Сплетаемые уравнения разветвления в теории ветвления решений нелинейных уравнений

В результате многочисленных прикладных исследований в математической физике, механике и других областях науки часто возникает задача решения нелинейных уравнений или систем таких уравнений, зависящих от параметров. Причем уравнения могут быть алгебраическими, дифференциальными обыкновенными или в частных производных, а системы, в свою очередь, могут содержать уравнения разных типов. Решения таких уравнений делятся на регулярные и сингулярные. Вблизи регулярного решения применима теорема о неявной функции или ее аналоги, дающая описание всех других близких решений. Вблизи сингулярного решения теорема о неявной функции не применима и для анализа решений, близких к сингулярному, для отдельных задач было предложено несколько разных способов их разрешения.

Еще в 1906;1908 годах были опубликованы работы A.M. Ляпунова и Э. Шмидта, в которых были заложены основы теории ветвления решений нелинейных уравнений. В них использовалось сведение задачи о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений к аналогичной задаче для систем неявных аналитических функций.

Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к началу 70-х годов отражено в [8]. Эта книга содержит различные аспекты теории ветвления: варианты процедуры Ляпунова-Шмидта сведения общей задачи теории ветвления к эквивалентным системам разветвления с детальным исследованием соответствия между малыми решениями первоначального нелинейного уравнения и уравнения разветвления, последовательного использования аппарата обобщенных жордановых цепочек и метода Диаграммы Ньютона, а также основанный на подготовительной теореме Вейштрасса кронекеровский метод исключения, многие приложения к задачам теории возмущений и математической физики. Случай многомерного ветвления не получил окончательного разрешения и в наши дни.

В многомерном ветвлении нелинейное уравнение нередко имеет семейства малых решений, зависящих от одного или нескольких параметров. Как правило, эти параметры имеют групповой смысл — нелинейное уравнение инвариантно относительно некоторой группы преобразований. Так, в случае сферической симметрии свободные параметры оказываются точками сфер в конечномерных евклидовых пространствах. Для краевых задач групповая симметрия обычно обусловлена симметрией области. Так, уравнения заданные в пространственном бесконечном слое инвариантны относительно двумерной группы сдвигов. Если же задача рассматривается на некотором (к — 1)-мерном многообразии в Rk, то она является инвариантной относительно группы симметрии этого многообразия. При вычислении асимптотики семейств разветвляющихся решений групповая инвариантность существенно упрощает построение и исследование эквивалентного нелинейной задаче уравнения разветвления.

Первые результаты по применению групповой симметрии в теории ветвления были получены В. И. Юдовичем [64]. Последовательное развитие теории ветвления в условиях групповой инвариантности содержится в [26], [34−35], где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного уравнения разветвления. Предложены различные способы редукции уравнения разветвления, в том числе с помощью полной системы функционально независимых инвариантов этой группы с многими приложениями в области математической физики. В частности, в [35] доказана теорема о наследовании групповой инвариантности нелинейной задачи соответствующим уравнением разветвления.

Наиболее общий результат о существовании бифуркации вблизи собственного значения нечетной кратности аналитической оператор-функции спектрального параметра доказан Н. А. Сидоровым и В.А. Трено-гиным, применившими теорию степени отображения непосредственно к уравнению разветвления [42], [60]. Такой подход позволил значительно усилить некоторые известные теоремы существования точек бифуркации М. А. Красносельского [21] и достаточно просто получить не только новые общие теоремы существования вещественных решений в теории ветвления, но и дать в ряде случаев простой метод вычисления главных членов асимптотики этих решений. Помимо этого, в работе [42], были разработаны приближенные методы вычисления разветвляющихся решений нелинейных уравнений удовлетворяющих требованию равномерной аппроксимации относительно малого параметра. Для линейных уравнений с замкнутым оператором здесь была разработана абстрактная схема построения регуляризующих операторов в смысле А. Н. Тихонова в предположении, что оператор не имеет обратного невозможно, ядро оператора нетривиально. Особенностью такого регуляционного подхода является систематическое использование некоторых положений из теории возмущения и теории ветвления, где в основу положено, как и в одном из методов М. М. Лаврентьева, возмущение уравнения линейной оператор-функцией. Такой подход позволил получить единым образом ряд известных и некоторые новые регуляризующие алгоритмы, разработать и обосновать два итерационных метода вычисления изолированных особых фредгольмовских точек, базисов корневого и дефектного подпространства оператор-функции в банаховых пространствах по начальным приближениям, при этом рассмотрен общий случай произвольного корневого числа оператора.

