Численное решение краевых задач упругого деформирования композитных оболочек вращения

Фундаментальная задача научных исследований — выявление причинно-следственных связей, общих тенденций и закономерностей. Так как проведение натурных экспериментов затрудняется их дороговизной и сложностью, проблемами при обеспечении исследователя желаемым количеством измеряемых параметров, а в ряде случаев невозможностью реализации, то моделирование процессов становится одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Особая роль при этом отводится вычислительному эксперименту.

Большинство задач математической физики приводит к необходимости численного решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. При этом системы уравнений могут иметь высокий порядок, переменные коэффициенты, содержать малые и большие параметры, что приводит к появлению в структуре решений таких задач быстро изменяющихся функций, а сам pi решения приобретают ярко выраженный характер погранслоев. Кроме того, нелинейность моделируемых процессов приводит и к нелинейности краевых задач, описывающих эти процессы. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования при этом оказываются малопригодными. Поэтому, разработка и совершенствование численных методов и алгоритмов решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании объектов и явлений, является важной и актуальной задачей фундаментальной науки.

Среди актуальных, практически важных задач, приводящих к решению краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными, выделим задачи моделирования и расчета композитных оболочечных систем. Тонкостенные пластины и оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Они играют ведущую роль в авиационной и ракетно-космической технике, судо-и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Значительное повышение требований, предъявляемых к современным конструкциям, заставило использовать при их изготовлении новые композиционные материалы (КМ), сочетающие высокую прочность и жесткость с другими ценными качествами. Это, в свою очередь, привело к необходимости выявления и более полного использования потенциальных возможностей, открывающихся при использовании КМ.

Таблица 1 р, 103 кг/м3 Е, ГПа а, к-1 ст*, МПа.

Матрицы.

Эпоксидная 1.25 3.0 5-Ю-5 50.

Кремний-органическая 1.4 13 2−10~5 50.

Алюминиевая 2.68 70 2.33-Ю-5 170.

Титановая 4.5 110 8.3−10−6 600.

Волокна.

Борные 2.5 386 9-Ю-6 3.74.

Нитевидные кристаллы 3.96 500 6.4−10−6 34.

Органические (Терлон) 1.45 145 3-Ю" 6 3.4.

Стальные 7.8 200 12.5−10−6 3.8.

Стеклянные (ВМ-1) 2.58 95 9.6Т0″ 6 4.2.

Углеродные 1.9 550 2-Ю-6 2.5.

Армирование высокомодульными волокнами широко применяется при создании легких, но прочных конструкций с заданными свойствами. В качестве связующего используются полимерные, углеродные, металлические или керамические матрицы. Армирующими элементами являются стеклянные, углеродные, борные или органические, а также ряд металлических волокон. Перспективно, также, использование в качестве арматуры нитевидных кристаллов (усов). В отличие от обычных волокон, обладающих прочностью не превышающей 1−3% от модуля упругости Е, усы, вследствие малых поперечных размеров и высокой степени совершенства, достигают прочности в 5−15% Е. В таблице 1 приведены механические свойства характерных представителей разных классов матриц и волокон [10, 68, 74], используемые в работе. Здесь р — удельная плотность, Е — модуль упругости, а — коэффициент линейного температурного расширения материала, а сг* - предел прочности (текучести).

Свойства конструкций из слоисто-волокнистых композитов существенно зависят от технологии изготовления и структуры материала. При неудачном выборе компонентов и структуры КМ, армированная конструкция может проиграть изотропной, поэтому перед изготовлением конструкций из КМ очень важно решить вопрос о выборе материалов и схемах армирования.

Решение задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкций, определение механизмов разрушения и выявление тенденций их поведения в зависимости от геометрии, структурных и механических характеристик материала, вида и параметров нагружения способствует как выработке конкретных технологических решений, так и формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Методами математического моделирования задачи определения НДС композитных элементов конструкций приводятся к решению пространственной задачи механики деформируемого твердого тела, сформулированной в виде краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Решение таких задач в аналитическом виде возможно лишь в простейших случаях, а наиболее распространенным подходом является применение численных алгоритмов. Среди универсальных алгоритмов, позволяющих решать в пространственной постановке задачи механики сплошных сред, в том числе механики композитных конструкций, выделяются методы конечных и граничных элементов. Они завоевывают все большую популярность, вследствие существенного прогресса, достигнутого в разработке высокопроизводительной вычислительной техники. Однако их использование приводит к очень большим объемам вычислений, особенно при решении задач механики композитных конструкций в пространственной постановке. Это обусловлено эффектами анизотропии материала, наличием в системах уравнений, описывающих НДС, малых и больших параметров, что приводит к появлению ярко выраженных краевых эффектов и заставляет существенно измельчать сетки элементов в областях погранслоев. Получаемые объемы вычислений столь высоки, что даже на современных высокопроизводительных системах для решения обозначенных задач требуется существенное количество времени, что, в частности, накладывает существенные ограничения на проведение вариантных расчетов. При этом, достоверность получаемых в результате расчета чисел бывает очень сомнительна [66].

