Динамика и геометрия квадратичных отображений

В настоящей работе изучаются квадратичные отображения с динамической и геометрической точек зрения Квадратичное отображение из ЕРП в ШРт или из СРП в СРт — это отображение, заданное в однородных координатах однородными квадратичными формами.

С динамической точки зрения мы будем рассматривать квадратичные рациональные отображения сферы Римана в себя, то есть ограничимся случаем т = п = 1. Изучение таких отображений было инициировано французскими математиками Фату и Жюлиа в первой половине 20-го века. Их результаты были основаны на аналитической технике Моптеля, разработанной незадолго до этого. Однако качественный прорыв в этой обрасти произошел в 1980;ых, когда появилась возможность компьютерной визуализации одномерных комплексных динамических систем. Интерес к этим системам возобновился благодаря методу Ныотоиа Это метод приближенного решения алгебраических уравнений, который сходится очень быстро, если первое приближение выбрано достаточно удачно. Возник вопрос: как зависит работа метода Ньютона от выбора первого приближения. С целью исследования этого вопроса были получены первые компьютерные картинки динамической плоскости, изображающие множество Жюлиа и множество Фату

В работах Дуади и Хаббарда были заложены основы современной одномерной комплексной динамики. При этом они (вполне обоснованно) ограничились рассмотрением лишь рациональных отображений степени два, а большинство результатов было получено даже для более конкретного семейства квадратных многочленов /(г) = г2 + с. Даже про это семейство остаются важные нерешенные вопросы Под влиянием Дуади и Хаббарда, многие замечательные математики стали заниматься одномерной комплексной динамикой, и принесли в нес методы топологии и квазиконформного анализа. Стоит упомянуть работы Терстоиа, Салливана, Милиора, Любича, Рис.

В настоящий момент динамика многочленов изучена намного лучше, чем динамика рациональных функций. Это связано в первую очередь с тем, что комбинаторные вопросы про многочлены оказываются гораздо проще. Комбинаторная техника паззлов Иоккоза свела многие динамические вопросы к вопросам анализа. К сожалению, подобная комбинаторная техника для случая рациональных функций пока не создана. Поэтому важной задачей представляется задача разработки общих методов построения топологических моделей для рациональных функций (топологичекие модели многочленов с достаточно простой динамикой могут быть получены при помощи ламинаций Терстона), а также идентификации различных динамически важных частей сферы Римана (в случае многочленов, эту задачу решают паззлы Йоккоза). Разработке таких методов посвящена часть настоящей диссертации. А именно, определена весьма общая хирургическая операция, позволяющая в некотором смысле отображать динамику сложных рациональных функций в динамику простых рациональных функций. Разобрано несколько конкретных примеров, в которых полученная техника позволяет как строить топологические модели, так и выделять динамически значимые части.

Вторая часть диссертации посвящена геометрии квадратичных отображений. При этом рассматриваются более высокие размерности. Эта часть имеет еще более давнюю историю. В фундаментальной работе Мебиуса (1827) были заложены основы проективной и конформной геометрий. При этом исследовались те преобразования, которые сохраняют ту или иную геометрическую структуру. Например, Мебиус ввел коллииеации (т.е. непрерывные отображения, переводящие прямые в прямые) и преобразования Мебиуса (т.е. непрерывные отображения, переводящие прямые в окружности). Другими словами, коллинеации сохраняют проективную структуру, а преобразования Мебиуса сохраняют сферическую структуру. Возникает вопрос о том, какие отображения «переводят» одну структуру в другую. Это интересно в связи с задачами геометризации и просто как непосредственное продолжение исследований Мебиуса. К задачам такого же рода приводили и практические вопросы, связанные, например, с номографией или архитектурой. Один способ конкретизировать задачу такой: описать все достаточно гладкие отображения, переводящие прямые в окружности.

Как выяснилось в работах автора, в высоких размерностях эта задача связана с отображениями Хопфа, представлениями алгебр Клиффорда, формулами Гурвица. Получены явные ответы в размерностях 2, 3 и 4 (ответ в размерности 4, полученный автором, сильно отличается от ответов в размерностях 2 и 3- в нем фигурируют кватернионные расслоения Хопфа). В больших размерностях, вопрос остается открытым. Его удалось частично свести к чисто алгебраической задаче описания квадратичных отображений, переводящих проективное пространство в квадрику. Однако эта алгебраическая задача очень сложна. Она содержит в качестве конкретизации известную задачу Гурвица 1898 года о произведениях сумм квадратов.

Интересна также более общая задача: описать достаточно гладкие отображения, переводящие прямые в коники. Здесь эта задача обсуждается только в размерности два. Описаны выпрямляемые пучки коник, проходящих через одну точку, а также все достаточно гладкие отображения, переводящие отрезки прямых в части коник из трехмерного линейного семейства.

