в основном методом возмущений (метод последовательных приближений). При решении линеаризованных задач применялся метод Колосова-Мусхел ишвил ипри этом в случае многосвязных областей использовался алгоритм последовательных приближений Шварца. При решении задач вязкоупругости применялось преобразование Лапласа.

Положения, выносимые на защиту: разработан метод построения математических моделей, описывающих НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций, на основе записи уравнений нелинейной теории упругости и вязкоу пру гости, в том числе записи граничных условий на контуре жестких включений, включая модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями, и модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формыпредложены новые формулы для расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями приближенными аналитическими методами решения краевых задачв программный комплекс для расчета НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций были добавлены возможности расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями (имеющимися в теле изначально или возникающими после приложения нагрузки) — модификация выполнена на основе разработанных приближенных численно-аналитических методовисследованы численные результаты решения задач о концентрации напряжений вблизи круговых жестких включений и отверстий с учетом их взаимовлияния и нелинейных эффектов с применением указанного программного комплекса.

Научная новизна: разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями, возникающими после предварительного нагружения, с учетом изменения размеров включений после образованияранее такие модели не были построеныразработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями для случая, когда в этих телах после нагружения образуются полости различной формыранее такие модели не были построенывпервые предложен способ нахождения решения линеаризованных задач для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича, удовлетворяющего граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Теоретическая и практическая значимость.

Предлагаемая работа вносит вклад в нелинейную теорию упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения: созданы математические модели для описания НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформацияхразработаны на основе уже имеющихся подходов приближенные численно-аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие включения круговой формы (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределениипредложен подход, позволяющий для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Практическая значимость состоит в решении при конечных плоских деформациях задачи о НДС вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, для случая, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром, предложенными А. А. Адамовым [2] (использованы четырехпараметрическое ядро М. А. Колтунова и его частный случай — ядро А. Р. Ржаницына) — решение этой задачи важно для анализа деформирования и прочности однонаправленных резинокордных композитов с учетом вязкоупругих свойств резиноподобных материалов.

Разработанная модифицированная версия программного комплекса, реализует алгоритмы решения класса задач о напряженно-деформированном состоянии тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. С использованием модифицированного программного комплекса решены новые задачи о НДС нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях с учетом их перераспределения, вызванного изменением размеров включения или образованием полостей вблизи негорешение этих задач важно при прочностном анализе резиноподобных материалов в процессе их кристаллизации и при моделировании возможного разрушения однонаправленных волокнистых композитов с высокоэластичной матрицей.

Проведен анализ НДС бесконечно протяженных тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, для случая конечных плоских деформацийисследованы нелинейные эффекты, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений и отверстийэти эффекты существенны при анализе разрушения элементов конструкций из резинокордных композитов.

Полученные результаты и методы могут быть применены для анализа прочности элементов конструкций из резиноподобных материалов и для расчета НДС в изделиях из резины при ее кристаллизации после деформации и в предварительно деформированных однонаправленных волокнистых композитах при возникновении в них дефектов (полостей).

Достоверность результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методовобеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью для каждого приближения и точным выполнением граничных условий для каждого приближенияподтверждается совпадением результатов решения линейной задачи упругости с известным аналитическим решением, малым различием между результатами, полученными методами возмущений и Ньютона-Канторовича.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты работы:

1. Построена математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях. Модель учитывает возможность изменения размеров включений после их образования и может быть использована, в частности, для расчета НДС и исследования на прочность резин при их кристаллизации, вызванной предварительной деформацией [63, 70].

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с возникающими в них жесткими круговыми включениями, размеры которых могут меняться после нагружения, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М. А. Колтунова или ядром А. Р. Ржаницына.

Указанные методы реализованы в виде модифицированной версии программного комплекса [74]. Результаты работы данного программного комплекса могут быть представлены как в аналитической форме, так и в числовой форме — в виде таблиц и графиков. С применением модифицированного программного комплекса протестированы приближенные аналитические методы расчета НДС тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях.

Проведено сравнение решений, полученных методом возмущений и методом Ньютона-Канторовича. Например, при напряжении на бесконечности а^ = 2,5/х) разность между решением, полученным методом возмущений, и пятым приближением метода Ньютона-Канторовича не превышает 5%. Различие между четвертым и пятым приближением в методе Ньютона-Канторовича составляет примерно 0,5%. С применением модифицированного программного комплекса исследовано также напряженно-деформированное состояние тел с круговыми жесткими включениями: исследованы нелинейные эффекты, влияние изменения размеров жесткого кругового включения на концентрацию напряжений, взаимовлияние двух жестких круговых включений. Например, для задачи о взаимовлиянии двух включений наличие второго включения привело к увеличению максимального напряжения агт на контуре включения в 1,8 раза. Для задачи об изменении размеров (радиус включения уменьшался на 20%) максимальное напряжение а^ на контуре включения стало меньше в 1,7 раза по сравнению со случаем, когда размеры включения не изменялись (линейное решение задачи), для нелинейного решения в 2 раза, поправка от учета нелинейности составила примерно 30%. Для вязкоупругого материала (полидиенэпоксиуретан) напряжение со временем уменьшается, например, за 12 сек. напряжение а^ на контуре включения стало меньше на 2% (для нелинейного решения).

2. Построена для случая конечных плоских деформаций математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы. Модель может быть использована для расчета НДС и исследования на прочность деформирования предварительно нагруженных однонаправленных волокнистых композитов при возникновении в них полостей [65, 66, 71].

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями, в которых после нагружения образуются полости, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М. А. Колтунова или ядром А. Р. Ржаницына.

С применением разработанной модифицированной версии программного комплекса, реализующего выше указанные модели и методы решения плоских задач, исследовано взаимовлияние жестких круговых включений и полостей различной формы. Например, при образовании отверстия в форме эллипса вблизи включения напряжение а^ уменьшилось в 2,2 раза по сравнению со случаем, когда отверстие не образовывалось. Учет нелинейности вызвал снижение напряжения на 38% при напряжении на бесконечности (сг^ = а£ = 0.5//). Учет нелинейных эффектов в моделях, описывающих деформирование композиционных материалов на основе резины, является весьма существенным. Например, при изменении напряжений на 38% долговечность резины может измениться примерно в 4 раза.

Заключение

.