Другой подход к решению задач механики композитных элементов конструкций — понижение размерности — применим в случае, когда хотя бы один из линейных размеров рассчитываемого элемента конструкции мал, в сравнении с остальными, как, например, толщина для пластин и оболочек. При данном подходе исходная трехмерная задача механики деформируемого твердого тела сводится к двумерной задаче с помощью метода гипотез, метода разложения в ряды по координате или малому параметру и др. Порядок систем уравнений теорий пластин и оболочек, получаемых при этом, в общем случае много больше, чем порядок исходной системы. Кроме того, даже линейная задача пространственной теории упругости может привести к нелинейной задаче теории пластин и оболочек. С учетом того, что вдобавок к малым и большим параметрам, унаследованным от исходной задачи, в системах уравнений теории оболочек появляются новые, решения соответствующих двумерных краевых задач приобретают еще более ярко выраженный характер погранслоев, а их численное интегрирование сопряжено с существенными проблемами по обеспечению устойчивости счета.

Цель диссертационной работы заключается в:

• разработке эффективных алгоритмов решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений и создании программного комплекса для решения задач расчета и анализа напряженно-деформированного состояния упругих слоистых армированных оболочек вращения;

• исследовании особенностей деформирования упругих слоистых армированных оболочек вращения, выявлении зависимостей их поведения от структурных и механических характеристик композиционных материалов, геометрии оболочек и вида их нагружения.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Проведено численное исследование проблемы обеспечения точности и устойчивости расчетов при решении краевых задач методом дискретной ортогонализации. Выработаны критерии контроля и способы обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных сеток.

• Разработан и реализован программно эффективный алгоритм решения многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на методе дискретной ортогонализации.

• С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций, выполненных в виде замкнутых в окружном направлении оболочек вращения.

• Проведен сравнительный анализ использования различных структурных моделей композиционного материала и различных вариантов геометрически линейных и нелинейных теорий пластин и оболочек при расчете НДС композитных элементов конструкций. Исследовано влияние структурных и механических параметров композиционных материалов, геометрии оболочек и вида нагружения на поведение параболических рефлекторов, куполов и тороидальных оболочек вращения.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы могут быть использованы при решении широкого класса нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные с помощью созданного программного комплекса результаты исследования НДС композитных оболочечных элементов конструкций могут служить основой как при выработке конкретных технологических решений, так и при формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по теме «Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики» (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313 336), поддерживались грантами: Федеральной целевой программы «Интеграция» (грант № 274) — Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: V Всероссийской научно-технической конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 1998) — II и V Сибирских школах-семинарах «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998; 2001) — XXXVII, XXXVIII Международных научных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1999; 2000) — V, VI и VII научных конференциях «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» (Красноярск, 1999; 2001; 2003) — XVI школе-семинаре «Информационные технологии в задачах математического моделирования» в рамках научных мероприятий «Вычислительные технологии — 2000» (Новосибирск, 2000) — Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000) — Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 80-летию академика Н. Н. Яненко (Новосибирск, 2001) — XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005) — Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002) — Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Казахстан, Алматы, 2004).

В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре «Информационно-вычислительные технологии» Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. Шо-кин и д.ф.-м.н., профессор В.М. КовеняНовосибирск, 2005) — семинаре «Проблемы математического и численного моделирования» Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — ч л .-корр. РАН В.В. ШайдуровКрасноярск, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций, а также тезисы докладов на научных конференциях [17]-[31], [76], [77], [80].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 164 стр., включая 47 рисунков и 17 таблиц.

Список литературы

содержит 83 наименования.

Заключение

.

В результате проведенных исследований получены следующие результаты.

1. Разработан эффективный алгоритм численного решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено тестирование алгоритма на задачах с известными аналитическими решениями, показавшее, что его применение позволяет успешно решать краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральные радиусы матрицы Якоби которых достигают значений на несколько порядков больше единицы.

2. Численно исследована проблема обеспечения устойчивости метода дискретной ортогонализации при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малыми и большими параметрами. Построены зависимости необходимого числа узлов ортогонализации от спектрального радиуса матрицы системы дифференциальных уравнений, обеспечивающие устойчивость расчетов. Выявлены характеристики, позволяющие контролировать и управлять устойчивостью вычислительного процесса. Выработаны критерии и предложены методики выбора шага интегрирования и расстояния между узлами ортогонализации для обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных адаптивных сеток, применение которой позволяет на порядки повышать точность расчетов, либо в десятки раз уменьшать объем необходимых вычислений.

3. С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния и проведено исследование особенностей деформирования композитных оболочечных элементов конструкций: параболических рефлекторов, гиперболических, параболических и эллипсоидальных куполов, тороидальной оболочки. Проведен сравнительный анализ использования при этом классической и уточненной теорий оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках, различных структурных моделей композиционного материала. Указаны области параметров конструкций, при которых получаемые с использованием различных теорий оболочек и моделей композиционного материала результаты отличаются несущественно, а также, параметры, при которых необходим учет нелинейных слагаемых.

4. Показано существенное влияние анизотропии материала, структурных и механических характеристик композита, вида и параметров нагружения на напряженно-деформированное состояние композитных конструкций: на величины прогибов и интенсивностей напряжений в элементах композита, на характеры их распределения. Обнаружено, что в зависимости от структурных и механических параметров композиционного материала в конструкции могут реализо-вываться различные механизмы начального разрушения. Показано, что, в сравнении с симметричными схемами армирования, применение несимметричных схем открывает более широкие возможности по управлению поведением оболочек.