В 80-х годах были опубликованы содержащие многие приложения монографии А. Вандербауведе [62], М. Голубицкого, И. Стюарта и Д. Шеф-фера [13]. Они дают детальный обзор западных математиков по эквива-риантной теории ветвления. Основным средством исследований в [13] являлась теория особенностей гладких отображений. Однако, развиваемые А. Д. Брюно [6−7] методы многогранника Ньютона более перспективны и позволяют исследовать уравнение разветвления при любых порядках вырождения линеаризованного оператора.

В работах Н. А. Сидорова [43−44] предлагается iV-ступенчатый итерационный метод вычисления разветвляющихся решений нелинейных уравнений. На каждом шаге этого метода решается N линейных уравнений. Величина N здесь зависит от структуры уравнения разветвления соответствующего исходной задаче. В качестве параметра униформиза-ции ветвей, кроме параметра входящего в исходное уравнение, может быть использован любой коэффициент проекции решения на нулевое подпространство линеаризованного оператора. Для выбора начального приближения применяется геометрия опорных плоскостей и диаграмм Ньютона уравнений разветвления.

Область расположения свободных параметров необходимо знать, как в приложениях, так и при разработке приближенных методов в окрестности точки ветвления. Здесь стандартные методы не применимы и лишь удачная параметризация ветви решения может привести к успеху [9].

Ряд общих результатов о явной и неявной параметризации и итерациях в окрестности точки ветвления есть в работах [33], [43−44]. Однако случай параметрических разветвляющихся решений в этом отношении изучался только в простых ситуациях сферической симметрии и далеко не достаточно. Анализ и упрощение конечномерных систем разветвления Ляпунова-Шмидта, эквивалентных исходной задаче, дает ключ к решению проблемы.

В данной работе, продолжающей исследования [33], [43−44] по созданию базы алгоритмического анализа в окрестности точек ветвления решений, строится теория сплетаемых уравнений разветвления. Полученные результаты позволяют упростить уравнение разветвления и применить итерационные методы работ [43−44] для построения параметрических ветвей решения исходного уравнения. Предполагаются выполненными условия аналогичные условиям групповой инвариантности. Однако сплетающие операторы в отличие от работ [26], [28], [34−35], [59], [62] могут быть и необратимыми. В совокупности с результатами работ [17−18], [20], [22−23], [65] это дает возможность рассмотреть с единой точки зрения классы разветвляющихся решений с свободными параметрами как групповой так и негрупповой природы.

Построение работы. В первой главе дается общая постановка задачи теории ветвления с линеаризованным оператором конечного индекса, доказываются теоремы о наследовании свойства сплетения уравнением разветвления и проводится его редукция по числу уравнений. В § 1 вводится понятие сплетаемого уравнения, строится уравнение разветвления с использованием псевдообратного оператора, а во фредгольмовом случае, кроме того, с использованием псевдорезольвенты Шмидта. Для полученных систем разветвления получены достаточные условия, при выполнении которых свойство сплетения наследуется системой разветвления. В § 2 рассматривается уравнение разветвления в корневом подпространстве и показано как в этом случае формулируются теоремы о наследовании свойства сплетения. В § 3 рассмотрен случай, когда сплетающая пара состоит из проекторов. Показано, как в этом случае следует сокращать число уравнений в системе разветвления и строить параметрические разветвляющиеся решения. В § 4 изучен случай, когда сплетающая пара состоит из параметрических семейств линейных операторов. Показано, что в этом случае возможность редукции системы разветвления по числу уравнений определяется действием оператора К (а) на инвариантном подпространстве Результаты полученные в § 4 дополняют и усиливают некоторые близкие результаты работ [26], [34−35].

Во второй главе строятся параметрические представления семейств разветвляющихся решений, позволяющие сократить число уравнений в системе разветвления, избавить их от свободных параметров и применить итерационный метод работы [44]. Здесь же рассмотрены сплетаемые уравнения разветвления потенциального типа и случай бисплете-ния. В § 1 вводится понятие уравнения разветвления потенциального типа. Использование симметризующих операторов, введенных в [56], [61], позволило получить достаточные условия потенциальности уравнения разветвления в случае, когда исходное нелинейное уравнение является (S (a), К (а))-сплет&емым. Кроме того, рассматриваются вопросы инвариантности потенциала и его структуры. В § 2 в случае уравнения разветвления потенциального типа обосновывается возможность представления параметрических семейств разветвляющихся решений в виде позволяющем свести задачу к независящей от свободных параметров системе разветвления и применить итерационные методы [33], [43−44]. Здесь же рассмотрен случай бисплетения и показано, что аналогичные представления могут быть использованы без требования потенциальности уравнения разветвления. В § 3, на основе полученных результатов, рассматривается задача построения разветвляющихся решений зависящих от свободных параметров методом последовательных приближений.