1. D. Ahmadi, «Dynamics of certain rational maps of degree two», PhD Thesis, University of Liverpool

2. M. Aspenberg, M. Yampolsky, «Mating non-renormalizable quadratic polynomials», Commun. Math. Phys., 287 (2009), p. 1−40

3. D. Faught, «Local connectivity in a family of cubic polynomials», PhD Thesis, Cornell University, 1992

4. F.A. Izadi On rectification of circles and an extension of Beltrami’s theorem, Rocky mountain J. of Math. Vol. 34 (2005), No. 3

5. A.G. Khovanskii, Rectification of circles, Sib. Mat. Zh., 21 (1980), 221−226

6. G.S. Khovanskii, Foundations of Nomography, «Nauka», Moscow, 1976 (Russian)

7. J. Luo, «Combinatorics and Holomorphic Dynamics: Captures, Matings and Newton’s Method», PhD Thesis, Cornell University, 1995

8. M. Lyubich, «Six lectures on real and complex dynamics», preprint

9. R. Mane, «On a Theorem of Fatou», Bol. Soc. Bras. Mat. 24, No 1 (1993), 1−11

10. R. Mane, P. Sud, D. Sullivan, «On the dynamics of rational maps». Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 16 (1983), no. 2, 193−217.

11. J. Milnor, «Geometry and Dynamics of Quadratic Rational Maps» Experimental Math. 2 (1993) 37−83

12. J. Milnor, «Local connectivity of Julia sets: expository lectures», in «The Mandelbrot set, Theme and Variations,» LMS Lecture Note Series 274, Cambr. U. Press (2000), 67−116

13. J. Milnor, «Pasting together Julia sets: a worked-out example of mating», Experimental Math 13 (2004), 55−92

14. J. Milnor, «Dynamics in One Complex Variable», Third Edition, Princeton University Press, 2006

15. R.L. Moore, «Concerning upper-semicontinuous collections of continua», Transactions of the AMS, 27, Vol. 4 (1925), 416−428

16. R.L. Moore, «On the foundations of plane analysis situs», Transactions of the AMS, 17 (1916), 131−164

17. A.F. Mobius, Der barycentrische Calcul, 1827, in: August Ferdinand Mobius, gesammelte Werke, Band 1 -S. Hirzel (Ed.), Leipzig 1885−1887

18. M. Rees, «Components of degree two hyperbolic rational maps» Invent. Math. 100 (1990), 357−382

19. M. Rees, «A partial description of the Parameter Space of Rational Maps of Degree Two: Part 1» Acta Math. 168 (1992), 11−87

20. M. Rees, «Views of Parameter Space, Topographer and Resident», Asterisque 288 (2003)

21. M. Rees, «A Fundamental Domain for V3», preprint

22. P. Roesch, «Puzzles de Yoccoz pour les applications a allure rationnelle», L’Enseignement Mathematique, 45 (1999), p. 133−168.

23. E.H. Spanier, «Algebraic topology», Springer 1994

24. K. G. Ch. von Staudt, Geometrie der Lage, Nurnberg 1847

25. J. Stimpson, «Degree two rational maps with a periodic critical point», PhD Thesis, University of Liverpool, Juli 1993

26. L. Tan, «Marings of quadratic polynomials», Erg. Th. and Dyn. Sys. 12 (1992) 589−620

27. Tan Lei, M. Shishikura, An alternative proof of Mane’s theorem on non-expanding Julia sets, in «The Mandelbrot set, Theme and Variations,» LMS1. cture Note Series 274, Cambr. U. Press (2000), 265−279

28. B.A. Тиморин, Смешанные билинейные соотношения Ходжа-Римана в линейном контексте, Функциональный анализ и его приложения, 32 (1998), Н. 4, 63−68

29. В. А. Тиморин, Аналог соотношений Ходжа-Римана для простых выпуклых многогранников, Успехи математических наук, 54 (1999) Н. 2, 113−162

30. В. А. Тиморин, О многогранниках, простых в ребрах, Функциональный анализ и его приложения, 35 (2001), Н. 3, 36−47

31. V. Timorin, Rectification of circles and quaternions, Michigan Mathematical Journal, 51 (2003), 153−167

32. V. Timorin, Kahler metrics whose geodesies are circles, Proceedings of the Conference «Fundamental Mathematics Today», Ed. S.K. Lando and O.K. Sheinman, pp. 284−293

33. V. Timorin, Окружности и алгебры Клиффорда, Функциональный анализ и его приложения, 38 (2004), Н. 1, 56−64,

34. V. Timorin, Circles and quadratic maps between spheres, Geometriae Dedicata 115 (2005), pp. 19−32,

35. B.A. Тиморин, Диффеоморфизмы, переводящие прямые в окружности, и кватернионные расслоения Хопфа, Функциональный анализ и его приложения, 4 (2006), Н. 2, 33−43

36. V. Timorin, Rectifiable pencils of conics, Moscow Mathematical Journal 7 (2007), no. 3, 561−570

37. F. Aicardi, V. Timorin, On binary quadratic forms with semigroup propertyProceedings of Steklov Institute 258 (2007), the volume dedicated to the 70th birthday of V. Arnold

38. V. Timorin, «External boundary of M2», Fields Institute Communications Volume 53: «Holomorphic Dynamics and Renormalization A Volume in Honour of John Milnor’s 75th Birthday»

39. V. Timorin, «Topological regluing of rational functions», Inventiones Math., 179 (2009), Issue 3, 461−506

40. V. Timorin, «On partial semi-conjugacies of quadratic polynomials», Preprint

41. B. Wittner, «On the bifurcation loci of rational maps of degree two», PhD Thesis, Cornell University, 1988