Результаты работы представлялись на международной конференции «Symmetry and Perturbation Theory» (Рим 1998), Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания (Иркутск 1999), международных конференциях «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск 1999), «Математика, информатика и управление» (Иркутск 2000), XII международной Байкальской школе-семинаре: методы оптимизации и их приложения (Иркутск 2001), международной школе-семинаре: применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов (Сочи 2001), на семинарах кафедры математики БГУЭиП (ИГЭА) и кафедры математического анализа ИГУ, объединенном семинаре ИДСТУ СО РАН. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2−5], [46−51].

Автор благодарен Н. А. Сидорову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Абдуллин В. Р. О существовании точек бифуркации нелинейных урав-нений в нечетно-кратном случае // Труды XI Байкальской международной конференции: Методы оптимизации и их приложения, Иркутск 1998, Т. 4, С. 13−16.

2. Абдуллин В. Р. Понижение порядка сплетающих уравнений разветвления // Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания, Иркутск 1999, С. 3−6.

3. Абдуллин В. Р. Понижение порядка сплетающих уравнений разветвления // Тезисы международной конференции: Дифференциальные и интегральные уравнения, Челябинск 1999, С. 7.

4. Абдуллин В. Р. Сплетающие уравнения в теории ветвления // Оптимизация, управление, интеллект 2000, N 5, часть 1, С. 5−14.

5. Абдуллин В. Р., Сидоров Н. А. Сплетаемые уравнения в теории ветвления // Доклады АН 2001, Т. 377, N. 3, С. 1−3.

6. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998, 288 с.

7. Брюно А. Д., Солеев А. Формальная униформизация пространственной кривой и многогранники Ньютона // Алгебра и анализ 1991, Т. 3, вып. 1, С. 67−101.

8. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969, 528 с.

9. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного дифференцирования: метод продолжения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. М.: Наука, 1988.

10. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 441 с.

11. Buchanan M., Doming J. Nonlinear waves in collisionless plasmas // Physical Review E 1995, V. 52, N 2, P. 3015−3033.

12. Chillingworth D.R.J. Notes on some recent methods in bifurcation theory // Banach Center Publications 1985, V. 15, P. 161−174.

13. Golubitsky M., Schaeffer D. and Stewart I. Singularities and groups in bifurcation theory. New York: Springer, 1985, V. 1- 1988, V. 2.

14. Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

15. Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук 1992, Т. 47, вып. 4 (286), С. 83−145.

16. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

17. Karasozen В., Konopleva I.V., Loginov B.V. Hereditary symmetry of resolving systems for nonlinear equations with Fredholm operators // Nonlinear Analysis, TMA (in print).

18. Karasozen В., Loginov B.V. Invariant reduction of partially potential equations and iterative methods in the bifurcation point problem with symmetry (in print).

19. Keller H.B. Numerical solution of bifurcation and nonlinear problems // Applications of bifurcation theory. New York: Academic Press, 1977, P. 359−384.

20. Коноплева И. В., Логинов Б. В. Обобщенная жорданова структура и симметрия разрешающих систем в теории ветвления // Вестник Самарского университета 2002 (в печати).

21. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1956, 392 с.

22. Макаренко Н. И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений // Доклады АН 1996, Т. 348, N 3, С. 302−304.

23. Макаренко Н. И. Симметрия и косимметрия вариационных задач теории волн // Труды международной школы-семинара: Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов, Сочи 2001, С. 109−120.

24. Марканова Д. Ю. Итерационный метод построения разветвляющихся решений в случае квазилинейного уравнения разветвления. Кан. дисс. Иркутск: ИГУ, 1999, 100 с.

25. Логинов Б. В. Об инвариантных решениях в теории ветвления // Доклады АН СССР 1979, Т. 246, N 5, С. 1048−1051.

26. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Изд-во ФАН, 1985, 184 с.

27. Loginov B.V. Determination of the branching equation by its group symmetry — Andronov-Hopf bifurcation // Nonlinear Analysis, TMA 1997, V. 28, N 12, P. 2033;20 043.

28. Логинов Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия // Вестник Самарского университета 1998, N 4 (10), С. 15−70.

29. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving systems in degenerated functional equations // Proc. intern, conference: Symmetry and Differential Equations, Krasnoyarsk 2000, C. 42−45.

30. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving system for differential equation with Fredholm operator at the derivative // Proc. inter, conference: MOGRAN-2000, Ufa 2000, C. 116−119.

31. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of the domain and the problems about periodical solutions of nonlinearly perturbed Helmholz equation // Proc. of Middle-Volga Math. Soc., Saransk 2001, N 2.

32. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения. Ташкент, 1978, С. 113−148.

33. Логинов Б. В., Сидоров Н. А. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации // Мат. Сб. 1991, Т. 182, N 5, С. 681−691.

34. Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений // Мат. Сб. 1971, Т. 85 (127), С. 440−454.

35. Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления // Дифференц. уравнения 1975, Т. 11, С. 1709−1712.

36. Овсяников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966, 131 с.

37. Овсяников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с.

38. Рябов Ю. А. Некоторые вопросы применения малого параметра и оценки области его сходимости в теории нелинейных колебаний и систем с запаздыванием. Док. дисс. М.: МГУ, 1962, 431 с.

39. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory // Lecture Notes in Math. 1979, N 762.

40. Stewart J. Applications of catastrophe theory to the physical sciences // Phys. D 1981, N 2, P. 245−305.

41. Сидоров Н. А. Вариационные методы в теории точек бифуркации нелинейных операторов // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1973, вып. 2, С. 255−271.

42. Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1982, 314 с.

43. Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетающие уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений (Препринт N 1 серии АНН ИРО). Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1999, 36 с.

44. Sidorov N.A., Abdullin V.R. Interlaced branching equations and invari-ance in the theory of nonlinear equations // Symmetry and Perturbation Theory, International Workshop SPT 98, Roma. World Scientific, 1999, P. 309−313.

45. Сидоров H.A., Абдуллин В.P. Сплетаемые уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений // Математический сборник 2001, Т. 192, N 7, С. 107−124.

46. Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетаемые уравнения в теории ветвления // Труды XII Байкальской международной конференции: Методы оптимизации и их приложения, Иркутск 2001, Т. 4, С. 169−172.

47. Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетаемые системы разветвления в теории ветвления нелинейных уравнений // Труды международной школы-семинара: Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов, Сочи 2001, С. 188−193.

48. Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетающие уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений // Уравнения соболевского типа. Челябинск: Изд-во Челябинского университета, 2002.44.

49. Сидоров Н. А., Романова О. А., Благодатская Е. Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части // Дифференциальные уравнения 1994, Т. 30, N 4, С. 729−732.

50. Сидоров Н. А., Марканова Д. Ю., Абдуллин В. Р. О роли выпуклых мажорант в нелокальных теоремах существования неявных функций (Препринт N 3 ИДСТУ СО РАН). Иркутск, 1998, 17 с.

51. Сидоров Н. А., Синицин А. В. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений системы Власова-Максвелла // Мате-мат. заметки 1997, Т. 62, вып. 2, С. 268−292.

52. Сидоров Н. А., Треногин В. А. Условия потенциальности уравнения разветвления и точки бифуркации нелинейных операторов // Узб. мат. журнал 1992, N 2, С. 40−49.

53. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 495 с.

54. Треногин В. А. Глобальная обратимость нелинейных операторов и метод продолжения по параметру // Доклады АН России, 1996, Т. 350, N 4, С. 455−457.

55. Треногин В. А. Улучшение свойств обратимости линейных операторов и уравнение разветвления Ляпунова-Шмидта // Вестник Российского университета Дружбы Народов 1996, N 3, С. 127−142.

56. Треногин В. А., Сидоров Н. А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1972, вып. 1, С. 216−247.

57. Треногин В. А., Сидоров Н. А. Точки и поверхности бифуркации нелинейных операторов с потенциальными системами разветвления (Препринт N 4 ИрВЦ СО РАН). Иркутск, 1991, 14 с.

58. Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry. Boston: Pitman, 1982, 350 p.

59. Vorovich I.I. Nonlinear Theory of Shallow Shells. New York: Springer-Verlag, 1999.

60. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление // ППМ 1969, Т. 31, вып. 1, С. 101−111.

61. Юдович В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Математические заметки 1991, Т. 49, N 5, С. 142−148.